劉晨霞

摘? 要：數(shù)學(xué)作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)倪壿嬐评砑皩ν昝谰辰绲淖非? 如何讓學(xué)生更加透徹地理解數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)思想，逐漸形成獨立地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，是我們一直在探索的話題. 通過一段時間的研究，發(fā)現(xiàn)在有限的時間內(nèi)高效地記數(shù)學(xué)筆記，能讓學(xué)生很好地感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為高階思維的訓(xùn)練打好堅實的基礎(chǔ)，并能利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想解決實際問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；抽象能力；推理能力；模型觀念

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，在錯綜復(fù)雜的知識背后滲透的是數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)是一門有規(guī)律的學(xué)科，在萬變的題中可尋出相同的思維；數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在對知識的探究過程中要有充分的推理論證；數(shù)學(xué)亦是一門應(yīng)用廣泛的學(xué)科，既可以應(yīng)用于生活，又可應(yīng)用于更高深理論的研究或是跨學(xué)科的研究. 由于數(shù)學(xué)具有抽象性，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)望而生畏. 那么，教師要思考如何讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)并不斷去探究數(shù)學(xué)的奧秘.

作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該充分理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 在教育的道路上，要不斷地探索. 通過實踐，筆者發(fā)現(xiàn)高效地記課堂筆記是關(guān)鍵. 在“雙減”背景下，要減負不減質(zhì). 因此，記筆記要做到恰到好處，既不占用學(xué)生過多的時間，又能把核心內(nèi)容記下來，善于記數(shù)學(xué)筆記往往能達到事半功倍的效果. 下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐經(jīng)驗，對記課堂筆記的有效性進行具體分析.

一、提高學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解

初中階段的數(shù)學(xué)知識既是對小學(xué)階段數(shù)學(xué)基本概念的升華和擴充，也為高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，起到了承上啟下的作用.

學(xué)生若在課堂上的學(xué)習(xí)流于表面，則難以真正理解課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)定義、定理、思想、方法等，教師需要在講解典型例題或習(xí)題時引領(lǐng)學(xué)生記好數(shù)學(xué)筆記.

案例1：平方根與算術(shù)平方根.

在一次關(guān)于平方根與算術(shù)平方根的習(xí)題教學(xué)中，有這樣一道題目：[36]的平方根是多少？大部分學(xué)生給出的答案都是6. 很明顯，學(xué)生對平方根這一知識點是有一定了解的，但是當(dāng)遇到平方根和算術(shù)平方根兩個知識點疊加在一起，且一個知識點用符號語言表示而另一個知識點用文字語言表示時，學(xué)生的思維產(chǎn)生了混亂. 當(dāng)筆者很詳細地講解了算術(shù)平方根及平方根的實際意義、文字語言和符號語言的轉(zhuǎn)化之后，再次展示同類型的題目：[9]的算術(shù)平方根是多少？多數(shù)學(xué)生依然回答是3. 可以看出，學(xué)生對概念的理解依然不夠透徹. 于是筆者繼續(xù)改變教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生以記筆記的形式學(xué)習(xí)，即讓學(xué)生在試卷原題的旁邊直接標(biāo)注（如圖1），這樣既省去了抄題的時間，又能讓學(xué)生很快建立知識點之間的聯(lián)系. 當(dāng)學(xué)生理解了文字語言和符號語言的關(guān)系后，在之后聽講的過程中就可以進行靈活的思維轉(zhuǎn)化了.

善于記課堂筆記，對于知識點掌握不牢固的學(xué)生來說，可以將理解模糊的知識點變得清晰，即便第二天忘記了知識點，翻開筆記，依然可以清晰地回憶起來. 久而久之，學(xué)生就能找回學(xué)習(xí)的自信. 對于基礎(chǔ)知識掌握得比較好的學(xué)生，通過記筆記，可以讓他們對知識點有一個再認(rèn)知的過程，為后續(xù)高階思維的訓(xùn)練打下堅實的基礎(chǔ).

為了讓學(xué)生能高效地記筆記，教師設(shè)計的題目既要基礎(chǔ)、典型，又要少而精. 教師在講解題目的過程中，要深入了解學(xué)生的真實思維活動，通過一系列的數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生感悟知識點與例題的聯(lián)系，體會題目中的條件、結(jié)論之間的聯(lián)系，并引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中記好筆記. 好的筆記可以幫助學(xué)生更快地掌握知識，察覺自己的不足，更高效地學(xué)習(xí)，從而保障課堂學(xué)習(xí)效果.

二、提高學(xué)生的抽象思維、推理能力和模型觀念

1. 提高學(xué)生的抽象思維能力

抽象思維反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，這種思維是在學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和基本技能進行推理的過程中逐漸培養(yǎng)、構(gòu)建起來的能力.

在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的過程中，教師可以通過構(gòu)建抽象思維的模型來引領(lǐng)學(xué)生逐漸形成抽象思維，使學(xué)生學(xué)會用抽象的眼光解決問題.

案例2：代數(shù)式.

冀教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級上冊“3.2 代數(shù)式”的“一起探究”中有如下探究內(nèi)容：圖2是由點組成的n行n列的方陣，圖3是由每條邊上n個點圍成的空心方陣.

教材中，在讓學(xué)生探究空心方陣的點數(shù)和時，直接給出如圖2所示的n行n列的實心點陣圖的總點數(shù)為[n2]，如圖3所示的空心點陣圖的總點數(shù)為[n2-n-22]，對此一部分學(xué)生難以理解. 筆者采用由具體向抽象過渡的思維設(shè)計關(guān)于此題的探究，先讓學(xué)生探究2行2列、3行3列、4行4列的實心點陣圖中總點數(shù)的求法，然后上升到探究n行n列的實心點陣圖的總點數(shù)，讓學(xué)生感知什么是具體、什么是抽象，然后繼續(xù)探究n行n列的空心點陣圖的總點數(shù)，整個探究過程由學(xué)生獨立完成. 教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從不同角度利用抽象思維解決問題. 通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生獨立思考后給出了如下的方法：利用n行n列的實心點陣圖減去[n-2]行[n-2]列實心點陣圖的總點數(shù)，得到如圖3所示的空心點陣圖的總點數(shù).

此時學(xué)生的抽象思維剛剛建立，教師需要引領(lǐng)學(xué)生記好相應(yīng)的筆記. 因為在記筆記的同時，學(xué)生會逐步理解上述方法，同時又會產(chǎn)生其他的思維過程，使思路得到拓展. 此時，筆者讓學(xué)生進行小組交流討論，相互學(xué)習(xí)更多的解決問題的方法，并逐一講解. 學(xué)生展現(xiàn)了如圖4 ～ 6所示的求空心點陣圖的總點數(shù)的方法. 然后筆者讓學(xué)生把每一種探究方法都做好標(biāo)注，寫好推理過程. 最終，使抽象的思維逐漸內(nèi)化成學(xué)生的能力，讓學(xué)生在以后學(xué)習(xí)的過程中能應(yīng)用這一能力解決問題.

在課堂上或是作業(yè)設(shè)計上，教師可以選取抽象思維能力比較明顯的題目引領(lǐng)學(xué)生記筆記. 在推導(dǎo)一個公式或是一個結(jié)論時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生記下推導(dǎo)的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象再到具體的完整的數(shù)學(xué)抽象過程，熟悉數(shù)學(xué)抽象的基本套路，感知抽象的必要性. 學(xué)生在記筆記的同時也是對知識的再認(rèn)識過程，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的抽象思維與概念、命題之間的聯(lián)系和區(qū)別. 這樣就可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體會數(shù)學(xué)的抽象性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì). 因此，教師在課堂教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生有效地記筆記，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維，幫助學(xué)生建立良好的思維習(xí)慣.

2. 提高學(xué)生的推理能力

推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力. 推理能力主要是運用合情推理去獲得理解數(shù)學(xué)定義、基本事實、定理等知識或探究解決問題的方法，獲得發(fā)現(xiàn)、得出猜想或結(jié)論，并用推理對所得出的猜想加以檢驗、證明. 這種能力的培養(yǎng)是一個漫長的過程. 教師要引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明的真實數(shù)學(xué)問題探索中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力. 在能力培養(yǎng)的初期，教師可以引領(lǐng)學(xué)生在關(guān)鍵步驟做好標(biāo)注，把推理的思維過程展示出來，逐漸讓學(xué)生感悟并提升推理能力.

案例3：“平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用”作業(yè)設(shè)計.

在學(xué)習(xí)教材七年級下冊“7.4 平行線的判定”和“7.5 平行線的性質(zhì)”兩節(jié)課后，筆者布置了以下作業(yè).

如圖7，直線EF分別與直線AB，CD交于點E，F(xiàn). EM平分∠BEF，F(xiàn)N平分∠CFE，且EM∥FN. 試說明：AB∥CD.

這道題目很基礎(chǔ)，但是對于初步接觸演繹推理的學(xué)生來說具有一定的難度. 學(xué)生推理能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，需要在學(xué)生具備一定的基礎(chǔ)知識的前提下逐漸建構(gòu). 所以，筆者先引導(dǎo)學(xué)生將此題中涉及的知識點進行整理（如圖8）. 這道題主要涉及以下三個知識點：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；角平分線的定義. 對于平行線的性質(zhì)和判定的學(xué)習(xí)，以及如何正確地將文字語言轉(zhuǎn)化成推理過程都是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點. 那么一個好的筆記可能會讓學(xué)生茅塞頓開，從而真正理解數(shù)學(xué)知識. 接下來，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用等量代換、知識點的傳遞性等進行知識的鏈接、轉(zhuǎn)化，促使學(xué)生逐漸形成推理能力，從而提升演繹推理能力.

通過記課堂筆記，學(xué)生可以借助文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化構(gòu)建成熟的推理思維. 例如，案例3中，學(xué)生之后可以通過回顧課堂筆記理解此題的解題過程. 推理能力是構(gòu)建在以知識為載體的基礎(chǔ)上的，通過將知識點環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生形成演繹推理能力. 學(xué)生將綜合運用這些能力去解決高階思維的題目，甚至應(yīng)用于生活中或跨學(xué)科領(lǐng)域，從而受益終身.

3. 提高學(xué)生的模型觀念

模型觀念的培養(yǎng)有助于學(xué)生對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識. 從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. 在教學(xué)活動中，教師應(yīng)加強模型觀念的滲透，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實際問題的能力.

案例4：一元一次方程的應(yīng)用.

教材七年級上冊“5.4 一元一次方程的應(yīng)用”第1課時有如下一道思考題：某學(xué)校七年級同學(xué)參加一次公益活動，其中15%的同學(xué)去做保護環(huán)境的宣傳，剩下的170名同學(xué)去植樹、種草. 七年級共有多少名同學(xué)參加這次公益活動？

這節(jié)課是方程應(yīng)用的開篇課程，既是學(xué)生經(jīng)歷用算術(shù)思想解決實際問題過渡到用方程思想解決實際問題的橋梁，又是后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式及函數(shù)等知識的基礎(chǔ). 本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于訓(xùn)練和提升學(xué)生的符號意識、方程思想、模型觀念和應(yīng)用意識. 教師要全方位、多角度地實施教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中總結(jié)通性通法，達到舉一反三的目的，逐漸形成模型觀念. 因此，筆者對這節(jié)課教學(xué)方向的把握就是引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵詞語，提煉題干中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)，確定等量關(guān)系. 為了達到這一目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生做如圖9所示的筆記，發(fā)散學(xué)生的思維.

通過以上等量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生了如下幾種不同的解題方法.

方法1：設(shè)總?cè)藬?shù)為x人，則保護環(huán)境宣傳人數(shù)為15%x人.

列方程得15%x + 170 = x.

解得x = 200.

所以七年級共有200名同學(xué)參加這次公益活動.

方法2：設(shè)保護環(huán)境宣傳人數(shù)為x人，則總?cè)藬?shù)為（x + 170）人.

列方程得15%（x + 170） = x.

解得x = 30. 則x + 170 = 30 + 170 = 200（人）.

所以七年級共有200名同學(xué)參加這次公益活動.

方法3：設(shè)總?cè)藬?shù)為x人，則保護環(huán)境宣傳人數(shù)為（x - 170）人.

列方程得15%x = x - 170.

解得x = 200.

所以七年級共有200名同學(xué)參加這次公益活動.

學(xué)生模型觀念的建立是一個循序漸進的過程，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生的思維經(jīng)歷從相對具體到相對抽象的過程，逐步積累經(jīng)驗，體會模型觀念的重要性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣. 在案例4的教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從具體的問題情境中抽象出等量關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生采用多種方式解決問題. 在這個過程中引導(dǎo)學(xué)生利用筆記整理關(guān)鍵環(huán)節(jié)，如記下方法1 ～ 3，讓學(xué)生通過筆記感知以模型為核心的思維上的靈活多變，學(xué)會利用模型觀念解決同類問題. 因此，筆記要記核心的部分才能畫龍點睛，觸動學(xué)生的思維，點燃學(xué)生的求知欲望.

三、提高學(xué)生的“四基”“四能”

“四基”“四能”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體. 核心素養(yǎng)對“四基”“四能”教學(xué)目標(biāo)提出了更高要求. 例如，要引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的同時，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；在分析問題的同時，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；在用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程中，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界. 因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去分析問題，逐步提升學(xué)生的“四基”，發(fā)展“四能”.

案例5：鏈接中考.

在中考一輪復(fù)習(xí)時有如下一道題目吸引了筆者的注意.

題目? 如圖10，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且BD = [1/2]CD，若△ABD的中線BF = 2，則AC的長為（? ? ）.

此題可以關(guān)聯(lián)的知識點主要有中位線的性質(zhì)定理、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、垂直平分線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定等. 學(xué)生通過獨立思考，給出了以下幾種不同的解題思路.

方法1：如圖11，取AC的中點E，連接DE，EF，構(gòu)建中位線性質(zhì)定理的基本圖形，得出EF∥[CD]，且EF =[1/2CD]，構(gòu)建平行四邊形，最后利用“直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半”解決問題.

方法2：如圖12，依然是利用中位線性質(zhì)定理創(chuàng)設(shè)基本圖形，但是選取邊DC的中點E，連接EF，得[EF∥AC]，且[EF=1/2AC]，再證明BF = EF，從而得出最終結(jié)論.

方法3：根據(jù)已知條件，可以得到Rt△BDF ∽ Rt△CDA，從而利用線段間的比例關(guān)系求得結(jié)論.

筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維起點各異、方法各異. 此題非常適合引導(dǎo)學(xué)生記筆記，以此體會知識點之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力. 于是筆者引領(lǐng)學(xué)生將三種思路以思維導(dǎo)圖的形式整理出來. 在整理的過程中，學(xué)生頭腦中會進行一次更加透徹的認(rèn)知. 經(jīng)常探討一道題的多種解法，既能將所學(xué)知識融會貫通，又能促進學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的牢固掌握，還能積累解題經(jīng)驗，提高分析問題和解決問題的能力.

四、多種形式的筆記有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

當(dāng)學(xué)生具備了一定的記筆記的能力之后，在處理綜合試卷的過程中，就可以靈活地記筆記，表達自己的思想，長期堅持，可以提高學(xué)生的綜合素養(yǎng). 筆者觀察學(xué)生在日常試卷處理過程中所記的筆記，發(fā)現(xiàn)有對知識點的標(biāo)記，有文字語言與圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)化，有數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，有模型的整理，有具體思維到抽象思維的提升. 為了不浪費學(xué)生的時間和精力，教師可以鼓勵學(xué)生在教材上、試卷上、作業(yè)紙上記筆記. 通過筆記，可以看出學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和認(rèn)知程度. 記數(shù)學(xué)筆記時，能充分調(diào)動學(xué)生形成整體的知識結(jié)構(gòu)和連貫的知識體系，為靈活應(yīng)用知識打下堅實的基礎(chǔ). 教師也可以在作業(yè)設(shè)計時選擇典型的題目，既能體現(xiàn)分層，又能適合學(xué)生記筆記，從而實現(xiàn)減負不減質(zhì)的效果.

因此，要想讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有更加透徹的理解，教師要帶領(lǐng)學(xué)生從基礎(chǔ)年級堅持記好數(shù)學(xué)筆記，通過日積月累地記，數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能逐漸內(nèi)化，才能有機滲透于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，才能使學(xué)生真正對數(shù)學(xué)感興趣，從而激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，大膽發(fā)表自己的見解和意見，進行更加深入的研究.

實踐證明，好的筆記具有以下作用. 一方面，可以幫助學(xué)生察覺自己的不足，更好地掌握基礎(chǔ)知識、感悟基本思想、熟練基本技能，最終將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)素養(yǎng)融合為一體，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；另一方面，學(xué)生能在解決實際問題時，不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題，從而完成由知識型向能力型的轉(zhuǎn)化、由封閉型向開放型的轉(zhuǎn)化、由經(jīng)驗型向科研型的轉(zhuǎn)化. 因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生遵循獲取知識和養(yǎng)成能力素養(yǎng)的基本規(guī)律，筑牢根本，守正而后創(chuàng)新.

參考文獻：

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