摘 要：高中新課程標準的實施，目的在于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，新教材的使用，對學生的學習能力和教師的教學方法提出了更高要求.

本文通過“基本不等式”進行問題式教學設計實例，闡述了問題式教學過程中如何利用問題串來幫助學生分析和解決問題，從而達到培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的目的.

關鍵詞：問題式教學；核心素養(yǎng)；教學設計

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）21-0047-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：張青萍（1990.11-），女，福建省漳州人，學士，中學二級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

問題設計的質量高低是問題式教學是否能成功的關鍵.部分教師設計了很多問題，但有些屬于無效提問，無法引導學生準確找到答題采分點，最終教師只能強行將知識塞給學生，不利于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).為此，筆者以“基本不等式”教學設計為例，探討在問題式教學中問題串應該如何設計，學生應該如何引導.

1 教學內容及目標分析

1.1 內容分析

本節(jié)課內容為“基本不等式”，選自人民教育出版社A版普通高中數(shù)學教科書必修第一冊第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》第2節(jié)，學生在本節(jié)課之前掌握了不等式的性質，并學習了重要不等式，為本節(jié)課學習基本不等式奠定了基礎.

1.2 教學目標

（1）引導學生從實際問題出發(fā)，總結出基本不等式，并掌握代數(shù)法、幾何法證明.

（2）注意基本不等式的適用范圍及取等條件，并能夠利用基本不等式解決一些簡單的最值問題和實際問題［1］.

（3）培養(yǎng)學生觀察、猜想、證明、抽象概括、分析問題和解決問題的能力.

2 教學過程

2.1 情境引入

媽媽讓小圓去市場買一斤蘋果.媽媽想看小販有沒有缺少斤兩，就想稱一下蘋果重量，但家里沒有秤，只找到一臺左右臂不等長的天平，其余均精確.媽媽先將蘋果放在左邊托盤稱了一次，重量為450 g，再將蘋果放在右邊托盤又稱了一次，重量為550 g，于是媽媽得到結論：蘋果重量剛好是兩次所稱重量的和的一半，即500 g，小販沒有缺少斤兩.媽媽的說法對嗎？如何證明？

設計意圖：從生活實例出發(fā)，讓學生體驗數(shù)學來源于生活，引導學生從中抽象出數(shù)學模型，解決數(shù)學問題，激發(fā)學生的探索欲望和學習興趣.

2.2 分析問題

問題1：大家知道天平稱重的原理嗎？

學生：杠桿原理.

追問：具體是如何操作的？

學生：在天平的兩端各有一個盤子，一端盤子放砝碼，一端盤子放物體，當兩端平衡時，砝碼的重量即為物體的重量.

問題2：能利用天平精確稱重的關鍵在哪里？

學生：天平的左右力臂等長.

追問：為什么？能否給出數(shù)學解釋？

學生：假設左右力臂長均為l，物體重量為M，砝碼重量為m，重力加速度為g.由lMg=lmg可得M=m，即物體重量與砝碼重量相等.

師：很好，這樣可以得到當左右力臂不等長時，物體的重量和砝碼的重量是不相等的.

問題3：媽媽的做法能否得到正確的重量呢？大家討論一下.

2分鐘以后，老師請同學們舉手發(fā)表意見.

學生1回答預設：我覺得可以，因為左右力臂不等長，兩次稱得的重量一次偏輕，一次偏重，兩次相加取平均應該正好.

學生2回答預設：我覺得不可以，因為雖然兩次稱得的重量一次偏輕，一次偏重，兩次相加取平均不一定能剛好等于實際重量，可能還與力臂具體長短有關.

學生3回答預設：我也覺得兩次相加取平均不一定能剛好等于實際重量，但是與力臂具體長短應該也無關.

師：能否從原理入手驗證上述三位同學的說法究竟誰對誰錯？真實重量應該如何計算？

問題4：我們不妨假設物體實際重量為M，天平左右兩臂長分別為l1和l2，兩次稱量結果分別為450 g和550 g，大家能否得到這些量之間的關系？

學生：l1M g=450l2 g，l2M g=550l1 g.

追問：能否消去l1，l2？

學生：兩式相乘得M2=247 500.

追問：根據(jù)這一計算結果，哪位同學的想法是對的？小圓媽媽的方法是否正確？

學生：5002=250 000>247 500，不難看出小圓媽媽的做法不能得到精確的重量，實際重量應該要偏輕，并且與力臂具體長短無關，第三位同學想法正確.

問題5：大家能不能從這一實例中抽象出一個一般的數(shù)學不等式？

學生：兩次稱量結果設為a和b，則a+b22>ab即a+b2>ab.

追問：其中a和b有什么限制嗎？有沒有滿足什么關系？

學生：a和b都是正數(shù)，并且a與b不相等.

追問：那如果a與b相等，不等式會發(fā)生改變嗎？

學生：a=b時a+b2=ab.

追問：那大家能否將這個不等式補充完整？

學生：a+b2≥ab（a>0，b>0），當且僅當a=b時等號成立.

師：很好，這個不等式我們稱為基本不等式.大家能否給出證明？

設計意圖：設置問題1和2引導學生回答出天平稱重的原理，為下一問作鋪墊；設置問題3讓學生自主思考、討論；設置問題4引導學生自行論證觀點的正確性；設置問題5引導學生將特殊轉化為一般，提高學生的抽象概括能力.通過追問，引導學生進行更深入的思考.

2.3 解決問題

問題1：我們學過哪些方法可以證明不等式？

學生：作差法，分析法，綜合法，反證法等等.

問題2：此不等式可以考慮用什么方法來證明？

學生：a+b2-ab=a+b-2ab2=a2+b2-2ab2=a-b22≥0，

所以a+b2≥ab（a>0，b>0），當且僅當a=b即a=b時等號成立.

師：很好，這樣我們可以得到基本不等式的證明.

師：那大家還有其它證明方法嗎？

為了提高學生的學習興趣，設置如下折紙實驗：

師：現(xiàn)在請同學們拿出讓你們事先準備好的三張正方形卡紙，兩大（一樣大）一小.先拿出一大一小的兩張正方形卡紙，我們不妨假設大的正方形面積為a，小的正方形面積為b.先將兩張正方形卡紙分別沿對角線折成等腰直角三角形，再將兩個等腰直角三角形沿對角線拼在一起，構造一個兩邊分別等于兩個直角三角形直角邊的矩形，將多出來的部分切除，如圖1.

圖1 大小正方形

問題：思考兩個直角三角形的面積和與矩形面積的關系，大家能得到什么結論？

學生：兩個正方形的邊長分別為a和b，四個直角三角形的面積之和a+b2大于矩形的面積ab.

教師借助PPT動態(tài)演示，直觀展現(xiàn)折紙過程，得到ab

師：接著請大家拿出另外一張大的正方形紙片也沿對角線折成等腰直角三角形，將兩個大三角形沿對角線拼在一起，看看又能得到什么結論？

學生：動手折紙拼接后得到a·a=a+a2即當a=b時ab=a+b2.

師：很好，這樣我們就得到了基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）的一種幾何證明.

設計意圖：通過折紙實驗，激發(fā)同學們的學習興趣，引導學生通過自己動手、觀察，得出基本不等式的幾何證明，印象深刻［2］.

2.4 實際應用

例題1 （1）用一根鐵絲做一個矩形框，當框的面積為36 cm2.所用鐵絲最短多少？

（2）用一根長為36 cm的鐵絲做一個矩形框，問這個矩形的長和寬各為多少時，矩形的面積最大，最大面積是多少？

追問：例題中的定量是什么，變量是什么？能求解什么樣的最值問題？

設計意圖：實際應用題可以提高學生的讀題、析題能力，并將所學知識應用到實際生活中.通過追問，引導學生總結能夠利用基本不等式求解最值問題的特征，得出結論：對于任意的正實數(shù)x，y，若xy=m（定值），則當且僅當x=y時，x+y有最小值2m；若x+y=m（定值），則當且僅當x=y時，xy有最大值m24.鼓勵學生自己探索推導，可以讓學生加深對基本不等式的理解，鍛煉學生的數(shù)學思維.

例題2 求y=x+1x（x>0）的值域.

變式：若x>2，求x+1x-2的最小值.

2.5 回顧總結

你在這節(jié)課上學到了什么？運用了哪些數(shù)學思維方法？學生概括總結后，教師補充完善.

設計意圖：讓學生能夠形成這節(jié)課的知識框架，對探究過程及方法有一個清晰的認識.

2.6 課后鞏固

已知x>0，y>0，且2x+8y=1，求xy的最小值.

設計意圖：通過課外作業(yè)的布置，實現(xiàn)對課堂知識鞏固和加強的目的.不僅考查了基礎，還探索了實際問題，作業(yè)呈現(xiàn)方式多樣，較好地調動了學生的學習積極性，感受數(shù)學帶來的樂趣，并讓學生體會數(shù)學來源于生活，又應用于生活，能利用所學知識解決生活中的實際問題，做到真正學有所用，學以致用.

3 教學反思

在本節(jié)課的教學設計中，教師以提出問題和解決問題為主線，使學生一直處在思考探索中，有利于培養(yǎng)學生的學習興趣，提高課堂效率.教師圍繞教學目標精心設計每一個教學環(huán)節(jié)，引導學生自主完成基本不等式的探究和證明.在教師創(chuàng)設的問題情境中，教師只是在適當?shù)臅r候引導學生，給學生留下思考和探索的空間.通過一式多證鍛煉學生思維，拓寬學生思路.設置折紙實驗，讓大家直觀的感知并證明基本不等式，增加學生的學習興趣.利用多媒體使課堂更加生動活潑，例如折紙實驗中借助PPT動畫使整個過程更加清晰明了.通過讓學生自己編寫問題，引導學生自主提問，體現(xiàn)了以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向的教學意識.

參考文獻：

［1］ 王禹桐，孔德宏.問題驅動式教學在微課設計中的應用探究：以“拋物線的光學性質”為例［J］.中學數(shù)學月刊，2022（04）： 29-31.

［2］ 王燕.以問題設計為手段 發(fā)展學生核心素養(yǎng)：以“兩角和與差的余弦公式”教學為例［J］.中學數(shù)學月刊，2022（02）：37-39.

［責任編輯：李 璟］