吳棟 ，雷勇軍 ，于寶石 ，唐雨 ，張大鵬 ?

（1.國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073；2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

碳納米管（Carbon Nanotubes，CNTs）具有卓越的性能，將CNTs 作為增強(qiáng)體填充到基體中制成復(fù)合材料，可將微納米尺度下CNTs 的優(yōu)異性能保留到宏觀尺度［1］，提高復(fù)合材料綜合力學(xué)性能.CNTs 增強(qiáng)復(fù)合材料（Carbon Nanotubes Reinforced Composites，CNTRCs）在航空航天、高速列車(chē)和隱身結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊應(yīng)用前景［2］.開(kāi)展CNTRCs 結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為研究有助于理解力學(xué)特性，指導(dǎo)并促進(jìn)其在工業(yè)中的應(yīng)用.

開(kāi)展CNTRCs 結(jié)構(gòu)力學(xué)行為研究的方法有實(shí)驗(yàn)方法、分子仿真方法（分子動(dòng)力學(xué)或分子力學(xué)）和理論方法.其中，實(shí)驗(yàn)方法耗時(shí)長(zhǎng)、成本高，分子仿真方法受限于研究對(duì)象的尺寸［3］，因此，采用理論方法研究CNTRCs 結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為顯得尤為必要.而獲得CNTRCs的等效材料參數(shù)是開(kāi)展理論研究的基礎(chǔ)，目前廣泛采用的理論主要有［4］：擴(kuò)展的混合法則和Eshelby-Mori-Tanaka（EMT）方法.Shen［5］在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)匹配CNTRCs 彈性模量理論計(jì)算結(jié)果和分子動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果，從而將CNTs 效率參數(shù)引入經(jīng)典的混合法則，形成擴(kuò)展的混合法則.該方法相對(duì)簡(jiǎn)便，但其局限性是無(wú)法考慮CNTs 的固有特性，如CNTs的尺度效應(yīng).最初，EMT方法被應(yīng)用于預(yù)估含有宏觀尺度夾雜相復(fù)合材料的等效力學(xué)參數(shù)，Odegard 等［6］創(chuàng)新性地將EMT 方法運(yùn)用于納米復(fù)合材料的力學(xué)特性分析中，獲得了CNTRCs 的等效性能參數(shù)，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提方法的正確性.EMT方法在高CNTs體積分?jǐn)?shù)時(shí)仍有較高的精度［7］，且可在理論模型中考慮CNTs 的固有特性，因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛采用EMT 方法得到CNTRCs 的等效材料參數(shù)，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論研究CNTRCs結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為.

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)［8］，微納米尺度下結(jié)構(gòu)力學(xué)特性和宏觀尺度下表現(xiàn)出較大差異，產(chǎn)生這種差異的原因是微納米尺度下結(jié)構(gòu)存在尺度效應(yīng).為了突破經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論無(wú)法考慮微納米結(jié)構(gòu)尺度效應(yīng)的局限性，學(xué)者們提出了非局部理論、應(yīng)變梯度理論和偶應(yīng)力理論等，其中非局部理論與分子動(dòng)力學(xué)和原子晶格動(dòng)力學(xué)的仿真結(jié)果吻合較好［9-10］，在CNTs 的力學(xué)行為研究中取得了豐碩成果［11-13］.當(dāng)CNTRCs結(jié)構(gòu)達(dá)到微納米尺度時(shí)，同樣存在尺度效應(yīng).國(guó)內(nèi)外學(xué)者們還采用EMT 方法獲得微/納米尺度下CNTRCs結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能參數(shù)，基于非局部理論研究了微/納米尺度下CNTRCs結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為［14-15］.

20 世紀(jì)末，學(xué)者們就已經(jīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了增強(qiáng)體的尺度下降同樣會(huì)對(duì)復(fù)合材料的性能產(chǎn)生影響［16-17］，但目前在CNTs 的尺度效應(yīng)對(duì)CNTRCs 結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的影響方面的研究有所欠缺，因此，有必要考慮CNTs 尺度效應(yīng)建立CNTRCs 結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性研究的理論模型.可設(shè)計(jì)性是復(fù)合材料相對(duì)傳統(tǒng)材料的顯著優(yōu)勢(shì)之一，研究不同CNTs 體積分?jǐn)?shù)及其沿特定方向不同分布方式有益于理解CNTRCs 結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，為設(shè)計(jì)合適CNTRCs 結(jié)構(gòu)形式奠定理論基礎(chǔ).此外，實(shí)際工程中CNTRCs 結(jié)構(gòu)工作在復(fù)雜環(huán)境中，如置于減振的黏彈性基體以及環(huán)境溫度劇烈變化中.綜上所述，研究復(fù)雜環(huán)境中FG-CNTRCs 結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為亟須考慮CNTs 的尺度效應(yīng)時(shí)，為其設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供理論依據(jù).

基于以上考慮，本文以黏彈性基體中的FGCNTRCs 薄圓柱殼為研究對(duì)象.首先，基于EMT 方法并考慮CNTs 的尺度效應(yīng)和取向，建立CNTRCs 的非局部EMT 本構(gòu)模型.在此基礎(chǔ)上，采用Hamilton 原理推導(dǎo)visco-Pasternak 黏彈性基體中FG-CNTRCs Kirchhoff-Love 圓柱殼的熱自由振動(dòng)控制方程，求得兩端簡(jiǎn)支邊界條件下固有頻率的半解析解，并與文獻(xiàn)對(duì)比驗(yàn)證其正確性.最后，分析非局部參數(shù)、CNTs體積分?jǐn)?shù)及分布方式、圓柱殼幾何尺寸、環(huán)境溫度和地基參數(shù)等對(duì)FG-CNTRCs 圓柱殼熱自由振動(dòng)特性的影響.

1 熱振動(dòng)問(wèn)題建模

1.1 CNTRCs的非局部EMT本構(gòu)模型

考慮基體中CNTs 的取向，可由概率密度函數(shù)p(t1，t2)表征，滿足［18］

式中：（t1，t2）為歐拉角.當(dāng)CNTs在CNTRCs中完全隨機(jī)取向時(shí)，有p(t1，t2)=(2π)-1.

采用非局部理論考慮CNTs 的尺度效應(yīng)，其表達(dá)式為：

式中：e0為CNTs的材料常數(shù)非局部參數(shù)，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)或分子動(dòng)力學(xué)仿真方法確定［19］；a為CNTs 的內(nèi)部特征尺寸；?2為拉普拉斯算子；σnonlocal和σlocal分別為非局部應(yīng)力和經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論涉及的局部應(yīng)力.

經(jīng)典的EMT 方法忽略了CNTs 的尺度效應(yīng)，此時(shí)，代表性體積單元（Representative Volume Element，RVE）中CNT 的應(yīng)變?chǔ)臗NT(t1，t2)、局部應(yīng)力與基體的應(yīng)力σmatrix之間的關(guān)系為：

式中：Cm和Cr分別表示基體和CNTs 的剛度矩陣；AEMT為四階矩陣［20］.

基于式（2）和式（4）可得，考慮CNTs 尺度效應(yīng)后RVE 中CNT 的非局部應(yīng)力和基體應(yīng)力σmatrix之間的關(guān)系為：

假設(shè)基體為各向同性線彈性材料且與CNTs 之間完美黏結(jié)，有

式中：fm和fr分別表示基體和CNTs 的體積分?jǐn)?shù)，且fm+fr=1.

將式（6）和式（7）代入式（9）和式（10）可得：

式中：Iu表示單位矩陣.

對(duì)于式（11），令非局部參數(shù)e0a為零即可退化為經(jīng)典的EMT方法，其剛度矩陣的Voigt記法為：

式中：k、l、m、n、p表示Hill彈性模量.

當(dāng)CNTs 在基體中完全隨機(jī)取向時(shí)，CNTRCs 可視為各向同性材料，其彈性模量和泊松比的表達(dá)式參見(jiàn)文獻(xiàn)［18］.

值得注意的是，本節(jié)中構(gòu)建的非局部EMT 模型不僅適用于CNTRCs 的力學(xué)特性分析，同樣適用于研究一般納米增強(qiáng)復(fù)合材料的力學(xué)行為.

1.2 FG-CNTRCs 薄圓柱殼的振動(dòng)控制方程

圖1 為visco-Pasternak 基體中FG-CNTRCs 薄圓柱殼正視圖.以圓柱殼中性面邊界上一點(diǎn)建立圓柱坐標(biāo)系（x，θ，z），其中θ軸和z軸方向分別表示圓柱殼的周向和徑向；圓柱殼的長(zhǎng)度、平均半徑和厚度分別為L(zhǎng)、R和h；黏彈性地基采用visco-Pasternak 地基模型模擬，其Winkler 彈性模量、剪切模量和阻尼參數(shù)分別為kw、ks和cd.

圖1 visco-Pasternak基體中FG-CNTRCs薄圓柱殼正視圖Fig.1 Front view of thin cylindrical shell of FG-CNTRCs resting on visco-Pasternak foundation

圖2 為CNTs 沿圓柱殼厚度方向梯度分布方式，圖中圓點(diǎn)在空間豎向分布代表CNTs 沿圓柱殼厚度截面分布量的相對(duì)大小，其定量表達(dá)式為：

圖2 CNTs沿圓柱殼厚度方向梯度分布方式Fig.2 Gradient distribution of CNTs along the thickness direction of the cylindrical shell

式中：UD 表示CNTs 沿圓柱殼厚度截面均勻分布；FG-V、FG-O 和FG-X 分別表示CNTs 沿圓柱殼厚度截面分別為V 型、O 型和X 型（見(jiàn)圖2）.顯然，不同CNTs分布方式下圓柱殼中CNTs的總體積相同.

FG-CNTRCs 圓柱殼等效材料屬性（泊松比和密度等）的表達(dá)式為：

基于Kirchhoff-Love薄圓柱殼理論，F(xiàn)G-CNTRCs圓柱殼的位移場(chǎng)為：

式中：（u，v，w）分別表示FG-CNTRCs 圓柱殼上任一點(diǎn)的位移沿（x，θ，z）軸的分量；（u0，v0，w0）分別為圓柱殼中性面上一點(diǎn)位移沿（x，θ，z）軸的分量；t為時(shí)間.

根據(jù)式（17）、式（18）和式（19），F(xiàn)G-CNTRCs 的應(yīng)變場(chǎng)為：

將式（20）、式（21）和式（22）代入式（11），進(jìn)一步考慮熱環(huán)境的影響，可得：

式中：ΔT為相對(duì)室溫（300 K）的溫度變化；（α11，α22）分別為CNTRCs 沿（x，θ）軸的熱膨脹系數(shù).其表達(dá)式為［21］：

通過(guò)Hamilton 原理獲得系統(tǒng)的自由振動(dòng)控制方程，其表達(dá)式為：

式中：δ·表示對(duì)變量進(jìn)行變分運(yùn)算.

FG-CNTRCs圓柱殼的虛應(yīng)變能的表達(dá)式為：

式中：Θ表示FG-CNTRCs圓柱殼的中性面區(qū)域，且

FG-CNTRCs圓柱殼的虛動(dòng)能δK的表達(dá)式為：

外力對(duì)FG-CNTRCs做的虛功δW的表達(dá)式為：

式中：NQ為visco-Pasternak 地基對(duì)FG-CNTRCs 圓柱殼的作用力，（NTx，NTθ）為由環(huán)境溫度變化ΔT產(chǎn)生的外載荷沿（x，θ）軸的分量，其表達(dá)式分別為：

將式（30）、式（33）和式（35）代入式（29），可得系統(tǒng)的自由振動(dòng)控制方程為：

同時(shí)，根據(jù)δu0、δv0和δw0在時(shí)域和空間域內(nèi)的任意性可得系統(tǒng)的邊界條件為：

式中：（nx，nθ）分別表示單位向量沿（x，θ）軸的方向余弦.設(shè)FG-CNTRCs圓柱殼的初始速度和初始位移均為零，即

自由振動(dòng)控制方程［式（38）、式（39）和式（40）］、邊界條件［式（41）～式（45）］和初始條件［式（46）、式（47）］共同構(gòu)成了visco-Pasternak 基體中FGCNTRCs圓柱殼熱自由振動(dòng)問(wèn)題的定解條件.

2 方程求解

本文利用Navier法求解簡(jiǎn)支（Simply-Supported，S-S）FG-CNTRCs 圓柱殼的自由振動(dòng)固有頻率，對(duì)于其他邊界條件下結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)固有頻率，可通過(guò)Galerkin法［22］、Rayleigh-Ritz法［23］等方法進(jìn)行求解.

S-S邊界條件可表示為：

為了便于求解和分析，引入以下無(wú)量綱參數(shù)：

基于Navier 法，F(xiàn)G-CNTRCs 圓柱殼的位移場(chǎng)可表示為：

式中：（Umn，Vmn，Wmn）分別為振幅沿（x，θ，z）軸的分量；n為周向波數(shù)；km=mπ 為軸向波數(shù)；Ωmn為FGCNTRCs圓柱殼的無(wú)量綱固有圓頻率，與有量綱固有圓頻率ωmn之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

將式（49）和式（52）代入式（38）、式（39）和式（40），可將系統(tǒng)的自由振動(dòng)控制方程改寫(xiě)為：

式中：K3×3、M3×3和C3×3可借助數(shù)學(xué)軟件推導(dǎo)，為保證行文簡(jiǎn)潔，此處不列出具體的表達(dá)式.

對(duì)于式（54），F(xiàn)G-CNTRCs的位移場(chǎng){Umn，Vmn，Wmn}T存在非零解的條件為：

通過(guò)求解式（55），可得visco-Pasternak 基體中FG-CNTRCs薄圓柱殼自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率.

3 結(jié)果與討論

本節(jié)首先將模型退化并與文獻(xiàn)中報(bào)道的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所建模型和求解方法的正確性，然后分析非局部參數(shù)、CNTs 分布方式與體積分?jǐn)?shù)、環(huán)境溫度和地基參數(shù)等因素對(duì)FG-CNTRCs 圓柱殼自由振動(dòng)無(wú)量綱固有頻率的影響規(guī)律.

如無(wú)特別說(shuō)明，取kw=100 MN/m3，ks=10 MN/m，cd=1×103N·s/m2［24］，且忽略溫度對(duì)地基材料參數(shù)的影響；此外，F(xiàn)G-CNTRCs 圓柱殼的長(zhǎng)度L、平均半徑R和厚度h分別為1 m、1 m和0.025 m，fr*=5%.基體材料選用聚甲基丙烯酸甲酯（Polymethyl Methacrylate，PMMA），其泊松比νm=0.34，密度ρm=1 150 kg/m3，考慮環(huán)境溫度對(duì)其彈性模量Em和熱膨脹系數(shù)αm的影響，有［25］

式中：T=T0+ΔT，T0=300 K.根據(jù)式（56）和式（57）可知室溫下PMMA 的彈性模量Em=2.5 GPa，熱膨脹系數(shù)αm=4.5×10-5K-1.選取單壁碳納米管（Single-walled CarbonNanotubes，SWCNTs）作為增強(qiáng)相，泊松比=0.175，密度ρCNT=1400kg/m3，溫度相關(guān)材料參數(shù)為［26］：

式中：P0、P1、P2和P3為常數(shù)，對(duì)于不同的材料參數(shù)，其具體數(shù)值如表1所示.

表1 SWCNTs的熱機(jī)械性能參數(shù)Tab.1 Thermo-mechanical properties of SWCNTs

此外，合適的非局部參數(shù)可確保分析結(jié)果的合理性，可通過(guò)將理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)、分子動(dòng)力學(xué)或多尺度方法分析結(jié)果進(jìn)行匹配確定非局部參數(shù)的值［19］.現(xiàn)有結(jié)果表明，非局部參數(shù)與載荷工況和結(jié)構(gòu)形狀等因素相關(guān)［27］.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者多采用參數(shù)分析的方式研究非局部參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的影響，如無(wú)特別說(shuō)明，本文取非局部參數(shù)α=0.1.

3.1 正確性驗(yàn)證

Loy 等［28］利用廣義微分求積法得到了不同邊界條件下均勻Kirchhoff-Love 圓柱殼的自由振動(dòng)特性.當(dāng)忽略CNTs、visco-Pasternak 地基和熱環(huán)境的影響（fr*=α=kw=ks=cd=ΔT=0）時(shí)，本文所建模型可退化為均勻Kirchhoff-Love 圓柱殼模型.表2 為S-S 邊界條件下均勻Kirchhoff-Love 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率的對(duì)比結(jié)果，其中L/R=20，h/R=0.01，ν=0.3，無(wú)量綱固有頻率的表達(dá)式為：

表2 S-S邊界條件下均勻Kirchhoff-Love圓柱殼無(wú)量綱固有頻率的對(duì)比結(jié)果Tab.2 Comparison of dimensionless natural frequencies of uniform Kirchhoff-Love cylindrical shells under S-S boundary conditions

由表2 可以看出，不同周向波數(shù)n下，本文得到的兩端簡(jiǎn)支均勻圓柱殼無(wú)量綱固有頻率與文獻(xiàn)［28］中所列結(jié)果均吻合較好.

Loy 等［29］基于Rayleigh-Ritz 法得到了S-S 邊界條件下FG Kirchhoff-Love 圓柱殼的振動(dòng)特性，并進(jìn)行了參數(shù)影響分析.當(dāng)忽略納米夾雜的尺度效應(yīng)、visco-Pasternak 地基和熱應(yīng)變的影響（α=kw=ks=cd=ΔT=0）時(shí)，本文所建模型可退化為FG Kirchhoff-Love 圓柱殼模型.圓柱殼的半徑R=1 m，λ=20，ξ=0.002，材料參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)［29］一致.

表3 為S-S 邊界條件下FG Kirchhoff-Love 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率的對(duì)比結(jié)果.由表3 可知，本文求解的簡(jiǎn)支功能梯度圓柱殼固有頻率具有較高的精度；S-S 邊界條件下FG 圓柱殼的基頻出現(xiàn)在（m，n）=（1，3）處.后續(xù)主要分析不同參數(shù)對(duì)FG-CNTRCs 圓柱殼基頻的影響規(guī)律.

表3 S-S邊界條件下FG Kirchhoff-Love圓柱殼無(wú)量綱固有頻率的對(duì)比結(jié)果Tab.3 Comparison of dimensionless natural frequencies of FG Kirchhoff-Love cylindrical shells under S-S boundary conditions

3.2 參數(shù)影響分析

表4 為不同地基參數(shù)和非局部參數(shù)下CNTRCs圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率.由表4 可以看出，CNTRCs圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率分為實(shí)部和虛部，分別表示系統(tǒng)的阻尼因子和有阻尼固有頻率，其中系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為固有頻率實(shí)部為負(fù)［30］，且虛部反映了結(jié)構(gòu)的抗彎剛度［31］，因此，本文主要分析各參數(shù)對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部的影響規(guī)律.非局部參數(shù)α對(duì)無(wú)量綱固有頻率實(shí)部的影響較小，而虛部隨非局部參數(shù)α的增大而減小.當(dāng)非局部參數(shù)和地基彈性參數(shù)相同時(shí)，不同CNTs 分布類(lèi)型對(duì)應(yīng)的S-S CNTRCs 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部數(shù)值按大小排序?yàn)椋篎G-O＜FG-V＜UD＜FG-X，這是由于圓柱殼的內(nèi)、外徑區(qū)域是承受正應(yīng)力的主要區(qū)域，而在正應(yīng)力較大的區(qū)域分布更多的CNTs，有利于充分發(fā)揮CNTs對(duì)復(fù)合材料抗彎性能的增強(qiáng)作用.因此，F(xiàn)G-XCNTRCs圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率虛部最大，同時(shí)表明了CNTs 在FG-X 分布方式下的抗彎剛度最大.此外，非局部參數(shù)對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部的影響幅度隨結(jié)構(gòu)抗彎剛度的增大而增大，不同CNTs 分布類(lèi)型對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱固有頻率虛部減小幅度按大小排序?yàn)椋╧w=ks=0）：FG-O（23.34%）＜ FG-V（23.35%）＜ UD（23.36%）＜ FG-X（23.41%）.

表4 不同地基參數(shù)和非局部參數(shù)下CNTRCs圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率Tab.4 Dimensionless natural frequencies of CNTRCs cylindrical shell with different foundation parameters and nonlocal parameter

圖3 為非局部參數(shù)和visco-Pasternak 地基的彈性參數(shù)對(duì)S-S 邊界條件下FG-X-CNTRCs 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響.由圖3 可知，無(wú)量綱固有頻率虛部的減小速度隨著非局部參數(shù)α的增大而增大.由于visco-Pasternak 地基的彈性參數(shù)（kw，ks）增加結(jié)構(gòu)的剛度，因此表4和圖3中無(wú)量綱固有頻率隨地基的Winkler 彈性模量和剪切模量的增大而增大.增大visco-Pasternak 地基的彈性參數(shù)會(huì)降低非局部參數(shù)α對(duì)CNTRCs 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響幅度，當(dāng)visco-Pasternak 地基的彈性參數(shù)（kw，ks）分別?。?，0），（100，0）和（100，10）時(shí)，F(xiàn)G-XCNTRCs圓柱殼無(wú)量綱固有頻率的下降幅度分別為：23.41%、18.79%和13.74%.此外，當(dāng)visco-Pasternak地基的剪切模量ks達(dá)到一定值時(shí)，繼續(xù)增大其數(shù)值對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部的影響幅度較小，此時(shí)非局部參數(shù)對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部影響幅度的變化也較小.

圖3 非局部參數(shù)對(duì)FG-X-CNTRCs圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響Fig.3 Effect of nonlocal parameter on the imaginary parts of the dimensionless natural frequencies of FG-X-CNTRCs cylindrical shell

表5 為不同CNTs 體積分?jǐn)?shù)和環(huán)境溫度下CNTRCs 圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率.由表5 可知，CNTs的體積分?jǐn)?shù)對(duì)圓柱殼剛度影響顯著，室溫（300 K）下FG-X-CNTRCs圓柱殼基體中填充CNTs的體積分?jǐn)?shù)fr*為10.0%時(shí)，相對(duì)于純PMMA 基體的無(wú)量綱固有頻率虛部增加了108.2%，相對(duì)于填充CNTs的體積分?jǐn)?shù)fr*為5.0%的虛部增加了53.92%.此外，室溫下當(dāng)CNTRCs 圓柱殼中CNTs 的體積分?jǐn)?shù)fr*由2.5%增至10.0%，不同CNTs 分布類(lèi)型下無(wú)量綱固有頻率增大的幅度按大小排序?yàn)椋篣D（51.36%）＜FG-O（52.09%）＜FG-V（52.48%）＜FG-X（53.92%），表明增加CNTRCs圓柱殼中CNTs的含量時(shí)，UD-CNTRCs圓柱殼的剛度提升幅度小于FG-CNTRCs 圓柱殼，而3 種CNTs 梯度分布對(duì)應(yīng)的FG-CNTRCs 圓柱殼的剛度提升幅度與結(jié)構(gòu)自身的剛度呈正相關(guān).

表5 不同CNTs體積分?jǐn)?shù)和環(huán)境溫度下CNTRCs圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率Tab.5 Dimensionless natural frequencies of CNTRCs cylindrical shell with various values of CNTs volume fraction and ambient temperature

圖4 為環(huán)境溫度對(duì)FG-X-CNTRCs 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響.由于增加環(huán)境溫度導(dǎo)致CNTRCs 圓柱殼結(jié)構(gòu)剛度下降，因此圖4 和表5 中無(wú)量綱固有頻率虛部隨環(huán)境溫度的增大而減小，且減小速度逐漸加快.由圖4 可以看出，環(huán)境溫度對(duì)S-S FG-X-CNTRCs 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響幅度隨CNTs 體積分?jǐn)?shù)的增大而增大.根據(jù)線性理論，F(xiàn)G-CNTRCs 圓柱殼的無(wú)量綱固有頻率虛部最終會(huì)降至零［32］，由圖4 可以推斷出，無(wú)量綱固有頻率虛部為零所對(duì)應(yīng)的最小環(huán)境溫度隨CNTs 體積分?jǐn)?shù)的增大而減小.

圖4 環(huán)境溫度對(duì)FG-X-CNTRCs圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響Fig.4 Effect of ambient temperatures on the imaginary parts of the dimensionless natural frequencies of FG-X-CNTRCs cylindrical shell

圖5 為長(zhǎng)厚比（η-1）對(duì)FG-X-CNTRCs 圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響，其中=1×103N·s/m2.由圖5 可以看出，visco-Pasternak 地基的阻尼系數(shù)和長(zhǎng)厚比對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部的影響有耦合作用，當(dāng)?shù)鼗淖枘嵯禂?shù)較小時(shí)，無(wú)量綱固有頻率虛部隨長(zhǎng)厚比的增大先增后減；增大地基的阻尼系數(shù)后，無(wú)量綱固有頻率虛部隨長(zhǎng)厚比的增大而減小，最終減至零，減小的速度逐漸增加，無(wú)量綱固有頻率虛部減為零說(shuō)明該長(zhǎng)厚比和阻尼系數(shù)組合所構(gòu)成的系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài).此外，增加visco-Pasternak 地基的阻尼系數(shù)會(huì)降低系統(tǒng)無(wú)量綱固有頻率虛部為零對(duì)應(yīng)的最小長(zhǎng)厚比.

圖5 長(zhǎng)厚比（η-1）對(duì)FG-X-CNTRCs圓柱殼無(wú)量綱固有頻率虛部的影響Fig.5 Effect of length-thickness ratio（η-1）on the imaginary parts of the dimensionless natural frequencies of FG-X-CNTRCs cylindrical shell

4 結(jié)論

本文基于EMT 方法并考慮CNTs 的尺度效應(yīng)和取向建立CNTRCs 力學(xué)特性分析的非局部EMT 本構(gòu)模型.在此基礎(chǔ)上建立visco-Pasternak 基體中FGCNTRCs Kirchhoff-Love 圓柱殼的熱自由振動(dòng)控制方程，并得到兩端簡(jiǎn)支邊界條件下結(jié)構(gòu)的固有頻率.主要結(jié)論如下：

1）考慮CNTs 的尺度效應(yīng)會(huì)降低FG-CNTRCs 圓柱殼的抗彎剛度，非局部參數(shù)對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部的影響幅度隨結(jié)構(gòu)剛度的增大而增大.

2）增加CNTs 的含量時(shí)，UD-CNTRCs 圓柱殼剛度提升幅度小于3 種FG-CNTRCs 圓柱殼，且環(huán)境溫度對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部的影響隨CNTs 體積分?jǐn)?shù)的增大而增大.

3）長(zhǎng)厚比和visco-Pasternak 地基的阻尼系數(shù)對(duì)無(wú)量綱固有頻率虛部的影響有耦合作用.