王澤學(xué)　陳維

摘 要：基于BICOMB2和SPSS26.0分析軟件，對(duì)來(lái)自CNKI的2015篇有關(guān)數(shù)學(xué)解題的有效文獻(xiàn)進(jìn)行可視化分析，根據(jù)熱點(diǎn)知識(shí)圖譜了解我國(guó)近20年數(shù)學(xué)解題研究熱點(diǎn)和發(fā)展趨勢(shì).我國(guó)數(shù)學(xué)解題的研究熱點(diǎn)由“解題策略以及解題教學(xué)”；“解題反思：一題多解”；“解題思路、技巧以及思想與方法”三個(gè)方面組成.研究熱點(diǎn)領(lǐng)域呈現(xiàn)出四大發(fā)展趨勢(shì)：解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);不等式問(wèn)題探究;波利亞中的元認(rèn)知思想；注重解題教學(xué)中反思能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；研究熱點(diǎn)；發(fā)展趨勢(shì)；知識(shí)圖譜

2021年國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《“雙減”政策》），指出“減輕學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)”［1］.那這是不是意味著數(shù)學(xué)習(xí)題對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不再那么重要？曾經(jīng)，在國(guó)際數(shù)學(xué)教育界就出現(xiàn)過(guò)“中國(guó)學(xué)習(xí)者悖論”，即中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)良，但其創(chuàng)新和思維能力不足［2］.前者是我國(guó)熟能生巧理念，雙基的實(shí)施等等所帶來(lái)的，而后者就是過(guò)重的作業(yè)負(fù)擔(dān)，機(jī)械地做題所產(chǎn)生的.但對(duì)于數(shù)學(xué)而言，不做題肯定是行不通的.波利亞說(shuō)：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題［3］.”單壿教授在《解題研究》談到解題重要性說(shuō)；“學(xué)數(shù)學(xué)的目的，不為別的，就是為了學(xué)會(huì)解題［4］.”這充分說(shuō)明數(shù)學(xué)解題的重要性，那怎樣解題以及解題教學(xué)在《“雙減”政策》的背景下更至關(guān)重要，我國(guó)對(duì)于數(shù)學(xué)解題的研究成果也碩果累累.因此利用BICOMB2和SPSS26.0分析軟件對(duì)數(shù)學(xué)解題研究領(lǐng)域的文獻(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，對(duì)我國(guó)近二十年數(shù)學(xué)解題研究現(xiàn)狀以及發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行直觀呈現(xiàn)，便于數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域的研究者們進(jìn)行下一步的探究.

1 研究數(shù)據(jù)和方法

1.1 研究數(shù)據(jù)

以中國(guó)知網(wǎng)（CNKI）中的學(xué)術(shù)期刊與學(xué)位論文作為文獻(xiàn)來(lái)源，以“數(shù)學(xué)解題”為主題進(jìn)行檢索，時(shí)間跨度為2003—2022年，時(shí)間截止至2022年11月28日.檢索到學(xué)術(shù)期刊論文1519篇，碩博士論文714篇，共2233篇，利用“檢索—初篩—納入—綜合”4個(gè)步驟進(jìn)行甄選［5］，最終選定有效文獻(xiàn)2015篇.

1.2 研究方法

利用Bicomb2和SPSS26.0軟件進(jìn)行分析.從高頻關(guān)鍵詞、近似值矩陣、聚類(lèi)圖和熱點(diǎn)知識(shí)圖譜四個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)解題研究領(lǐng)域進(jìn)行解讀.這種方法不僅能直觀地揭示該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)以及熱點(diǎn)間的關(guān)系，還能對(duì)該領(lǐng)域發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè).

2 研究過(guò)程

2.1 確定高頻關(guān)鍵詞

首先，利用Bicomb2分析軟件提取并統(tǒng)計(jì)關(guān)鍵詞，獲得2538關(guān)鍵詞；其次，將含義重合的關(guān)鍵詞進(jìn)行合并，如將“解題”和“數(shù)學(xué)解題”合并為“數(shù)學(xué)解題”等，得到有效關(guān)鍵詞的頻次為6845次；最后，截取累計(jì)頻次為40%左右的關(guān)鍵詞為高頻關(guān)鍵詞，共獲得33個(gè)關(guān)鍵詞，結(jié)果見(jiàn)表1.

從表1可以看出，33個(gè)高頻關(guān)鍵詞的頻次之和為2630次，占總頻次的38.42%.其中排名前10的關(guān)鍵詞出現(xiàn)頻次均大于60，分別是數(shù)學(xué)解題（456），中學(xué)數(shù)學(xué)（322），解題教學(xué)（231），解題能力（178），中學(xué)生（120），數(shù)學(xué)思想方法（94），解題策略（90），應(yīng)用（75），數(shù)形結(jié)合思想（73），解題錯(cuò)誤（63）.可見(jiàn)我國(guó)數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域的研究多以中學(xué)生解題能力、解題策略、解題錯(cuò)誤、解題中思想方法以及中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)為主.而波利亞解題思想（58）、構(gòu)造法（55）出現(xiàn)的頻次也大于等于55，說(shuō)明在解題策略和解題方法的研究中，波利亞解題思想和構(gòu)造法最受關(guān)注.

2.2 生成近似值矩陣

利用Bicomb2分析軟件對(duì)上述的33個(gè)高頻關(guān)鍵詞進(jìn)行共詞分析，生成詞篇矩陣并導(dǎo)入SPSS26.0，選取落合系數(shù)得到相似矩陣，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2中的數(shù)字反映了兩關(guān)鍵詞之間的相似度，數(shù)字越大，兩關(guān)鍵詞間距離越近，相似度越高，反之距離越遠(yuǎn)，相似度越低.表2中，各個(gè)關(guān)鍵詞到“數(shù)學(xué)解題”距離由近及遠(yuǎn)的順序依次為：數(shù)學(xué)思想方法（0.130）、中學(xué)生（0.098）、中學(xué)數(shù)學(xué)（0.086）、解題教學(xué)（0.043）、解題策略（0.035）、解題能力（0.014）.可見(jiàn)“數(shù)學(xué)解題”與“數(shù)學(xué)思想方法”“中學(xué)生”“中學(xué)數(shù)學(xué)”之間的距離最近，這說(shuō)明研究者們?cè)跀?shù)學(xué)解題研究領(lǐng)域中，更關(guān)注中學(xué)階段以及解題中的數(shù)學(xué)思想方法.

2.3 生成高頻關(guān)鍵詞聚類(lèi)圖

為了更直觀呈現(xiàn)高頻關(guān)鍵詞間的關(guān)系，利用SPSS26對(duì)BICOMB2軟件生成的詞篇矩陣進(jìn)行聚類(lèi)分析，如圖1所示.

圖1中，縱軸數(shù)字代表與之相應(yīng)的高頻關(guān)鍵詞，橫軸數(shù)字代表關(guān)鍵詞之間的距離，數(shù)字越小，表明距離越近，關(guān)系更密切［6］.從數(shù)學(xué)解題高頻關(guān)鍵詞聚類(lèi)圖（圖1）可直觀看出33高頻關(guān)鍵詞被分為3大類(lèi).種類(lèi)1為“解題策略以及解題教學(xué)”研究，包括解題策略、數(shù)學(xué)應(yīng)用題、小學(xué)數(shù)學(xué)、解題能力、培養(yǎng)、審題、解題教學(xué)等16個(gè)關(guān)鍵詞;種類(lèi)2為“解題反思：一題多解”研究，包括解題反思、一題多解2個(gè)關(guān)鍵詞；種類(lèi)3為“解題思路、技巧以及思想與方法”研究，包括解題技巧、不等式、中學(xué)數(shù)學(xué)、函數(shù)、解題思路、解題方法、數(shù)學(xué)思想方法等15個(gè)關(guān)鍵詞.

2.4 繪制數(shù)學(xué)解題研究熱點(diǎn)的可視化圖譜

用SPSS26進(jìn)行多維尺度分析，并選擇Z分?jǐn)?shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，結(jié)合聚類(lèi)分析結(jié)果，繪制出數(shù)學(xué)解題研究熱點(diǎn)知識(shí)圖譜.結(jié)果見(jiàn)圖2.

從圖2可以看出，解題策略以及解題教學(xué)研究（領(lǐng)域1）位于第三、第四象限，其中在第三象限中，“解題策略”“解題錯(cuò)誤”“波利亞解題思想”“解題教學(xué)”“培養(yǎng)”“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”關(guān)鍵詞在Y軸距離較近，這表明在解題策略中運(yùn)用波利亞解題思想，數(shù)學(xué)應(yīng)用題中避免解題錯(cuò)誤以及在解題教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)研究已經(jīng)形成了一定的研究規(guī)模，但并未處于整個(gè)研究網(wǎng)絡(luò)的中心.“元認(rèn)知”“問(wèn)題解決”“數(shù)學(xué)思維”“審題”“小學(xué)數(shù)學(xué)”等關(guān)鍵詞位于第四象限，是整個(gè)領(lǐng)域的邊緣主題，研究者們很少關(guān)注，因此在培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思維，問(wèn)題解決中的元認(rèn)知思想，數(shù)學(xué)解題中的審題等方面也需要引起重視.

解題思路、技巧以及思想與方法的研究（領(lǐng)域3）位于第一、第二象限，在第一象限中，“中學(xué)數(shù)學(xué)”“函數(shù)”“解題方法”“解題技巧”“解題思路”各關(guān)鍵詞間聯(lián)系較為緊密，表明中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)、不等式的解題思路、技巧以及方法研究成果較為豐富，也是現(xiàn)階段此領(lǐng)域中的熱點(diǎn)、重點(diǎn).在第二象限中，“數(shù)學(xué)解題”“數(shù)學(xué)思想方法”等關(guān)鍵詞聯(lián)系緊密，又形成數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法研究領(lǐng)域，同時(shí)與“解題反思：一題多解”研究（領(lǐng)域2）位于同一象限，表明這兩個(gè)領(lǐng)域的研究較為活躍，未來(lái)可以探究思考將這兩個(gè)領(lǐng)域的研究與其他領(lǐng)域關(guān)聯(lián)起來(lái).

3 數(shù)學(xué)解題研究發(fā)展趨勢(shì)分析

3.1 解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在圖2中，領(lǐng)域3中“數(shù)學(xué)解題”“數(shù)學(xué)思想方法”等五個(gè)關(guān)鍵詞聯(lián)系較為緊密，形成在數(shù)學(xué)解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法研究領(lǐng)域.經(jīng)徐利治教授的倡導(dǎo)下，近幾十年，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)成為廣大教師頻繁使用的詞語(yǔ)，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法已為廣大教師所接受.因此也引來(lái)了研究者們樂(lè)此不疲地進(jìn)行探究.領(lǐng)域1中“解題教學(xué)”“培養(yǎng)”“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”三個(gè)關(guān)鍵詞在Y軸距離較近，形成解題教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)研究領(lǐng)域.2014年教育部發(fā)布《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》，指出“研究制定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”［7］.在此之后，有關(guān)核心素養(yǎng)的研究猶如雨后春筍般出現(xiàn)，而且大多數(shù)的落腳點(diǎn)都是如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).比如在數(shù)學(xué)文化領(lǐng)域，也在思考數(shù)學(xué)文化如何促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展？具體有哪些途徑？那不免也會(huì)將數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)之間聯(lián)系起來(lái)，史寧中教授提到數(shù)學(xué)基本思想與數(shù)學(xué)“雙基”“四基”、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都是一脈相承的，基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)就是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)［8］.因此數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著不可割裂的聯(lián)系.但從圖3可以看出，“數(shù)學(xué)思想方法”“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”這兩個(gè)領(lǐng)域關(guān)鍵詞的距離較遠(yuǎn)，說(shuō)明其相關(guān)性不高，研究者常忽略之間的關(guān)系.所以通過(guò)“數(shù)學(xué)解題”這一橋梁，在解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是未來(lái)探究的方向.

3.2 不等式問(wèn)題探究

從圖2可以看出，領(lǐng)域3的研究熱點(diǎn)以不等式為中心，說(shuō)明數(shù)學(xué)中的解題思路，解題技巧，解題方法都能從不等式問(wèn)題入手，在解不等式過(guò)程中滲透著許多數(shù)學(xué)思想方法，而且不等式在數(shù)學(xué)解題中也有廣泛的應(yīng)用.安振平老師提出了二十六個(gè)優(yōu)美不等式［9］，引來(lái)了很多讀者探討.其中李建潮利用配偶法證明第1個(gè)不等式［10］；何業(yè)亮利用齊次化的解題技巧對(duì)其中第5個(gè)給出了簡(jiǎn)潔證法［11］；李雙娥利用極化恒等式證明其中第19個(gè)不等式［12］；查正開(kāi)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明第21個(gè)不等式［13］；王煒利用換元法證明其中第23個(gè)不等式［14］；蘇建國(guó)利用函數(shù)思想證明其中第14、17、18和第19個(gè)不等式［15］；衛(wèi)福山通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，利用三角不等式“變”出很多代數(shù)不等式證明其中第5、6、7和第25個(gè)不等式，這其實(shí)就是化歸的思想方法［16］.不等式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用也比較廣泛，如用基本不等式求最值，柯西不等式在幾何中的應(yīng)用.這足以說(shuō)明不等式在數(shù)學(xué)解題中有著很高的戰(zhàn)略?xún)r(jià)值，而優(yōu)美不等式不僅僅只有這二十六個(gè)，同一不等式可以尋找新的通識(shí)解法，不等式中所展示的解題思路，解題技巧以及所滲透數(shù)學(xué)思想方法值得去深度探究.

3.3 波利亞中的元認(rèn)知思想

在圖2中可以看出，領(lǐng)域1中的“元認(rèn)知”“問(wèn)題解決”“數(shù)學(xué)思維”“策略”“審題”等關(guān)鍵詞在第四象限，而這幾個(gè)關(guān)鍵詞主要圍繞元認(rèn)知展開(kāi).元認(rèn)知是指人們對(duì)自己認(rèn)知的認(rèn)識(shí)［17］，如解一道題過(guò)程，審題，思考解題思路，解題后反思都屬于元認(rèn)知.數(shù)學(xué)元認(rèn)知在數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程中具有重要作用，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)?nèi)齻€(gè)方面［18］.而如何培養(yǎng)元認(rèn)知能力，則可以從波利亞元認(rèn)知思想著手.因?yàn)椴ɡ麃喗忸}思想不僅是一種解題策略，也是一個(gè)完整的元認(rèn)知體系.“怎樣解題表”給出的“提示語(yǔ)”就是典型的元認(rèn)知知識(shí)［19］.譬如，“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”、“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”、“你知道一條與它有關(guān)的定理嗎？”［20］等等.這些提示語(yǔ)都不直接拿來(lái)解題，而是在合適的時(shí)機(jī)給予正確的引導(dǎo).因而在解題時(shí)經(jīng)常自覺(jué)地運(yùn)用這些提示語(yǔ)，是提高解題元認(rèn)知能力的有效途徑.因此，波利亞思想中含有豐富的元認(rèn)知論述，是研究數(shù)學(xué)元認(rèn)知的思想寶庫(kù)［21］.但是除了波利亞中的元認(rèn)知思想，其他數(shù)學(xué)家中的數(shù)學(xué)思想是否也有著元認(rèn)知思想？這值得去關(guān)注和發(fā)現(xiàn).另外，在教學(xué)中，教師還能引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)自己的提示語(yǔ)，這樣學(xué)生不僅印象深刻，而且學(xué)生的元認(rèn)知能力也得以提高.

3.4 注重解題教學(xué)中反思能力

波利亞在“怎樣解題表”中將解題過(guò)程分為四個(gè)階段：理解題目，擬定方案，執(zhí)行方案，回顧［20］.然而在教學(xué)實(shí)踐中往往只注重了前三個(gè)環(huán)節(jié)，而忽視了最后的一個(gè)環(huán)節(jié)——回顧，有些甚至于把解題教學(xué)直接演變?yōu)椤邦}海戰(zhàn)術(shù)”［22］，學(xué)生也逐漸喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.王華老師認(rèn)為，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有三種境界：就題論題，就題論法，就題論道［23］.第一種境界就是解一道題，會(huì)一道題，每道題都是獨(dú)立的存在；第二種境界就是通過(guò)這道題學(xué)會(huì)了解決問(wèn)題的一般方法，能舉一反三；第三種境界是解一道題，總結(jié)了一條規(guī)律，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).因此，教師如果只教一道題，學(xué)生就只會(huì)一道題；教師能歸納總結(jié)出問(wèn)題的一般方法，學(xué)生也能觸類(lèi)旁通；教師如果不會(huì)反思，也教不出會(huì)反思的學(xué)生.所以教師首先要加強(qiáng)自身反思能力，在解題教學(xué)中提高學(xué)生的反思水平，爭(zhēng)取做到“就題論道”［24］.在圖2中，領(lǐng)域2中“解題反思”和“一題多解”形成了“解題反思：一題多解”研究領(lǐng)域，一題多解就是一種很重要的解題后的反思.首先對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)一種解法完成后，經(jīng)過(guò)回顧思考，去尋找另一種解法，一種更加簡(jiǎn)潔的方法.再進(jìn)一步反思尋找不同解法之間的聯(lián)系，總結(jié)共性，這也是多解歸一.其次，會(huì)了一道題，更要學(xué)會(huì)觸類(lèi)旁通，相似的題要聯(lián)系起來(lái)，尋找共同規(guī)律，歸納總結(jié)出一類(lèi)題型；最后，再回到題目本身，可以通過(guò)改變條件，轉(zhuǎn)換問(wèn)題形式，也就是常說(shuō)的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生更能掌握問(wèn)題的本質(zhì).

4 結(jié)論與展望

對(duì)20年來(lái)有關(guān)數(shù)學(xué)解題的學(xué)術(shù)期刊論文和碩博士論文進(jìn)行了系統(tǒng)梳理，對(duì)數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)有了更直觀的了解，研究中所呈現(xiàn)的問(wèn)題也值得關(guān)注：首先，如何讓“數(shù)學(xué)解題”作為載體，使數(shù)學(xué)思想方法促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展；其次，不等式在數(shù)學(xué)解題中有著非常重要的地位，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，每一個(gè)不等式所帶來(lái)的思路、技巧以及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法都值得去深度剖析；然后數(shù)學(xué)元認(rèn)知對(duì)數(shù)學(xué)解題也有著重要的作用，除了波利亞思想中含有的豐富元認(rèn)知論述以外，其他數(shù)學(xué)家思想也值得挖掘、探究，從而培養(yǎng)元認(rèn)知能力；最后在解題過(guò)程中往往會(huì)忽略總結(jié)反思環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該從自身做起，帶領(lǐng)學(xué)生一起進(jìn)行一題多解、多解歸一、多題歸一的實(shí)踐，從而在解題教學(xué)中提高反思能力.

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