楊勤春

摘 要：合情推理是根據(jù)已有的事實和結論，推測可能性結論的推理。在數(shù)學教學中，合情推理作為一種重要的思維方式，可以幫助學生更好地理解數(shù)學概念、研究性質、設計習例和歸納方法等數(shù)學教學中的問題。文章以圓錐曲線教學為例，闡述合情推理在數(shù)學教學中的應用。

關鍵詞：合情推理；圓錐曲線；數(shù)學教學

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)[1]，它包括合情推理和演繹推理；合情推理是根據(jù)已有的事實和結論，推測可能性結論的推理，其推理形式主要有類比和歸納。

合情推理與嚴格的演繹推理不同，它注重引導學生觀察、分析、聯(lián)想、比較，再進行類比、歸納，繼而提出猜想，它具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論，探索和提供思路的作用[2]。波利亞提到：“證明某個定理之前，需先經(jīng)歷猜想、推測證明等過程，此過程需要更多的合情推理而非演繹推理[3]?！蓖ǔＧ闆r下，所得到的數(shù)學結論和相應的論證是先靠合情推理發(fā)現(xiàn)的，數(shù)學學習除演繹推理外，合情推理也起著重要作用，它們之間聯(lián)系緊密，相輔相成。根據(jù)高中生心理認知和數(shù)學學科特點，在高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的合情推理，合理且有必要，是發(fā)展學生創(chuàng)造性思維能力的重要組成部分。

合情推理是依據(jù)對象之間存在著一些相同或相似的元素，通過分析比較、歸納聯(lián)想和類比猜測等，找到它們之間具有的一些相同或相似本質屬性的思維方法。而圓錐曲線中的圓、橢圓、雙曲線和拋物線不管在定義上，還是在性質和方法上，都有存在可類比和歸納的地方，圓錐曲線成了教師和學生進行合情推理的好素材；合情推理不僅可以幫助學生更好地理解數(shù)學知識，還可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和提高解決數(shù)學問題的能力，文章結合圓錐曲線的教學，談談合情推理在高中數(shù)學教學中的應用。

一、講授圓錐曲線概念時，進行合情推理

數(shù)學概念是數(shù)學教學中最基本的內容，學生只有將數(shù)學概念深入領會，理解其內涵和外延，并嵌入已有的認知結構當中，才能達到對數(shù)學概念的深度學習。因此，教師要認真鉆研教材，知曉概念之間蘊藏的異同點，精心設計概念教學；雖然圓錐曲線的概念有自己的特性，但某些方面也存在共性，教師可以嘗試采用合情推理的思維方式進行教學。

學習橢圓第一定義時，首先讓學生回顧圓的定義，即在平面內，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫作圓，其圓心在原點的標準方程是，此時可以向學生提出這樣問題：在平面內到兩定點、的距離的和等于定長（大于）的點的軌跡將會是什么圖形呢？然后通過“橢圓規(guī)”或者用“幾何畫板”軟件畫出動點的軌跡，發(fā)現(xiàn)它是一個橢圓，引出橢圓的定義，并推出橢圓的標準方程及其相關知識。在雙曲線概念教學中，教師可以以橢圓概念教學為切入點，參照橢圓概念中距離的“和”，學生自然而然聯(lián)想到距離的“差”，于是引導學生提出問題：在平面內到兩定點、的距離的差等于定長的點的軌跡將會是什么圖形呢？也通過“雙曲線規(guī)”或者用“幾何畫板”軟件畫出動點的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)它是一對雙曲線，引出雙曲線的定義，并推出雙曲線的標準方程及其相關知識。用類比法引入概念教學，可以比較自然地從圓的定義到橢圓、雙曲線定義的過渡，對于拋物線的概念教學，可以先展示教材中的兩道橢圓、雙曲線第二定義的典型例題，歸納出橢圓或雙曲線上點的特征，即點（，）到一焦點（，0）的距離與它到一定直線的距離之比為，若0＜＜1，則圖形是橢圓，若＞1，則圖形是雙曲線。基于橢圓或雙曲線第二定義中比值范圍，學生自然而然聯(lián)想到比值為1的情況，于是類比提出問題：若點（，）到一定點的距離與它到一定直線l的距離之比為=1時，問點的軌跡是什么圖形[4]？教師提出新問題，用“幾何畫板”軟件畫出動點的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)它是一條拋物線，引出拋物線的定義，并推出拋物線的標準方程及其相關知識；這樣能顯示出橢圓、雙曲線與拋物線概念間的密切聯(lián)系，揭示了圓錐曲線內在關系，也便于在統(tǒng)一定義中對圓錐曲線進行分類，前后呼應，將這一章節(jié)的概念教學畫了圓滿的“句號”。

教育家維果茨基曾經(jīng)說過，當學生所學內容處于學生的“最近發(fā)展區(qū)”范圍內時，學生更易于接受和理解，教師平常要引導學生回顧舊知識，從學生的經(jīng)驗和認知結構出發(fā)，在知識的增長點上，設計出學生容易接納的合情推理情境，這樣有力地保證學生易學、樂學、好學、善學，鼓勵師生共同參與探索數(shù)學概念教學，學生如果在探究過程中遇到困難，教師可以做些提示，引導學生結合舊知識類比歸納，發(fā)現(xiàn)新結論，構建新知識，降低難度，突破難點，舉一反三，觸類旁通，去幫助學生更深層次地認識數(shù)學概念的本質。

二、研究圓錐曲線性質時，進行合情推理

數(shù)學知識之間經(jīng)常以網(wǎng)狀結構呈現(xiàn)，它們之間是相互聯(lián)系，層層推進，高中階段，學生已學過許多數(shù)學定理和性質，教師要善于啟發(fā)學生利用類比、聯(lián)想、猜測、歸納等思維活動，引導學生回憶一些已知的結論，猜想出一些新的命題，再對新的命題用嚴格的推理加以證明。圓錐曲線除了有統(tǒng)一的定義外，也有一些相似的結論和性質；圓作為最簡單和最特殊的圓錐曲線，有些幾何性質能合情推理到橢圓、雙曲線和拋物線。例如，在學習圓錐曲線性質時，可以想到圓內的兩個非常出名的垂直性質：1.圓心與弦中點的連線垂直于弦，即設線段是圓內不平行于坐標軸的任意一條弦，點是的中點，則有·=-1；2.直徑所對的圓周角是直角，即線段是圓的直徑，、是橢圓內不平行于坐標軸的任意兩條相交弦，則有·=-1。既然圓有這樣的性質，可以引導學生通過類比來產(chǎn)生聯(lián)想，其他圓錐曲線是否也有這方面的性質呢？于是要求學生探索以下問題。

問題1：線段是橢圓內不平行于坐標軸的任意一條弦，點M是弦的中點，求·的值；

問題2：線段是雙曲線內不平行于坐標軸的任意一條弦，點是弦的中點，求·的值；

問題3：線段經(jīng)過橢圓中心的弦，、是橢圓內不平行于坐標軸的任意兩條弦，求·的值；

問題4：線段經(jīng)過雙曲線中心的弦，、是雙曲線內不平行于坐標軸的任意兩條弦，求·的值。

首先，可以把圓心在原點的圓的標準方程轉化成橢圓、雙曲線的標準形式，不難推測有心圓錐曲線均有類似的性質，即當圓錐曲線是橢圓時，則·=-，·=-；當圓錐曲線是雙曲線時，則·=，·=；其實圓錐曲線第二定義和方程結構的相似性，它們之間可類比的結論比較多，可以要求學生在沒有得出答案前，不妨先猜測結論，鼓勵推中有猜，猜中有推。教師經(jīng)常要設置一些相關性的問題，引導學生積極廣泛地歸納類比聯(lián)想，從舊知識聯(lián)想到新知識，從特殊聯(lián)想到一般，這樣有益于學生知識結構系統(tǒng)化，有助于對所學知識的深刻理解，有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性和創(chuàng)造性。

三、設計圓錐曲線習題時，進行合情推理

用合情推理思維方式來設計圓錐曲線的專項習題，它特別注重同類別的“四基”訓練題，還需要適當?shù)貙α曨}進行變式、延伸、推廣和改造，這種做法往往可以把相關的習題歸納為一種專項習題，學生可以全力以赴地解決這一類專項習題，這種專項習題訓練的好處在于學生解決問題過程中所用到的知識點和解決方法相同或相似，舉一反三，融會貫通，會得到一個更加全面性和系統(tǒng)性的收獲，對習題本質屬性有更深的理解。

圓錐曲線的習題經(jīng)常計算煩瑣，提高計算效率和速度，確保解題的準確性，是圓錐曲線解題教學的關鍵部分。教師首先可以設計相似度高且代表性強的習題，和學生一起探討相關的解題技巧，得到一些解題模式和結論。例如，探析圓錐曲線與直線位置關系中，求經(jīng)過圓錐曲線上的一點的切線方程是學生需要掌握的知識和方法，教師不妨設計一組習題。

問題1：求經(jīng)過圓上一點（3，4）的切線方程；

問題2：求經(jīng)過橢圓上一點（3，2）的切線方程；

問題3：求經(jīng)過雙曲線上一點（4，2）的切線方程；

問題4：求經(jīng)過拋物線上一點（2，2）的切線方程。

通過以上例題的訓練，可以讓學生系統(tǒng)掌握求經(jīng)過圓錐曲線上一點的切線方程的方法，認識切線的表達形式，但這還不是最終目的，此時教師可以繼續(xù)設計。

問題5：分別求出經(jīng)過圓錐曲線上一點（，）的切線方程。

進一步引導學生連續(xù)思考和演算，得到它們的一般規(guī)律，即經(jīng)過圓上一點（，）

的切線方程是，經(jīng)過橢圓上一點（，）的切線方程是，經(jīng)過雙曲線上一點（，）的切線方程是，經(jīng)過拋物線上一點（，）的切線方程是。

這種方法設置習題，從圓的切線方程到橢圓、雙曲線和拋物線的切線方程，從特殊到一般，輕松得到了圓錐曲線切線方程的整體知識結構，輕松而高效地掌握有關圓錐曲線的一些二級結論，提高解題速度，也使學生的思維始終處于動態(tài)之中，既能培養(yǎng)學生思維的連貫性，又能領略到數(shù)學的對稱美與和諧美。同時，近年來高考在這個方面也比較重視，改造原有例題已經(jīng)成為試題來源的一個方面。

四、歸納圓錐曲線解法時，進行合理推理

解題時，如果就題論題解題，就不能發(fā)揮習題的全部價值，數(shù)學教學也會變得呆板枯燥，數(shù)學知識各個部分也就失去聯(lián)系。如果在學生解完題之后，引導學生對已解答的習題進行更深入的分析、理解、歸納、總結和升華。教師平時需要注意引導學生通過合理地思考類比歸納，抓住類似事物的本質，找出它們的共同規(guī)律和解法，實現(xiàn)多題一解，促使學生更深刻和更高層次地思考問題。根據(jù)圓錐曲線第二定義和方程結構的相似性，它們之間可類比的解題方法相對比較多，如以下幾道例題。

問題1：橢圓，求該橢圓所有斜率為0.5的弦的中點的軌跡方程；

問題2：求以（2，1）為中點的雙曲線：的弦所在直線的方程；

問題3：已知、是拋物線：上的兩點，線段的中點為（2，2），求直線的方程。

以上例題都是與相交弦中點有關，直線與圓錐曲線相交弦問題的常用解法是聯(lián)立方程組，借助韋達定理，遵循“設而不求”理念，明確其中一種題型采用“兩式相減法”求軌跡方程，其他題目也就相應采用這樣的方法。授之以法，并開展一些適量有效的訓練，擴大了解題思路，增強解題思維靈敏性，完成解題后，一定要注重思想方法的提煉，而不提倡刷題。類比方法時也要考慮解題方法的優(yōu)劣，如提煉“求經(jīng)過圓錐曲線上一點（，）的切線方程”的方法時，大部分學生采用通解法，聯(lián)立方程組，消去（或），得到一個關于（或）的一元二次方程，然后根據(jù)判別式等于0，求出切線的斜率，這種常規(guī)解題方法易于想到，但計算量比較大，容易出錯，且花費較多時間，可以考慮其他簡化計算的方法，如果借用導數(shù)幾何意義，數(shù)形結合，利用求導確定在點（，）處的斜率，可使原來復雜的計算過程有效簡化。教師平時多引導和啟發(fā)學生認真觀察題設條件，抓住題型的特征，歸納出同一類型試題的解法，并對解法從不同角度進行對比分析，優(yōu)化解題思路，有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性。

結束語

合情推理是一種高層次和創(chuàng)造性的思維活動，運用合情推理將數(shù)學問題進行同化、順應、推廣和創(chuàng)新，既契合數(shù)學知識本身規(guī)律，也符合學生心理認知規(guī)律。文章介紹了合情推理在圓錐曲線的概念教學、研究性質、習題設計和方法總結等方面的應用，并通過具體案例分析了其實際應用效果?？梢钥闯?，在高中數(shù)學教學中，合情推理可以幫助學生更好地理解數(shù)學概念和解決相關問題，提升他們的數(shù)學思維和解決問題的能力。教師在教學中可以運用合情推理的原理和方法，引導學生解決各種數(shù)學問題。

合情推理也存在一定的不確定性和局限性，由于它是一種基于經(jīng)驗和直覺的推理方法，可能會受到個人認知水平、主觀偏見以及不可抗拒的外部因素的影響，導致結論的不準確或偏差，出現(xiàn)與客觀事實不一定相符的情況。在數(shù)學教學中，教師要不遺余力地指導學生學習合情推理思維方式，多從已有的知識和方法中得到啟發(fā)，洞察和探索研究對象和研究方法，也要提醒他們客觀分析和理性思考，準確地掌握數(shù)學問題的本質，發(fā)現(xiàn)它們具有某種相似性，找到一些可拓展的數(shù)學問題，提升他們的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]陳東珊.中學數(shù)學猜想教學的策略[J].教育，2013（30）：30-31.

[3]曲薇薇.合情推理能力的培養(yǎng)措施[J].數(shù)學教學通訊，2022（3）：65-66.

[4]王海青，曹廣福.高中圓錐曲線的概念教學重構[J].數(shù)學教育學報，2022（4）：7-13.

本文系福建省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“基于深度學習的課堂評價研究”（課題批準號：FJJKZX21-571）的研究成果。