胡慧瑛 陳林聰 錢(qián)佳敏

摘要： 基于一種下層含有搖擺裝置的雙層橋墩結(jié)構(gòu)模型，建立了系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型，其中隨機(jī)激勵(lì)選用高斯白噪聲模型，自復(fù)位恢復(fù)力采用經(jīng)典旗幟形模型。運(yùn)用廣義諧波平衡法將旗幟形滯回力近似分解為幅值依賴(lài)的等效擬線性彈性力和擬線性阻尼力，獲得原系統(tǒng)的等效隨機(jī)系統(tǒng)；采用標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法理論，將等效系統(tǒng)近似為關(guān)于幅值的平均伊藤隨機(jī)微分方程，建立并求解與之對(duì)應(yīng)的 Fokker？Planck？Kolmogorov（FPK）方程獲得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。探討系統(tǒng)參數(shù)，如能量耗散系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，并通過(guò) Monte Carlo 數(shù)值模擬加以驗(yàn)證。另外，借助 Laplace 變換，得到等效系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換函數(shù)及條件功率譜密度，結(jié)合下層幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度，得到下層幅值響應(yīng)的功率譜密度估計(jì)。

關(guān)鍵詞： 搖擺裝置；雙層橋墩結(jié)構(gòu)；標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法；穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)；功率譜密度估計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)： O324；U443.22 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2023）03-0645-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.006

引 言

雙層高架橋［1］能在有限的土地面積上實(shí)現(xiàn)立體交通，在提高土地利用率的同時(shí)滿(mǎn)足高強(qiáng)度的交通需求，是一種高效經(jīng)濟(jì)的橋型。然而，在美國(guó)洛馬·普雷塔地震及日本阪神地震中，雙層高架橋結(jié)構(gòu)的倒塌表明該類(lèi)橋型的抗震性能不足，因此在橋梁設(shè)計(jì)中必須充分重視該結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力［2］。為了提高雙層高架橋的抗倒塌能力，彭天波等［3］提出采用“能力設(shè)計(jì)方法”，即將地震作用下的結(jié)構(gòu)損傷集中在延性構(gòu)件上。該延性抗震設(shè)計(jì)理念雖能滿(mǎn)足“大震不倒”的設(shè)防目標(biāo)，但強(qiáng)震作用下的延性構(gòu)件往往會(huì)由于殘余變形過(guò)大而不能繼續(xù)使用。對(duì)于生命線工程來(lái)說(shuō)，橋梁結(jié)構(gòu)功能的中斷不僅影響救援工作的開(kāi)展，而且震后給整個(gè)經(jīng)濟(jì)、社會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重后果。因此，現(xiàn)階段橋梁的抗震設(shè)計(jì)思路應(yīng)從延性設(shè)計(jì)向可恢復(fù)功能設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)變。

近幾年來(lái)，“可恢復(fù)功能結(jié)構(gòu)”已經(jīng)成為各大國(guó)際會(huì)議的研究主題［4？6］。在此背景下，抗震性能更加優(yōu)越的搖擺自復(fù)位橋墩結(jié)構(gòu)［7？13］已成為當(dāng)前橋梁工程界關(guān)注的研究熱點(diǎn)，然而這些研究大多限于單層搖擺自復(fù)位橋墩結(jié)構(gòu)［14］。近年來(lái)，有學(xué)者將自復(fù)位橋墩結(jié)構(gòu)應(yīng)用到雙層高架橋中，研究結(jié)果表明，搖擺自復(fù)位雙層橋梁結(jié)構(gòu)能很好地彌補(bǔ)雙層高架橋抗震性能不足的先天缺陷 。如，孫治國(guó)等［15］與張國(guó)平等［16］研究了上層搖擺自復(fù)位雙層橋梁結(jié)構(gòu)，并分別通過(guò)有限元分析及時(shí)程分析證實(shí)了該結(jié)構(gòu)的自復(fù)位功能；陳敬一等［17］理論推導(dǎo)分析了下層搖擺自復(fù)位雙層橋梁結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)及抗倒塌能力，研究結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)底層的搖擺可顯著減少上部結(jié)構(gòu)的變形，且該結(jié)構(gòu)具有較好的抗倒塌能力。孫治國(guó)等［18］設(shè)計(jì)了僅上層搖擺、僅下層搖擺以及上下層均搖擺 3 種雙層搖擺自復(fù)位排架墩，揭示了搖擺自復(fù)位雙層排架墩在近斷層地震動(dòng)下的地震反應(yīng)規(guī)律。然而，目前針對(duì)搖擺自復(fù)位雙層橋梁結(jié)構(gòu)的理論研究?jī)H限于確定性的時(shí)程分析［17］，鮮有涉及隨機(jī)激勵(lì)環(huán)境。鑒于地震激勵(lì)的隨機(jī)性，以及在隨機(jī)激勵(lì)作用下雙層高架橋結(jié)構(gòu)的強(qiáng)非線性，有必要進(jìn)一步利用非線性隨機(jī)振動(dòng)的理論研究此類(lèi)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題。

非線性隨機(jī)振動(dòng)研究歷經(jīng)數(shù)十年，已發(fā)展了許多行之有效的方法，如： Fokker？Planck？Kolmogorov （FPK）方程法［19］、等價(jià)線性化法20］、隨機(jī)平均法［21？23］、Monte Carlo 數(shù)值模擬等［24？25］。其中，等效線性化法由于其適應(yīng)性強(qiáng)且操作較為簡(jiǎn)單在工程中得到廣泛的應(yīng)用。但等效線性化法在響應(yīng)概率密度的估計(jì)上不夠精確［26］，往往高估了共振處的峰值而低估了頻譜的寬度［27］。隨機(jī)平均法是將隨機(jī)平均原理跟 FPK 方程法相結(jié)合的一類(lèi)方法，通過(guò)隨機(jī)平均可以簡(jiǎn)化 FPK 方程從而降低求解 FPK 方程的難度。目前常見(jiàn)的隨機(jī)平均法有：標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法，F(xiàn)PK方程系數(shù)平均法及能量包線隨機(jī)平均法。與等價(jià)線性化法相比，隨機(jī)平均法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及響應(yīng)功率譜密度的預(yù)測(cè)更為精確［28？29］，能較好地表現(xiàn)出功率譜密度共振頻譜加寬及多峰現(xiàn)象。

本文基于含有搖擺裝置的雙層橋墩結(jié)構(gòu)，建立了雙自由度系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型，利用當(dāng)前非線性隨機(jī)振動(dòng)理論方法研究該結(jié)構(gòu)在高斯白噪聲激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。首先，通過(guò)廣義諧波平衡技術(shù)，將下層結(jié)構(gòu)恢復(fù)力解耦為幅值依賴(lài)的等效擬線性彈性力和擬線性阻尼力，得到原系統(tǒng)的等效擬線性系統(tǒng)。然后，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法，將等效擬線性系統(tǒng)近似為關(guān)于系統(tǒng)幅值的平均伊藤方程，建立相應(yīng)的 FPK 方程，并在邊界條件與歸一化條件下求解，得到系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)；研究系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)不同時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的變化趨勢(shì)，并通過(guò) Monte Carlo 模擬對(duì)以上解析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。另外，利用已得到的下層幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，結(jié)合由 La？place 變換得到的近似條件功率譜密度函數(shù)，獲得下層幅值功率譜密度的估計(jì)。

1 含有搖擺裝置的雙層橋墩結(jié)構(gòu)模型

圖 1 所示為下層含搖擺裝置的雙層橋墩結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)主要是由蓋梁、橋墩、加臺(tái)、承臺(tái)、鋼板、鋼套筒、擋塊、橡膠墊塊、限位鋼板等組成。在地震作用下，下層橋墩在下層蓋梁與加臺(tái)之間產(chǎn)生搖擺，并通過(guò)橋梁自重和預(yù)應(yīng)力筋完成復(fù)位。

根據(jù)近期單層雙柱式搖擺橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究［30］和理論分析［31］可知，下層搖擺結(jié)構(gòu)的動(dòng)力行為可近似簡(jiǎn)化為平面內(nèi)剛體運(yùn)動(dòng)。忽略上層結(jié)構(gòu)的塑性變形，上層結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為一個(gè)彈性單自由度體系。因此，本文將下層蓋梁簡(jiǎn)化為質(zhì)量塊 m1，上部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為質(zhì)量塊 m2，從而獲得如圖 2 所示的雙自由度自復(fù)位橋墩結(jié)構(gòu)，隨機(jī)激勵(lì)采用高斯白噪聲激勵(lì)模型 ζ（t）（ζ（t）為加速度），其功率譜密度為 S1=2πD1，其中，D1為大于 0 的常數(shù)。

其中，搖擺橋梁的自重和無(wú)粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋為結(jié)構(gòu)提供了自復(fù)位能力（如圖 3（b）所示），設(shè)置在搖擺界面的耗能鋼筋為體系提供了耗能能力（如圖 3（c）所示）。因此，通過(guò)自復(fù)位組件和耗能組件的組合，搖擺橋梁體系的滯回曲線呈典型的旗幟形（如圖 3（a）所示）。

2 平均伊藤方程

由圖 3可知，恢復(fù)力同時(shí)影響系統(tǒng)的阻尼和剛度。利用廣義諧波平衡技術(shù)，恢復(fù)力可近似為幅值依賴(lài)的等效擬線性阻尼力和擬線性彈性力的組合，即：

3 概率密度函數(shù)分析

通過(guò)無(wú)量綱化處理，選取其他系統(tǒng)參數(shù) m1=1，m2=1.16，γ =0.4，c1=0.000763 s？1，D1=0.001。 圖5～10 給出了有關(guān)幅值 a（i i=1，2）的邊緣概率密度，通過(guò)不同屈服位移 Xy、能量耗散系數(shù) α、系統(tǒng)阻尼系數(shù) c2及剛度系數(shù) k2下近似解析結(jié)果（實(shí)線）與數(shù)值模擬結(jié)果（符號(hào)*）的對(duì)比，說(shuō)明式（15）和（16）的合理性。

圖 5和 6分別展示了屈服位移 Xy及能量耗散系數(shù)α取值的變化對(duì)下層幅值穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。從圖 5中可看出，當(dāng) Xy<0.05時(shí)，p（a1）隨著 Xy的減小向左偏移并在較小 a1處達(dá)到峰值，這說(shuō)明屈服位移的降低可有效減小系統(tǒng)響應(yīng)；而當(dāng)Xy>0.05時(shí)，Xy的增大對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響不大。從圖 6中可看出，α的變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)沒(méi)有影響，但隨著α的增加，p（a1）逐漸接近于正態(tài)分布。

圖 7 和 8 展示了阻尼系數(shù) c2的變化對(duì)下層與上層幅值穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響?？梢钥闯?，系統(tǒng)的響應(yīng)隨著 c2的增大而減小。

圖 9 和 10 展示了剛度系數(shù) k2的變化對(duì)下層與上層幅值穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響?？梢钥闯?，系統(tǒng)的響應(yīng)隨著 k2的增大而減小。此外，從圖 7～10 中可以看出，上層幅值的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)均遠(yuǎn)大于下層幅值響應(yīng)，因此，在此類(lèi)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，應(yīng)重點(diǎn)考慮上層部分的水平位移。

4 功率譜密度分析

利用 Laplace 變換，等效擬線性系統(tǒng)（9）的轉(zhuǎn)換函數(shù)為：

圖 11 和 12 給出了屈服位移 Xy及能量耗散系數(shù)α 變化時(shí)，下層幅值 a1響應(yīng)的功率譜密度?？梢钥闯?，功率譜密度函數(shù)的峰值較為顯著，表明此時(shí)的響應(yīng)具有窄帶性質(zhì)。圖 11 中，當(dāng) Xy=0.01 時(shí)，響應(yīng)的功率譜密度有兩個(gè)峰值，隨著 Xy的增大，響應(yīng)的功率譜密度由雙峰變成單峰，且共振處的峰值逐漸變大。圖 12 中，響應(yīng)的功率譜密度均為雙峰，但隨著 α的增大，雙峰逐漸變成單峰，此外，隨著 α 的增大，功率譜密度曲線所圍面積（即響應(yīng)的均方值）顯著減小，因此系統(tǒng)響應(yīng)隨著 α 的增大而降低。

5 結(jié) 論

本文研究了一類(lèi)含有搖擺裝置的雙層橋墩結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題。首先，通過(guò)廣義諧波平衡技術(shù)，計(jì)算替代旗幟形恢復(fù)力的等效擬線性彈性力和擬線性阻尼力，獲得原系統(tǒng)的等效隨機(jī)系統(tǒng)；隨后，利用標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法，將等效系統(tǒng)近似為關(guān)于幅值的平均伊藤隨機(jī)微分方程，建立并求解與之相應(yīng)的穩(wěn)態(tài) FPK方程，獲得了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)概率密度函數(shù)。研究系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)，如屈服位移、能量耗散系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，以上解析解的有效性均通過(guò) Mon？te Carlo 數(shù)值模擬加以驗(yàn)證。另外，借助由 Laplace變換得到的轉(zhuǎn)換函數(shù)及條件功率譜密度，基于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)概率密度函數(shù)，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜密度進(jìn)行了估計(jì)。研究結(jié)論如下：

（1）屈服位移 Xy與能量耗散系數(shù) α 是決定旗幟形恢復(fù)力形狀的關(guān)鍵參數(shù)。當(dāng) Xy<0.05 時(shí)，Xy的減小能有效減小下層幅值的響應(yīng)，而當(dāng) Xy>0.05 時(shí)，Xy的增大對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響不大；此外，隨著 α的增加，下層幅值的穩(wěn)態(tài)概率函數(shù)逐漸接近于正態(tài)分布； （2）系統(tǒng)阻尼系數(shù) c2、剛度系數(shù) k2的增大均能降低系統(tǒng)的幅值響應(yīng)，但上層幅值響應(yīng)均遠(yuǎn)大于下層幅值響應(yīng)，因此，在此類(lèi)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，應(yīng)重點(diǎn)考慮上層部分的水平位移； （3）下層幅值 a1的功率譜密度具有明顯的窄帶性質(zhì)。隨著 Xy與 α 的增大，響應(yīng)的功率譜密度由雙峰變成單峰，且共振處的峰值逐漸變大；此外，α 的增大還能顯著降低系統(tǒng)響應(yīng)的均方值。

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