許琳
摘要:數(shù)學(xué)問(wèn)題中的題設(shè)條件或信息在實(shí)際解題過(guò)程中是否得以應(yīng)用是常規(guī)命題的一個(gè)基本框架與預(yù)設(shè).本文結(jié)合一道模擬題,借助題目中的信息,從不同思維視角與技巧方法出發(fā),分析與求解,剖析題設(shè)條件是否全部應(yīng)用.
關(guān)鍵詞:雙曲線;直線;離心率;平面幾何
在求解一些高考模擬題或高考真題時(shí),有時(shí)會(huì)碰到解析過(guò)程中沒(méi)有用到題設(shè)條件中的若干條件或信息,而題目就得以解決,這是否說(shuō)明解析出錯(cuò)?按常規(guī)情況,題設(shè)條件中的所有信息都有一定的用處,若有條件或信息沒(méi)有用到,往往感覺(jué)離錯(cuò)誤已經(jīng)不遠(yuǎn)了.那么現(xiàn)實(shí)是否是這樣的?本文結(jié)合一道模擬題,談?wù)剬?duì)以上問(wèn)題的想法.
1原題呈現(xiàn)
0題目(2023屆福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)數(shù)學(xué)試題·16)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn),A1,A2為C的左、右頂點(diǎn),P為C左支上一點(diǎn),若PO平分∠A1PF2,直線PF1與PA1的斜率分別為k1,k2,且k1=-k2=15,則C的離心率等于.
本題是一道圓錐曲線中有關(guān)雙曲線的離心率的求值問(wèn)題,以平面解析幾何的背景創(chuàng)設(shè),合理融入平面幾何圖形的相關(guān)知識(shí),結(jié)合了平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線定理,平面解析幾何中的直線的斜率等相關(guān)知識(shí)點(diǎn),很好交匯了平面幾何與平面解析幾何、以及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí),是一道新穎創(chuàng)新的好題.
2問(wèn)題破解
2.1思維視角1:平面幾何思維
0方法1:平面幾何法1
0解析:如圖所示,OA1=a,OF2=c,
易知S△POA1:S△POF2=a∶c,
而
S△POA1=12×PA1×PO×sin∠OPA1,
S△POF2=12×PF2×PO×sin∠OPF2,
結(jié)合PO平分∠A1PF2,知∠OPA1=∠OPF2,則有PA1∶PF2=a∶c.
過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B,
由于k1=-k2=15,知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱(chēng),即有PF1=PA1,所以PF1∶PF2=a∶c.
結(jié)合雙曲線的定義,知PF2-PF1=2a,解得PF1=2a2c-a,而A1F1=c-a,可得BF1=c-a2.
設(shè)直線PF1的傾斜角為α,則k1=tanα=15,可得cosα=14,
所以在Rt△PBF1中,cosα=BF1PF1=14,
即c-a2×c-a2a2=14,整理可得c=2a,
所以雙曲線C的離心率e=ca=2,故填答案:2.
0解后反思:根據(jù)平面幾何圖形的特征轉(zhuǎn)化,通過(guò)三角形的面積及其性質(zhì)來(lái)確定線段的比例關(guān)系,利用幾何作圖以及雙曲線的定義轉(zhuǎn)化,結(jié)合三角函數(shù)的定義以及解直角三角形來(lái)構(gòu)建雙曲線中的基本量a,b,c之間的關(guān)系式,得以求解相應(yīng)的離心率.平面幾何法處理過(guò)程中,直觀形象和數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題中比較常用的一種技巧方法.
0方法2:平面幾何法2
0解析:過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B,而k1=-k2=15,則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱(chēng),即有PF1=PA1,因?yàn)锳1F1=c-a,則BF1=c-a2.
設(shè)直線PF1的傾斜角為α,則k1=tanα=15,可得cosα=14,
在Rt△PBF1中,cosα=BF1PF1=14,
可得PF1=4BF1=2c-2a,
結(jié)合雙曲線的定義,可得PF2=PF1+2a=2c.
又PO平分∠A1PF2,結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理,有PA1PF2=OA1OF2=ac,即PF1PF2=ac,
則有2c-2a2c=ac,即c=2a,所以雙曲線C的離心率e=ca=2,故填答案:2.
0解后反思:根據(jù)平面幾何圖形的特征轉(zhuǎn)化,從另一個(gè)視角來(lái)分析與求解,與方法1的思維方式大體雷同,只是求解起來(lái)更加緊湊、更加流暢、更加簡(jiǎn)捷.這里回歸初中階段直角三角形中的三角函數(shù)的定義,并結(jié)合雙曲線的定義,是破解問(wèn)題的關(guān)鍵所在.平面幾何圖形的直觀形象以及數(shù)形結(jié)合應(yīng)用,也是解決問(wèn)題中的重點(diǎn)之一.
2.2思維視角2:解三角形思維
0方法3:解三角形法
0解析:過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B,而k1=-k2,則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱(chēng),即有PF1=PA1,
且PO平分∠A1PF2,結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理,有PA1PF2=OA1OF2=ac,即PF1PF2=ac.
結(jié)合雙曲線的定義,可得PF1PF1+2a=ac,解得PF1=2a2c-a,則PF2=PF1+2a=2acc-a.
設(shè)直線PF1的傾斜角為α,則k1=tanα=15,可得cosα=14,
在△PF1F2中,利用余弦定理,可得
cosα=PF21+F1F22-PF222PF1×F1F2=14,
則有2a2c-a2+4c2-2acc-a22×2a2c-a×2c=14,整理可得2c4-4ac3-a2c2+a3c+2a4=0,即2e4-4e3-e2+e+2=0,亦即(e-2)(e-1)(2e2+2e+1)=0,解得e=2或e=1(舍去),
所以雙曲線C的離心率e=2,故填答案:2.
0解后反思:根據(jù)平面幾何圖形的特征轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線定理,確定各對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度,結(jié)合解三角形中的余弦定理來(lái)構(gòu)建雙曲線中的基本量a,b,c之間的關(guān)系式,利用四次方程的轉(zhuǎn)化與求解來(lái)達(dá)到目的.這里在構(gòu)建含基本量的關(guān)系式時(shí),數(shù)學(xué)運(yùn)算量比較大,導(dǎo)致部分學(xué)生不易上手或無(wú)法解決.
2.3思維視角3:解析幾何思維
0方法4:解析幾何法
0解析:過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B,而k1=-k2=15,則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱(chēng),
由于A1F1=c-a,可得BF1=c-a2,PB=15(c-a)2,則知P-a+c2,15(c-a)2,
且P為C左支上一點(diǎn),則有
(a+c)24a2-15(c-a)24b2=1,
結(jié)合b2=c2-a2,整理可得c2+4ac-12a2=0,即e2+4e-12=0,解得e=2或e=-16(舍去),
所以雙曲線C的離心率e=2,故填答案:2.
0解后反思:根據(jù)平面幾何圖形的幾何特征,直接確定點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而代入雙曲線方程,整理得到雙曲線中的基本量a,b,c之間的關(guān)系,從而得以求解相應(yīng)的離心率.利用解析幾何法處理問(wèn)題時(shí),題目條件“PO平分∠A1PF2”在實(shí)際求解過(guò)程中并沒(méi)有涉及與應(yīng)用,是本題的一個(gè)多余條件.
0方法5:焦半徑公式法
0解析:過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B,而k1=-k2,則知PF1和PA1關(guān)于PB對(duì)稱(chēng),即有PF1=PA1,
又A1F1=c-a,可得BF1=c-a2,則有OB=c-c-a2=a+c2,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP=-a+c2.
由于P為C左支上一點(diǎn),
根據(jù)雙曲線的焦半徑公式,可知
PF1=-(exP+a)=ac+c2-2a22a,
PF2=-(exP-a)=ac+c2+2a22a,
而PO平分∠A1PF2,結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理,有PA1PF2=OA1OF2=ac,
則有ac+c2-2a22aac+c2+2a22a=ac,
整理可得c3-3a2c-2a3=0,
即e3-3e-2=0,亦即(e-2)(e+1)2=0,
解得e=2或e=-1(舍去),所以雙曲線C的離心率e=2,故填答案:2.
0解后反思:根據(jù)圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論——雙曲線的焦半徑公式,結(jié)合點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的確定得以求解對(duì)應(yīng)的焦半徑,利用三角形內(nèi)角平分線定理來(lái)構(gòu)建雙曲線中的基本量a,b,c之間的關(guān)系式,最近通過(guò)對(duì)三次方程的求解來(lái)解決本題.利用焦半徑公式法處理問(wèn)題時(shí),題目條件“k1=-k2=15”中的具體數(shù)據(jù)在實(shí)際求解過(guò)程中并沒(méi)有涉及與應(yīng)用,是本題的一個(gè)多余條件.
3問(wèn)題商榷
當(dāng)然本題也有一點(diǎn)小爭(zhēng)議值得大家商榷,大多數(shù)解題者都認(rèn)為平面幾何中的“三角形內(nèi)角平分線”這個(gè)條件和“直線的斜率互為相反數(shù)”這個(gè)數(shù)據(jù),這兩者之間,其中有一個(gè)條件是多余的,可見(jiàn)具體解決過(guò)程.
上述爭(zhēng)議,是否代表著一種特殊命題方式與命題方向呢?在此類(lèi)創(chuàng)新問(wèn)題中,若題設(shè)中的條件如果少了,題目無(wú)法解決;但題設(shè)中的條件多了,對(duì)解題沒(méi)有什么影響,而在于同學(xué)們選取其中哪一個(gè)條件進(jìn)行解題,或解答過(guò)程中是否全面考慮題設(shè)中的所有信息條件等.
開(kāi)放性條件或開(kāi)放性結(jié)論,都是新高考創(chuàng)新性題型之一,而以上多余條件的開(kāi)放命題方式有時(shí)也是一種不錯(cuò)的嘗試,利用一些相關(guān)的方法解決時(shí)可以用到所有條件,而利用其他一些相關(guān)的方法解決時(shí)可以缺少其中個(gè)別條件,也給創(chuàng)新命題提供一個(gè)更加特殊的平臺(tái).