摘?要：在高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不等式作為解題的一種重要工具發(fā)揮著重要的作用。證明不等式往往也是考試中常見的一類題型。導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)凹凸性等問題中有著重要的地位，在此過程中，也蘊含著一些證明不等式的方法。本文通過分析導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)特性中的應(yīng)用，歸納總結(jié)出幾種證明不等式的方法。為了更好地掌握理解這些方法，通過舉例加以說明。本文還進一步拓寬了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍，為初學(xué)者提供了更多證明不等式的方法。同時，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及提高邏輯推理能力等方面有重要的作用。

關(guān)鍵詞：不等式；導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；凹凸性；詹森不等式

中圖分類號：O172??文獻標(biāo)識碼：A

不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)常見的一種題型，也是大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中一種重要的考試題型。通過學(xué)習(xí)，我們知道證明不等式的方法靈活多樣，因此選取恰當(dāng)?shù)淖C明方法能達到事半功倍的效果。常見的證明不等式的方法有比較法、分析法、配方法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。具體選取哪種方法，往往需要根據(jù)不等式的特點來選擇。有些不等式可以用多種方法證明，因此在學(xué)習(xí)的過程中要善于分析總結(jié)歸納。

導(dǎo)數(shù)是大學(xué)理工科“高等數(shù)學(xué)”［1－3］和數(shù)學(xué)專業(yè)“數(shù)學(xué)分析”［4］課程中一個重要的概念，在微積分中扮演著重要的角色。華東師范大學(xué)版《數(shù)學(xué)分析》教材第六章《微分中值定理及其應(yīng)用》中著重討論了如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的特性。通過學(xué)習(xí)講授本章的內(nèi)容，注意到它蘊含了幾種證明不等式的方法。因此，本文將詳細(xì)介紹這些方法，并給出具體的實例加以說明。

1?利用微分中值定理證明不等式

首先介紹拉格朗日中值定理在證明不等式中的應(yīng)用。為了需要，先引入此定理。

定理1［4］：若函數(shù)f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得：

f′（ξ）=f（b）－f（a）b－a（1）

首先，利用拉格朗日中值定理證明不等式的關(guān)鍵是，通過對不等式進行適當(dāng)變形，使其出現(xiàn)式（1）右邊的形式。以此來選取函數(shù)f（x）并確定區(qū)間［a，b］。其次，驗證函數(shù)f（x）在［a，b］上滿足拉格朗日中值定理的條件。最后，再利用導(dǎo)函數(shù)f′（x）在［a，b］上的取值情況或者有界性，得到所要證明的不等式。下面給出兩個例子加以說明這個過程。

例1?證明：對任意實數(shù)x1，x2，都有

sinx1－sinx2

x1－x2

該不等式是三角函數(shù)中一個重要的不等式，在證明函數(shù)連續(xù)及一致連續(xù)中發(fā)揮著重要的作用。通常是利用三角函數(shù)的和差化積公式證明該不等式，現(xiàn)利用拉格朗日定理證明該不等式。對該不等式變形成sinx1－sinx2x1－x2

1。

證明：當(dāng)x1=x2時，不等式顯然成立。

當(dāng)x1≠x2時，不妨假設(shè)x1

故對任意實數(shù)x1，x2，都有sinx1－sinx2

x1－x2。

在例1中，我們很容易地觀察出所要構(gòu)造的函數(shù)f（x），因此直接利用拉格朗日中值定理比較容易證明。往往很多題型，需要對不等式進行適當(dāng)變形之后，才能確定函數(shù)。

例2?證明：對x>0，有0<1ln（1+x）－1x<1。

分析觀察上述不等式，要想化成式（1）的形式，需要對該不等式做適當(dāng)變形。兩邊同時加1x，化簡后再同時取倒數(shù)，就得到x1+x0有11+x

證明：對x>0，令f（t）=ln（1+t），t∈［0，x］。

顯然，f（t）在［0，x］上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此存在ξ∈（0，x），使得f（x）－f（0）x－0=ln（1+x）－ln1x=11+ξ。注意到11+x<11+ξ<1，故11+x

從上面兩個例子可以看出，利用拉格朗日中值定理證明不等式的難點就是構(gòu)造滿足條件的函數(shù)f（x），并確定區(qū)間［a，b］，因此需要通過多做練習(xí)加以鞏固。

接下來，介紹柯西中值定理在證明不等式中的應(yīng)用。

定理2［4］若函數(shù)f，g在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且f′（x），g'（x）不同時為0，g（a）≠g（b），則存在ξ∈（a，b），使得：

f′（ξ）g'（ξ）=f（b）－f（a）g（b）－g（a）（2）

運用柯西中值定理證明不等式的關(guān)鍵是，尋找恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f，g及區(qū)間［a，b］。進一步說明其滿足定理的條件，再根據(jù)等式（2）得到所要證明的結(jié)論。

例3?證明：x2π<1－cosx

分析將上述不等式兩邊同時除以x2得到1π<1－cosxx2<12。進一步變形為－12

證明對于任給的x∈0，π2，設(shè)函數(shù)f（t）=cost，g（t）=t2，t∈［0，x］。顯然函數(shù)f，g在區(qū)間［0，x］上滿足柯西中值定理的條件，因此存在ξ∈（0，x），使得

f（x）－f（0）g（x）－g（0）=cosx－cos0x2－02=－sinξ2ξ。

由于當(dāng)x∈0，π2時，不等式2π

進一步變形得所要證明的不等式。

對于例3，我們還可以利用泰勒中值定理進行證明。泰勒中值定理敘述如下：

定理3［4］：若函數(shù)f在［a，b］上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a，b）上存在n+1階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x，x0∈［a，b］，至少存在一點ξ∈（a，b），使得

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x－x0）+f″（x0）2?。▁－x0）2+…+

f（n）（x0）n?。▁－x0）n+f（n+1）（ξ）（n+1）?。▁－x0）n+1。

接下來，我們利用定理3證明例3。

證明：由于函數(shù)f（x）=cosx在0，π2上存在任意階導(dǎo)數(shù)，所以滿足泰勒中值定理的條件，從而存在ξ∈0，π2，使得cosx=1－x22+x44！cosξ。整理可得1－cosxx2=12－x224cosξ<12。

注意到當(dāng)x∈0，π2時，有

12－x224cosξ>12－π2424=12－π296>12－4296=13>1π。

綜合可得所要證明的不等式。

應(yīng)用微分中值定理證明不等式的關(guān)鍵步驟就是恰當(dāng)?shù)剡x取滿足定理條件的函數(shù)，利用定理的結(jié)果出現(xiàn)不等式中的形式，再根據(jù)取值情況得到所要證明的結(jié)論。

2?利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

函數(shù)的單調(diào)性在證明不等式的過程中有著重要的作用，而導(dǎo)數(shù)的一個重要應(yīng)用就是判斷函數(shù)的單調(diào)性，并得到了下面重要的結(jié)論：

定理4［4］：設(shè)f（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f（x）在I上遞增（減）的充要條件是f′（x）0（

0）。進一步，若f′（x）>0（<0），則f（x）在I上嚴(yán)格遞增（減）。

特別需要注意的地方是：若f在（a，b）上（嚴(yán)格）遞增（減），且在點a右連續(xù)，則f在［a，b）上也（嚴(yán)格）遞增（減），對右端點b有類似結(jié)論。

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的關(guān)鍵就是構(gòu)造輔助函數(shù)。通常構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是將所證不等式兩邊做差或者做商，或者直接構(gòu)造輔助函數(shù)，利用定理4判斷該函數(shù)的單調(diào)性。根據(jù)函數(shù)的取值情況得到所要證明的不等式。

例4?證明：當(dāng)x>0時，有2x+1>2+xln2。

分析：該不等式既可以用拉格朗日中值定理證明，只需稍加變形，即證明2x+1－2x>ln2。也可以在不等式兩邊做差，利用函數(shù)單調(diào)性證明。這里僅介紹第二種方法：

證明：設(shè)函數(shù)f（x）=2x+1－2－xln2，則f′（x）=（2x+1－1）ln2?？芍?dāng)x>0時，f′（x）>0，且f（x）在x=0點連續(xù)，因此f（x）在區(qū)間［0，+

上嚴(yán)格遞增。故當(dāng)x>0時，f（x）>f（0）=0，即2x+1>2+xln2。

除了不等式兩邊做差這種形式之外，還可以將不等式兩邊做商來構(gòu)造輔助函數(shù)。接下來，給出一個不等式兩邊做商的例子。

例5?證明：2xπ

證明?設(shè)函數(shù)?f（x）=sinxx，0

1，x=0。

為了得到該函數(shù)的單調(diào)性，求其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=xcosx－sinxx2，x∈0，π2。為了判斷其符號，進一步令g（x）=xcosx－sinx，那么g′（x）=－xsinx<0。因此，g（x）在區(qū)間0，π2上嚴(yán)格遞減，故當(dāng)x∈0，π2時，g（x）

若上述例題采用做差法構(gòu)造輔助函數(shù)，會發(fā)現(xiàn)不等式的左端不容易證明。

例6?證明：當(dāng)t>1時，有12t－1

1，x∈［0，1］。

證明：設(shè)f（x）=xt+（1－x）t，x∈［0，1］。其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=t（xt－1－（1－x）t－1）。令f′（x）=0，得x=12。

可知，當(dāng)00。故f（x）在區(qū)間0，12上遞減，所以f（x）f（12）=12t－1，得到不等式的左端。當(dāng)12

1時，f′（x）0。故f（x）在區(qū)間12，1上遞增，所以f（x）f（1）=1，即得到不等式的右端。

注意到在證明上述例6的過程中，構(gòu)造輔助函數(shù)既沒有用到做差，也沒有用到做商。而是直接構(gòu)造了輔助函數(shù)。在解決實際問題時，需要通過觀察分析所要證明的不等式，以確定采取正確的方法構(gòu)造輔助函數(shù)。

3?利用函數(shù)凹凸性證明不等式

判斷函數(shù)凹凸性作為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的一個重要方面，在證明不等式中也發(fā)揮著重要的作用。

首先給出凸（凹）函數(shù)的定義。

定義1［4］：設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數(shù)λ∈（0，1）總有f（λx1+（1－λ）x2）

λf（x1）+（1－λ）f（x2），則稱f為I上的凸函數(shù)。反之，如果總有f（λx1+（1－λ）x2）λf（x1）+（1－λ）f（x2），則稱f為I上的凹函數(shù)。

若函數(shù)二階可導(dǎo)，有下面重要的判定定理。

定理5［4］：設(shè)f為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上f為凹凸函數(shù)的充要條件是f″（x）0?f″（x）

0，x∈I，可以利用凹凸函數(shù)的定義證明不等式。

例7?證明：對任意實數(shù)a，b，有ea+b2SymbolcB@

12（ea+eb）。

證明?設(shè)函數(shù)f（x）=ex，則f″（x）=ex>0。故f（x）為（-SymboleB@

）上的凸函數(shù)。令λ=12，則1－λ=12，從而f（12a+12b）=f（a+b2）SymbolcB@

12f（a）+12f（b）=12［f（a）+f（b）］。即得所證不等式。

我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大最小值。再結(jié)合該函數(shù)的凹凸性，就得到了下面重要的性質(zhì)。

定理6［4］：（1）若f（x）是區(qū)間［a，b］上的凸的連續(xù)函數(shù)，則f（x）

max{f（a），f（b）}；

（2）若f（x）是區(qū)間［a，b］上的凹的連續(xù)函數(shù)，則f（x）max{f（a），f（b）}。

可以利用該性質(zhì)證明一些不等式，在此過程中，需要構(gòu)造函數(shù)，常用的方法是將不等式兩邊做差。

例8?證明：sinπx

π22x（1－x），其中x∈［0，1］。

證明：設(shè)函數(shù)f（x）=sinπx－π22x（1－x），那么f′（x）=πcosπx－π22（1－2x），?f″（x）=π2（1－sinπx）0。

因此f（x）為［0，1］上的凸的連續(xù)函數(shù)，故由定理6得f（x）

max{f（0），f（1）}=0，從而推出所證不等式。

此外，還可以應(yīng)用著名的詹森不等式來證明不等式。下面給出詹森不等式的一般形式。

定理7［4］：若f為［a，b］上的凸函數(shù)，則對任意xi∈［a，b］，λi>0（i=1，2，…，n），∑ni=1λi=1，有f∑ni=1λixi

∑ni=1λif（xi）。若f為［a，b］上的凹函數(shù)，則有f∑ni=1λixi∑ni=1λif（xi）。

例9［4］?設(shè)A，B，C是三角形的三個內(nèi)角，證明不等式sinA+sinB+sinC

323。

證明：設(shè)函數(shù)f（x）=sinx，x∈（0，π）?？芍猣″（x）=-sinx<0，故f（x）是（0，π）上的嚴(yán)格凹函數(shù)。根據(jù)詹森不等式有sinA+sinB+sinC3sinA+B+C3=3sinπ3=33，其中，當(dāng)且僅當(dāng)取A=B=C=π3時，等號成立。

數(shù)學(xué)是一門高度抽象且多變的學(xué)科，因此，靈活掌握證明不等式的方法有一定的難度，需要進行大量的練習(xí)。證明不等式的方法不限于本文介紹的幾種，其方法靈活多樣，因此要求大家平時要多練習(xí)、多總結(jié)。在這個過程中，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時也能提高學(xué)生的推理能力，符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)。

參考文獻：

［1］四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］趙天緒，閻恩讓.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［3］同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2019.

基金項目：1.陜西省寶雞文理學(xué)院研究生教改項目（YJ20JGYB04）；2.陜西省寶雞文理學(xué)院重點教改項目（20JGZD06）；3.國家自然科學(xué)基金項目（12101014）

作者簡介：許俊蓮（1982—?），女，漢族，山西臨汾人，博士，副教授，主要從事小波分析在非參數(shù)統(tǒng)計估計中的應(yīng)用等研究。