周蕾

摘 要：在計(jì)算法則教學(xué)過程中，教師應(yīng)該以學(xué)生的已有知識(shí)儲(chǔ)備為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生內(nèi)化法則，明確算理的規(guī)定由來，建立法則之間的通道，滿足學(xué)生在規(guī)則學(xué)習(xí)過程中的明理需求.達(dá)到這一目標(biāo)，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，設(shè)計(jì)任務(wù)目的明確的問題.本文以有理數(shù)乘法法則教學(xué)中符號(hào)確定規(guī)則的理解為例，展示通過情景設(shè)置，問題推動(dòng)的方式促使學(xué)生思考并理解算法的來源，學(xué)會(huì)算法的表述，主動(dòng)將新的計(jì)算要素加入到已有的算理結(jié)構(gòu)中的過程.

關(guān)鍵詞：算理教學(xué)；核心素養(yǎng)；有理數(shù)乘法法則

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的頒布正式宣告了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，推動(dòng)基礎(chǔ)教育課程由學(xué)科立場(chǎng)向教育立場(chǎng)轉(zhuǎn)型的要求，即以學(xué)生的發(fā)展需求來安排課程教學(xué)，并將培養(yǎng)素養(yǎng)作為教學(xué)的一貫性目標(biāo).以計(jì)算法則教學(xué)為例，學(xué)習(xí)者只有產(chǎn)生通過計(jì)算來解決問題的需求，才需要找到對(duì)應(yīng)的法則來進(jìn)行計(jì)算，而是否能夠準(zhǔn)確快速地找到法則，則是由學(xué)習(xí)者是否理清了各種法則間的關(guān)系脈絡(luò)決定的.因而，教師對(duì)法則的教學(xué)過程應(yīng)該關(guān)注算理的前后關(guān)聯(lián)，即為學(xué)理；明晰算理的規(guī)定由來，即為明理；說清算理的內(nèi)容本質(zhì)，即說理，才能幫助學(xué)習(xí)者正確內(nèi)化法則，并讓內(nèi)化過程充滿數(shù)學(xué)的規(guī)則和意識(shí)，才能使數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升成為學(xué)習(xí)過程的必然結(jié)果.

數(shù)學(xué)計(jì)算作為貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的“大血管”，作為所有數(shù)學(xué)知識(shí)的粘合劑，是所有知識(shí)學(xué)習(xí)最基礎(chǔ)的需求.初中學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算及其法則學(xué)習(xí)時(shí)，本質(zhì)需求是知道“為什么這樣算”，因而教師不能將“會(huì)計(jì)算”作為唯一的教學(xué)目標(biāo)，而應(yīng)該考慮學(xué)生從小學(xué)開始積累的所有運(yùn)算知識(shí)，能夠帶領(lǐng)學(xué)生探索從“非負(fù)數(shù)計(jì)算”到“有理數(shù)計(jì)算”的發(fā)展，感知因數(shù)域擴(kuò)充帶來的法則擴(kuò)展的必然性.教學(xué)內(nèi)容的選擇與環(huán)節(jié)安排應(yīng)實(shí)現(xiàn)“不單純介紹概念”的要求，通過合適情境、合適問題讓學(xué)生思考并理解算法的來源，學(xué)會(huì)算法的表述，主動(dòng)將新的計(jì)算要素加入到已有的算理結(jié)構(gòu)中，生成新的知識(shí)聯(lián)系.下面以蘇科版教材數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)2.6節(jié)有理數(shù)的乘法和除法（第1課時(shí)）設(shè)計(jì)為例，討論以上設(shè)想的實(shí)現(xiàn).

1 內(nèi)容分析

1.1 教材背景

蘇科版教材數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)2.6有理數(shù)的乘法和除法（第1課時(shí)）內(nèi)容是有理數(shù)的乘法法則教學(xué)，有理數(shù)乘法法則的學(xué)習(xí)建立在已經(jīng)掌握理解有理數(shù)加減運(yùn)算的基礎(chǔ)上，也是后續(xù)學(xué)習(xí)有理數(shù)除法、乘方運(yùn)算的知識(shí)儲(chǔ)備.

通過學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握有理數(shù)的乘法法則，理解算理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”，發(fā)展運(yùn)算與推理能力.

1.2 學(xué)生背景

“應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)去準(zhǔn)備教學(xué)”（美，奧蘇貝爾）.學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)了解了一些有理數(shù)的知識(shí)，同時(shí)，學(xué)生通過“有理數(shù)相關(guān)概念”“有理數(shù)加減法”的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了“數(shù)域擴(kuò)充”，“在實(shí)際情境中體會(huì)運(yùn)算”，“抽象歸納表述加減法則”的過程，積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，具備了探究乘法法則的能力.

在課堂教學(xué)開始之前，班級(jí)大部分學(xué)生通過課外學(xué)習(xí)或自學(xué)對(duì)有理數(shù)的乘法法則有所了解，符號(hào)規(guī)則“同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)”耳熟能詳.但是，大部分學(xué)生不僅無法解釋此規(guī)則的合理性，而且缺乏基本的質(zhì)疑與探究.他們對(duì)法則的理解，僅僅完成了“模仿套用”的步驟.

2 目標(biāo)設(shè)定

《標(biāo)準(zhǔn)》要求加強(qiáng)“數(shù)與代數(shù)”中代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，在教學(xué)中這一要求可以體現(xiàn)為“能夠形成由特殊到一般的探究思路，理解代數(shù)推理的基本要求，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯表述的習(xí)慣”.通過對(duì)法則的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—質(zhì)疑—思考—說理（表達(dá)）”的過程，實(shí)現(xiàn)在教學(xué)中貫穿數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

根據(jù)以上思考，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1） 熟練掌握有理數(shù)乘法法則，發(fā)展運(yùn)算能力；

（2） 經(jīng)歷由實(shí)際中抽象算式的過程，發(fā)展抽象能力；

（3） 感受質(zhì)疑過程，理解邏輯推理的必要性，初步掌握推理的形式與規(guī)則，發(fā)展推理能力與意識(shí).

3 教學(xué)實(shí)施

3.1 問題引入，承上啟下

問題1：填空：（1） 4+4+4+4+4=____.

（2） （-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=____.

師：上面的加法算式能轉(zhuǎn)化為其他類型的運(yùn)算嗎？

生：可以用乘法表達(dá)，4+4+4+4+4=4×5、（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=（-4）×5.

師：這兩種運(yùn)算什么關(guān)系？

生：小學(xué)學(xué)過，相同數(shù)連續(xù)相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算就是乘法.

師追問：小學(xué)學(xué)過的應(yīng)該是非負(fù)數(shù)的乘法，那在有理數(shù)范圍內(nèi)會(huì)有哪些類型的兩數(shù)相乘？

生1：正數(shù)×正數(shù)，負(fù)數(shù)×正數(shù) 這兩個(gè)就是上面兩個(gè)算式的類型.

生2：負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)，0×正數(shù)，0×負(fù)數(shù).

生3：正數(shù)×負(fù)數(shù)，正數(shù)×0，負(fù)數(shù)×0.

生4：前面兩個(gè)說的是一回事，不就是乘法交換律嘛.

師再問：同意4的說法嗎？

討論：法則與運(yùn)算律的關(guān)系.

師歸納：使用乘法交換律的基礎(chǔ)是乘法法則在有理數(shù)范圍內(nèi)成立，不能顛倒.所以，我們先來討論如何在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行乘法運(yùn)算.有理數(shù)的運(yùn)算包含了以上8種類型的數(shù)相乘.

【設(shè)計(jì)意圖】通過加法引出乘法，體現(xiàn)乘法定義的一貫性，明確運(yùn)算之間的關(guān)系.要求學(xué)生分類說明有理數(shù)乘法的類型，延續(xù)加法法則教學(xué)的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分類意識(shí)，也是正確“說理”的基本，體現(xiàn)法則教學(xué)模式的一貫性.

“能否用乘法運(yùn)算律來說明法則的合理性”的問題討論可以讓學(xué)生明確說理的規(guī)則，理解說理的邏輯順序，邏輯正確是正確說理的基礎(chǔ).

3.2 情境設(shè)置，探究算理

試著填一填，說說你是如何得到結(jié)果的：

① 4×5=________；

② （-4）×5=________；

③ （-4）×（-5）=_________.

生1：①是小學(xué)學(xué)過的乘法，①②就等于剛才的加法算式結(jié)果.可以用有理數(shù)的加法法則來運(yùn)算.③的結(jié)果是20，我預(yù)習(xí)了乘法法則，利用法則我可以直接算這3個(gè)式子.

師：那你能解釋一下是怎么利用法則來運(yùn)算的嗎？

生1：負(fù)負(fù)得正，然后絕對(duì)值相乘.

追問：③ 好像不能表達(dá)為加法運(yùn)算了，所以同學(xué)們說用乘法法則，那這個(gè)法則為什么這樣定呢？能說一說嗎？

生1：說不清楚，好像就是這樣定的

【設(shè)計(jì)意圖】通過加法引出乘法，可以利用加法法則計(jì)算某些類型的乘法，但是遇到負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘學(xué)生就會(huì)感到有困難，于是轉(zhuǎn)向直接使用乘法法則.“學(xué)理”的過程好像提前完成了，但卻沒有“明理”.使用乘法法則只是模仿，“說理”才能真正“明理”，于是就引出了“負(fù)負(fù)得正”的合理性討論.

提出問題的能力和質(zhì)疑的意識(shí)是數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)，大部分學(xué)生預(yù)習(xí)運(yùn)算法則后按法則進(jìn)行運(yùn)算都不思考來由和算理.單純的模仿后再運(yùn)算的學(xué)習(xí)模式導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不足，讓計(jì)算法則教學(xué)顯得枯燥而蒼白.提出一些“寫答案”之外的問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的空白點(diǎn)，引發(fā)討論和思考.

師：數(shù)學(xué)是講道理的，規(guī)定也要合理才行.大家看看怎么能理解這是個(gè)合理的規(guī)定.

生：模仿前面學(xué)習(xí)加減法那樣通過實(shí)際情境來理解？

師：2022年南京遭遇“史上最熱”的夏天.玄武湖、石臼湖、固城湖等湖泊、水庫水位變化明顯.為了表示水位變化情況，我們規(guī)定水位上升為正，水位下降為負(fù)；幾天后為正，幾天前為負(fù).

（1） 分別說出①②③表達(dá)的實(shí)際意義.

（2） 進(jìn)行以下計(jì)算.

4×5=________（-4）×5=________

4×4=________（-4）×4=________

4×3=________（-4）×3=________

4×2=________（-4）×2=________

4×1=________（-4）×1=________

4×0=________（-4）×0=________

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？說具體一點(diǎn).

生，討論回答：同一列的算式一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)在不斷變小，所以積也在隨之變化.左邊的一列從上到下積依次減少4，從20減少到0.右邊的一列從上到下積依次減少-4，也就是變大4，從-20增加到0.

（3） 能用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來確定下面這些算式的結(jié)果嗎？

4×（-1）=________（-4）×（-1）=________

4×（-2）=________（-4）×（-2）=________

4×（-3）=________（-4）×（-3）=________

4×（-4）=________（-4）×（-4）=________

4×（-5）=________（-4）×（-5）=________

師：很好，大家發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律從積的變化上就能夠解釋剛才法則里說的“負(fù)負(fù)得正”的合理性了.

【設(shè)計(jì)意圖】合理的實(shí)際情境引出各種類型的有理數(shù)乘法算式，再根據(jù)實(shí)際意義寫出運(yùn)算結(jié)果，便于學(xué)生理解運(yùn)算結(jié)果的正確.同時(shí)利用固定一個(gè)因數(shù)，設(shè)定另一個(gè)因數(shù)變化的一組算式，讓學(xué)生看到隨著因數(shù)符號(hào)的變化，積的符號(hào)變化的規(guī)律，回答前面“負(fù)負(fù)得正”的規(guī)定的合理性的.

（2）（3）兩組算式之間插入發(fā)現(xiàn)規(guī)律的探索過程，是為了避免學(xué)生根據(jù)乘法法則直接填寫結(jié)果，在明確規(guī)律變化后引導(dǎo)學(xué)生按規(guī)律填寫結(jié)果，讓學(xué)生看到積由正變負(fù)的必然性，通過表述規(guī)律理解“負(fù)負(fù)得正”的合理性.這部分在蘇科版教材呈現(xiàn)方式基礎(chǔ)上做了修改，讓課堂討論和問題生成更加合理和必要.

3.3 提煉法則，依理計(jì)算

師：上面兩列算式包含了我們歸納的有理數(shù)乘法的幾個(gè)類型了嗎？

生：再補(bǔ)0×4=________，0×（-4）=_________.

師：根據(jù)以上算式，說說兩個(gè)有理數(shù)相乘如何確定積的符號(hào)和絕對(duì)值.

生1：符號(hào)這樣定：

正數(shù)×正數(shù)＞0，負(fù)數(shù)×正數(shù)＜0，負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)＞0，正數(shù)×負(fù)數(shù)＜0，0×正數(shù)=0，0×負(fù)數(shù)=0，正數(shù)×0=0，負(fù)數(shù)×0=0.

絕對(duì)值：因數(shù)的絕對(duì)值相乘得積的絕對(duì)值.

生2：太復(fù)雜了，符號(hào)分三類吧，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，與0相乘都得0.

師：板書乘法法則.

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)歷了前面的討論，抽象出有理數(shù)乘法法則，完成了從實(shí)例到法則的提煉，完成了理解乘法法則的目標(biāo).表述法則時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生類比加減法法則，分為符號(hào)、絕對(duì)值兩部分來確定積的值，并根據(jù)符號(hào)異同進(jìn)行再次分類，強(qiáng)化數(shù)域擴(kuò)充后的符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的分類、類比能力，體會(huì)數(shù)學(xué)語言的科學(xué)和精煉.這些過程都是在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯說理基本能力.

例1 計(jì)算下列各式.

例2 回答以下問題.

（1） 若ab＞0，請(qǐng)判斷a、b兩數(shù)的符號(hào)；

（2） 若ab＞0，a+b＞0，請(qǐng)判斷a、b兩數(shù)的符號(hào)；

（3） 若ab＞0，a+b＜0，請(qǐng)判斷a、b兩數(shù)的符號(hào)；

（4） 若ab＜0，a+b＞0，請(qǐng)判斷a、b兩數(shù)的符號(hào).

練習(xí)2 從-7，-4，-2，3，9，0中任選兩數(shù)相乘，乘積最大的一組是哪兩個(gè)數(shù)？最小呢？

【設(shè)計(jì)意圖】熟練運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算，是“明理”的檢驗(yàn).進(jìn)行有理數(shù)乘法，學(xué)生需要對(duì)符號(hào)與絕對(duì)值分別做判斷，這與小學(xué)里乘法運(yùn)算只需考慮單方面問題不同，在處理過程上難度翻倍，打破了原有的運(yùn)算習(xí)慣，需要通過訓(xùn)練逐步熟悉并熟練，同時(shí)固化符號(hào)判斷意識(shí).例1與練習(xí)1是各種類型的有理數(shù)相乘；例2難度較大，涉及到加法、乘法算理的逆向使用、混合運(yùn)用；練習(xí)2考察了有理數(shù)范圍內(nèi)的乘法法則及數(shù)的大小比較，部分學(xué)生的“最小數(shù)”意識(shí)仍停留在0上.例2與練習(xí)2的解答過程要求學(xué)生能夠逐步使用規(guī)范的邏輯語言進(jìn)行“說理”.

4 小結(jié)思考，合情推廣

問題1：有理數(shù)的乘法法則：與加減法法則探索過程、結(jié)論有何異同？

問題2：根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)有理數(shù)乘法的學(xué)習(xí)還有本節(jié)課沒有探索的內(nèi)容嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從特殊到一般再由一般到特殊，學(xué)生通過對(duì)比、發(fā)現(xiàn)、歸納獲得寶貴的數(shù)學(xué)研究經(jīng)歷，積累發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)新問題的經(jīng)驗(yàn).通過不同法則的類似研究過程類比，感受到運(yùn)算之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引發(fā)合理的后續(xù)學(xué)習(xí)需求.

5 反思感悟

有理數(shù)的乘法運(yùn)算作為培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)域擴(kuò)充后建立“數(shù)感”和“符號(hào)意識(shí)”的重要教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)時(shí)常會(huì)出現(xiàn)教師不重視算理卻覺得不影響學(xué)生記住運(yùn)算法則的情況，這與教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定、特別是教師對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》要求的理解有關(guān).法則學(xué)習(xí)是“學(xué)理”，但“學(xué)理”的目的不僅僅是為了操作，它的本質(zhì)需求是“明理”，“說理”則可以用來驗(yàn)證是否“明理”，三個(gè)目標(biāo)環(huán)環(huán)相連，又互為印證.

本節(jié)課的設(shè)計(jì)把“有理數(shù)乘法”放在整個(gè)運(yùn)算體系里，依托學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)提出問題，通過課堂活動(dòng)讓學(xué)生明白“法則”的前后聯(lián)系與發(fā)展脈絡(luò).“負(fù)負(fù)得正”的合理性探索激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑能力，觸發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生分類討論、抽象算式、總結(jié)規(guī)律、歸納法則，培養(yǎng)邏輯表達(dá)能力.讓學(xué)生能夠“明理”“說理”，感受邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，由此才完成“學(xué)理”.

核心素養(yǎng)是在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中逐漸形成的，課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)、每一個(gè)問題都要對(duì)應(yīng)到一定的課程目標(biāo)中，才能完成《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“素養(yǎng)”培養(yǎng)目標(biāo).這就要求“計(jì)算法則”的教學(xué)要脫離“單純介紹概念、模仿套入計(jì)算”的枯燥學(xué)習(xí)模式.教師只有構(gòu)建合理的情境，才能真正幫助學(xué)生理解概念、法則；使用邏輯推理對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行說理或驗(yàn)證，才能培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、能力；讓學(xué)生接觸規(guī)范的推理語言、規(guī)則，才能幫助學(xué)生獲得用“數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)”的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.