李芳

［摘? 要］ 初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題部分給學(xué)生提出了較高的要求，既需要他們掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，又需要他們對(duì)知識(shí)的應(yīng)用有最基本的理解，并針對(duì)不同內(nèi)容做適應(yīng)性呈現(xiàn). 因此，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)隨時(shí)關(guān)注學(xué)生的知識(shí)掌握情況，結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行指導(dǎo)訓(xùn)練，以提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 在此過(guò)程中，對(duì)于解題能力的發(fā)展，研究者認(rèn)為，提升審題分析能力、發(fā)展模型構(gòu)建能力、擁有必要的解題技巧是幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn). 文章從這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)著眼，展開(kāi)具體的探索.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；解題能力；教學(xué)方法

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是，以所學(xué)教材知識(shí)為藍(lán)本，教會(huì)學(xué)生順利處理生活中的各類(lèi)問(wèn)題. 這一目標(biāo)既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的初衷，又直接與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展需求相關(guān)聯(lián). 換言之，教育的最終目的是服務(wù)學(xué)生發(fā)展和社會(huì)發(fā)展. 所以教師教學(xué)時(shí)應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生答題、解題的能力.

解題能力的培養(yǎng)對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)是一個(gè)老生常談的話題. 盡管是一個(gè)老話題，但具有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，尤其是具有教學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，這個(gè)話題在任何教育背景下都有探究的意義和價(jià)值. 無(wú)論是從應(yīng)試的角度看，還是從學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的角度看，解題能力的培養(yǎng)都是一個(gè)繞不開(kāi)的話題. 畢竟無(wú)論在怎樣的教育理念之下，解題能力都反映著一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而學(xué)習(xí)能力是分析能力、邏輯思考能力、概括能力等諸多能力的組合. 正是這些能力的組合運(yùn)用，才使得學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)后能表現(xiàn)出相應(yīng)的解題能力.

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師為了提高學(xué)生的應(yīng)用題解題能力，常采用讓學(xué)生進(jìn)行多種題型的重復(fù)訓(xùn)練的方法. 坦率地說(shuō)，這種教學(xué)方法成本較低（教學(xué)成本低與學(xué)習(xí)成本低是不同的概念），因?yàn)閷?duì)教師來(lái)說(shuō)，只要在日常的訓(xùn)練題目當(dāng)中，尤其是考試題目當(dāng)中，把題目綜合起來(lái)，然后分類(lèi)，再讓學(xué)生系統(tǒng)訓(xùn)練，就可以培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)的解題能力了. 但這種培養(yǎng)能力的思路有一個(gè)缺點(diǎn)，那就是對(duì)于訓(xùn)練過(guò)的題型，學(xué)生具有相應(yīng)的解題思路，但對(duì)于新穎的題目，他們往往束手無(wú)策. 在這種情況下，教師只能想方設(shè)法地搜集更多的題型讓學(xué)生訓(xùn)練，不過(guò)歸根結(jié)底，這種教學(xué)方法并沒(méi)有讓學(xué)生形成屬于自己的解題策略和能力.

要改變這種教學(xué)現(xiàn)狀，教師就必須尋找新的培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略. 基于此，教師首先要明確：應(yīng)用題來(lái)源于生活，而且很多都來(lái)自平時(shí)的生活現(xiàn)象. 應(yīng)用題教學(xué)能讓學(xué)生潛移默化地學(xué)到如何用所學(xué)知識(shí)去審視、處理生活問(wèn)題，同時(shí)解題過(guò)程具有鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、積累學(xué)習(xí)方法的作用，所以能不斷拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)學(xué)科之間的距離.

幫助學(xué)生提升審題分析能力

解決具體問(wèn)題時(shí)，審題是關(guān)鍵，不僅如此，審題還是解決問(wèn)題的前提. 應(yīng)用題有較多的文字描述類(lèi)內(nèi)容，同其他題型相比，信息量非常大. 對(duì)于應(yīng)用題，關(guān)鍵信息、核心問(wèn)題等均融于文字?jǐn)⑹鲋?，所以需要學(xué)生擁有足夠的審題能力. 從另一個(gè)角度來(lái)看，審題能力其實(shí)可以理解為閱讀理解能力. 在實(shí)際教學(xué)中，審題不清是一個(gè)比較典型的、難以避免的學(xué)生常犯的錯(cuò)誤. 因此，教師要在教學(xué)期間培養(yǎng)學(xué)生的審題能力. 那如何培養(yǎng)呢？方法有二，一是教師要引導(dǎo)學(xué)生形成提取信息的意識(shí)，即注意到應(yīng)用題的文字?jǐn)⑹霾⒎撬袃?nèi)容都和解題有關(guān)，要從整段文字中找到與解題有關(guān)的內(nèi)容，提取關(guān)鍵詞匯、關(guān)鍵數(shù)字，并留意單位及“不超過(guò)”“不少于”等說(shuō)法；二是教師要致力于培養(yǎng)學(xué)生分析信息、處理信息的能力，要讓學(xué)生在完成信息提取任務(wù)后，自覺(jué)地做好信息的分析與整理工作，并將分析與整理好的信息運(yùn)用到解題當(dāng)中.

提升分析能力是解決應(yīng)用題、發(fā)展應(yīng)用題解題能力的基礎(chǔ). 要培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)分析能力，需建立在前述審題能力形成的前提之下. 學(xué)生通過(guò)審題，可以提取到足夠多的有效信息，接下來(lái)只要分析這些有效信息，就能發(fā)現(xiàn)正確的求解思路. 通常，應(yīng)用題的背景均是學(xué)生比較熟悉的生活情境，所以分析應(yīng)用題，也是培養(yǎng)學(xué)生分析生活問(wèn)題能力的絕佳機(jī)會(huì). 審題完成后，教師可以同學(xué)生一起利用作圖、列表等方式，研究題目中條件與條件之間的關(guān)聯(lián)，從邏輯的角度，確認(rèn)列式步驟與正確算法，最終得到答案. 總的來(lái)說(shuō)，審題是解題的前提，分析能力是解決應(yīng)用題的中心環(huán)節(jié).

此處需特別說(shuō)明，在日常教學(xué)中，教師一定要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)，審題時(shí)不要膚淺地理解題意. 日常教學(xué)中，教師常常讓學(xué)生畫(huà)出題目中的關(guān)鍵詞. 這種策略能否有效提升學(xué)生的解題能力呢？筆者通過(guò)多年的跟蹤觀察及對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)這種策略對(duì)提升學(xué)生的解題能力來(lái)說(shuō)基本無(wú)效. 其中一個(gè)明顯的現(xiàn)象是，一些成績(jī)較差、解題能力較弱的學(xué)生也在題目上圈圈畫(huà)畫(huà)，但他們?nèi)Ξ?huà)的很多不是關(guān)鍵詞，即使是關(guān)鍵詞，也是碰巧，屬于“瞎貓碰上死老鼠”. 這種模仿式的圈畫(huà)關(guān)鍵詞，對(duì)他們來(lái)說(shuō)就是走了一個(gè)形式，并不能讓他們真正地學(xué)會(huì)審題. 所以，審題實(shí)際上是一個(gè)互動(dòng)過(guò)程，學(xué)生通過(guò)閱讀題目，把題目中的信息輸入大腦，大腦將這些信息與已有信息進(jìn)行互動(dòng)、連接，并結(jié)合題目所提問(wèn)題進(jìn)行判斷，看看題目中的哪些詞語(yǔ)能夠?qū)忸}產(chǎn)生關(guān)鍵作用. 有了這樣的基礎(chǔ)，學(xué)生才能判斷出哪些是關(guān)鍵詞，而為了避免后續(xù)解題時(shí)忘記這些關(guān)鍵詞，就需要對(duì)這些關(guān)鍵詞進(jìn)行圈畫(huà). 所以，圈畫(huà)關(guān)鍵詞實(shí)際上是審題的結(jié)果，而不是審題的前提. 如果弄錯(cuò)了這個(gè)關(guān)系，審題就本末倒置了，而所謂的培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，也會(huì)變得形式化.

促進(jìn)學(xué)生發(fā)展構(gòu)建模型的能力

建構(gòu)模型的能力對(duì)解題而言至關(guān)重要，且不說(shuō)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模，就拿日常的習(xí)題教學(xué)來(lái)說(shuō)，無(wú)論學(xué)生是否意識(shí)得到，都存在一個(gè)基本規(guī)律，那就是要想成功解題，就必須建構(gòu)相應(yīng)的模型. 此處提到的模型并不是一個(gè)抽象的概念，它對(duì)應(yīng)著學(xué)生解題的思路與框架，反映著學(xué)生基于題目所給的信息進(jìn)行加工的能力. 一般來(lái)講，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一道題目時(shí)，要想成功建構(gòu)模型，就必須認(rèn)真審題，加工題目中的關(guān)鍵信息，并將這些關(guān)鍵信息的邏輯關(guān)系梳理清楚，從而形成一個(gè)符合邏輯的因果推理關(guān)系. 當(dāng)學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到這種關(guān)系時(shí)，模型實(shí)際上就已經(jīng)建構(gòu)了. 所以，要發(fā)展學(xué)生建構(gòu)模型的能力，除了要培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息之間的聯(lián)系，讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，將這些信息串聯(lián)起來(lái). 當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)建構(gòu)模型的過(guò)程后，他們的模型建構(gòu)能力就能得到發(fā)展.

一般地，應(yīng)用題涉及的對(duì)象比較多，且數(shù)量關(guān)系、空間形式以及需求關(guān)系等也有極為豐富的表現(xiàn). 所以初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題涉及多種形式：一，數(shù)學(xué)本學(xué)科內(nèi)的一些典型問(wèn)題，如數(shù)字、角度、長(zhǎng)度、體積等；二，與其他學(xué)科交叉的一些問(wèn)題，如熱學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、電學(xué)問(wèn)題等；三，和現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的一些問(wèn)題，如購(gòu)物問(wèn)題、工程問(wèn)題等. 在這些應(yīng)用題中，有些應(yīng)用題由于學(xué)生對(duì)原型了解的程度不夠，所以有必要對(duì)題目原型展開(kāi)豐富的聯(lián)想，這樣才有可能順利理解題意，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的數(shù)量關(guān)系. 而對(duì)題目原型展開(kāi)聯(lián)想，可采用如下方法：從題意出發(fā)，對(duì)曾經(jīng)見(jiàn)過(guò)的、能夠被認(rèn)知的場(chǎng)景做出回想；發(fā)現(xiàn)和類(lèi)比與題意相接近的場(chǎng)景；從原有題意出發(fā)，進(jìn)行相關(guān)實(shí)際場(chǎng)景的想象. 上述幾種方法的恰當(dāng)運(yùn)用，能將實(shí)際模型構(gòu)建過(guò)程勾勒出來(lái)，于是可以把實(shí)際模型抽象、轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型，給解題提供正確的思路.

例如，將一根長(zhǎng)56 cm的鐵絲剪成兩段，讓每段鐵絲都可以圍成一個(gè)正方形. 若由兩段鐵絲圍成的正方形面積之和為100 cm2，那么怎么剪這根鐵絲合適？本題是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型，教師可以借助作圖的方法，啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建抽象模型：若圍成的一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm，而另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為y cm，那么可以通過(guò)列方程組求出答案. 總之，在應(yīng)用題教學(xué)期間，教師要強(qiáng)化學(xué)生在應(yīng)用題方面的訓(xùn)練，特別是與模型構(gòu)建有關(guān)的訓(xùn)練，這是學(xué)生解題方法與技巧產(chǎn)生的主要環(huán)節(jié).

引導(dǎo)學(xué)生形成解題思想、技巧

教師需要在培養(yǎng)學(xué)生審題能力、分析問(wèn)題能力、構(gòu)建模型能力的同時(shí)，讓學(xué)生在解題思想和解題技巧方面有所收獲. 實(shí)際上，每個(gè)學(xué)生在解題的過(guò)程中都會(huì)有屬于自己的認(rèn)識(shí)，只不過(guò)這些認(rèn)識(shí)對(duì)于有些學(xué)生來(lái)說(shuō)是清晰的，對(duì)于有些學(xué)生來(lái)說(shuō)則是模糊的. 對(duì)于后者，教師要想方設(shè)法讓模糊的認(rèn)識(shí)顯性化. 而對(duì)于所有的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們需要認(rèn)識(shí)到自己的解題心得是否存在缺陷，假如存在缺陷，則需要采取一定的措施讓缺陷消失. 事實(shí)證明，對(duì)于初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題，可以采用概念對(duì)比、逆向思維等策略來(lái)求解，下面進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

對(duì)于概念對(duì)比，學(xué)生可能潛意識(shí)里認(rèn)為概念屬于基礎(chǔ)知識(shí)，能在提高學(xué)習(xí)質(zhì)量方面起到一定的作用，但在提高解題能力方面作用不大. 這種矛盾心理造成很多學(xué)生忽視概念學(xué)習(xí)、認(rèn)知與應(yīng)用題解決之間的關(guān)系，繼而讓?xiě)?yīng)用題中的關(guān)鍵字詞等重要信息被忽視，導(dǎo)致主觀臆斷等錯(cuò)誤情況發(fā)生. 所以，初中數(shù)學(xué)教師需加強(qiáng)學(xué)生概念對(duì)比方面的培養(yǎng)，使學(xué)生在解題時(shí)認(rèn)真審視概念的內(nèi)涵和外延，并在對(duì)其進(jìn)行歸納和總結(jié)時(shí)，采用分析、對(duì)比的形式，以理解題意，順利解決問(wèn)題，同時(shí)發(fā)展解題思想.

正向思維和逆向思維對(duì)比法是值得重視的技巧. 在傳統(tǒng)教育模式的影響下，學(xué)生的解題思路過(guò)于單一，針對(duì)逆向思維的變式題探索力度不夠. 針對(duì)這種情況，數(shù)學(xué)教師有必要在進(jìn)行應(yīng)用題教學(xué)時(shí)，同時(shí)從正向、逆向兩個(gè)角度做好變式訓(xùn)練的提升與鞏固工作，這是學(xué)生解題技巧提升的有效策略之一. 例如下面兩個(gè)問(wèn)題的同時(shí)展示，便是一種很好的正向思維、逆向思維技巧訓(xùn)練方法.

問(wèn)題1如圖1所示，△ABC是等腰三角形（AB=AC），直線d是線段AB的中垂線，直線d交AC于點(diǎn)D. 若∠BAC=50°，求∠DBC的度數(shù).

問(wèn)題1比較基礎(chǔ)，無(wú)論是否把它置于生活應(yīng)用場(chǎng)景，學(xué)生都能順利解答.

問(wèn)題2 如圖1所示，△ABC是等腰三角形（AB=AC），直線d是線段AB的中垂線，直線d交AC于點(diǎn)D. 若∠DBC=15°，求∠BAC的度數(shù).

很明顯，問(wèn)題2是問(wèn)題1的逆向推理問(wèn)題. 采用正向思維求解問(wèn)題2雖然行不通，但可以采用方程思想. 學(xué)生可以根據(jù)教師的提示，得到正確答案：設(shè)∠ABD=x°，則∠BAC=x°. 因?yàn)椤螦CB=∠ABC=x°+15°， ∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，所以2（x°+15°）+x°=180°，解得x=50. 所以∠BAC=50°.

解決問(wèn)題1采用的是代數(shù)方法，解決問(wèn)題2采用的是方程思想. 解決這兩道題所需要的思維深度不同，思考角度也各有側(cè)重. 同時(shí)呈現(xiàn)這兩道題，有利于學(xué)生培養(yǎng)逆向思維.

總結(jié)

總而言之，針對(duì)初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，教師既要主動(dòng)做好新型高效課堂教學(xué)模式的探索工作，又要做好強(qiáng)化學(xué)生分析能力與歸納能力的工作，只有這兩方面的工作同時(shí)做好，才有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析能力與思考能力，從而達(dá)到課堂學(xué)習(xí)期間學(xué)生主動(dòng)提出想法、創(chuàng)新解題思路的效果. 在此期間，教師應(yīng)以模式探索和學(xué)生指導(dǎo)工作為指引，全面關(guān)注提升學(xué)生審題分析能力、發(fā)展學(xué)生模型建構(gòu)能力、讓學(xué)生擁有必要的解題技巧等幾個(gè)方面，并采取切實(shí)可行的措施，給學(xué)生未來(lái)充分、深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ).