李 堅 孫紅英

【摘要】數(shù)學一致性教學立足于兒童高階思維能力和核心素養(yǎng)的發(fā)展，采取整體設(shè)計，關(guān)聯(lián)核心概念，溝通內(nèi)在聯(lián)系，把握知識本質(zhì)，挖掘數(shù)學思想，實現(xiàn)認知在更高思維層面上的統(tǒng)一。開展一致性教學，可讓兒童的認知體系能形成整體化與結(jié)構(gòu)化，可讓兒童能深入地理解和把握數(shù)學知識的本質(zhì)與蘊含的數(shù)學思想，可以很好地促進兒童高階思維能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展。一致性教學與高階思維能力發(fā)展的目標是一致的。數(shù)學一致性教學可以圍繞“核心概念的統(tǒng)領(lǐng)”、“內(nèi)在聯(lián)系的溝通”、“數(shù)學思想的凝練”三個維度去開展與實施。

【關(guān)鍵詞】一致性教學；高階思維；核心概念；內(nèi)在聯(lián)系；數(shù)學思想。

數(shù)學教學在實施結(jié)構(gòu)化教學的同時，要讓學生在學習中充分感悟與理解學科知識本質(zhì)的一致性，即立足于兒童高階思維和核心素養(yǎng)的發(fā)展，采取整體設(shè)計，關(guān)聯(lián)核心概念，溝通內(nèi)在聯(lián)系，把握知識本質(zhì)，挖掘數(shù)學思想，實現(xiàn)認知在更高思維層面上的統(tǒng)一?！耙恢滦浴苯虒W就是不同數(shù)學知識的學習，都可用同樣的公認事實、基本概念、或基本原理與思想方法去解釋，讓不同知識或知識的各個要素融合成一個和諧的整體。實施一致性教學，可讓兒童的認知體系能形成整體化與結(jié)構(gòu)化，可讓兒童能深入地理解和把握數(shù)學知識的本質(zhì)與蘊含的數(shù)學思想，從而促進兒童思維能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展，以有效地降低兒童的認知負荷和思維負擔。

高階思維是當前數(shù)學教學改革與研究的熱點問題。通常認為，高階思維是一種高層次、高水平的思維形式，是一種發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次的認知能力。在布魯姆教育目標的分類中表現(xiàn)為分析、綜合和評價三個思維層次。數(shù)學是思維的體操，數(shù)學核心素養(yǎng)的形成依賴數(shù)學思維的發(fā)展，數(shù)學教學最終都要指向?qū)W生數(shù)學思維能力的發(fā)展，尤其是高階思維能力的發(fā)展?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）》在“三會”中明確指出：“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界?！编嵷剐沤淌谔岢觯骸耙诟哂^念下指導與開展教學活動，要很好地滲透各種重要的數(shù)學思想與方法，包括高層次思維的發(fā)展，要超越具體知識和技能，深入到思維層面，用思維分析帶動具體知識和技能的學習。”

綜上可知，一致性教學與高階思維發(fā)展的目標是一致的，都指向兒童思維能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展，二者相互促進，相輔相成。踐行一致性教學可以較好地促進兒童高階思維能力的發(fā)展，因為一致性教學對應(yīng)著眾多的高階思維能力要素，如：推理與歸納、關(guān)聯(lián)與拓展、抽象與概括、評價與綜合、發(fā)散與創(chuàng)新等；兒童高階思維能力的發(fā)展需要抓手，一致性教學為高階思維能力的落地生根提供了新的途徑與視角。

在實際教學中，可以“核心概念的統(tǒng)領(lǐng)”為出發(fā)點、以“內(nèi)在聯(lián)系的溝通”為著力點、以“數(shù)學思想的凝練”為生長點，去開展與實施著眼于整體建構(gòu)的、指向?qū)W科本質(zhì)和高階思維發(fā)展的一致性教學。

一、統(tǒng)領(lǐng)核心概念，感受內(nèi)容一致性

馬云鵬教授指出：“知識的關(guān)聯(lián)是通過學科的核心概念來實現(xiàn)的。核心概念是打通知識之間關(guān)聯(lián)的鑰匙。” 數(shù)學核心概念是居于數(shù)學知識結(jié)構(gòu)中心具有持久和遷移價值的關(guān)鍵性概念、性質(zhì)、原理或思想方法等，其是高位、抽象和概括的，體現(xiàn)著數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和思維特征。數(shù)學核心概念對理解和掌握相關(guān)數(shù)學知識不可缺少，其是學生理解數(shù)學知識、解決實際問題、感悟數(shù)學思想與形成結(jié)構(gòu)化知識體系的關(guān)鍵，是提升思維能力與核心素養(yǎng)的主要抓手，是達到數(shù)學內(nèi)容認知一致性的重要途徑。

布魯納強調(diào)：“一門課程在它的教學過程中，應(yīng)反復回到這些基本觀念，以這些基本觀念為基礎(chǔ)，直至學生掌握了這些觀念相適應(yīng)的一整套體系為止?！币虼?，數(shù)學一致性教學就應(yīng)該以體現(xiàn)基本原理的主題核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，把一個或幾個核心概念始終貫穿于整個學習之中并反復強化與不斷運用，使得主題內(nèi)零散的內(nèi)容能建立起緊密地關(guān)聯(lián)并形成整體性的結(jié)構(gòu)，以有效地實現(xiàn)知識與方法的吸納、建構(gòu)、遷移與應(yīng)用。

首先，應(yīng)在概念的透徹理解中明晰出核心概念。

概念的學習特別是有關(guān)各種數(shù)的概念的學習是數(shù)學學習的重要基礎(chǔ)。數(shù)的概念較多，即使有部分學生在生活中已經(jīng)有所接觸與了解，但這種了解還是比較片面與膚淺的，還達不到準確與透徹地程度，尤其是還未能提煉出有關(guān)核心概念從認知的一致性角度去理解和表達數(shù)的本質(zhì)。

數(shù)學知識是人類漫長歷史發(fā)展過程中不斷的積淀與創(chuàng)造，是人類智慧的結(jié)晶，每個數(shù)學知識包括各種數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展都有其獨特的背景與歷史，并且人們對數(shù)的認識是不斷深化和豐富的，數(shù)系也是逐步擴展的。因此，對于數(shù)的認識的教學，就不能讓學生只根據(jù)各個數(shù)各自所具有的現(xiàn)實背景而簡單地去理解其意義，那樣學習就缺乏關(guān)聯(lián)性，認知就缺乏整體性，思維水平就達不到高階，而是需要我們幫助學生能從數(shù)的產(chǎn)生背景、數(shù)系擴展的內(nèi)在邏輯和數(shù)的計數(shù)方法這三個方面去深入地厘清相關(guān)數(shù)的由來與發(fā)展、內(nèi)在的關(guān)聯(lián)與本質(zhì)及其附有的文化屬性與價值，以在對數(shù)的認識的不斷深化中逐步地明晰和提煉出核心概念，實現(xiàn)在核心概念的統(tǒng)領(lǐng)下達到對數(shù)的認識的“一致性”。

例如，在教學整數(shù)時，可讓學生理解整數(shù)是對生活中的數(shù)量的抽象而產(chǎn)生的，并且采用單位和具有位值的十進制方式來計數(shù)，可實現(xiàn)“有限”表示“無限”；在教學分數(shù)時，可以讓學生明白是在等分物體或度量物體時得不到整數(shù)個而產(chǎn)生的，需要“細分”單位才能準確地表示數(shù)的大小；在教學小數(shù)時，可通過安排人民幣或長度單位來解決實際的計數(shù)或度量問題時，需要用“十分”的方式來“細化”單位才能準確地表示數(shù)的大小，且其與整數(shù)連結(jié)比分數(shù)更加自然。這樣，實現(xiàn)了用單位的計數(shù)和度量對數(shù)的產(chǎn)生背景認識的一致性，即它們都是源于對數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象，都需用單位來計數(shù)和度量，只不過整數(shù)是單位的逐漸累加，而分數(shù)和小數(shù)是單位的逐漸細化。

同時，在教學中要借助數(shù)的產(chǎn)生背景幫助學生理清數(shù)系擴展的脈絡(luò)及其之間的聯(lián)系，即整數(shù)是加1的運算，從1開始不斷加1，滿十進一，以致無窮，可歸結(jié)為加法的運算。分數(shù)無論是“等分除”還是“包含除”得到的數(shù)，都是一種“新”數(shù)，是為了表示兩個數(shù)相除商不是整數(shù)的情況，可歸結(jié)為除法的運算。而小數(shù)是從1開始的細化，是特殊的分數(shù)，是整數(shù)十進制體系向相反方向的拓展和延伸，且運算比分數(shù)更為方便。這樣，學生可從整體上理解了整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系的一致性，即數(shù)系擴展是數(shù)的運算的需要。

在此基礎(chǔ)上，再運用“計數(shù)單位”這個核心概念，從整體上對各種數(shù)的計數(shù)方式進行一致性的解釋，幫助學生真正形成對于數(shù)的認識的本質(zhì)理解。但由于“計數(shù)單位”這個核心概念相對較抽象，所以教師應(yīng)該根據(jù)學生的年齡特點和認知規(guī)律幫助學生逐步地去明晰和提煉，并需在數(shù)的意義學習中初步認識、在數(shù)的讀寫中深化理解、在數(shù)的大小比較中強化應(yīng)用。比如整數(shù)認知，在低年級教學20以內(nèi)整數(shù)時，可借助小棒等實物來直觀理解數(shù)的意義與滿十進一，初步了解數(shù)位、位值及其單位“個”與“十”，再通過數(shù)的讀寫與大小比較深化對單位的認識。如，從9開始，一個一個的加分別是多少？11表示什么？怎么讀？兩個1的意思一樣嗎？11與13誰大？……在教學萬以內(nèi)的整數(shù)時，可借助計數(shù)器理解數(shù)的意義、計數(shù)單位和“十進制”計數(shù)方式，并在數(shù)的讀寫、大小比較等中凸顯計數(shù)單位的應(yīng)用與價值。如，從99開始，一個一個的加分別是多少？從900開始，一百一百的加分別是多少？6345其是由幾個千、幾個百、幾個十和幾個一組成的？怎么讀？要讀出什么和什么？ 6345與6341誰大？……在中年級教學較大的整數(shù)時，可借助數(shù)位順序表繼續(xù)用“計數(shù)單位”去幫助學生理解與掌握數(shù)的意義、分級、讀寫、大小比較以及“十進制”計數(shù)體系等，理解其計數(shù)方式的實質(zhì)是表示整數(shù)計數(shù)單位個數(shù)的多少，并與低年級的學習形成一致性。如，3個憶、8904個萬和5708個一組成的數(shù)是多少？怎么讀？與89045708相比誰大？……對于分數(shù)和小數(shù)認知，同樣類比整數(shù)的教學，讓學生理解它們計數(shù)方式的實質(zhì)也都是表示計數(shù)單位個數(shù)的多少。最后，在總復習時，可借助于直觀圖形用核心概念“計數(shù)單位”來統(tǒng)領(lǐng)整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的計數(shù)方式：806345=8×100000+0×10000+6×1000+3×100+4×10+5×1，，0.33=3×0.1+3×0.01……在這樣的比較和聯(lián)系中，學生就能整體地理解它們計數(shù)方式的一致性，即都是用“計數(shù)單位”的個數(shù)來表達數(shù)的大小的。

當我們用了研究對象+式的認識方式來逐步深化對數(shù)的認識，即從數(shù)的產(chǎn)生背景，數(shù)系擴展的內(nèi)在邏輯和數(shù)的計數(shù)方式這三個維度來理解數(shù)的認識之后，就會幫助學生打通數(shù)域之間的關(guān)聯(lián)，理清數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，達到對數(shù)的意義的全方位的、透徹地本質(zhì)理解，并認識到核心概念的統(tǒng)領(lǐng)價值，從而能站在更高地思維層面上用“計數(shù)單位”幫助學生實現(xiàn)數(shù)的認識的一致性。

其次，應(yīng)在算理的多元表征中概括出核心概念。

運算教學不僅要掌握算法，更要理解算理。離開算理支撐只知道算法，計算就是空中樓閣，學生就會走不穩(wěn)行不遠。沒有提煉算法只理解算理，計算就沒形成技能，學生就會走不快行不準。并且算理的理解方式不能單一，必須是多元的表征，要從“數(shù)”和“形”兩方面去把握，才能豐富與深化學生對運算核心概念的本質(zhì)理解。

雖然小學數(shù)的運算內(nèi)容眾多、形式復雜，不僅涉及加減乘除四則運算，以及整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)形態(tài)，還涉及各種運算律和性質(zhì)，但是它們還是可用“計數(shù)單位”這個核心概念來統(tǒng)領(lǐng)并實現(xiàn)算法提煉與算理理解學習的一致性。因為，數(shù)的運算是以數(shù)的認識為基礎(chǔ)并且與數(shù)的認識緊密地融為一體的，同時四則運算之間的聯(lián)系也是緊密的，它們相互依存并互為可逆。因此，在教學中應(yīng)避免將各種數(shù)的運算割裂開來各說各理，而是應(yīng)該從其局部和整體這兩個方面并借助計數(shù)單位來理解運算本質(zhì)的一致性。

首先，需聯(lián)系數(shù)的認識概括核心概念來理解運算本質(zhì)的一致性，實現(xiàn)思維從感性具體到理性具體的上升。如，在教學整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加減法時，可創(chuàng)設(shè)具體情境借助豎式和算式結(jié)合數(shù)的認識運用實物圖形表征和言語表征來理解計算過程，并在橫式中概括算理、在豎式中提煉算法，即它們都是相同數(shù)位對齊或分母相同才能相加減，其一致性的本質(zhì)就是用相同的計數(shù)單位才能做加減；再如，在教學整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘法時，也可創(chuàng)設(shè)具體情境借助實物圖形表征和言語符號表征，讓學生結(jié)合數(shù)的計數(shù)方式通過比較和觀察理解算理，概括出它們的運算過程和結(jié)果都是：“（計數(shù)單位×計數(shù)單位）×（計數(shù)單位個數(shù)×計數(shù)單位個數(shù)）”，即“新的計數(shù)單位×新的計數(shù)單位個數(shù)”，如圖所示；對于除法，我們可聯(lián)系除法的兩種意義“等分除”與“包含除”，結(jié)合多元表征讓學生在充分理解算理的基礎(chǔ)上概括出算法：“（計數(shù)單位÷計數(shù)單位）×（計數(shù)單位個數(shù)÷計數(shù)單位個數(shù)）”，即“新的計數(shù)單位×新的計數(shù)單位個數(shù)”。如，80÷4=（10÷1）×（8÷4），0.3÷0.02=（0.1÷0.01）×（3÷2），÷=（÷）×（ ?/ × 。雖然數(shù)的形態(tài)不同，但從運算的局部來看，同一形式的運算其本質(zhì)是一樣的，都能在核心概念“計數(shù)單位”的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)運算的一致性。

其次，需利用四則運算之間的聯(lián)系概括核心概念來理解運算本質(zhì)的一致性，實現(xiàn)思維從理性具體到理性一般的上升。正整數(shù)是加1的結(jié)果，可知加法是所有運算的基礎(chǔ)，所有運算都可以還原為加法。因此，可利用數(shù)軸進行圖形表征，知道加法在數(shù)軸上就是計數(shù)單位向右移動不斷累加的結(jié)果。減法是加法的逆運算，在數(shù)軸上就是計數(shù)單位向左移動不斷累減的結(jié)果。乘法是加法的簡便計算，在數(shù)軸上就是一群數(shù)向右移動不斷累加的結(jié)果。除法是乘法的逆運算也是減法的簡便計算，其在數(shù)軸上就是一群數(shù)向左移動不斷累減的結(jié)果。雖然運算的形式有很多，但從運算的整體來看，它們之間是緊密聯(lián)系的，還是都能在核心概念“計數(shù)單位”的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)運算的一致性。

立足于數(shù)的運算的局部和整體，通過多元表征，聯(lián)系數(shù)的認識，溝通不同運算之間的關(guān)聯(lián)，建立系統(tǒng)地數(shù)學結(jié)構(gòu)，統(tǒng)領(lǐng)核心概念“計數(shù)單位”，在算理理解和算法提煉的過程中，以及推理能力尤其是高階思維能力的提升中，讓學生充分感受數(shù)的運算的內(nèi)容一致性，即數(shù)的運算都是計數(shù)單位的運算。

再次，應(yīng)在方法的自主遷移中歸納出核心概念。

在新知的學習中，教師應(yīng)該充分利用學生已有的經(jīng)驗、知識和思想方法來實現(xiàn)學習的自主遷移。在遷移的過程中，要引導學生尋找新舊知識之間的聯(lián)系，辨別新舊知識之間的區(qū)別，歸納出能統(tǒng)領(lǐng)新舊知識的核心概念，實現(xiàn)對新知的深度理解、問題的自主解決和認知的一致性認識。

在學習平面圖形的面積推導與立體圖形的體積推導時，學生會提出：“為什么在面積推導或體積推導開始，都要先學長方形或長方體，然后再學習其它圖形的推導呢？長方形或長方體的面積或體積推導方法與后繼探究的圖形怎么不一致呢？”學生有這樣的疑問和困惑，說明對面積和體積的度量還沒有形成一致性的本質(zhì)認識，還缺少用核心概念去統(tǒng)領(lǐng)認知。因此，在教學時，需用“度量單位”這個核心概念去幫助學生理解與把握，即在教學長方形的面積時或平面圖形面積復習與整理時，可引導學生回顧和思考：面積單位是如何定義的？有沒有面積單位形狀不是正方形的？如何度量一個圖形面積的大?。慷攘块L方形具有的面積單位數(shù)量容易，還是度量其它平面圖形容易？不能直接鋪滿的圖形，其面積公式又該如何推導呢？通過一系列高質(zhì)量地富有挑戰(zhàn)性的問題引領(lǐng)，讓學生在比較中明晰、聯(lián)系中建構(gòu)、思考中深入，直指圖形測量的核心概念“度量單位”，并在“度量單位”的解釋下形成對平面圖形面積度量認識的一致性。然后在立體圖形體積推導的教學時，可以聯(lián)系與類比平面圖形教學，提出：“度量單位能不能不用又方又正的正方體？”這樣，讓學生在遷移中歸納、聯(lián)系中思考、追問中提升，思維得到不斷進階，對圖形測量的學習形成更為深刻地一致性認識。

二、溝通內(nèi)在聯(lián)系，感受結(jié)構(gòu)一致性

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）》明確提出“加強課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，突出課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化?！瘪R云鵬教授指出：“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有助于更好地理解學科基本原理、有助于實現(xiàn)知識與方法的遷移、有助于準確把握核心概念的進階?！笨梢?，溝通內(nèi)在聯(lián)系，突出內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有助于教師準確地理解和合理地運用核心概念進行教學，有助于學生將零散的、碎片的知識主動建構(gòu)為整體化、系統(tǒng)化和邏輯化的知識結(jié)構(gòu)，減少那些毫無價值的、機械重復的學習，實現(xiàn)知識和方法的有效自主遷移以及數(shù)學結(jié)構(gòu)的一致性，從而促進高階思維能力的發(fā)展。

因此，在教學中我們要善于引導學生會用聯(lián)系的、整體的眼光看待問題，善于溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，善于建立結(jié)構(gòu)化地認知體系和思維方法，善于達成認知結(jié)構(gòu)的一致性。

首先，運用聯(lián)系的觀點增強結(jié)構(gòu)化的意識。

普遍聯(lián)系是數(shù)學學科的一個重要特征，也是數(shù)學能不斷煥發(fā)生命力的一個重要原因。鄭毓信教授指出：“數(shù)學基礎(chǔ)知識的教學，不應(yīng)求全、而應(yīng)求聯(lián)?！辈捎寐?lián)系的觀點來學習數(shù)學可以很好地把握數(shù)學的本質(zhì)和實現(xiàn)數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一致性。因此，在學習中，要采用“聯(lián)系的觀點”進行分析，揭示知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，運用數(shù)學的一些基本原理讓學生的認知在更高層面上實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的一致性，以使學生發(fā)現(xiàn)和推理出更多的、新的規(guī)律與結(jié)論。

例如，學生在學習中遇到的兩個這樣問題：“把一個真分數(shù)的分子與分母同時增加相同的數(shù)，其分數(shù)值會如何變化？”、“兩車在做相遇運動時，如果其中甲車速度增加，乙車速度不變，則相遇時甲車所行路程與原來相比會有怎樣的變化？”當然學生可能會用設(shè)具體數(shù)的方法求解這兩個問題，不難得出分數(shù)值以及甲車所行路程的占比會變大的結(jié)論。但是，教學不能停留于此，可聯(lián)系“糖水中加糖糖水變甜即含糖率變大”的道理來說明，會讓學生有“豁然開朗”的感覺，發(fā)現(xiàn)不同領(lǐng)域的內(nèi)容可擁有相同的本質(zhì)與一致性的結(jié)構(gòu)。此外，我們還需要繼續(xù)關(guān)聯(lián)分數(shù)的基本性質(zhì)來解釋其中奧妙，以促進學生的高階思維能力得到進一步地提升，即當分子分母擴大相同的倍數(shù)其分數(shù)值是不變的，但當分子擴大的倍數(shù)比分母擴大的倍數(shù)多時，分數(shù)值自然會變大。同時，還可以追問：“生活中還有哪些數(shù)學問題也可用這個道理來解釋呢？”“一石頭激起千層浪”，學生的思維會更加發(fā)散，理解會更加深度。用“聯(lián)系的觀點”處理數(shù)學知識，可以化抽象為直觀、化孤立為聯(lián)系、化零散為結(jié)構(gòu)、化膚淺為深度、化多樣為一致，并讓學生在關(guān)聯(lián)中建構(gòu)，在建構(gòu)中統(tǒng)一，很好地達成認知結(jié)構(gòu)的一致性。

其次，抓住內(nèi)在的邏輯建立結(jié)構(gòu)化的體系。

布魯納說“一個人越是具有學科結(jié)構(gòu)化的觀念，就越能毫不疲乏地完成內(nèi)容充實和時間較長的學習情節(jié)。”喻平教授指出：“對于一個數(shù)學概念、命題的理解，不僅要理解它的內(nèi)涵，明晰它的外延，更重要的是要將其置于一個體系中，厘清它與其他概念之間的關(guān)系，形成概念或命題體系”。因此，在教學中，需要從整體上架構(gòu)學習，把知識嵌入數(shù)學結(jié)構(gòu)當中，理清知識體系，探尋知識聯(lián)系，在循序漸進之中引導學生理解知識的本質(zhì)內(nèi)涵，并用核心概念統(tǒng)領(lǐng)學習尋找到知識背后的邏輯意義。

例如，在六年級學習體積單位時，教材上出現(xiàn)1厘米線段、1平方厘米的正方形和1立方厘米的正方體，讓學生比較并說說它們的不同點。如果只讓學生理解到它們分別是長度、面積和體積的單位這個程度，那么學生的認知水平和思維是低下的。如果我們能從運動、維數(shù)和進率這三個視角及其聯(lián)系進行說明與比較，學生的認知會得到極大地提升，并可實現(xiàn)度量單位在數(shù)學結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一。即可先通過動畫演示引導學生知道：“點動成線、線動成面、面動成體”，長度對應(yīng)著一維，面積對應(yīng)著二維，體積對應(yīng)著三維。再借助圖形或方塊引導學生理解：一維長度大小只受一個方向的量決定即左右方向，二維面積大小是受兩個方向的量同時決定即左右（長或底）和前后（寬或高）相乘，三維體積大小是受三個方向的量同時決定即左右（長）、前后（寬）和上下（高）相乘，所以一維相鄰單位之間進率表現(xiàn)為101，二維相鄰單位之間進率表現(xiàn)為102，三維相鄰單位之間的進率表現(xiàn)為103。通過大膽想象、巧妙聯(lián)系、發(fā)散思維、深層比較，不僅讓學生深入理解了體積單位的本質(zhì)內(nèi)涵，又讓學生在與長度、面積單位的關(guān)聯(lián)中實現(xiàn)了一次對“度量單位”結(jié)構(gòu)體系的一致性認識。

三、凝練數(shù)學思想，感受本質(zhì)一致性

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）》在闡述數(shù)學本質(zhì)時指出：“數(shù)學抽象、推理、建模是數(shù)學發(fā)展所必須的三個最基本的數(shù)學思想?！笔穼幹薪淌谥赋觯骸皵?shù)學思想是數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展所必須依賴的，是學習數(shù)學的人應(yīng)該具有的思維特征?！睌?shù)學思想是數(shù)學的靈魂。數(shù)學思想凝煉不僅可使學習者的思考深邃、學習深度與思維提升，而且讓學習者還能透過表象實現(xiàn)對數(shù)學知識本質(zhì)的一致性理解。

因此，在教學中不僅要讓學生掌握具體的數(shù)學知識，更為重要的是應(yīng)當在性質(zhì)探究、運算律理解以及問題解決中由隱及顯地揭示其中所蘊含的數(shù)學思想，使孤立、零散的知識能串聯(lián)起來并形成相互關(guān)聯(lián)的整體，使貌似毫不相同的數(shù)學對象產(chǎn)生內(nèi)在聯(lián)系并能在數(shù)學思想的統(tǒng)攝下在新的層面上獲得統(tǒng)一。

1.在性質(zhì)探究中感悟數(shù)學思想

數(shù)學性質(zhì)的掌握和運用是形成數(shù)學學科素養(yǎng)的基本要求，其直接決定著學生能否正確地理解數(shù)學和運用數(shù)學，能否將相關(guān)的數(shù)學知識在數(shù)學性質(zhì)背后蘊含的數(shù)學思想的統(tǒng)領(lǐng)下形成認知的一致性。在小學，需要掌握和運用的數(shù)學性質(zhì)有很多，但它們通常都比較抽象，要想真正理解和掌握它，需要深入性質(zhì)的本質(zhì)和揭示其背后所蘊含的數(shù)學思想，才能讓我們的認知水平、問題解決的本領(lǐng)以及思維能力得到更好地提升。

例如，在學習“能被2、3、5整除的數(shù)的特征”時，如果教師只注重讓學生去探索、發(fā)現(xiàn)和運用性質(zhì)，忽略性質(zhì)的驗證，即使驗證也只是通過安排有限的舉例而已，那么學生的思維過程是不嚴密的，學生對性質(zhì)的認識和理解也是表面與淺層的，難以達到深度的本質(zhì)理解，并且對整除性質(zhì)的認知還沒有形成一致性。因此，在實際的教學中，教師要創(chuàng)設(shè)一定的探究性活動，讓學生明白能被2、3、5整除的數(shù)的性質(zhì)背后的道理及其之間的關(guān)聯(lián)，以及它們蘊含的共同數(shù)學本質(zhì)與思想。所以，在教學中可以借助計數(shù)器、小正方體模型或方格圖等學具進行表征演示，直觀的把整數(shù)進行不同形式的拆分，如，3132=3×1000+1×100+3×10+2×1，3132=（3×999+3）+（1×99+1）+（3×9+3）+2×1=（3×999+1×99+3×9）+（3+1+3+2），讓學生在數(shù)的“分”與“合”之中明白“為什么被2、5整除只看它的個位而被3整除需看各個數(shù)位上的數(shù)字之和”的道理，直指性質(zhì)的本質(zhì)。同時，教學還可繼續(xù)延伸：“用此方法，能找到被9整除的數(shù)的特征嗎？以及4與25、8與125呢？……”學生可遷移前面的方法，繼續(xù)借助學具從數(shù)的“分”與“合”的角度進行操作與理解，不難發(fā)現(xiàn)相關(guān)性質(zhì)及其與前面性質(zhì)的關(guān)聯(lián)。最后再通過整理，讓學生從整體上去感悟與理解它們都是運用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想在探尋整除的性質(zhì)，本質(zhì)上都是整數(shù)的“分”與“合”，是“同余數(shù)理論思想”的一種實際應(yīng)用，實現(xiàn)了數(shù)學學習的化歸與轉(zhuǎn)換、簡化與優(yōu)化。

這樣的教學安排，讓學生在數(shù)學思想的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)了對數(shù)的整除性質(zhì)認識的本質(zhì)一致性，同時學生的數(shù)學高階思維能力和核心素養(yǎng)也得到了極大提升。

2.在算律理解中啟發(fā)數(shù)學思想

運算律是通過對一些等式的觀察、比較和分析而抽象、概括出來的運算規(guī)律。運算律是學生探索算法與理解算理的推理基礎(chǔ)和依據(jù)，在數(shù)與運算中處于核心地位。

小學階段的運算律主要包括：加法結(jié)合律與交換律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律。以往，教師在教學運算律時，通常是讓學生在解決問題的過程中得到一些等式，然后組織觀察、比較、分析，再概括出相關(guān)的運算律，最后運用其去解決運算或?qū)嶋H問題。這是一個具體到抽象、特殊到一般的歸納過程，能很好地發(fā)展學生的合情推理能力，但其是一個不完全歸納的過程，學生的認識還不夠深入，思維還不夠嚴密，還缺少一個借助其他方式來驗證規(guī)律、解釋規(guī)律和說明相關(guān)結(jié)論的正確性的過程，更為重要的是，學生對運算律中所蘊含的數(shù)學思想的感悟還不充分，還未能用數(shù)學思想從整體上實現(xiàn)對運算律內(nèi)容的本質(zhì)認識和知識體系建構(gòu)的一致性。

首先，需要從“數(shù)”與“形”兩個方面來增強學生對運算律的理解。也就是在開始學習運算律時，教師需要引導學生用多元方法解決實際問題，然后從“數(shù)”的方面去理解：盡管計算順序不同，但不同算式通過計算其結(jié)果是相等的，又由于它們解決的同一個問題，所以不計算也肯定相等。例如，學習加法結(jié)合律時，可設(shè)置這樣的問題情境：課間操場上有21名男生在跳繩，35名女生在跳繩，還有15名女生在踢毽子。操場上跳繩和踢毽子的學生一共有多少人？學生可能列出算式“（21+35）+15”即先求出跳繩的人數(shù)再加上踢毽子的人數(shù)。還可能列出算式“21+（35+15）”即先求出女生的人數(shù)再加上男生的人數(shù)。在此基礎(chǔ)上，進行仿寫得到更多類似的算式，然后從計算結(jié)果和問題解決這兩個方面進行驗證和說理，初步明確結(jié)合律。同時，還要借助幾何直觀圖形從“形”的方面來解釋結(jié)合律的成立原因。如圖，即三角形的周長可列式為 （a+b）+c、a+（b+c）或為（a+c） +b，三個算式都指向三角形的周長，所以計算結(jié)果肯定相等，等式也必然成立。這樣，讓學生經(jīng)歷了從運算律的“數(shù)”和“形”兩個方面來認識規(guī)律、驗證規(guī)律和解釋規(guī)律，進一步增強了學生對運算律的本質(zhì)理解，同時又讓學生的思維在數(shù)學思想的啟發(fā)之下更加嚴密而又富有邏輯。

其次，還要從“變”與“不變”兩個方面來深化學生對運算律的理解。也就是在整理和運用運算律時，在充分地回顧五個運算律的推導和驗證的基礎(chǔ)上，讓學生借助下面的圖形直觀地感悟運算律當中蘊含的“變”與“不變”：變的是順序與方法，即可以變換方向列出不同的算式去解決問題。不變的是結(jié)果與思想，即都可借助幾何直觀去解釋一維線段總長、二維面積總和與三維體積大小都是確定與唯一的。通過這樣的教學安排，讓學生的學習經(jīng)歷了一個從合情推理到演繹推理的完美之旅，讓學生真正理解了運算律的關(guān)聯(lián)和本質(zhì)，形成了結(jié)構(gòu)化的認知體系，并在數(shù)學思想的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)了對運算律本質(zhì)認識的一致性。

3.在問題解決中揭示數(shù)學思想

近些年來，“問題解決”比較盛行，已經(jīng)成為數(shù)學知識領(lǐng)域中的一個重要版塊與內(nèi)容。但教師在“問題解決”的教學中，更多關(guān)注的是解決問題的策略形成和方法掌握，較少重視其背后的數(shù)學思想的感悟和凝練。從而造成這樣一個狀況：盡管學生已經(jīng)具備了足夠的數(shù)學知識，也已經(jīng)掌握了一定的解決問題的策略和方法，但卻依然不能靈活、有效地去解決實際問題。

鄭毓信教授指出：“問題解決不能滿足于某些具體結(jié)果或結(jié)論的獲得，而是需要通過實例的考察與解決獲得更為深入的理解，即進一步探尋并關(guān)聯(lián)事實背后隱藏的某種普遍理論和數(shù)學思想，并能把它們納入到一個新的、統(tǒng)一的數(shù)學結(jié)構(gòu)中，引出更為普遍性的思維方法或模式，從而幫助學生學會‘數(shù)學地思維?！币虼?，在問題解決的教學中，不能只著眼于具體問題的求解，否則就不能打開和發(fā)展學生的思維，而是需要我們能從整體出發(fā)，站在思維的高度，運用聯(lián)系的眼光，清楚地幫助學生揭示一些數(shù)學結(jié)構(gòu)相近、數(shù)學思想相同的問題所包含的共性，從而實現(xiàn)問題解決內(nèi)容學習的一致性。

例如，在六年級學習“假設(shè)替換”內(nèi)容時，不能只滿足于“假設(shè)”策略的形成和“替換”方法的掌握，即只滿足于“把兩個或多個未知數(shù)轉(zhuǎn)化成一個未知數(shù)得以解決問題”的方法掌握。還需將“假設(shè)替換”與“假設(shè)調(diào)整”、“假設(shè)消去”以及方程等解決問題的方法與結(jié)構(gòu)進行比較，以幫助學生在橫向結(jié)構(gòu)上獲得一致性認識，即雖然它們解決問題的具體的方法不一樣，但運用的策略都是一致的，都是“假設(shè)”。同時，我們還要進一步地將“假設(shè)問題”與“和差問題”、“和倍問題”、“差倍問題”、“盈虧問題”等類型的問題進行比較，以幫助學生在縱向結(jié)構(gòu)上獲得一致性認識，即雖然它們問題的結(jié)構(gòu)與類型不一樣，但本質(zhì)上都運用了“化歸”的數(shù)學思想把兩個或多個未知數(shù)轉(zhuǎn)化成一個未知數(shù)。這樣，學生的學習就會在橫向結(jié)構(gòu)和縱向結(jié)構(gòu)上同時得到延伸和發(fā)展，它們相互支撐、相互補充，學生的認知會更加深入富有邏輯性，知識體系會更加系統(tǒng)富有統(tǒng)一性，思維層次更加上位富有高階性。

以具體的假設(shè)策略為立足點，將問題解決內(nèi)容的教學從橫向結(jié)構(gòu)和縱向結(jié)構(gòu)上發(fā)散出去，揭示各個相關(guān)內(nèi)容學習的共同本質(zhì)以及它們背后蘊藏的數(shù)學思想，從而達到數(shù)學學習的“一般化”與“問題解決”教學的一致性。

綜上，實施一致性教學是學生深入理解知識本質(zhì)、建立知識之間的聯(lián)系、以及感悟數(shù)學思想的重要抓手，是發(fā)展學生高階思維能力和核心素養(yǎng)的重要途徑。一致性是一種意識，需要在實踐中不斷增強；一致性是一種能力，需要在過程中不斷培養(yǎng)；一致性是一種思維，需要在學習中不斷強化；一致性是一種素養(yǎng)，需要在教學中不斷落實。一致性教學是教學改革的方向，對于指向兒童高階思維發(fā)展的一致性教學的具體實施原則和方法，還需要進一步討論和研究。

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責任編輯：陳國慶