陳柯帆 ，李源 ，2?，賀拴海 ，2，王康 ，殷怡萍 ，宋一凡 ，2

（1.長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064；2.舊橋檢測(cè)與加固技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（長(zhǎng)安大學(xué)），陜西 西安 710064）

斜拉橋美觀、經(jīng)濟(jì)、跨越能力強(qiáng)，近年來(lái)備受橋梁工程師青睞［1］.與此同時(shí)，斜拉橋整體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，柔度大、阻尼低、剛度不足導(dǎo)致其非線性行為極為突出［2］.尤其當(dāng)拉索局部模態(tài)與斜拉橋整體模態(tài)頻率比處于“1∶2”或“1∶1”等固定比例區(qū)間時(shí)［3-6］，容易在環(huán)境激勵(lì)下，引發(fā)拉索劇烈振動(dòng)，給橋梁安全運(yùn)營(yíng)帶來(lái)了極大隱患.因此，除了目前僅有的有限元方法外［7-9］，如何建立準(zhǔn)確的斜拉橋整體動(dòng)力模型來(lái)便捷而又準(zhǔn)確地計(jì)算斜拉橋豎向整體模態(tài)參數(shù)，對(duì)推動(dòng)斜拉橋應(yīng)用與發(fā)展至關(guān)重要［10］.

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)建模方法，尤其對(duì)于斜拉橋主梁在多點(diǎn)彈性支撐作用下的力學(xué)行為模擬與分析做了大量研究工作.吳慶雄等［11］進(jìn)行了單索-梁結(jié)構(gòu)和二索-梁結(jié)構(gòu)模型固有振動(dòng)試驗(yàn)，建立了多索-梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，討論了斜拉索對(duì)索梁結(jié)構(gòu)面內(nèi)固有振動(dòng)特性的影響；Cao等［12］和李專干等［13］通過建立主梁的分段函數(shù)，將主梁和拉索等效為若干獨(dú)立梁段，基于拉索錨固處的邊界條件得到了剛塔柔梁斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)建模的運(yùn)動(dòng)方程，討論了結(jié)構(gòu)對(duì)稱性對(duì)動(dòng)力特性的影響；趙文忠等［14］通過分段函數(shù)求解了三索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程，研究了拉索一階和二階頻率比條件對(duì)共振的影響；Cong 等［15］、Kang 等［16-18］、蘇瀟陽(yáng)等［19］建立了多梁彈簧動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用傳遞矩陣法給出了不同體系下斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)模型動(dòng)力學(xué)微分控制方程，提出了不同體系斜拉橋豎向剛度評(píng)估方法.在此基礎(chǔ)上，該課題組還對(duì)索拱結(jié)構(gòu)［20-21］、懸索結(jié)構(gòu)［22］的面內(nèi)外固有振動(dòng)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)分析與研究.

受限于現(xiàn)有動(dòng)力學(xué)建模方法與整體模態(tài)參數(shù)計(jì)算過程的煩冗，目前關(guān)于斜拉橋整體豎向模態(tài)的理論計(jì)算方法大多高度簡(jiǎn)化甚至忽略索力水平投影、振動(dòng)時(shí)拉索間的耦合影響作用、主梁彎曲剛度等因素對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，或是迭代解析方法煩瑣、復(fù)雜，不利于在實(shí)際斜拉橋工程中推廣與應(yīng)用.

針對(duì)此問題，本文通過離散斜拉橋多點(diǎn)彈性支承梁的集中質(zhì)量參數(shù)體系，建立了一種新的斜拉橋面內(nèi)豎向整體動(dòng)力學(xué)模型.該模型考慮了斜拉索對(duì)主梁的豎向彈性支承作用與對(duì)水平梁截面的軸力影響，引入微梁段兩側(cè)的剪力以模擬主梁彎曲剛度、拉索間振動(dòng)耦合等影響作用，通過微梁段間的彎矩平衡和有限差分法，修正了不同結(jié)構(gòu)體系斜拉橋面內(nèi)豎向整體動(dòng)力學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)方程，結(jié)合特征值法給出了斜拉橋面內(nèi)豎向模態(tài)頻率及振型計(jì)算方法.通過對(duì)比參考文獻(xiàn)中動(dòng)力學(xué)模型算法案例分析結(jié)果與某斜拉橋的實(shí)測(cè)值，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文關(guān)于斜拉橋面內(nèi)豎向運(yùn)動(dòng)參數(shù)體系建模方法的適用性和正確性.本文計(jì)算方法無(wú)須建立大量細(xì)化的有限元模型，運(yùn)用MATLAB、Excel 等軟件按編碼流程即可準(zhǔn)確、快速地估算斜拉橋面內(nèi)豎向模態(tài)頻率及振型，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，便于工程應(yīng)用.

1 多點(diǎn)彈性支撐梁的離散模型

約定下標(biāo)“B”和“C”分別表示梁和索；下標(biāo)“i”和“j”分別表示索和梁序號(hào)（i∈[1，I]，j∈[1，J]）.為便于區(qū)別有索區(qū)梁段與無(wú)索區(qū)梁段，對(duì)于Ci#拉索錨固處的有索區(qū)梁段表示為Bji#梁段.建立如圖1（a）所示的多索-主梁模型.由于橋面質(zhì)量遠(yuǎn)大于拉索質(zhì)量，本文忽略了拉索振動(dòng)對(duì)主梁振動(dòng)的影響，將Ci#拉索豎向視為Bji#梁段的彈性支承，水平向的索力投影等效為Bji#梁段的軸向荷載HBCi，定義He為支座水平力，如圖1（b）所示.為了精確模擬和求解具有分布質(zhì)量、荷載和多點(diǎn)彈性支撐作用下斜拉橋主梁的動(dòng)力行為，不考慮主梁的縱向運(yùn)動(dòng)，本文將主梁進(jìn)一步簡(jiǎn)化為J個(gè)間距d相同、彼此鉸接、帶有I個(gè)豎向彈力支承和I個(gè)不同軸力的集中質(zhì)量參數(shù)體系，主梁的質(zhì)量和荷載均被視為作用在這些集中質(zhì)量點(diǎn)之上，獨(dú)立梁段間彼此通過理想鉸連接，如圖1（c）所示.

圖1 斜拉橋主梁離散模型的簡(jiǎn)化流程Fig.1 The reduction process of main beam of cable-stayed bridges

圖1（b）中，Ci#拉索對(duì)Bji#梁段豎向彈性支承系數(shù)kBCi為［7，10，23-24］：

式中：ECi、ACi分別為Ci#拉索的彈性模量及截面積；θCi表示Ci#拉索軸線與主梁大里程方向夾角；lCi表示 Ci#拉索上下端錨固點(diǎn)軸向距離.由于拉索振動(dòng)中的索力增量遠(yuǎn)小于拉索初始索力，對(duì)于拉索索力的水平投影本文僅考慮初始索力［25-26］.因此，主梁上水平軸力HBCi和支座水平力HBe（下標(biāo)e表示邊界）滿足：

式中：SCi表示Ci#拉索初始索力.圖1（c）中，獨(dú)立梁段彼此鉸接，通過引入離散梁段的左右側(cè)剪力以模擬具有分布質(zhì)量的主梁豎向彎曲剛度、拉索間振動(dòng)耦合作用在振動(dòng)過程中的相互影響.梁段間的受力如圖2（a）所示，梁段處的受力如圖2（b）和（c）所示.

圖2 微梁段受力示意圖Fig.2 The force schematic of the micro-beam segment

圖2 中，F(xiàn)B（j-1，j）、FB（j，j+1）表示梁段左右兩側(cè)的剪力；NB（j-1，j）、NB（j，j+1）表示梁段左右兩側(cè)的軸力-表示相鄰梁段間的節(jié)段左右兩側(cè)受到的彎矩作用表示相鄰梁段運(yùn)動(dòng)夾角；aBj表示梁段運(yùn)動(dòng)加速度.考慮系統(tǒng)初始為平衡狀態(tài)，基于D’Alembert 原理可以得到Bj#梁段在豎向的動(dòng)力平衡方程：

式中：VBj（t）表示Bj#梁段與時(shí)間相關(guān)的豎向振動(dòng)位移變化因子，后文中簡(jiǎn)寫為VBj；kT表示斜拉橋主塔對(duì)主梁面內(nèi)豎向自由運(yùn)動(dòng)的剛度彈簧系數(shù)，需依據(jù)圖紙和規(guī)范，以及不同結(jié)構(gòu)體系下塔-梁處的邊界條件進(jìn)行取值.δ(j-ji)為狄拉克（Dirac）函數(shù)，由式（5）～式（6）定義：

值得注意的是，靠近邊界的梁段需根據(jù)結(jié)構(gòu)體系邊界條件進(jìn)行求解運(yùn)算，如附表1所示.

附表1 不同主梁邊界條件下的振動(dòng)方程系數(shù)表達(dá)式Additional Table 1 Expressions of vibration equation coefficients under different boundary conditions of main beams

2 數(shù)學(xué)表達(dá)與驗(yàn)證

2.1 基于有限差分法的方程優(yōu)化

假設(shè)質(zhì)量體系分布較密，梁段間相對(duì)位移較小，則其振動(dòng)的幾何關(guān)系滿足以下關(guān)系式：

圖2（a）中，顯然梁段間存在剪力與彎矩平衡：

由上式可得梁段間剪力、彎矩與振動(dòng)位移間關(guān)系：

對(duì)于無(wú)索區(qū)梁段（即j≠ji），左右側(cè)截面受到同一方向常軸力影響，可以得到：

對(duì)于有索區(qū)梁段（即j=ji），左右側(cè)截面軸力突變量為拉力的水平投影：

整合式（7）～式（15）并代入式（4）后，可以得到Bj#梁段的振動(dòng)方程：

整合B1#～BJ#梁段方程后可以得到斜拉橋面內(nèi)豎向固有振動(dòng)方程：

式中：Γ為等效剪力效應(yīng)系數(shù)矩陣，表征了剪力效應(yīng)對(duì)主梁運(yùn)動(dòng)的影響，與斜拉橋邊界條件有關(guān)；Ξ為等效軸力效應(yīng)系數(shù)矩陣，表征了軸力效應(yīng)對(duì)主梁運(yùn)動(dòng)的影響，與拉索數(shù)量和錨固位置有關(guān)，矩陣具體形式如附錄1 所示皆為相同形式的J維列向量.為避免贅述，在此僅展示形式：

式（20）中：ψBj單位與頻率一致，是Bj#梁段的局部模態(tài)頻率方程，表征了Bj#梁段參與整體模態(tài)的模態(tài)頻率，由κDj、κCi、κSj、κT構(gòu)成.κDj表示索力水平投影，即主梁軸力對(duì)Bj#梁段局部模態(tài)頻率的影響；κCi表示拉索豎向彈性支承作用的影響；κSj表示主梁軸力的影響，系數(shù)λj與斜拉橋邊界條件有關(guān)，具體形式如附表1所示；κT表征了不同結(jié)構(gòu)體系主塔的影響.

2.2 基于特征值法的結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

參數(shù)體系的自由振動(dòng)方程組——式（17）實(shí)際上是一個(gè)J維的齊次方程組，方程有解的前提是系數(shù)矩陣行列式為0.因此，不計(jì)結(jié)構(gòu)阻尼，根據(jù)式（17）構(gòu)造結(jié)構(gòu)特征矩陣形式如下：

式中：MBj表示質(zhì)量對(duì)角矩陣；KBj表示主梁的等效剛度矩陣.根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)理論，構(gòu)造頻率表達(dá)式：

式中：eig 表示求解矩陣特征值與特征向量.采用以上計(jì)算公式和流程求解斜拉橋的面內(nèi)豎向固有振動(dòng)模態(tài)參數(shù)，在確定質(zhì)量矩陣并根據(jù)相應(yīng)結(jié)構(gòu)邊界條件選擇和編輯相應(yīng)軸力與剪力系數(shù)矩陣后，僅需借助MATLAB、Excel 等工具就能簡(jiǎn)單地計(jì)算和求解固有振動(dòng)頻率和振型，無(wú)須進(jìn)行大量細(xì)化的有限元建模分析.本文依托MATLAB編制了運(yùn)行算法程序，其流程如圖3所示.

圖3 斜拉橋面內(nèi)豎向固有振動(dòng)模態(tài)參數(shù)計(jì)算流程Fig.3 The computation solution process of a cable-stayed bridge’s in-plane vertical natural vibration modal properties

2.3 參考文獻(xiàn)算例驗(yàn)證

以2020年Cong 團(tuán)隊(duì)的雙索-梁結(jié)構(gòu)理論解析研究結(jié)果為對(duì)比對(duì)象［14，28］，該研究通過簡(jiǎn)化斜拉橋?yàn)槎嗨?梁動(dòng)力學(xué)模型，考慮結(jié)構(gòu)構(gòu)件間的幾何非線性邊界條件，基于傳遞矩陣法研究了多索斜拉結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性與面內(nèi)外振動(dòng)響應(yīng).其研究模型如圖4所示.

圖4 文獻(xiàn)［14，28］雙索-梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic of a double-cable-beam structure in the references ［14，28］

本文代入了文獻(xiàn)［14，28］參數(shù)，選取主梁劃分節(jié)段參數(shù)d=1 m，即J=300，I=2，運(yùn)用MATLAB 軟件根據(jù)圖3 計(jì)算流程編寫計(jì)算程序，討論和對(duì)比多索斜拉結(jié)構(gòu)的面內(nèi)固有振動(dòng)頻率及以主梁為主要振型的前五階振動(dòng)模態(tài)，如表1所示.

表1 兩索-梁結(jié)構(gòu)面內(nèi)豎向固有振動(dòng)頻率Tab.1 In-pane vertical natural vibration frequencies of the two-cable-beam structure Hz

根據(jù)表1，本文解析法得到的頻率數(shù)值平均絕對(duì)誤差僅為0.2‰，精確度超過了原文解析方法絕對(duì)誤差1.4%.分別按照本文有限元數(shù)值模擬與解析法求解該結(jié)構(gòu)以主梁為主的前五階固有振型，如圖5所示.

圖5 兩索-梁結(jié)構(gòu)的豎向振型Fig.5 Vertical modal shapes of the two cable-beam structure

圖5 顯示兩種方法得到的結(jié)構(gòu)振型一致性良好，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的有效性和準(zhǔn)確性.

3 斜拉橋固有振動(dòng)特性及影響性分析

3.1 斜拉橋模態(tài)分析

以我國(guó)西北地區(qū)某混凝土斜拉橋?yàn)閷?duì)象開展固有振動(dòng)特性及其影響參數(shù)分析.該橋全長(zhǎng)166.8 m（39 m+88.8 m+39 m），采用三跨雙臺(tái)、雙塔、雙索面對(duì)稱布置，墩塔處固結(jié)，為半漂浮支承體系，其立面圖如圖6所示.鋼筋混凝土主梁由節(jié)段預(yù)制雙箱梁和預(yù)制行車道板組合形成，箱梁高1.2 m，橋面凈寬8.5 m.在兩箱梁間錨固板處設(shè)橫系梁一道，縱向長(zhǎng)約0.22 m，為方便引用，匯總主梁各截面參數(shù)設(shè)置如表2 所示；全橋現(xiàn)有48 根斜拉索，從小里程邊跨至大里程邊跨方向以C1#～C24#對(duì)單索面拉索依次編號(hào)，參數(shù)如表3所示（僅示出一側(cè)，另一側(cè)參數(shù)與之相近，斜拉索彈性模量經(jīng)恩斯特公式修正后取200 GPa）.

表2 主梁參數(shù)設(shè)置表Tab.2 Parameters of the beam

表3 斜拉索參數(shù)設(shè)置表Tab.3 Parameters of stay cables

圖6 橋梁立面圖（單位：cm）Fig.6 Bridge elevation drawing（unit：mm）

根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)形式，采用商業(yè)有限元軟件對(duì)該橋進(jìn)行動(dòng)力特性分析，得到該結(jié)構(gòu)前三階自振頻率、振型特征，如圖7所示.

圖7 有限元法得到的斜拉橋前三階固有振動(dòng)模態(tài)參數(shù)Fig.7 The first-three order natural modes of the cable-stayed bridge by the finite element model

為進(jìn)一步對(duì)比和驗(yàn)證本文解析公式的正確性，采用實(shí)橋?qū)崪y(cè)、有限元分析、本文解析三種方法對(duì)該橋進(jìn)行自振特性分析.設(shè)置參考算例參數(shù)詳情如下所示：

1#算例（Referred Case 1#，RC1），實(shí)體結(jié)構(gòu)有限元法：根據(jù)實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)形式，采用商業(yè)有限元軟件對(duì)該橋進(jìn)行動(dòng)力特性分析，識(shí)別該結(jié)構(gòu)自振頻率、振型特征等.

2#算例（Referred Case 2#，RC2），現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)法：在橋梁邊跨0.4L（L表示跨徑）截面及中跨跨中截面布設(shè)加速度傳感器，應(yīng)用脈動(dòng)激勵(lì)法進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)試驗(yàn)，識(shí)別大橋前3 階整體模態(tài)的動(dòng)力特性參數(shù)，采用DHSAS 頻譜分析及模態(tài)分析軟件對(duì)其進(jìn)行快速傅里葉變換得到相應(yīng)的功率譜圖，再對(duì)其作進(jìn)一步的頻譜分析可得到橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率、阻尼比.現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)載試驗(yàn)布置如圖8所示.

圖8 現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)載試驗(yàn)Fig.8 On-site dynamic load test

3#算例（Referred Case 3#，RC3），簡(jiǎn)化模型解析法：根據(jù)本文動(dòng)力簡(jiǎn)化模型及振動(dòng)方程，塔梁連接處按照?qǐng)D紙取kT=5.3 × 109N/m，大小里程結(jié)合墩采用簡(jiǎn)支邊界條件，位于主梁同一截面的雙索考慮為動(dòng)力彈簧的并聯(lián)關(guān)系，基于式（17）采取微梁段長(zhǎng)度d1=0.1 m，運(yùn)用MATLAB 軟件根據(jù)圖3 計(jì)算流程編寫計(jì)算程序，對(duì)該結(jié)構(gòu)的面內(nèi)豎向模態(tài)頻率和振型進(jìn)行了計(jì)算和分析.

匯總以上工況下得到的該橋以主梁面內(nèi)豎向?yàn)橹饕裥偷那叭A自振頻率，如表4所示.

表4 斜拉橋面內(nèi)豎向固有振動(dòng)頻率Tab.4 In-plane vertical natural vibration frequencies of the cable-stayed bridge Hz

表4 中，若以實(shí)橋測(cè)得的模態(tài)參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，有限元法得到的結(jié)果的絕對(duì)誤差平均值為3.3%，而本文解析法得到的結(jié)果的絕對(duì)誤差平均值為2.7%.此外，相較于其他兩種結(jié)果，實(shí)測(cè)頻率值整體偏小，這是由于該橋建設(shè)時(shí)間較長(zhǎng)，結(jié)構(gòu)剛度在通行運(yùn)營(yíng)中有所下降.匯總RC1 和RC3 工況下得到的該斜拉橋前三階豎向固有振型，如圖9所示.

圖9 RC1、RC3工況下的斜拉橋前三階面內(nèi)豎向振型Fig.9 The first three order modes of cable-stayed bridge under the conditions of RC1 and RC3

圖9 中兩種工況下結(jié)構(gòu)面內(nèi)豎向前三階振型一致性良好，上述情況進(jìn)一步說(shuō)明了本文方法計(jì)算斜拉橋面內(nèi)豎向固有振動(dòng)模態(tài)參數(shù)的精確性和適用性.

3.2 梁軸力對(duì)斜拉橋豎向模態(tài)的影響

為研究索力水平投影為梁提供的軸向力對(duì)斜拉橋面內(nèi)豎向振動(dòng)模態(tài)參數(shù)的影響，引入μa表示軸向力對(duì)Bj#梁段動(dòng)平衡方程的放大系數(shù)，由式（28）定義：

按照本文解析法研究成果，基于RC3參數(shù)設(shè)置，圖10展示了軸力對(duì)斜拉橋固有振型的影響，圖11展示了軸力對(duì)斜拉橋固有振動(dòng)頻率的影響.

圖10 軸力對(duì)斜拉橋豎向固有振型的影響Fig.10 Influence of the axial force on the vertical natural modes of the cable-stayed bridge

圖11 梁軸力對(duì)斜拉橋面內(nèi)豎向頻率的影響Fig.11 Influence trends of the beam’s axial force on the in-plane vertical frequencies of the cable-stayed bridge

圖12 μa與結(jié)構(gòu)前五階頻率關(guān)系Fig.12 Relation between the first-five order in-plane vertical frequencies with μa

圖12 顯示，μa<28 時(shí)，V1～V5 隨軸力增大而呈現(xiàn)線性緩慢下降.當(dāng)μa達(dá)到30 左右時(shí)，V1 發(fā)生頻率躍遷現(xiàn)象，此時(shí)盡管V2頻率數(shù)值低于V1，但V1的振型是結(jié)構(gòu)的一階振型.當(dāng)μa達(dá)到34.4時(shí)，V1～V3值產(chǎn)生共軛對(duì)稱解，其頻域信號(hào)值幅值相同而相位不同，而V2 在μa接近38.7 時(shí)急速下降為0，此時(shí)斜拉橋一階固有振動(dòng)頻率為0，結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn).表明從軸力角度考慮，該橋目前暫無(wú)整體失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)，只有當(dāng)軸力達(dá)到現(xiàn)有軸力38 倍以后會(huì)出現(xiàn)整體失穩(wěn)現(xiàn)象.此外，隨著結(jié)構(gòu)軸力的增大，結(jié)構(gòu)基頻將發(fā)生躍遷，結(jié)構(gòu)體系內(nèi)易產(chǎn)生非線性內(nèi)共振，需進(jìn)行更深入的研究.

3.3 斷索對(duì)斜拉橋面內(nèi)豎向模態(tài)的影響

從式（20）與式（22）中可發(fā)現(xiàn)，斜拉橋拉索為主梁提供了軸力與彈性支撐作用（kBCi），為結(jié)構(gòu)提供了有效剛度.因此，結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)模態(tài)頻率與每一根拉索息息相關(guān).以此實(shí)體結(jié)構(gòu)為背景，模擬單拉索出現(xiàn)斷裂的極端情況對(duì)結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)頻率及振型的影響，圖13顯示了該工況下低階頻率變化規(guī)律.

圖13 不同位置的拉索斷裂對(duì)結(jié)構(gòu)V1～V5頻率的影響Fig.13 Influence on the V1～V5-order modal frequencies when cables of different positions broke down

拉索的索力水平投影對(duì)主梁產(chǎn)生的軸壓力降低了整體剛度，而其豎向彈性支承作用則增大了整體剛度，兩者作用下使得斷索對(duì)結(jié)構(gòu)基頻影響較小，如圖13 所示.此外，左右側(cè)索面斷索后影響效應(yīng)變化規(guī)律基本一致，其中中跨拉索斷裂對(duì)V1、V2和V5影響較大，而邊跨拉索對(duì)V3 和V4 影響較大，對(duì)比圖10中結(jié)構(gòu)前五階面內(nèi)豎向振型，表明斷索后的影響效應(yīng)與該拉索對(duì)應(yīng)的主梁質(zhì)點(diǎn)的振型參與系數(shù)相關(guān).拉索發(fā)生損傷甚至斷裂會(huì)改變結(jié)構(gòu)整體頻率，因此，當(dāng)此情況發(fā)生時(shí)需進(jìn)一步考慮結(jié)構(gòu)因局部-整體模態(tài)耦合發(fā)生非線性共振的問題.

4 結(jié)論

1）本文方法考慮了主梁截面的變剛度、變軸力作用，建立的斜拉橋整體模態(tài)動(dòng)力學(xué)模型更貼近工程實(shí)際結(jié)構(gòu).通過代入已有文獻(xiàn)中理論模型算例參數(shù)并對(duì)比其理論計(jì)算結(jié)果，本文方法計(jì)算結(jié)果平均誤差率為0.2‰；代入某斜拉橋參數(shù)并對(duì)比其面內(nèi)豎向固有振動(dòng)頻率實(shí)測(cè)值，本文方法計(jì)算結(jié)果誤差率為2.7%，進(jìn)一步說(shuō)明本文解析方法具有較高的精確度和較好的適用性.

2）斜拉橋低階面內(nèi)豎向固有振動(dòng)頻率隨著軸力增加而降低，振型基本無(wú)變化，當(dāng)軸力增加到一定值后，結(jié)構(gòu)的低階面內(nèi)豎向整體模態(tài)頻率將發(fā)生頻率躍遷、分叉現(xiàn)象.

3）斜拉橋發(fā)生斷索對(duì)整體結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)頻率影響較小，斷索對(duì)各階頻率值影響效應(yīng)與拉索錨固處主梁的對(duì)應(yīng)階次振型參與系數(shù)相關(guān).

4）本文方法為快速計(jì)算斜拉橋整體模態(tài)頻率以避免斜拉橋整體-局部模態(tài)耦合而發(fā)生非線性內(nèi)共振問題提供了有效幫助.下一步將考慮拉索、主塔與主梁間幾何非線性邊界條件，通過建立更加細(xì)化的斜拉橋整體動(dòng)力學(xué)模型開展斜拉橋的相關(guān)非線性共振研究.

附錄1

為簡(jiǎn)化表達(dá)，定義Pp和Pp，q表達(dá)式為：

Ξ為推導(dǎo)得到的子項(xiàng)系數(shù)矩陣，如式（a-3）所示，其與拉索數(shù)量、錨固位置有關(guān).不同主梁邊界條件下的振動(dòng)方程系數(shù)表達(dá)式見附表1.

附錄2

系數(shù)矩陣的具體形式與邊界條件相關(guān)，本文簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支表達(dá)式如式（b-1）所示.

系數(shù)矩陣的具體形式與拉索數(shù)量、錨固位置、邊界條件相關(guān)，本文簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支表達(dá)式如式（b-2）所示.