摘要：輔助線的有效應(yīng)用可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)幾何知識，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).文章將闡述輔助線的具體內(nèi)容，分析初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用中存在的問題，提出促進(jìn)初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用的有效路徑.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；輔助線；有效路徑

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）08-0011-03

輔助線應(yīng)用是幾何教學(xué)的重點與線索，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理能力和空間想象能力，從而對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)意義.伴隨新課改的逐漸推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的側(cè)重點不是在普通的知識傳遞上，而是在學(xué)生能力培養(yǎng)的層面上.因此，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用的教學(xué)，可以加強(qiáng)對學(xué)生的思維訓(xùn)練和能力培養(yǎng)［1］.

1輔助線的具體內(nèi)容

1.1輔助線的含義

輔助線的基礎(chǔ)含義是指學(xué)生在解答數(shù)學(xué)幾何問題時，基于原圖所作的具有解題價值的直線或線段.在作輔助線時，學(xué)生需要遵守以下原則：首先，需要秉承“集合”的原則，即將題目和圖形中分散的幾何元素轉(zhuǎn)化為集中的幾何元素，比如說在關(guān)于三角形的問題中可以將分散的幾何元素集中于一個三角形或兩個全等的三角形之中，以便于應(yīng)用其他定理完成證明［2］；其次，需要堅持“化繁為簡”的原則，即面對不規(guī)則的圖形時需要第一時間想到通過輔助線將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，面對復(fù)雜的圖形時需要第一時間通過輔助線將其轉(zhuǎn)化為清晰可見的簡單圖形；最后，應(yīng)當(dāng)注重虛實線的結(jié)合，即在平面幾何問題中用虛線表示輔助線.在立體幾何中用虛線表示看不見的輔助線，用實線表示看得見的輔助線.

1.2輔助線的數(shù)學(xué)作用

1.2.1挖掘隱含的性質(zhì)或條件

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之一是為學(xué)生挖掘隱含的幾何性質(zhì)或條件等.即在題目條件與結(jié)論之間關(guān)系不明晰時，學(xué)生可以透過合適的輔助線發(fā)現(xiàn)隱藏的圖形性質(zhì)或其他已知條件，從而獲得過渡性的推論，最終得出正確結(jié)論.

1.2.2集中分散的幾何因素

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之二是為學(xué)生集合分散的幾何因素.即通過輔助線的應(yīng)用將圖形中分散、遠(yuǎn)離的幾何因素轉(zhuǎn)化為集中呈現(xiàn)的幾何因素，為題設(shè)條件和結(jié)論之間構(gòu)建合理的邏輯關(guān)系，從而得出正確結(jié)論.

1.2.3化復(fù)雜為簡單

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之三是為學(xué)生化繁為簡.即通過輔助線的設(shè)計將復(fù)雜的圖形通過拆解分為若干個簡單的圖形呈現(xiàn)出來，從而化復(fù)雜為簡單、化難為易.

1.2.4發(fā)掘特殊點、線

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之四是為學(xué)生發(fā)掘特殊的點和線的數(shù)學(xué)價值.即通過輔助線的設(shè)計將特殊的點、線或圖形性質(zhì)等呈現(xiàn)至學(xué)生面前，驅(qū)使學(xué)生基于這些特殊點、線的作用推導(dǎo)條件與結(jié)論的深層邏輯，最終完成結(jié)論推導(dǎo).

1.2.5構(gòu)造新圖形

輔助線在數(shù)學(xué)題型中的具體作用之五是為學(xué)生在原圖的基礎(chǔ)上構(gòu)造新圖形.由于部分特殊題型的存在，學(xué)生需要應(yīng)用輔助線在原圖基礎(chǔ)上構(gòu)造新圖形，并借助該圖形完成條件與結(jié)論的聯(lián)系，從而完成結(jié)論導(dǎo)出.

1.3輔助線應(yīng)用的教學(xué)意義

1.3.1促進(jìn)新課改的深入推進(jìn)

新課改已明確提出，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，需要注重增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀意識和提高學(xué)生的幾何推理能力.而輔助線應(yīng)用在實際學(xué)習(xí)中將有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理思維和空間想象能力.因此，輔助線應(yīng)用的優(yōu)化教學(xué)將有利于促進(jìn)新課改這部分內(nèi)容的深入推進(jìn)，落實以學(xué)生的發(fā)展為本的教育原則.

1.3.2提高學(xué)生解決問題的能力

綜合輔助線具體的數(shù)學(xué)作用，輔助線應(yīng)用可以幫助學(xué)生提高解決實際問題的能力.具體來說，輔助線應(yīng)用可以挖掘圖形中的潛在信息，以此可以培養(yǎng)學(xué)生的思考能力、推理能力和空間想象能力；輔助線應(yīng)用還可以通過信息整合幫助學(xué)生提高信息整合能力、數(shù)據(jù)分析能力和空間想象能力；輔助線應(yīng)用還可以通過化繁為簡、化難為易等降低學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心；輔助線的應(yīng)用還可以幫助學(xué)生提高知識應(yīng)用能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維拓展與能力訓(xùn)練.

2初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用中存在的問題

2.1缺乏系統(tǒng)性學(xué)習(xí)

從當(dāng)前初中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀來看，教師關(guān)于輔助線應(yīng)用的教學(xué)雖有開展，但缺乏系統(tǒng)性.在實際的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，輔助線應(yīng)用的教學(xué)常常伴隨著平面幾何或空間幾何的題目教學(xué)而展開，導(dǎo)致學(xué)生在實際的學(xué)習(xí)中缺乏對輔助線應(yīng)用的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，從而不利于學(xué)生完成相應(yīng)的知識遷移，繼而不能靈活運用輔助線展開另一類題型的分析與解答.

2.2缺乏深入的概念學(xué)習(xí)

從當(dāng)前初中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀來看，教師關(guān)于輔助線應(yīng)用的教學(xué)雖有開展，但由于缺乏專題性教學(xué)，輔助線應(yīng)用的教學(xué)往往不能引起學(xué)生深入的概念學(xué)習(xí).而缺乏深入的概念學(xué)習(xí)，會導(dǎo)致學(xué)生對于輔助線的認(rèn)識與理解僅僅停留在基礎(chǔ)淺薄的層面，從而影響了學(xué)生對輔助線的實際應(yīng)用，不利于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，也不利于培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力.

3促進(jìn)初中數(shù)學(xué)中輔助線應(yīng)用的有效路徑

3.1設(shè)計專題教學(xué)

初中數(shù)學(xué)教師可以以“輔助線應(yīng)用”為專題設(shè)計并開展相應(yīng)的教學(xué)專題，通過系統(tǒng)性的專題學(xué)習(xí)深化學(xué)生對于輔助線的概念認(rèn)識與應(yīng)用.例如，教師可以通過網(wǎng)絡(luò)查詢、題型分析和教師之間的交流等完善一套“輔助線應(yīng)用”的教學(xué)方案，并以此方案落實具體教學(xué)［3］.

教師可以根據(jù)三角形、平行四邊形、梯形和圓的分類方式設(shè)計對應(yīng)的教學(xué)策略.

首先，關(guān)于三角形的題型，大致包含三種作輔助線的思路.

“中線思路”，如果實際題型中涉及三角形中線，常常將中線加倍；而無中線時通常會出現(xiàn)中點的概念，學(xué)生應(yīng)該就著中線思路繪制三角形的中位線作為輔助線完成后續(xù)條件的證明與推理，從而化繁為簡、化難為易，解決問題.

“平分線思路”，如果實際題型中涉及角平分線，學(xué)生常常遵循平分線思路，以角平分線為對稱軸并利用角平分線自身的特點與性質(zhì)聯(lián)系題中已知條件構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的性質(zhì)與相關(guān)知識完成問題解答.

“等線段思路”，如果實際遇到的題型中提到“兩線段相等”的結(jié)論，學(xué)生應(yīng)當(dāng)作輔助線以構(gòu)成全等三角形或角平分線段等并利用對應(yīng)的定理以豐富自身思路，完成后續(xù)解答.

其次，關(guān)于平行四邊形的問題，大致包括五種作輔助線的思路.

在開展該小專題的部分教學(xué)時，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)開始之初為學(xué)生闡明矩形、正方形、菱形與平行四邊形的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上共同講解并分析這些圖形關(guān)于兩組對邊、對角和對角線的相同性質(zhì)，提供大致的作輔助線的統(tǒng)一思路［4］.

在完成大致思路的概述后，教師就可以以此展開具體的思路分析.

第一，“對角線”原則.學(xué)生在遇到平行四邊形問題時可以先考慮“對角線”原則，通過連成對角線或平移對角線將平行四邊形分成兩個三角形，從而完成化繁為簡的作輔助線工作，完成最終的問題解答.

第二，“直角”原則.學(xué)生可以按照方法順序考慮直角原則，過某一頂點作對邊垂線為輔助線，以此構(gòu)建平行四邊形中的直角三角形.

第三，構(gòu)建線段關(guān)系.比如說連接對角線的交點與一邊中點或過對角線交點作與一邊形成平行關(guān)系的平行線，從而構(gòu)成線段平行或中位線關(guān)系，促進(jìn)問題解答.

第四，構(gòu)造三角形相似或等積關(guān)系.如連接頂點與對邊上一點的線段或延長為輔助線，從而促進(jìn)相似三角形或等積三角形的構(gòu)成，最終完成解答.

第五，過頂點作對角線的垂線為輔助線，以此構(gòu)造平行四邊形中的線段平行關(guān)系或全等三角形的關(guān)系.

關(guān)于梯形這一特殊四邊形的題型思路分析，基于梯形的特點和性質(zhì)，教師可以通過綜合平行四邊形和三角形題型的思路概括引導(dǎo)學(xué)生將梯形問題轉(zhuǎn)化為上述的平行四邊形問題或三角形問題，從而促進(jìn)問題的實際解決.具體而言，學(xué)生可以在梯形內(nèi)部、梯形外部通過平移一條腰、兩條腰或延長兩腰轉(zhuǎn)化為簡單的三角形或平行四邊形的問題；此外還可以通過以梯形上底的兩端點向下底作高為輔助線、平移對角線而形成輔助線等構(gòu)成等線段或其他關(guān)系；還可以通過連接梯形的一個頂點以及一條腰的中點或過一條腰中點作另一條腰的平行線、中位線等.

最后一個小專題是關(guān)于圓形的題型.由于圓形自身的特殊性以及其與其他圖形的分離性，圓形問題的處理往往需要借助輔助線的應(yīng)用以構(gòu)建其與其他圖形之間的關(guān)系，從而促進(jìn)問題的推進(jìn)與證明.關(guān)于圓形題型的解答，教師亦可以分為以下五個思路供學(xué)生思考：通過弦作弦心距為輔助線并利用垂徑平分定理構(gòu)成題目已知條件與求證結(jié)論之間的聯(lián)系；通過直徑作輔助線為圓周角并利用“直徑所對的圓周角是直角”的性質(zhì)完成問題證明；通過連結(jié)切點的半徑為輔助線并利用“切線與半徑垂直”的性質(zhì)推進(jìn)結(jié)論證明；作兩圓形的公切線或連心線，聯(lián)系與圓相關(guān)的角的關(guān)系，從而厘清題目已知條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系；構(gòu)建兩個相交圓的公共弦，通過公共弦聯(lián)系兩個圓形或兩圓之中的圓周角或圓心角的關(guān)系.

在“輔助線應(yīng)用”總結(jié)性專題教學(xué)的最后，教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在運用上述原則或思路時要注重靈活性原則.

3.2引入多媒體教學(xué)

為促進(jìn)初中數(shù)學(xué)輔助線的應(yīng)用，初中數(shù)學(xué)教師可以在系統(tǒng)性的輔助線應(yīng)用專題教學(xué)中借助

信息技術(shù)的特點與優(yōu)勢，以此豐富課堂教學(xué)的趣味性，提高輔助線應(yīng)用專題教學(xué)的直觀性和形象性，從而提高該專題教學(xué)的效率和質(zhì)量.

教師可以通過計算機(jī)技術(shù)的便利在課上幫助學(xué)生實現(xiàn)不同作輔助線的方法，促使學(xué)生在不斷試錯中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從而加深學(xué)習(xí)印象.

此外，教師還可以應(yīng)用計算機(jī)技術(shù)的精確性和靈活性為學(xué)生設(shè)計專門的電子筆記，為學(xué)生反復(fù)思考與驗證提供便利，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量.

綜上，為促進(jìn)初中數(shù)學(xué)輔助線的應(yīng)用，初中數(shù)學(xué)教師可以通過設(shè)計關(guān)于輔助線應(yīng)用的專題教學(xué)以提高輔助線應(yīng)用的學(xué)習(xí)系統(tǒng)性，通過引入多媒體，借助信息技術(shù)優(yōu)勢提高輔助線應(yīng)用課堂教學(xué)的趣味性、直觀性和形象性，從而借助輔助線應(yīng)用這一數(shù)學(xué)方法促進(jìn)學(xué)生的思維培養(yǎng)與能力發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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[3]薩娜.初中平面幾何添加輔助線教學(xué)研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2019.

[4]莊周燕.例析數(shù)學(xué)解題中添加輔助線技巧[J].中學(xué)教學(xué)參考，2018（08）：26-27.

［責(zé)任編輯：李璟］

收稿日期：2022-12-15

作者簡介：李麗（1984.1-），女，福建省武夷山人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.