劉麗微

摘 要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，平面幾何的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來(lái)講存在一定的困難，這主要是由平面幾何的特點(diǎn)決定的，平面幾何具有抽象性、空間性，學(xué)生不能直觀地學(xué)習(xí)平面幾何。通過(guò)幾何變換能夠使學(xué)生更加清楚明了地學(xué)習(xí)平面幾何所具有的特征，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)平面幾何理解困難的問(wèn)題和疑惑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；初中；平面幾何

一、旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換是平面到它自身的變換，使原點(diǎn)O變換到它自身，其他任何點(diǎn)X變到X′，使得：（1）OX′=OX；（2）∠XOX′=θ（定角），則稱(chēng)這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換，O稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)變換后保持圖形不變，但圖形方位可能有變化（與旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)）。學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)變換過(guò)程中，可以先從中心對(duì)稱(chēng)變換入手學(xué)習(xí)，中心對(duì)稱(chēng)變換是旋轉(zhuǎn)變換的特例，可以更直觀地讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)變換的概念，但是中心對(duì)稱(chēng)變換又不同于軸對(duì)稱(chēng)變換：中心對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)中心是一點(diǎn)，而軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)中心是一條直線(xiàn)，一個(gè)實(shí)現(xiàn)圖形的旋轉(zhuǎn)，一個(gè)實(shí)現(xiàn)圖形的翻轉(zhuǎn)，但是兩者的共同點(diǎn)是圖形都不變。在幾何解題中，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但改變其位置，使能組合成新的有利論證的圖形。例如，△ABC通過(guò)中心對(duì)稱(chēng)變換，在同一平面上得到完全相同的△A′B′C′，只不過(guò)圖形發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，角度是180°，方向有所改變。通過(guò)中心對(duì)稱(chēng)變換，我們也可以設(shè)定一個(gè)角度，讓學(xué)生通過(guò)自己的理解與操作來(lái)完成旋轉(zhuǎn)變換圖形。

二、翻折變換

翻折變換是平面到自身的變換，若存在一條直線(xiàn)l，使對(duì)于平面上的每一點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，其連線(xiàn)PP′都被定直線(xiàn)l垂直平分，則稱(chēng)這種變換為翻折變換，定直線(xiàn)l稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)軸。翻折變換有如下性質(zhì)：

（1）把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形。

（2）關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)連線(xiàn)被l垂直平分。

例如：△ABC通過(guò)軸稱(chēng)變換，在同一平面上得到完全相同的△A′B′C′，只不過(guò)圖形發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，得到的直線(xiàn)AA′，BB′，CC′被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。

為了讓學(xué)生更直觀地理解旋轉(zhuǎn)變換和翻轉(zhuǎn)變換的異同，可以針對(duì)同一個(gè)三角形在坐標(biāo)軸中以y軸做翻轉(zhuǎn)變換，以中心點(diǎn)O做旋轉(zhuǎn)變換，通過(guò)在一個(gè)平面中進(jìn)行比較分析，更能讓學(xué)生理解兩者的概念。進(jìn)而通過(guò)將三角形換成其他不規(guī)則圖形，學(xué)生也知道該怎么變換而不能混淆兩者的概念。如果證題過(guò)程中使用翻轉(zhuǎn)變換，既可保留原有圖形的性質(zhì)，又使原來(lái)分散條件相對(duì)集中，有利于問(wèn)題的解決，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維。

通過(guò)下面兩個(gè)案例題對(duì)平面圖形變換進(jìn)行分析：

【“軸對(duì)稱(chēng)變換”教學(xué)片段】X、Y分別為△ABC的AB邊和AC邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，在BC邊上，求作一點(diǎn)Z，使△XYZ的周長(zhǎng)最短。上述問(wèn)題我們可以用“軸對(duì)稱(chēng)”來(lái)解析，能讓學(xué)生更直觀地感受到變換的存在，是解決問(wèn)題的方法。

通過(guò)上面例題的演變，假設(shè)牧馬營(yíng)地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地吃草，再到河邊飲水（草地和河邊在營(yíng)地的兩側(cè)），然后回到營(yíng)地P處，設(shè)計(jì)出牧馬人放牧最短的路線(xiàn)。

這個(gè)問(wèn)題就也可以用“軸對(duì)稱(chēng)”來(lái)完成，即“點(diǎn)到直線(xiàn)垂直距離最短”，讓學(xué)生可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中切實(shí)感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊。

對(duì)上述問(wèn)題的解決方案的給出，通過(guò)對(duì)平面變換的應(yīng)用，使學(xué)生找到適合自己的解題思路，不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，而且可以通過(guò)知識(shí)聯(lián)想，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)通過(guò)不同的方式得到練習(xí)與鞏固，并在此基礎(chǔ)上延伸到其他知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

通過(guò)對(duì)平面幾何變換形式的介紹，由知識(shí)的延展性到知識(shí)的關(guān)聯(lián)性加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何變換的理解，通過(guò)引用生活中的實(shí)例有助于解決學(xué)生對(duì)幾何變換理解困難的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

林靜.淺談幾何變換在初中平面幾何教學(xué)的探究[J].福建論壇：社科教育版，2013（04）.

編輯 韓 曉