高 暢 谷豐登 嚴(yán)俊坤 賈天一 劉宏偉

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

雷達(dá)的基本用途是利用電磁波對(duì)物體或者物理現(xiàn)象進(jìn)行檢測(cè)，在國土防御、氣象預(yù)測(cè)以及航空航天等領(lǐng)域發(fā)揮著極其重要的作用[1,2]。受限于發(fā)射增益、陣列孔徑等因素，單雷達(dá)站難以滿足廣域和高精度目標(biāo)探測(cè)的需求，面對(duì)日益復(fù)雜的電磁環(huán)境、高超聲速飛行器、隱身飛機(jī)等威脅的應(yīng)對(duì)措施有限[3,4]。將多雷達(dá)站組網(wǎng)進(jìn)行協(xié)同探測(cè)具有空間分集、頻域分集、抗毀傷等優(yōu)勢(shì)，如何充分利用各雷達(dá)站觀測(cè)信息、提升目標(biāo)探測(cè)性能是近些年的研究熱點(diǎn)之一[5–9]。

根據(jù)傳送數(shù)據(jù)類型及布站方式的不同，常見的網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)融合檢測(cè)系統(tǒng)可分為分布式檢測(cè)系統(tǒng)和集中式檢測(cè)系統(tǒng)。分布式檢測(cè)系統(tǒng)通常指各雷達(dá)站在對(duì)原始接收信息進(jìn)行局部處理后，將處理結(jié)果傳送至融合中心進(jìn)行進(jìn)一步處理[10]。而集中式檢測(cè)系統(tǒng)則是將各雷達(dá)站接收的原始數(shù)據(jù)信息傳送到融合中心進(jìn)行融合處理[11]。本文考慮的網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)由空間中多個(gè)雷達(dá)站和融合中心構(gòu)成，各雷達(dá)站將接收到的原始回波數(shù)據(jù)或局部處理后的回波信息傳送至融合中心，融合中心基于這些數(shù)據(jù)利用特定的融合檢測(cè)算法給出檢測(cè)結(jié)果，如圖1所示[12]。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)融合檢測(cè)系統(tǒng)Fig.1 Networked radar fusion detection system

傳統(tǒng)的融合檢測(cè)算法通常利用各雷達(dá)站基于同一共視區(qū)域接收回波的幅度信息進(jìn)行融合處理，并以此來提高檢測(cè)性能。融合檢測(cè)技術(shù)發(fā)展至今，Conte, D’addio等人[13,14]分別研究了基于局部判決結(jié)果的融合檢測(cè)算法。他們推導(dǎo)得到了在不同類型的目標(biāo)和干擾下，利用“取或”(OR)準(zhǔn)則作為融合檢測(cè)算法準(zhǔn)則的最優(yōu)和次優(yōu)接收器。Thomopoulos等人[15]研究了基于固定門限的融合檢測(cè)算法，并進(jìn)一步將雷達(dá)站的檢測(cè)結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)質(zhì)量進(jìn)行了融合。Mathur和Willett[16]著重研究了基于雷達(dá)站原始回波數(shù)據(jù)的融合檢測(cè)技術(shù)，他們研究了高斯白噪聲背景下Swerling I 和III目標(biāo)起伏模型下融合檢測(cè)性能，并推導(dǎo)了兩種目標(biāo)起伏模型對(duì)應(yīng)最優(yōu)、次優(yōu)及求和規(guī)則檢測(cè)器，并研究了局部信噪比對(duì)融合檢測(cè)性能的影響?？梢钥闯?，傳統(tǒng)的融合檢測(cè)算法大多僅依據(jù)目標(biāo)回波幅度信息進(jìn)行判決，而未考慮相干系統(tǒng)中能夠獲取并使用的多普勒信息。2013年以來，有學(xué)者將多普勒信息與空間位置觀測(cè)的耦合性應(yīng)用于多幀檢測(cè)，有效提高了目標(biāo)與虛警之間的可分性[17–19]，但該方法并未考慮多普勒信息在網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)中的應(yīng)用。

因此，為了充分利用相干雷達(dá)系統(tǒng)的多普勒觀測(cè)信息來提升網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)融合檢測(cè)性能，本文提出了多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法。考慮到網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)中，不同雷達(dá)系統(tǒng)觀測(cè)到目標(biāo)的空間位置與徑向速度應(yīng)當(dāng)滿足一定的物理約束，而虛警隨機(jī)的徑向速度較難滿足這種約束關(guān)系，因此可利用此性質(zhì)對(duì)目標(biāo)與虛警進(jìn)行區(qū)分[20,21]。換言之，在網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)融合檢測(cè)過程中利用多普勒信息能夠在恒定虛警概率的前提下降低檢測(cè)門限，進(jìn)而提升目標(biāo)檢測(cè)概率。對(duì)雷達(dá)站數(shù)量不同、雷達(dá)布站位置不同以及目標(biāo)位置不同條件下的仿真實(shí)驗(yàn)均表明，本文所提方法與僅基于幅度信息融合檢測(cè)的傳統(tǒng)算法相比，能夠有效提升檢測(cè)性能。

2 傳統(tǒng)融合檢測(cè)算法

假設(shè)一網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)包含N個(gè)雷達(dá)站，第i個(gè)雷達(dá)站觀測(cè)到回波數(shù)據(jù)為，其中，Xi表示待檢測(cè)單元的信號(hào)功率，Yi,j表示參考單元的信號(hào)功率，n表示參考單元個(gè)數(shù)。假設(shè)影響網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)檢測(cè)性能的因素主要為接收機(jī)內(nèi)噪聲，變換到基帶后其均為復(fù)高斯白噪聲。此外，假設(shè)影響各雷達(dá)站觀測(cè)的背景噪聲分布均勻，各觀測(cè)值相互獨(dú)立。不失一般性地，假定目標(biāo)雷達(dá)散射截面積服從Swerling I型起伏模型，在該模型下檢測(cè)問題可表述為[16]

其中，u(·)表示階躍函數(shù)，ζi表示第i個(gè)雷達(dá)站接收信號(hào)的信噪比，μi表示第i個(gè)雷達(dá)站所處環(huán)境的噪聲功率，H0和H1分別表示目標(biāo)是否存在的假設(shè)。

此處假設(shè)各雷達(dá)站獲取的觀測(cè)相互獨(dú)立。需要注意的是，由于本文所提空間位置與多普勒信息組成的約束與基于幅度信息的融合檢測(cè)相互獨(dú)立地實(shí)施，因此本文所提算法也可適用于各雷達(dá)站回波具有相關(guān)性的場(chǎng)景，在該場(chǎng)景下，將相應(yīng)基于幅度信息的融合檢測(cè)算法設(shè)計(jì)為能夠應(yīng)對(duì)各雷達(dá)站觀測(cè)具有相關(guān)性的算法即可[22,23]。參考單元平均恒虛警算法，雷達(dá)系統(tǒng)接收機(jī)內(nèi)噪聲功率μi通過參考單元信號(hào)估計(jì)得到：

基于此估計(jì)值以及檢測(cè)單元的功率觀測(cè)值Xi可構(gòu)造各局部雷達(dá)站的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

此時(shí)式(1)所述的目標(biāo)檢測(cè)問題可表述為

根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則，融合中心的最優(yōu)融合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

當(dāng)參考窗長n接近無窮大時(shí)，式(5)趨近于：

可以看到，次優(yōu)融合檢測(cè)器(6)是對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Zi的加權(quán)求和，權(quán)重與其信噪比呈正相關(guān)。當(dāng)各雷達(dá)站目標(biāo)的信噪比值ζi?1,i=1,2,...,N時(shí)，基于式(6)可以得到形式更為簡潔的融合檢測(cè)器：

融合檢測(cè)器相當(dāng)于將各雷達(dá)站的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行非相干積累，其優(yōu)點(diǎn)在于不需要信噪比ζi的先驗(yàn)值，并且當(dāng)各雷達(dá)站觀測(cè)目標(biāo)信噪比相同時(shí)，該檢測(cè)器等價(jià)于最優(yōu)融合檢測(cè)器Topt。

3 多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法

3.1 算法介紹

傳統(tǒng)融合檢測(cè)算法主要基于各雷達(dá)站觀測(cè)的回波幅度信息，并利用融合檢測(cè)算法來進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)，而未利用到相干系統(tǒng)中的多普勒信息，即徑向速度信息。在實(shí)際應(yīng)用中，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)與其位置、多雷達(dá)站觀測(cè)到同一目標(biāo)的徑向速度之間通常存在一定的耦合性[19]。但是對(duì)于本文所關(guān)注的虛警而言，由于其源于接收機(jī)內(nèi)噪聲，其量測(cè)在雷達(dá)觀測(cè)的距離-方位-多普勒數(shù)據(jù)矩陣中隨機(jī)分布，因此多雷達(dá)站觀測(cè)的虛警與虛警之間以及虛警與目標(biāo)之間存在這種耦合性的概率通常較低。本文正是基于這種考慮提出多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法，對(duì)傳統(tǒng)僅基于幅度信息的融合檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行二次判斷，利用多雷達(dá)站觀測(cè)信息的冗余性提高融合檢測(cè)性能。

假設(shè)在二維空間中存在一個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，速度為vtar=(vx,vy)，相對(duì)于第i(i=1,2,...,N)個(gè)雷達(dá)站的方位角為θTi，徑向速度為vTi，則根據(jù)速度投影關(guān)系得到：

在實(shí)際雷達(dá)應(yīng)用場(chǎng)景中，速度和角度的量測(cè)都具有一定的誤差，并且考慮速度模糊的因素，第i個(gè)雷達(dá)觀測(cè)到目標(biāo)的角度和速度值為

其中，Δθi,Δvi表示角度與速度的量測(cè)誤差，vDi表示雷達(dá)系統(tǒng)的模糊速度，ki表示速度模糊數(shù)，m≥0是根據(jù)雷達(dá)基本參數(shù)確定的目標(biāo)速度最大模糊數(shù)。將式(8)中θTi,vTi替換為觀測(cè)值θOi,vOi，由于誤差的存在可能會(huì)導(dǎo)致原方程無法成立，此時(shí)式(8)左側(cè)式子的值為

由于誤差值 Δθi,Δvi通常是微小量，對(duì)式(10)最后一個(gè)等號(hào)右端中括號(hào)里面的正余弦函數(shù)進(jìn)行1階泰勒展開并省略余項(xiàng)可得關(guān)于 (vx,vy)的線性形式：

若令量測(cè)誤差值 Δθi,Δvi是在一定區(qū)間上服從一定分布的有界值，即

則對(duì) [vxsin(θOi)-vycos(θOi)]符號(hào)進(jìn)行討論可得到：

以及

也就是說，若存在qi,ki(i=1,2,...,N)使得不等式組LI存在可行域，則說明多雷達(dá)站所觀測(cè)到速度與角度信息滿足上述耦合約束條件，亦即多個(gè)雷達(dá)站的觀測(cè)來源于同一目標(biāo)，據(jù)此可判定目標(biāo)存在；否則說明多雷達(dá)站所觀測(cè)的區(qū)域無目標(biāo)存在。

至此，網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)融合檢測(cè)問題被轉(zhuǎn)化為判斷線性不等式組可行域是否為空集的問題。由于該線性不等式組與線性規(guī)劃問題中的線性約束條件表示方式一致，因此本文基于單純形算法求解線性規(guī)劃問題的思路來對(duì)文中線性不等式組可行域是否為空集進(jìn)行判決。單純形算法是一類經(jīng)典的解決線性規(guī)劃問題的算法，其迭代的初始條件要求線性約束條件可行域非空[24,25]。具體的，本文使用運(yùn)籌學(xué)中快速可靠的兩階段法，利用其第1階段來對(duì)線性規(guī)劃問題有無可行域進(jìn)行判決[26–28]。因此將原問題轉(zhuǎn)化為線性不等式組后，即可以利用兩階段算法的第1階段來對(duì)不等式組是否有可行域進(jìn)行求解。算法1給出完整的算法應(yīng)用流程。

3.2 算法檢測(cè)性能理論分析

根據(jù)3.1節(jié)的分析可知，多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法在數(shù)學(xué)上的形式主要是判斷線性不等式組有無可行解，若能將多雷達(dá)站系統(tǒng)下對(duì)應(yīng)的可行域R在二維坐標(biāo)圖上表示出來，就可以對(duì)不同情況下所提算法的檢測(cè)性能進(jìn)行評(píng)估。根據(jù)式(8)，式(13)與式(14)可知，單雷達(dá)站對(duì)應(yīng)不等式組式(13)和式(14)中的直線位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 單雷達(dá)站線性不等式組中直線位置關(guān)系Fig.2 Position relation between lines in linear inequalities based on single radar station

其中，L1對(duì)應(yīng)角度與速度的耦合方程(8)，角度量測(cè)誤差的存在使其斜率發(fā)生變化得到L2，速度量測(cè)誤差的存在使L2的截距發(fā)生變化得到L3。L 8 對(duì)應(yīng)進(jìn)行符號(hào)討論的直線方程vxsin(θOi)-vycos(θOi)=0，L4—L7則對(duì)應(yīng)式(13)與式(14)中其余直線的方程。顯然，上述直線滿足：L4, L5與L3交于點(diǎn)P1；L6, L7 與L3交于點(diǎn)P2；L5, L7與L8交于點(diǎn)P3；L4, L6與L8交于點(diǎn)P4。并且L3與L8垂直；L4, L5(L6, L7)關(guān)于L3對(duì)稱；L4, L6(L5,L7)關(guān)于L8對(duì)稱。

基于上述結(jié)論可知，單雷達(dá)站對(duì)應(yīng)線性不等式組的可行域Ri如圖3所示。在不存在量測(cè)誤差情況下，角度與速度耦合方程(8)一定包含在Ri中，也即Ri表示在最大誤差容限內(nèi)所有可能為真值的集合。

圖3 單雷達(dá)站對(duì)應(yīng)可行域RiFig.3 Corresponding feasible region Ri of single radar station

當(dāng)多雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的可行域Ri具 有公共區(qū)域時(shí)，不等式組式(15)有解，即算法判定該目標(biāo)非虛警。而本文所提算法的優(yōu)勢(shì)主要在于通過抑制虛警來提升檢測(cè)概率，因此所提算法理論分析的重點(diǎn)在于其抑制虛警的能力，為對(duì)該能力進(jìn)行理論分析，考慮3雷達(dá)站系統(tǒng)，且雷達(dá)布站位置如圖4所示。假設(shè)感興趣目標(biāo)速度的最大值為vmax＞0，則虛警滿足不等式組式(13)—式(15)的概率Pf為3個(gè)雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的可行域在圓內(nèi)有公共交疊部分的概率。

算法1 多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法Alg.1 Procedures of the proposed fusion detection method

圖4 3雷達(dá)站系統(tǒng)Fig.4 Three-radar station system

將雷達(dá)站S1,S2對(duì)應(yīng)的可行域在圓O中出現(xiàn)交疊記為事件A；S1,S2交疊區(qū)域與S3對(duì)應(yīng)的可行域存在交疊記為事件B，則有：

由于算法中物理量之間的非線性耦合關(guān)系和不等式組的復(fù)雜性，為簡化分析給出以下假設(shè)條件：

C1: 假設(shè)各雷達(dá)站觀測(cè)不存在速度模糊;

C2: 假設(shè)當(dāng)兩雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的L3在圓O中有交點(diǎn)時(shí)，即視為兩雷達(dá)站對(duì)應(yīng)可行域有交疊；

C3: 假設(shè)S1,S2對(duì)應(yīng)觀測(cè)角度之和為180°(或–180°)；

C4: 假設(shè)可以忽略角度觀測(cè)誤差，而只考慮速度誤差，且各雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的速度誤差限相同，均為Δvmax(＞0)。

上述假設(shè)條件中，C1可在高重頻雷達(dá)體制下成立，C2可在角度和速度誤差較小情況下近似成立，C3可在共視區(qū)域相對(duì)于雷達(dá)S1,S2距離較遠(yuǎn)時(shí)近似成立，C4可在高精度雷達(dá)測(cè)角系統(tǒng)中近似成立。

首先考慮當(dāng)目標(biāo)不存在時(shí)，雷達(dá)站S1和S2對(duì)應(yīng)的可行域R1,R2大致垂直于vx軸，原點(diǎn)到兩雷達(dá)站對(duì)應(yīng)L3的距離在 [0,vmax]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)分布，兩者在圓O中出現(xiàn)交疊的情況如圖5所示，圖中S1和S2對(duì)應(yīng)的可行域的交疊區(qū)域?yàn)镽。

圖5 S1,S2對(duì)應(yīng)可行域RFig.5 Feasible region R of S1 and S2

在假設(shè)C1—C4下，假設(shè)共視區(qū)域相對(duì)于S1的方向角度范圍為 [-θ1max,θ1max]，則當(dāng)S1觀測(cè)角度為θ1，觀測(cè)徑向速度為v1時(shí)，S1對(duì)應(yīng)的L3位置與存在虛警點(diǎn)的情況下S2對(duì)應(yīng)的L3的可能位置如圖6所示，圖6陰影區(qū)域?yàn)榇嬖谔摼c(diǎn)時(shí)S2對(duì)應(yīng)L3的可能位置，則該區(qū)域兩邊界的距離vc表示存在虛警點(diǎn)時(shí)，S2觀測(cè)的虛警可能徑向速度的區(qū)間長度。圖6中已表明各直線間的位置關(guān)系和角度關(guān)系，則S1對(duì)應(yīng)的L3與圓O的割線長度為

圖6 S1,S2對(duì)應(yīng)L3位置Fig.6 The position of L3 of S1 and S2

則有

則在觀測(cè)值為 (v1,θ1)下S1,S2對(duì)應(yīng)可行域在圓O中存在交集的概率為

則S1,S2對(duì)應(yīng)可行域在圓O中存在交集的平均概率近似為

在假設(shè)C4下，角度觀測(cè)誤差被忽略，則單雷達(dá)站對(duì)應(yīng)可行域如圖7所示，其中陰影區(qū)域的邊界平行，又因?yàn)榧僭O(shè)各雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的速度誤差限相同，因此各雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的可行域?qū)挾认嗤揖鶠?Δvmax，進(jìn)而也不難證明S1,S2對(duì)應(yīng)可行域交疊形狀為菱形，大致圖像如圖8所示。由位置關(guān)系可知，S1,S2對(duì)應(yīng)可行域交疊呈的菱形在vy軸上的投影長度為

圖7 單雷達(dá)站對(duì)應(yīng)可行域RiFig.7 Corresponding feasible region R =i of single radar station

圖8 S1,S2對(duì)應(yīng)可行域RFig.8 Feasible region R of S1 and S2

此時(shí)由于假設(shè)C3的存在，雷達(dá)站S3對(duì)應(yīng)的可行域大致與vy垂直，此時(shí)3雷達(dá)站對(duì)應(yīng)可行域存在交疊情況下S3對(duì)應(yīng)L3可能存在區(qū)域如圖9所示，并且根據(jù)圖9中標(biāo)識(shí)的位置關(guān)系可推導(dǎo)出：

圖9 S3對(duì)應(yīng)L3可能存在區(qū)域Fig.9 Possible region of L3 of S3

進(jìn)而S3對(duì)應(yīng)可行域與S1,S2交疊成的菱形有公共區(qū)域的平均概率近似為

綜上，在圖4所示的3雷達(dá)站系統(tǒng)下，且在假設(shè)C1—C4成立條件下，虛警滿足式(13)—式(15)的概率為

假設(shè)基于幅度信息融合檢測(cè)算法的虛警概率為Pfi，則根據(jù)該結(jié)果可計(jì)算出所提算法最終的虛警概率：

可以看出，所提算法的虛警概率隨著 Δvmax的增大而增大，隨著vmax的增大而減小，且當(dāng)θ1max在某一正區(qū)間 (0,θ0](θ0＞=0)內(nèi)時(shí)隨著θ1max的增大而增大。從各雷達(dá)站對(duì)應(yīng)可行域的交疊情況來看，在假設(shè)C1—C4下，Δvmax的增加會(huì)增大可行域的寬度，vmax的減小會(huì)縮小S3對(duì)應(yīng)L3的縱軸截距的分布范圍，使得虛警情況下各雷達(dá)站的可行域出現(xiàn)交疊的概率增加，從而增大了最終的虛警概率，與式(24)理論結(jié)果一致。在假設(shè)C1—C4下，當(dāng)θ1max值為0時(shí)，雷達(dá)站S1和S2對(duì)應(yīng)的L3平行，兩者有交點(diǎn)的概率為0，又由概率值的非負(fù)性可知，當(dāng)θ1max在某一正區(qū)間 (0,θ0](θ0＞0)時(shí)，算法虛警概率隨θ1max單調(diào)遞增，同樣與式(24)理論結(jié)果一致。

3.3 算法計(jì)算復(fù)雜度分析

據(jù)3.1節(jié)對(duì)算法流程的介紹可知，算法遍歷每個(gè)雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的子線性不等式組以及可能的速度模糊數(shù)建立新的線性不等式組LI，從而利用兩階段法的第1階段判斷其是否有可行域。實(shí)質(zhì)上，兩階段算法的第1階段是在原優(yōu)化模型的線性約束中加入人工變量，并以人工變量的和為優(yōu)化模型建立了新的優(yōu)化模型，從而利用單純形算法對(duì)其進(jìn)行求解，通過判斷最優(yōu)值是否為0來判斷原線性約束條件是否有可行域。根據(jù)文獻(xiàn)[29]，單純形算法的平均復(fù)雜度為O(h3m(h-1)-1)，其中h和m分別表示優(yōu)化變量和線性約束的個(gè)數(shù)。

對(duì)于本算法中線性不等式組LI而言，為將其化為線性規(guī)劃約束條件的標(biāo)準(zhǔn)形式[24]，需要將符號(hào)未知的vx,vy化為

之后在兩階段算法中會(huì)再為線性約束條件加入m個(gè)人工變量，因此LI對(duì)應(yīng)的h=4+m，又由式(13)—式(15)可知m=3N，進(jìn)而得到利用兩階段法判斷LI 是否有可行域的平均復(fù)雜度為。

考慮最壞情況，每歷經(jīng)一次算法都需要對(duì)2N(2K+1)N個(gè)可能的LI進(jìn)行有無可行域的判決，則算法的整體平均復(fù)雜度為O((4K+2)N(4+3N)3。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

從3.1節(jié)所提的約束可以看出，所提算法使用的角度與徑向速度觀測(cè)之間有較強(qiáng)的非線性耦合關(guān)系，其在不同場(chǎng)景下帶來理論的檢測(cè)性能難以通過直接積分的方式解析計(jì)算，因此本節(jié)通過蒙特卡羅試驗(yàn)對(duì)所提方法的性能及其影響因素進(jìn)行分析驗(yàn)證，針對(duì)某一網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，假設(shè)各雷達(dá)站發(fā)射波形均為線性調(diào)頻信號(hào)(Linear Frequency Modulation,LFM)，各雷達(dá)系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。假設(shè)影響各雷達(dá)檢測(cè)的因素均為高斯白噪聲，其功率參數(shù)相同。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)共視區(qū)域?yàn)?0 km×50 km的正方形，其形狀如圖10中陰影部分所示，目標(biāo)隨機(jī)出現(xiàn)在雷達(dá)共視區(qū)域中。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)雷達(dá)系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of the radar systems in the simulation

圖10 網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)共視區(qū)域Fig.10 Radar network common view area

另外，實(shí)驗(yàn)中假設(shè)雷達(dá)對(duì)角度和速度的量測(cè)誤差均服從高斯分布，且均值均為0，其標(biāo)準(zhǔn)差正比于瑞利分辨率，且反比于回波信噪比[30]。對(duì)于目標(biāo)，實(shí)驗(yàn)中假設(shè)最大飛行速度為vmax=300 m/s，飛行方向?yàn)槿我饨嵌?。最后，沒有特別提及情況下傳統(tǒng)融合檢測(cè)選用最優(yōu)融合檢測(cè)器Topt。用于估計(jì)待檢測(cè)單元的參考窗長n=8，傳統(tǒng)融合檢測(cè)算法和本文所提算法最終的虛警概率均固定為Pfa=10-3，其中所提算法虛警概率通過蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)法得到。不失一般性地，假設(shè)各雷達(dá)站觀測(cè)到目標(biāo)的信噪比相同，此時(shí)前述式(6)與式(7)的融合檢測(cè)器性能相同。

4.1 融合檢測(cè)性能對(duì)比

根據(jù)第3節(jié)的分析可知，所提多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法實(shí)質(zhì)上通過保證較小的檢測(cè)概率損失的同時(shí)，降低了虛警概率，等價(jià)于在最終虛警概率相同的條件下提升了目標(biāo)檢測(cè)性能。若設(shè)傳統(tǒng)融合檢測(cè)器的檢測(cè)門限值為γ，在給定融合檢測(cè)器的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量TF(Z)及其在 H0和 H1假設(shè)下的概率密度函數(shù)時(shí)，該檢測(cè)器虛警概率為，輸出檢測(cè)概率為，且均隨著γ的升高而降低[2]。經(jīng)過所提算法二次判斷之后的虛警概率和檢測(cè)概率分別為

其中，rfa表示本文算法帶來的虛警排除率，ld表示檢測(cè)概率損失率。若固定系統(tǒng)虛警概率Pfa=α，則算法最終輸出檢測(cè)概率為

為檢驗(yàn)算法的可靠性，現(xiàn)基于本文算法，在3雷達(dá)站系統(tǒng)下，利用多普勒信息分別輔助最優(yōu)融合檢測(cè)器Topt以及實(shí)際應(yīng)用中較易于實(shí)現(xiàn)的求和規(guī)則檢測(cè)器Tsum和服從求“或”準(zhǔn)則的融合檢測(cè)器進(jìn)行融合檢測(cè)[31]，得到引入多普勒信息進(jìn)行輔助檢測(cè)前后，融合檢測(cè)器的檢測(cè)性能對(duì)比如圖11所示?？梢钥闯觯攵嗥绽招畔⑤o助檢測(cè)后，最優(yōu)融合檢測(cè)器Topt、求和規(guī)則檢測(cè)器Tsum和服從求“或”準(zhǔn)則的融合檢測(cè)器的檢測(cè)性能均得到了有效的增益，這也與前述分析相吻合。

圖11 各種傳統(tǒng)融合檢測(cè)器引入多普勒信息輔助檢測(cè)前后的檢測(cè)性能Fig.11 Detection performance of various traditional fusion detectors before and after the introduction of Doppler information

4.2 雷達(dá)站個(gè)數(shù)對(duì)檢測(cè)性能的影響

3.2節(jié)已經(jīng)給出了單雷達(dá)站對(duì)應(yīng)可行域的示意圖，如圖3所示。對(duì)于兩雷達(dá)站系統(tǒng)而言，無論是否存在目標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的兩條觀測(cè)值下L3總會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)，即使兩直線平行，其對(duì)應(yīng)的R1,R2總會(huì)有公共交集，如圖12所示。也就是說，使用所提算法在該場(chǎng)景下一定會(huì)判定目標(biāo)存在，無法對(duì)傳統(tǒng)融合檢測(cè)結(jié)果加以修正。因此，對(duì)于僅使用兩個(gè)雷達(dá)站的網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)，所提算法無法改善傳統(tǒng)融合檢測(cè)的檢測(cè)性能。

圖12 兩雷達(dá)站系統(tǒng)對(duì)應(yīng)可行域RFig.12 Feasible region R based on dual-radar station system

圖13 3雷達(dá)站系統(tǒng)對(duì)應(yīng)可行域RFig.13 Feasible region R based on three-radar station system

為驗(yàn)證上述結(jié)論，基于表1雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)，下面對(duì)包含2,3以及4部雷達(dá)站系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)場(chǎng)景進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，雷達(dá)布站位置如圖14所示，不同網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)下檢測(cè)性能曲線如圖15所示?？梢钥闯?，圖15所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與前述分析基本一致：除兩部雷達(dá)站的網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)外，3雷達(dá)站系統(tǒng)與4雷達(dá)站系統(tǒng)的檢測(cè)性能均在引入多普勒信息后得到了明顯增益。對(duì)于低信噪比目標(biāo)，檢測(cè)性能提升更加明顯。這說明了多普勒信息帶來的信息增量能夠提高雷達(dá)系統(tǒng)的檢測(cè)性能。需要注意的是，圖7在4雷達(dá)站系統(tǒng)上應(yīng)用算法后，檢測(cè)概率幾乎為1，這是由于共視區(qū)相對(duì)于各雷達(dá)站位置較為理想，且實(shí)驗(yàn)中為便于比較而設(shè)置了較高的虛警概率。這使得在蒙特卡羅次數(shù)較少的條件下，幾乎在所有的實(shí)驗(yàn)中目標(biāo)均能夠利用多雷達(dá)站的冗余信息得以正確檢測(cè)，因此會(huì)出現(xiàn)檢測(cè)概率接近1的情況。

圖14 雷達(dá)布站位置Fig.14 Location of radar stations

圖15 不同雷達(dá)站個(gè)數(shù)下算法的檢測(cè)性能曲線Fig.15 Detection performance of different algorithms applied for scenes with different number of radar stations

通過以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析不難發(fā)現(xiàn)，在目標(biāo)不存在時(shí)，隨著雷達(dá)站數(shù)的增多(N≥3)，多雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的具有公共交集的概率會(huì)逐漸變小，出現(xiàn)虛警的概率也會(huì)降低，使得同樣虛警概率條件下檢測(cè)性能會(huì)逐漸提高。

4.3 雷達(dá)布站位置對(duì)檢測(cè)性能的影響

在實(shí)際應(yīng)用中，雷達(dá)站的布站位置往往是影響網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)探測(cè)性能的關(guān)鍵因素。為較好地分析該因素對(duì)所提算法性能的影響，不失一般性地，下面在3雷達(dá)站的網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)中分析所提算法的性能。此外，為分析方便，不妨將3部雷達(dá)站放置在半徑為150 km的圓上，且將之連線得到的圖形設(shè)定為關(guān)于y軸對(duì)稱的等腰三角形。為方便評(píng)估不同布站位置條件下的融合檢測(cè)性能，不失一般性地，分別將頂角設(shè)置為 30°,60°,90°,120°，如圖16所示。

圖16 3個(gè)雷達(dá)站頂角不同時(shí)對(duì)應(yīng)的各雷達(dá)站位置Fig.16 Locations of 3 radar stations with different top angles

在目標(biāo)不存在的情況下，通過將雷達(dá)站相對(duì)于共視區(qū)域的位置代入式(8)進(jìn)行分析，可以得到雷達(dá)S3對(duì)應(yīng)的R3大致平行于x軸，與y軸交點(diǎn)集是大致分布在不模糊速度區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)值。當(dāng)雷達(dá)站組成的等腰三角形的頂角較大或較小時(shí)，雷達(dá)S1與S2對(duì)應(yīng)的R1,R2也均大致平行于x軸，與y軸交點(diǎn)集是大致分布在不模糊速度區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)值，如圖17(a)所示，此時(shí)3雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的相近性使得其具有公共區(qū)域的可能性較高，虛警滿足線性不等式組式(13)或式(14)約束條件的概率會(huì)比較大，因此檢測(cè)性能較差；當(dāng)雷達(dá)站組成等腰三角形的頂角接近90°時(shí)，雷達(dá)S1與S2對(duì)應(yīng)的R1,R2均大致平行于y軸，與x軸交點(diǎn)集是分布在不模糊速度區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)值，如圖17(b)所示，此時(shí)3雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的具有公共區(qū)域的可能性較低，虛警滿足線性不等式組式(13)或式(14)約束條件的概率較小，檢測(cè)性能較好。

圖17 不同雷達(dá)布站位置下的分布圖Fig.17 Distribution of based on radar systems with different locations of radars

為驗(yàn)證上述分析結(jié)果，保持表1中雷達(dá)基本參數(shù)不變，在圖16所示的雷達(dá)系統(tǒng)上應(yīng)用所提算法，得到不同布站位置下檢測(cè)性能曲線如圖18所示?？梢钥闯?，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與前述分析基本一致，隨著雷達(dá)布站連線所呈等腰三角形的頂角由小變大(30°～120°)，網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)的檢測(cè)性能經(jīng)歷了由劣變好再衰退的過程，并且在頂角為 90°時(shí)達(dá)到最佳。

圖18 不同雷達(dá)布站位置下檢測(cè)性能曲線Fig.18 Detection performance of algorithm applied in radar systems with different distributions of radars

基于以上對(duì)3雷達(dá)站系統(tǒng)下布站位置對(duì)檢測(cè)性能的討論，不難推論，當(dāng)兩雷達(dá)站關(guān)于共視區(qū)域中心點(diǎn)對(duì)稱，且關(guān)于共視區(qū)域中心點(diǎn)對(duì)稱的雷達(dá)對(duì)在分布圓上等間隔分布時(shí) (若雷達(dá)站數(shù)為奇數(shù)，則無法組成雷達(dá)對(duì)的雷達(dá)站隨機(jī)分布在相鄰兩雷達(dá)站的中心)，目標(biāo)不存在時(shí)相對(duì)應(yīng)的出現(xiàn)交疊區(qū)域的可能性比較小，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)的檢測(cè)性能可以達(dá)到最佳。

4.4 目標(biāo)位置對(duì)檢測(cè)性能的影響

根據(jù)前述分析可知，除雷達(dá)站布站位置外，目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)站所處的位置也即感興趣的檢測(cè)點(diǎn)位置也是影響融合檢測(cè)性能的重要因素。假設(shè)選用3雷達(dá)站連線構(gòu)成的等腰三角形頂角為 90°的雷達(dá)布站系統(tǒng)，目標(biāo)按如圖19分布。在目標(biāo)不存在的情況下，通過將圖19中雷達(dá)站相對(duì)于共視區(qū)域的位置代入式(8)進(jìn)行分析，可以得到檢測(cè)點(diǎn)在處于不同位置下各雷達(dá)站對(duì)應(yīng)的分布如圖20所示。

圖19 目標(biāo)位置Fig.19 Location of targets

圖20 不同目標(biāo)位置下的分布圖Fig.20 Distribution of based on radar systems with different locations of the target

為驗(yàn)證該分析，保持表1雷達(dá)基本參數(shù)不變，在圖19所示的雷達(dá)系統(tǒng)上應(yīng)用所提的算法，得到不同目標(biāo)位置下檢測(cè)性能曲線，如圖21所示。當(dāng)目標(biāo)位置處于y軸上且從共視區(qū)域的上邊界逐漸轉(zhuǎn)移到下邊界時(shí)，以及目標(biāo)從共視區(qū)域下邊界的左邊界轉(zhuǎn)移到右邊界時(shí)，網(wǎng)絡(luò)化雷達(dá)系統(tǒng)的檢測(cè)性能經(jīng)歷了由劣變好再衰退的過程，并且當(dāng)目標(biāo)接近共視區(qū)域的中心時(shí)檢測(cè)性能會(huì)更好。根據(jù)以上分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果不難推論，在4.2節(jié)討論得出的最佳布站位置的基礎(chǔ)上，當(dāng)目標(biāo)處于各雷達(dá)站連線所構(gòu)成圖形的中心時(shí)檢測(cè)性能可達(dá)到最佳。

圖21 不同目標(biāo)位置下檢測(cè)性能曲線Fig.21 Detection performance of algorithm applied in radar systems with different locations of targets

5 結(jié)語

針對(duì)傳統(tǒng)融合檢測(cè)算法未充分利用多雷達(dá)站回波信息的問題，本文提出了多普勒信息輔助的融合檢測(cè)算法。該算法基于多雷達(dá)站觀測(cè)到同一目標(biāo)的角度與速度信息的物理約束設(shè)計(jì)了角度與速度信息耦合的不等式組，并采用兩階段法對(duì)該不等式組是否有解做出判斷，從而進(jìn)行融合判決。所提的方法在傳統(tǒng)僅基于幅度信息融合檢測(cè)的基礎(chǔ)上，引入多普勒信息輔助檢測(cè)，利用多雷達(dá)站冗余的觀測(cè)信息進(jìn)一步區(qū)分目標(biāo)和虛警。從而在保持最終虛警概率恒定的前提下有效降低了幅度融合所需的檢測(cè)門限，提高檢測(cè)性能。

此外，本文通過對(duì)設(shè)計(jì)的角度與速度信息耦合不等式組對(duì)應(yīng)的可行域進(jìn)行可視化，分析了所提算法在雷達(dá)數(shù)量不同、雷達(dá)布站位置不同以及目標(biāo)位置不同等場(chǎng)景下的檢測(cè)性能，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該分析。該可視化結(jié)果能夠直觀地給出所提算法在不同應(yīng)用場(chǎng)景下的檢測(cè)性能。但是，由于所提算法使用的角度與徑向速度觀測(cè)之間有較強(qiáng)的非線性耦合關(guān)系，本文只給出了特定假設(shè)條件下的理論檢測(cè)性能分析結(jié)果，更具普遍意義的理論分析還需要借助更復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具才能實(shí)現(xiàn)，這也是下一步的研究方向。