李剛，張宇，李斯，朱錕鵬，*

1．常州先進(jìn)制造技術(shù)研究所，常州 213164

2．中國(guó)科學(xué)院 合肥物質(zhì)科學(xué)研究院 智能機(jī)械研究所 先進(jìn)制造技術(shù)中心，常州 213164

3．武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081

高速高精密銑削是數(shù)控加工技術(shù)發(fā)展的新階段，具有加工效率高，加工表面質(zhì)量好以及能耗低等優(yōu)勢(shì)，可滿足航空、航天、精密儀器及醫(yī)療器械等行業(yè)對(duì)精密、復(fù)雜零部件的加工需求［1］。相比于常規(guī)切削，高速精密銑削時(shí)切削力的變化更為復(fù)雜。影響高精密銑削加工精度的原因有很多種，比如刀具磨損效應(yīng)［2-3］、刀具彈性變形效應(yīng)［4-5］以及刀具尺寸效應(yīng)［6-7］等。研究高速精密銑削過程中的動(dòng)態(tài)切削力、切削機(jī)理以及影響切削力大小的各種因素，對(duì)提高零件加工精度和優(yōu)化加工工藝方法具有重要的理論和實(shí)踐意義。對(duì)銑削力的精確建模是研究切削機(jī)理和加工動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。銑削過程中對(duì)銑削力的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)可以反饋出刀具銑削狀態(tài)信息，從而進(jìn)一步推斷出刀具變形、磨損以及能量損耗等情況［8-9］。目前相關(guān)學(xué)者已經(jīng)提出了眾多關(guān)于瞬時(shí)銑削力的建模方法，主要建模方法包括：經(jīng)驗(yàn)法［10］、有限元法［11-12］、解析法及機(jī)械法等［13-14］。董永亨等［15］運(yùn)用齊次坐標(biāo)變換法建立了球頭銑刀的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程并利用改進(jìn)后的Z-MAP 方法建立了瞬時(shí)切削厚度模型。最后，利用微元積分的方法建立了瞬時(shí)銑削力模型。Jia 等［16］針對(duì)高速銑削過程中難以加工的材料，提出了一種考慮工件材料特性的球頭銑削力預(yù)測(cè)模型。該模型基于微分和斜切削機(jī)理，將金屬切削過程看作是一系列微分斜切削過程的線性疊加。Lu 等［17］研究了鎳基高溫合金銑削過程中切削力變化規(guī)律較為復(fù)雜的問題，根據(jù)切削厚度最小值，基于切削力與切削層面積的比例關(guān)系，建立了以剪切效應(yīng)為主導(dǎo)的切削力預(yù)測(cè)模型。Wan 等［18］將塑性理論與滑移線場(chǎng)理論相結(jié)合，首次推導(dǎo)出材料分離模型。根據(jù)建立的分離模型，從理論上推導(dǎo)出最小切削厚度并建立了分別考慮剪切和犁切效應(yīng)的切削力模型。

高速精密銑削過程中，刀具由于制造或裝配等誤差導(dǎo)致機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)中心與實(shí)際加工中的刀具回轉(zhuǎn)中心之間不重合，從而產(chǎn)生刀具跳動(dòng)。由于刀具跳動(dòng)的存在將會(huì)導(dǎo)致每個(gè)切削刃所受到的切削力大小不同而加速刀具磨損，降低加工精度。因此，刀具跳動(dòng)［19-20］是影響銑削力預(yù)測(cè)模型精度的重要因素之一。Zhang 等［21］提出了一種考慮刀具跳動(dòng)的銑削力預(yù)測(cè)模型方法。基于線性插補(bǔ)的概念，提出了一種計(jì)算刀具瞬時(shí)切削位置角的新方法。在此基礎(chǔ)上，通過坐標(biāo)變換建立了考慮刀具跳動(dòng)的瞬時(shí)切削厚度解析模型。Sahoo 等［22］基于解析模型，提出了一種混合方法來預(yù)測(cè)微銑削力。該混合方法綜合考慮了刀具跳動(dòng)和最小切削厚度對(duì)瞬時(shí)切削厚度的影響并利用有限元方法計(jì)算切削力系數(shù)。最后，提出了一種更加高效的機(jī)械銑削力建模方法。Zhang等［23］提出了一種簡(jiǎn)單有效的測(cè)量刀具跳動(dòng)參數(shù)的方法，該方法以位移測(cè)量為基礎(chǔ)，通過求解刀具參數(shù)的相關(guān)方程，得到刀具跳動(dòng)長(zhǎng)度和跳動(dòng)角。在分析刀具切削軌跡的基礎(chǔ)上，提出了微銑削單刃切削的判定準(zhǔn)則，并通過銑削實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了單刃切削現(xiàn)象。Zhang 等［24］根據(jù)刀具刃口尺寸效應(yīng)和最小切削厚度，分別建立了由犁耕力和剪切力主導(dǎo)下的銑削力模型。此外，還考慮了刀具加工過程中的軸向偏移，建立了刀具瞬時(shí)撓度模型。

另一方面，刀具磨損直接影響著銑削力大小以及刀具變形，最終導(dǎo)致加工誤差的產(chǎn)生［25-26］。Sun 等［27］研究了切削力與刀具側(cè)刃磨損之間的關(guān)系，建立了考慮刀面磨損的立銑削三維切削力模型。在給定切削條件、刀具幾何形狀以及工件材料的情況下，可方便預(yù)測(cè)出刀具磨損作用下的切削力大小。Zhou 等［28］通過研究刀具單齒進(jìn)給量、切削速度和刀具傾角等切削參數(shù)對(duì)刀具側(cè)面磨損的影響，揭示了球頭銑刀銑削時(shí)的磨損形式和磨損機(jī)理，最后，建立了考慮刀刃側(cè)面磨損的微銑削力解析模型。Oliaei 和Karpat［29］分析了刀具磨損對(duì)微銑削力和表面粗糙度的影響，識(shí)別出有利于微銑削加工的工藝參數(shù)。其研究結(jié)果可用于微銑削加工工藝參數(shù)的選擇和刀具狀態(tài)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)。岳彩旭等［30］針對(duì)銑削拼接模具過程中刀具磨損引起銑削力變化的問題，根據(jù)材料硬度的不同，建立了刀具后刀面摩擦應(yīng)力與后刀面磨損量的函數(shù)關(guān)系。最后，結(jié)合剪切力模型建立了考慮刀具后刀面磨損的銑削力模型。

綜上所述，高速精密銑削過程中， 切削刃將受到周期機(jī)械沖擊載荷、刀具磨損、主軸跳動(dòng)等因素的綜合影響， 其受力狀態(tài)變得相當(dāng)復(fù)雜。當(dāng)高速銑削過程中采用較小的切削進(jìn)給量時(shí)，其加工狀態(tài)將類似于微銑削過程，銑削過程中的刀具彈性變形效應(yīng)也需要考慮到高速銑削力模型中。雖然很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)銑削力預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了廣泛的研究和討論，但過去對(duì)高速精密銑削力預(yù)測(cè)模型的研究中，大多數(shù)模型僅僅考慮了刀具跳動(dòng)、彈性變形或者兩種之一對(duì)其的影響。然而，高速精密銑削加工過程中的刀具磨損效應(yīng)以及彈性變形效應(yīng)是其中不容忽視的因素。刀具磨損不僅會(huì)造成銑削刃銑削半徑的變化，而且還會(huì)影響刀具跳動(dòng)、彈性變形的大小。同時(shí)刀具跳動(dòng)、彈性變形的變化會(huì)導(dǎo)致刀具每齒磨損程度的不同。這些影響因素相互作用，最終將會(huì)嚴(yán)重影響銑削力的大小。為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)銑削力，其模型應(yīng)最大限度考慮刀具磨損、刀具跳動(dòng)、彈性變形等因素對(duì)其的影響。本文綜合分析了上述因素對(duì)瞬時(shí)切削厚度的影響規(guī)律，提出了一種綜合切削厚度計(jì)算模型。通過分析各因素之間的相互作用對(duì)銑削力大小變化的影響，建立了通用性更強(qiáng)、預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度更高的銑削力通用模型，最后，通過高速銑削實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的正確性。

1 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的綜合切削厚度模型

高速銑削過程中，瞬時(shí)切削厚度的精確建模是建立切削力模型的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)瞬時(shí)切削厚度模型的具體表達(dá)形式［31］為

式中：h為刀尖上的任意位置角θ處的瞬時(shí)切削厚度；fam為每齒進(jìn)給量；κ為刀具軸線與刀刃上任意一點(diǎn)到球頭連線的軸向沉浸角。

理論的瞬時(shí)切削厚度被定義為當(dāng)前刀尖運(yùn)動(dòng)軌跡與之前切削所生成表面之間的最小距離。傳統(tǒng)銑削過程中，通常將之前切削形成的表面與刀尖運(yùn)動(dòng)軌跡相吻合，這種認(rèn)知是一種很好的近似過程。然而，隨著刀具持續(xù)的運(yùn)動(dòng)過程中，刀尖實(shí)際切削運(yùn)動(dòng)軌跡與理論切削運(yùn)動(dòng)軌跡并不重合，刀具實(shí)際切削過程中的磨損效應(yīng)、彈性變形等都會(huì)對(duì)先前生成的切削表面產(chǎn)生重大影響。本節(jié)基于運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，求解出真實(shí)的刀尖運(yùn)動(dòng)軌跡，并綜合考慮多種因素對(duì)瞬時(shí)切削厚度的影響，建立了一種更精確，更符合實(shí)際銑削狀態(tài)下的瞬時(shí)切削厚度模型。

1.1 綜合影響因素建模

1.1.1 刀具跳動(dòng)模型

高速精密銑削常用于復(fù)雜精密構(gòu)件的加工，銑削中刀具每齒進(jìn)給量一般都比較小。在實(shí)際加工過程中，由于刀具安裝誤差、刀桿制造誤差以及刀具受力變形等都會(huì)造成刀具軸線與機(jī)床軸線不重合，從而產(chǎn)生刀具跳動(dòng)。刀具跳動(dòng)影響著瞬時(shí)切削厚度的大小，并決定著工件的加工質(zhì)量。因此，刀具跳動(dòng)對(duì)切削力模型的影響是一個(gè)不容忽略的重要因素之一。

考慮刀具跳動(dòng)，在刀具上建立如圖1 所示的刀具坐標(biāo)系XOY，則在刀具位置角θ處所對(duì)應(yīng)的刀刃上任意一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡表達(dá)式［32］為

圖1 刀具跳動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of tool run-out

式中：vx、vy分別為X、Y軸方向上的進(jìn)給速度；r0為刀具偏心量；γ為刀具跳動(dòng)角；ω為刀具旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度；t為切削時(shí)間；R為刀具半徑；φk為切削刃k上P點(diǎn)的徑向位置角，其表達(dá)式為

式中：ψ為P點(diǎn)在XY平面上的投影線與切削刃在刀尖點(diǎn)的切線之間的夾角；K為刀具切削刃總個(gè)數(shù)。

1.1.2 刀具磨損模型

高速精密銑削加工中，由于切削速度的提高，刀具磨損的規(guī)律具有與常規(guī)切削不同的特性，同時(shí)刀具磨損對(duì)銑削力有顯著的非線性影響。當(dāng)?shù)毒吣p值累加到一定數(shù)量時(shí)，會(huì)加速刀具與被加工零件之間的摩擦力，從而導(dǎo)致切削力快速增加。因此，精確的銑削力建模過程中，必須把刀具磨損這一重要因素考慮進(jìn)來，分析與研究其變化規(guī)律，從而進(jìn)一步優(yōu)化加工工藝，提高加工效率。

銑削加工中，刀具磨損隨時(shí)間的增加而不斷增大，其變化規(guī)律與所對(duì)應(yīng)的銑削參數(shù)有關(guān)。根據(jù)以往的相關(guān)研究，刀具磨損在一定條件下，其磨損量的表達(dá)式［33］為

式中：VB 為刀具磨損量；C為與刀具和工件材料的相關(guān)參數(shù)；n為主軸轉(zhuǎn)速；v為刀具進(jìn)給速度；ad為切削深度；D為刀具直徑；k1、k2、k3、k4、k5分別為主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給速度、切削深度、刀具直徑以及切削時(shí)間的指數(shù)。

球頭銑刀銑削加工時(shí)，刀具磨損量與球頭銑刀切削刃所處的微元位置有關(guān)，此時(shí)球頭銑刀的刀具磨損模型還需要考慮切削刃所處的切削位置，則刀具磨損模型式（4）的表達(dá)式變?yōu)?/p>

式中：VBh為考慮切削刃位置的刀具磨損量，H為球頭銑刀切削微元所處的高度位置；k6為切削微元的指數(shù)。

圖2 顯示了球頭銑刀磨損前后切削微元位置的變化情況，球頭銑刀切削微元P點(diǎn)在沒有切削時(shí)所對(duì)應(yīng)的軸向位置角為κp，高度為Hp。當(dāng)經(jīng)過一段時(shí)間切削后，切削微元P點(diǎn)由于球頭部分發(fā)生磨損，P點(diǎn)的真實(shí)位置變?yōu)镻0，PP0為刀具磨損部分，此時(shí)P0點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位置角為κ1。當(dāng)?shù)毒邲]有發(fā)生磨損時(shí)，P點(diǎn)所在高度Hp處的銑削徑為Rp，其表達(dá)式分別為

圖2 球頭銑刀磨損示意圖Fig.2 Schematic diagram of ball-end milling cutter wear

式中：R0為球頭銑刀未磨損時(shí)的半徑；κp為未發(fā)生磨損時(shí)的位置角。

當(dāng)球頭銑刀切削一段時(shí)間后，刀具球頭部分將會(huì)發(fā)生磨損，球頭銑刀在高度Hp處的實(shí)際切削點(diǎn)P將變化為點(diǎn)P0，同時(shí)高度Hp處所對(duì)應(yīng)的球頭銑刀截面圓上的徑向半徑由原來未磨損時(shí)的Rp變化為磨損狀態(tài)時(shí)的Rh。根據(jù)幾何關(guān)系，磨損狀態(tài)下的徑向半徑Rh的具體表達(dá)式為

式中：a2=1/tanκ1。

為簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程相關(guān)公式的表達(dá)形式，將式（5）修正為

則由式（7）和式（9）可得

將式（8）代入式（10）可得

通過求解式（11），即可得到球頭銑刀磨損后，在其銑削刃上任意一點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的軸向位置角κ處的徑向切削半徑。

1.1.3 彈性變形模型

常規(guī)銑削時(shí)，由于切削厚度比較大，刀具刃口半徑與切削厚度相差較大。因此，建立銑削力模型過程中時(shí)，通常會(huì)忽略刀具刃口半徑的影響。當(dāng)高速銑削進(jìn)行精密零部件加工時(shí)，刀具每齒進(jìn)給量較小，切削厚度在10-4mm 和10-2mm 之間，切削厚度與刀具刃口半徑處在同一數(shù)量級(jí)上，這時(shí)加工狀態(tài)可以近似看成微細(xì)銑削過程，所以需要考慮刀具刃口半徑對(duì)銑削力的影響。

當(dāng)切削厚度比較小時(shí)，刀具與工件之間將會(huì)出現(xiàn)彈性變形，從而導(dǎo)致瞬時(shí)切削厚度與實(shí)際切削厚度并不相等。如圖3 所示，刀具切削時(shí)刀具彈性變形量為p1，切削時(shí)的理論切削厚度為h1，實(shí)際切削厚度為h2，則彈性變形與切削厚度之間的表達(dá)式［34］為

圖3 球頭銑刀切削微元示意圖Fig.3 Schematic diagram of cutter cutting micro element

刀具的實(shí)際切削刃口為rc的圓柱面，如圖3 所示，圖中F為刃口作用在被加工工件表面上的力，依據(jù)平面和圓柱在彈性接觸時(shí)的關(guān)系，F(xiàn)可表示為

根據(jù)接觸寬度與變形量的幾何形式，p1還可表示為

聯(lián)立式（12）和式（14）可得

從式（15）中 可以看出彈性變形與刃口半徑成正比關(guān)系，由于E1＞＞E2，則p1最終可表示為

根據(jù)對(duì)切削刃彈性變形的計(jì)算可知，在屈服極限沒有達(dá)到時(shí)，刀具切削刃與工件材料只發(fā)生彈性接觸而不產(chǎn)生切削。而要形成切削，最小切削厚度hmin必須大于切削刃的彈性變形量p1。當(dāng)切削刃施加在工件材料上的力超過其屈服極限時(shí)，工件將發(fā)生成塑性變形，從而形成切削。根據(jù)材料的最大剪應(yīng)力可知，最大剪應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在切削合力成45°方向上，即切削刃作用在工件材料上的最大剪應(yīng)力在θ=45°時(shí)發(fā)生，此時(shí)可得到最小切削厚度hmin=rc(1-cos 45°)≈0.29rc。

1.2 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的綜合切削厚度模型

球頭銑刀在進(jìn)行銑削加工時(shí)，除了進(jìn)給方向上有運(yùn)動(dòng)，還有自身的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)1.1 節(jié)對(duì)銑刀加工過程中的刀具跳動(dòng)、磨損和彈性變形現(xiàn)象的分析，并結(jié)合刀具運(yùn)動(dòng)情況，建立如圖4 所示的坐標(biāo)系。在機(jī)床床身上建立參考坐標(biāo)系ORXRYRZR，工件坐標(biāo)系OW-XWYWZW固定在被加工工件上，刀具坐標(biāo)系OT-XTYTZT固定在刀具中心上，主軸坐標(biāo)系OS-XSYSZS固定在主軸上，機(jī)床移動(dòng)軸坐標(biāo)系為O-XYZ，所建立的各個(gè)坐標(biāo)系方向與參考坐標(biāo)系方向一致。

圖4 刀具切削運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Fig.4 Tool cutting motion coordinate system

當(dāng)機(jī)床靜止時(shí)，刀具刀刃上任意一點(diǎn)P在刀具坐標(biāo)系上的齊次坐標(biāo)變換矩陣為

式中：Rcr為球頭銑刀切削半徑，當(dāng)機(jī)床運(yùn)動(dòng)時(shí)，主軸S以及移動(dòng)軸X、Y、Z在各自坐標(biāo)系中的變換矩陣T0、TS的表達(dá)式分別為

從刀具坐標(biāo)系OT-XTYTZT變換到工件坐標(biāo)系OW-XWYWZW的總變換矩陣為

最終可得到刀齒K上任意一點(diǎn)P在工件坐標(biāo)系OW-XWYWZW內(nèi)的表達(dá)式為

進(jìn)一步將式（21）整理可得到刀具切削刃上P點(diǎn)在刀具位置角θ處的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

刀具銑削加工時(shí)，由于受到刀具跳動(dòng)、磨損以及彈性變形的影響，導(dǎo)致其理論的瞬時(shí)切削厚度與實(shí)際的瞬時(shí)切削厚度不相符。如圖5 所示，藍(lán)色實(shí)線表示刀具當(dāng)前第k個(gè)切削刃運(yùn)動(dòng)軌跡，紅色實(shí)線表示刀具前k-（ii=0，1，2，…，k-1）個(gè)切削刃運(yùn)動(dòng)軌跡，綠色虛線表示刀具切削時(shí)受到各種因素影響下，第k-i個(gè)切削刃切削時(shí)得到的殘余表面，線段MN＇為切削刃在位置角θ處時(shí)的實(shí)際瞬時(shí)切削厚度。求出N＇點(diǎn)的坐標(biāo)是求出實(shí)際瞬時(shí)切削厚度的關(guān)鍵，點(diǎn)M的坐標(biāo)可以通過切削刃的運(yùn)動(dòng)軌跡方程來確定。點(diǎn)M位于第k個(gè)切削刃的運(yùn)動(dòng)軌跡上，則在t時(shí)刻點(diǎn)M的坐標(biāo)可表示為

圖5 刀具切削過程示意圖（考慮刀具跳動(dòng)、磨損和彈性恢復(fù)）Fig.5 Schematic diagram of tool cutting process（ considering tool run-out，wear and elastic recovery）

根據(jù)1.1.2 節(jié)對(duì)刀具磨損分析可知，刀具在切削運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著切削時(shí)間的不斷增加，刀具磨損將會(huì)出現(xiàn)，并隨著切削時(shí)間的增加而變大。因此，考慮刀具磨損時(shí)，式（23）中的Rcr等于式（11），則式（23）修正為

由1.1.3 節(jié)對(duì)刀具彈性變形分析可知，當(dāng)切削厚度較小時(shí)，刀具會(huì)發(fā)生彈性變形從而導(dǎo)致實(shí)際的切削厚度與理論的切削厚度并不相符，此時(shí)將刀具彈性變形也同時(shí)考慮到切削厚度模型中。如圖5 所示，點(diǎn)N位于第k-i個(gè)切削刃作用后的殘余表面上，則點(diǎn)N在tk時(shí)刻的坐標(biāo)為

第k-i條切削刃的接觸點(diǎn)N在t時(shí)刻第k條切削刃上的坐標(biāo)可表示為

聯(lián)立式（25）和 式（26）可得

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)刀具銑削過程中是垂直于工件進(jìn)行加工，即

式中：θk=ωtk；θk-i=ωtk-i，則式（27）修正為

式中：θk-θk-i=2π/K-μ；φk=φk-i+μ；μ為第k-i條切削刃與第k條切削刃在接觸點(diǎn)N的夾角，通過式（29）計(jì)算得到μ的表達(dá)式為

將式（30）代入式（29）計(jì)算得到綜合因素影響下的瞬時(shí)切削厚度h的表達(dá)式為

基于上述分析，通過考慮銑削過程中的各種影響因素，建立了球頭銑刀的綜合切削厚度模型，揭示了銑削參數(shù)與瞬時(shí)切削厚度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。傳統(tǒng)的瞬時(shí)切削厚度模型表達(dá)過于單一，對(duì)于傳統(tǒng)銑削以及表面加工精度要求不高的工件來說，其模型可以滿足，但對(duì)精密加工、微小構(gòu)件加工來說，傳統(tǒng)模型存在一定的局限性，不能夠滿足現(xiàn)代加工要求。本文所建立的瞬時(shí)綜合切削厚度模型能夠很好的揭示高速精密銑削加工過程中各種因素對(duì)其的影響，從而提高銑削加工精度。

2 球頭銑刀銑削力綜合建模

2.1 銑削力綜合建模

根據(jù)瞬時(shí)剛度力學(xué)模型［35-36］，刀具所受切削力可以表示成切削微元受力之和，如圖6 所示。

圖6 刀具切削微元Fig.6 Tool cutting micro element

將參與切削的切削刃沿刀軸方向離散成一組非常小的切削微元，此時(shí)每個(gè)切削微元可以當(dāng)作正交或者斜角切削過程。切削微元轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角φk時(shí)在位置角θk處所受到的切向力dFt、徑向力dFr以及軸向力dFa的表達(dá)式［37］為

式中：Kt、Kr、Ka分別為切向、徑向以及軸向銑削力系數(shù)；h為瞬時(shí)切削厚度；db為切削刃寬度。銑削力系數(shù)可以通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到，微元切削刃寬度db可表示為

式中：dz為斜角切削微元，即軸向離散高度，式（32）中的微元切削力模型是在切削刃微元的局部坐標(biāo)系下建立的，而試驗(yàn)中測(cè)得的切削力是在工件坐標(biāo)系OW-XWYWZW下建立的，所以需要將切削力通過坐標(biāo)變換到工件坐標(biāo)系中，則在工件坐標(biāo)系XYZ方向上的斜角切削微元的切削力分量dFx、dFy、dFz的表達(dá)形式為

式中：T為轉(zhuǎn)換矩陣，其表達(dá)式為

將微元切削力沿刀軸方向進(jìn)行軸向積分，并對(duì)每個(gè)切削刃上的切削微元進(jìn)行求和。最后，得到刀具在工件坐標(biāo)系下3 個(gè)方向上的切削力，其表達(dá)式為

式中：U0和U1分別表示為積分的下限和上限。

2.2 綜合因素下的切入與切出角

銑削力模型式（36）建立后，需要對(duì)銑削過程中的切削刃是否參與切削做出正確判斷，從而得到積分的上下限。判斷切削刃是否參與切削最關(guān)鍵的是確認(rèn)切削刃是否在切入與切出角之間。由于刀具受到螺旋角的影響，瞬時(shí)切削厚度沿著切削刃螺旋線逐漸減小或增大，如圖7 所示，滯后角和切削寬度的表達(dá)式分別為

圖7 銑削過程示意圖Fig.7 Schematic diagram of milling process

式中：β為刀具螺旋角；ae為徑向切削寬度。

考慮滯后角的影響，可以定義刀齒在不同階段的切削區(qū)域［37］，即切入階段Ι、穩(wěn)定階段Ⅱ、切出階段Ⅲ以及不切削階段Ⅳ，如圖8 所示。當(dāng)切削厚度大于最小切削厚度時(shí)（h＞hmin），此時(shí)會(huì)出現(xiàn)相鄰的兩個(gè)切削刃處在共同切削狀態(tài)，如圖8（a）所示，刀具刀齒從開始切削到完全退出切削時(shí)的銑削范圍為［0 π+δ］。當(dāng)?shù)洱X1 還沒有完全退出切削時(shí)，刀齒2 已經(jīng)開始進(jìn)入切削并產(chǎn)生切屑，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)共同切削區(qū)域，即圖8（a）中的陰影區(qū)域，共同切削的范圍在［π π+δ］之間，并給出相應(yīng)的積分上下限［U0U1］的值，如表1所示。

表1 不同切削區(qū)域的積分上下限Table 1 Integration limits in different cutting zones

圖8 銑削切入和切出角范圍Fig.8 Range of entry and exit angles

當(dāng)切削厚度小于最小切削厚度時(shí)（h＜hmin），刀具發(fā)生彈性變形時(shí)所對(duì)應(yīng)的位置角為α，此時(shí)切削過程將分為兩種情況，如圖8（b）和8（c）所示。從圖中可以看出刀具實(shí)際切削范圍變小了，刀齒1 在［0α］、［π π+δ］范圍內(nèi)，將不會(huì)產(chǎn)生切削，一個(gè)周期內(nèi)的刀齒切削范圍變?yōu)椋郐力?α+δ］。當(dāng)?shù)毒甙l(fā)生彈性變形時(shí)所對(duì)應(yīng)的位置角α大于刀具滯后角δ時(shí)，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)相鄰的兩個(gè)切削刃將不存在共同切削產(chǎn)生切屑的狀態(tài)，如圖8（b）所示，其相交部分在不產(chǎn)生切削階段的Ⅳ之間。當(dāng)?shù)毒甙l(fā)生彈性變形時(shí)所對(duì)應(yīng)的位置角為α小于刀具滯后角δ時(shí)，如圖8（c）所示，此時(shí)相鄰的兩個(gè)切削刃也不存在共同切削產(chǎn)生切屑的狀態(tài)，相比圖8（b），其存在3 個(gè)相交部分。當(dāng)?shù)洱X1 還在切削（Ⅲ段）時(shí)，刀齒2 進(jìn)入切削階段但不發(fā)生切屑，其相交的陰影區(qū)域如圖8（c）紅色部分所示，其相交部分區(qū)域?yàn)椋郐?π-α+δ］。當(dāng)?shù)洱X2 開始產(chǎn)生切屑時(shí)，刀齒1雖然沒有完全退出切削階段，但此時(shí)刀齒1 將不產(chǎn)生切屑，其相交的陰影區(qū)域如圖8（c）紫色部分所示，其相交部分區(qū)域?yàn)椋郐?απ+δ］。當(dāng)?shù)洱X1 與刀齒2 相交部分區(qū)域?yàn)椋郐?α+δπ+α］時(shí)，刀齒1 與刀齒2 都不在切削范圍內(nèi)，并給出相應(yīng)的積分限［U0U1］的值，如表1 所示。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

為了驗(yàn)證所提出的綜合模型的準(zhǔn)確性與有效性，在高速加工中心上，如圖9 所示，進(jìn)行銑削實(shí)驗(yàn)。工件材料為鎳基高溫合金Inconel718，尺寸為112.5 mm×40 mm×78 mm。該材料在高溫環(huán)境下具有良好的物理性能，如強(qiáng)度高，應(yīng)用于航空航天、生物醫(yī)學(xué)和電子器件等領(lǐng)域。但它存在切削力大、切削溫度高、高速銑削時(shí)刀具易磨損等問題。刀具選用3 刃球頭硬質(zhì)合金端銑刀，直徑為5 mm，刃口圓弧半徑為5 μm。實(shí)驗(yàn)所用的銑刀均選用同一批次生產(chǎn)的以減少由于刀具性能而引起的誤差。實(shí)驗(yàn)過程中銑削力的測(cè)量選用Kistler9119 測(cè)力儀，采樣頻率為50 kHz，刀具跳動(dòng)選用千分表進(jìn)行測(cè)量。將刀具安裝在機(jī)床主軸上，主軸旋轉(zhuǎn)360°后，千分表上轉(zhuǎn)過的數(shù)值即為刀具跳動(dòng)值。為確定刀具跳動(dòng)長(zhǎng)度初始值，使用千分表測(cè)量3 次并取平均值為6.5 μm。

圖9 高速銑削工藝實(shí)驗(yàn)裝置Fig.9 Experimental setup of high-speed milling process

工件放置在加工中心平臺(tái)上，一共設(shè)計(jì)10 組實(shí)驗(yàn)，每組實(shí)驗(yàn)的切削深度、每齒進(jìn)給量等銑削參數(shù)如表2 所示。每組實(shí)驗(yàn)銑槽加工300 次，每10 次分為1 組共30 組。為了獲得最佳的銑削力和刀具磨損值，根據(jù)以往的研究經(jīng)驗(yàn)，選擇每組銑削結(jié)束前0.02 s 內(nèi)的銑削力測(cè)量數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象。刀具磨損選擇每次銑槽結(jié)束后所測(cè)量得到的磨損值，每組實(shí)驗(yàn)共測(cè)量300 次不同時(shí)間段的刀具磨損值，同樣每10 次再分為1 組共分成30 組，為了消除試驗(yàn)過程中的不確定性，每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)3 次。基于上述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，進(jìn)行銑削實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而分析刀具跳動(dòng)、磨損等因素對(duì)銑削力的影響規(guī)律。

表2 銑削實(shí)驗(yàn)工況Table 2 Machining conditions of milling experiments

3.2 銑削力模型驗(yàn)證

根據(jù)表2 的銑削參數(shù)進(jìn)行銑削實(shí)驗(yàn)并依次測(cè)量刀具銑削過程中的磨損值。依據(jù)2.2 節(jié)中建立的綜合銑削力預(yù)測(cè)模型，分別計(jì)算出每組實(shí)驗(yàn)的理論銑削力值。為了驗(yàn)證所提出的綜合銑削力預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，選擇第4 組實(shí)驗(yàn)的第1 次銑槽和第5 次銑槽時(shí)所測(cè)量得到的銑削力值作為比較。根據(jù)式（36）計(jì)算出一個(gè)周期內(nèi)的理論銑削力波形以及通過銑削實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到實(shí)際銑削力波形，其結(jié)果如圖10 所示。通過銑削力預(yù)測(cè)模型計(jì)算得到的理論銑削力在1 個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)3 個(gè)峰值，分別對(duì)應(yīng)刀具3 個(gè)切削刃銑槽的時(shí)間，3 個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的最大切削力都不相同，呈現(xiàn)高低波動(dòng)。隨著銑削實(shí)驗(yàn)的持續(xù)進(jìn)行，第1 次銑槽所得到的銑削力明顯小于第5 次銑槽時(shí)的銑削力。這是由于刀具跳動(dòng)和磨損等因素的存在，改變了傳統(tǒng)刀具每齒瞬時(shí)切削厚度形式，從而使刀具每齒所受到的切削力不再相同，同時(shí)隨著銑削次數(shù)的增加，銑削力也不斷增大。

圖10 第4 組銑削力的實(shí)驗(yàn)值與理論值對(duì)比Fig.10 Comparison of experimental and theoretical values of milling force in the fourth experiment

圖10 中黑色虛線段表示的是未考慮刀具跳動(dòng)和磨損等綜合影響因素下的理論銑削力波形，與圖中藍(lán)色線段表示的實(shí)際銑削力波形相比，其峰值小于實(shí)驗(yàn)值，總體波形與實(shí)驗(yàn)波形相比還存在一定的偏差。圖10 中紅色線段表示的是考慮刀具跳動(dòng)和磨損等綜合影響因素下的理論銑削力波形，與圖中實(shí)驗(yàn)銑削力波形相比，其峰值更加接近于實(shí)驗(yàn)值，總體波形與實(shí)驗(yàn)銑削力波形相比偏差較小，與未考慮刀具跳動(dòng)和磨損等綜合影響因素下的理論銑削力波形相比，其吻合度較高。因此，將刀具跳動(dòng)、磨損等因素考慮到銑削力模型中，對(duì)提高其預(yù)測(cè)精度具有重要的理論意義。

圖11 所示為根據(jù)式（36）所計(jì)算得到的理論銑削力與實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得到的銑削力之間的誤差與確定系數(shù)柱狀圖。理論與實(shí)驗(yàn)銑削力之間的誤差ξ可以通過（F1-F2）/F1計(jì)算出來，其中F1為理論值，F(xiàn)2為實(shí)驗(yàn)值，從圖11（a）和11（b）中可以看出，1～30 組實(shí)驗(yàn)與理論計(jì)算得出的銑削力誤差絕對(duì)值全部小于1%。圖11（c）和11（d）為銑削力模型的確定系數(shù)R2，R2的值越接近1，則精度越高。除了第9組Fy的R2值小于0.6外，其余Fx和Fy的R2值均大于0.6。這可能是由于機(jī)床顫振和加工環(huán)境等因素導(dǎo)致的誤差。通過對(duì)銑削力的誤差與確定系數(shù)分析，結(jié)果表明本文所建立的銑削力綜合模型較為精確。

圖11 理論和實(shí)驗(yàn)銑削力之間的誤差與確定系數(shù)分析Fig.11 Analysis of error and determination coefficient between theoretical and experimental milling force

3.3 刀具磨損與銑削力的關(guān)系

刀具磨損隨銑削時(shí)間不斷變化，同時(shí)刀具瞬時(shí)銑削力也相應(yīng)發(fā)生改變，如圖12 所示。根據(jù)式（5）預(yù)測(cè)出刀具磨損值，如圖12（a）所示，刀具最后一次銑削所產(chǎn)生的磨損值約是第一次銑削時(shí)的2.5 倍。刀具在X、Y方向上最后一次銑削時(shí)的最大銑削力約是第一次銑削時(shí)的5 倍，如圖12（b）和12（c）所示，這表明刀具磨損與瞬時(shí)銑削力之間相互影響與關(guān)聯(lián)，刀具磨損與銑削長(zhǎng)度近似成正比關(guān)系。因此，可以通過瞬時(shí)銑削力的變化特征來監(jiān)測(cè)刀具磨損狀況，從而提高加工精度。根據(jù)圖12（a）～12（c），得到刀具在X、Y方向上的最大銑削力與刀具磨損的比值η，如圖12（d）所示，結(jié)果表明刀具磨損對(duì)X方向上力的影響大于Y方向，即刀具磨損對(duì)進(jìn)給方向上力的影響較大。

圖12 刀具磨損對(duì)銑削力的影響Fig.12 Tool wear influence on milling force

為進(jìn)一步研究瞬時(shí)銑削力的變化特征對(duì)刀具平均磨損的相關(guān)關(guān)系，根據(jù)銑削實(shí)驗(yàn)分別獲得X、Y、Z軸方向上的瞬時(shí)銑削力，利用Budak 等［38］提出的快速標(biāo)定銑削力系數(shù)算法，計(jì)算得到3 個(gè)方向上的銑削力系數(shù)Kt、Kr、Ka。銑削力系數(shù)在X、Y、Z軸上的絕對(duì)值隨銑削時(shí)間的增加而增大。

圖13 顯示了不同時(shí)刻的刀具平均磨損值以及所對(duì)應(yīng)的銑削力系數(shù)值，從圖中可以看出，隨著刀具平均磨損值的增大，在X軸和Y軸上的銑削力系數(shù)Kt、Kr的變化幅度明顯小于Z軸的銑削力系數(shù)Ka，Z軸上銑削力系數(shù)分別是其他兩個(gè)軸的2.5 倍和5.9 倍。

圖13 切削力系數(shù)隨刀具平均磨損值的變化Fig.13 Variation of cutting force coefficient with average tool wear

選取第3～7 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于相關(guān)分析，計(jì)算得到5 組銑削力系數(shù)與刀具平均磨損值的相關(guān)系數(shù)ρ，如圖14 所示。根據(jù)相關(guān)性定義，相關(guān)系數(shù)ρ的絕對(duì)值在 0.8～1 之間是極度相關(guān)，從圖14 可以看出，銑削力系數(shù)與刀具在X軸、Y軸和Z軸上平均磨損值的相關(guān)系數(shù)ρ均大于0.8，且Z軸上的相關(guān)系數(shù)ρ約為0.94，5 組Ka的相關(guān)系數(shù)值均大于其它兩軸的相關(guān)系數(shù)值。

圖14 刀具平均磨損與切削力系數(shù)的相關(guān)性分析Fig.14 Correlation analysis of average tool wear and cutting force coefficient

根據(jù)實(shí)驗(yàn)值計(jì)算得到的相關(guān)系數(shù)ρ為樣本的相關(guān)系數(shù)，它是總體中的總體相關(guān)系數(shù)ρτ的估計(jì)值。樣本相關(guān)系數(shù)ρ是否來自ρτ≠0 的總體，還需要對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)ρ進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。如表3所示，顯著水平τ=0.01 與τ=0.05 時(shí)，查表可知，其相關(guān)系數(shù)臨界值分別為ρ0.05=0.632 與ρ0.05=0.765。由于實(shí)驗(yàn)所列出的5 組相關(guān)系數(shù)值都大于其臨界值，表中所對(duì)應(yīng)的雙邊顯著性水平的ρ值低于1%，這表明銑削力系數(shù)與刀具平均磨損值極其顯著相關(guān)。通過研究瞬時(shí)銑削力與刀具平均磨損值之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)瞬時(shí)銑削力的動(dòng)力學(xué)特性，特別是Z軸上的銑削力系數(shù)較敏感的反映了刀具平均磨損值的進(jìn)展情況。

表3 相關(guān)系數(shù)分析Table 3 Correlation coefficient analysis

4 結(jié) 論

1）建立了綜合考慮刀具跳動(dòng)、磨損以及彈性變形的高速精密銑削力模型。該模型可適用于不同的銑削類型，通用性強(qiáng)。刀具彈性變形受到單齒進(jìn)給量的影響，單齒進(jìn)給量越小，彈性變形越明顯。同時(shí)由于受到刀具沖擊的影響，刀具每齒的磨損程度也不相同。

2）改進(jìn)的瞬時(shí)切削厚度模型能較好地反映切削機(jī)理和刀具磨損狀況。預(yù)測(cè)銑削力與實(shí)測(cè)銑削力的最大誤差范圍在1%以內(nèi)，確定系數(shù)大于0.6，表明所建立的綜合銑削力模型精確度較高。

3）通過分析刀具磨損與銑削力之間的關(guān)系，結(jié)果表明，進(jìn)給方向上的銑削力以及Z向銑削力系數(shù)對(duì)刀具磨損的影響大于其它兩個(gè)軸，因此，刀具切向力以及Z向的銑削力系數(shù)的變化特征可以很好的表征刀具磨損的進(jìn)展?fàn)顩r，從而優(yōu)化銑削參數(shù)，提高銑削加工精度和效率。