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中考常用的三種數(shù)學(xué)思想

2023-08-01 15:44:46王歡
關(guān)鍵詞:菱形過點(diǎn)射線

王歡

數(shù)學(xué)思想方法是解題的金鑰匙,掌握中考常用的數(shù)學(xué)思想有利于快速找到解題思路,讓自己在中考中取得好成績. 下面舉例介紹中考中常用的三種數(shù)學(xué)思想.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問題的解決方法(以形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想. 數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來,使問題得以解決.

例1 (2022·遼寧·錦州)如圖1,A1為射線ON上一點(diǎn),B1為射線OM上一點(diǎn),∠B1A1O = 60°,OA1 = 3,B1A1 = 1. 以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1,且∠B1A1D1 = 60°,C1D1與射線OM交于點(diǎn)B2,得△C1B1B2;延長B2D1交射線ON于點(diǎn)A2,以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2,且∠B2A2D2 = 60°,C2D2與射線OM交于點(diǎn)B3,得△C2B2B3;延長B3D2交射線ON于點(diǎn)A3,以B3A3為邊在其右側(cè)作菱形A3B3C3D3,且∠B3A3D3 = 60°,C3D3與射線OM交于點(diǎn)B4,得△C3B3B4……,按此規(guī)律進(jìn)行下去,則△C2022B2022B2023的面積為? ?.

分析:由圖象看出此題具有規(guī)律性,因此最終求解答案時也需要探尋內(nèi)在規(guī)律. 結(jié)合題目中已知條件可過點(diǎn)B1作B1D⊥OA1于點(diǎn)D,連接B1D1,B2D2,B3D3,分別作B2H⊥B1D1于點(diǎn)H,B3G⊥B2D2于點(diǎn)G,B4E⊥B3D3于點(diǎn)E,如圖2,根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得OA1[?]B1D1[?]B2D2[?]B3D3,則有tan O = tan∠B2B1D1 = tan∠B3B2D2 = tan∠B4B3D3 = [35],進(jìn)而可得出規(guī)律進(jìn)行求解.

解:如圖2,過點(diǎn)B1作B1D⊥OA1于點(diǎn)D,連接B1D1,B2D2,B3D3,分別作B2H⊥B1D1于點(diǎn)H,B3G⊥B2D2于點(diǎn)G,B4E⊥B3D3于點(diǎn)E.

易得A2B2 = [43],B2D1 = [13],

B3D2 = [49],B4D3 = [1627],

A3B3 = [169],A4B4 = [6427],

由上可得:AnBn = [43n-1],Bn + 1Dn = [13]·[43n-1],

∴S△C2022B2022B2023 = S△C2022B2022D2022 - S△B2023B2022D2022 = [34] × [4320212] - [12] × [432021]× [13] × [432021]× [32] = [36] × [434042]. 故填[36] × [434042].

二、函數(shù)與方程思想

從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,適當(dāng)設(shè)定未知數(shù),把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學(xué)模型,從而使問題得到解決的思想方法,就是函數(shù)與方程思想.

直線與拋物線是初中數(shù)學(xué)中的兩類重要函數(shù),無論是求其解析式還是研究其性質(zhì),都離不開函數(shù)與方程思想. 例如函數(shù)解析式的確定,往往需要根據(jù)已知條件列方程或方程組并解之而得.

例2 (2022·遼寧·營口)如圖3,在四邊形ABCD中,BC[?]AD,∠D = 90°,∠A = 45°,動點(diǎn)P,Q同時從點(diǎn)A出發(fā),點(diǎn)P以[2] cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(運(yùn)動到B點(diǎn)即停止),點(diǎn)Q以2 cm/s的速度沿折線AD—DC向終點(diǎn)C運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為x(s),△APQ的面積為y(cm2),若y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示,當(dāng)x = [72](s)時,則y = cm2.

分析:根據(jù)題意以及函數(shù)圖象可得出當(dāng)點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動時,△APQ為等腰直角三角形,根據(jù)三角形面積公式得當(dāng)△APQ面積最大為9時,x = 3,則AD = 2x = 6 cm,當(dāng)3 < x ≤ 4時,過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F,如圖5,結(jié)合面積公式,分別表示出相關(guān)線段可得y與x之間的函數(shù)解析式,最后代入求解即可.

解:當(dāng)3 < x ≤ 4時,過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F,如圖5,

此時S△APQ = S△APF + S四邊形PQDF - S△ADQ,

由y = [12] × ([2]x)2 = 9,得x = 3,則AD = 2x = 6,

在Rt△APF中,AP = [2]x,∠PAF = 45°,

∴AF = PF = x,F(xiàn)D = 6 - x,QD = 2x - 6,

∴y = [12]x2 + [12](x + 2x - 6)·(6 - x) - [12] × 6 × (2x - 6) = - x2 + 6x,

當(dāng)x = [72]時,y =? - [722] + 6 × [72] = [354]. 故填[354].

三、分類討論思想

分類討論思想可培養(yǎng)同學(xué)們思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性,有些問題常常通過條件的多變性或結(jié)論的不確定性來進(jìn)行考查,如果不注意對各種情況分類討論,就有可能造成錯解或漏解.

例3 (2022·沈陽)如圖6,將矩形紙片ABCD折疊,折痕為MN,點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上,點(diǎn)C,D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F(xiàn),且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部,MF的延長線交邊BC于點(diǎn)G,EF交邊BC于點(diǎn)H. EN = 2,AB = 4,當(dāng)點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn)時,MD的長為.

分析:根據(jù)點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn),分兩種情況分別討論,根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠GMN = ∠MNG,得到MG = NG,再證明△FGH∽△ENH,求出FG的長,過點(diǎn)G作GP⊥AD于點(diǎn)P,如圖7,則PG = AB = 4,設(shè)MD = MF = x,根據(jù)勾股定理列方程求出x即可.

解:當(dāng)HN = [13]GN時,GH = 2HN,

由題易得△FGH∽△ENH,∴[FGEN] = [GHHN] = 2,

∴FG = 2EN = 4,

如圖7,過點(diǎn)G作GP⊥AD于點(diǎn)P,則PG = AB = 4,

設(shè)MD = MF = x,則MG = GN = x + 4,

∴CG = x + 6,∴PM = 6,

∵GP2 + PM2 = MG2,∴MD = 2[13] - 4;

當(dāng)GH = [13]GN時,HN = 2GH,同理可得MD = 4.

故填2[13] - 4或4.

(作者單位:沈陽市渾南區(qū)第五初級中學(xué))

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