莫帥 張應(yīng)新 羅炳睿 岑國(guó)建 黃云生

摘要： 非正交面齒輪傳動(dòng)可以滿足軸交角在 0°到 180°之間任意角的非正交傳動(dòng)形式，建立了含時(shí)滯反饋的非正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，考慮了時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和輸入扭矩波動(dòng)等因素。此外，采用多尺度法對(duì)系統(tǒng)的主共振特性進(jìn)行分析，判定了系統(tǒng)的主共振穩(wěn)定性條件。用數(shù)值方法分析了時(shí)滯控制參數(shù)、嚙合阻尼、時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)幅值和載荷波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響。結(jié)果表明：在控制過(guò)程中應(yīng)合理選擇控制參數(shù)以避免主共振振幅過(guò)大和產(chǎn)生不穩(wěn)定分支；適當(dāng)?shù)膰Ш献枘嵊欣谝种葡到y(tǒng)主共振的振幅和縮減不穩(wěn)定分支；過(guò)高的激勵(lì)頻率易產(chǎn)生主共振的不穩(wěn)定分支；主共振的不穩(wěn)定分支隨著嚙合剛度的波動(dòng)的增加逐漸縮減，但是在激振頻率接近主共振頻率時(shí)，較小的嚙合剛度波動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)；載荷波動(dòng)的增加會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)主共振幅值增加，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成損害。

關(guān)鍵詞： 非線性動(dòng)力學(xué)；主共振；非正交面齒輪；多尺度法；穩(wěn)定性；時(shí)滯反饋

中圖分類(lèi)號(hào)： O322；TH132.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2023）03-0623-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.004

引 言

非正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可以滿足軸交角在 0°到180°之間任意角的非正交傳動(dòng)形式，同時(shí)其所特有的對(duì)軸向安裝誤差不敏感和無(wú)軸向力的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)使其在高速重載的航空領(lǐng)域和小模數(shù)傳動(dòng)領(lǐng)域具有十分廣泛的應(yīng)用價(jià)值。齒輪系統(tǒng)具有豐富的非線性行為，因此對(duì)非正交面齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行控制并提高系統(tǒng)的可靠性具有重要的工程意義。各種受控動(dòng)力系統(tǒng)的控制環(huán)節(jié)都不可避免地存在時(shí)滯，對(duì)于許多時(shí)滯系統(tǒng)，如果忽略其時(shí)滯會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，因此隨著控制速度和要求的不斷提高，控制過(guò)程中的時(shí)滯現(xiàn)象成為不容忽視的問(wèn)題。多尺度法可以分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性，描繪非自治系統(tǒng)的全局運(yùn)動(dòng)性態(tài)，這是多尺度法被引入到齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性分析里的一個(gè)重要原因。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪系統(tǒng)的主共振特性和穩(wěn)定性做了大量深入的研究。文獻(xiàn)［1］分析了有裂紋齒輪系統(tǒng)的參數(shù)共振和穩(wěn)定性，并在此基礎(chǔ)上采用多尺度法揭示了阻尼比等關(guān)鍵參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)［2］使用多尺度法研究了包括齒側(cè)間隙等非線性因素在內(nèi)的單自由度齒輪系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)。文獻(xiàn)［3］采用多尺度法對(duì)直齒圓柱齒輪的主共振特性做了深入研究。對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，振動(dòng)會(huì)不斷增大直到系統(tǒng)被損壞，因此穩(wěn)定性是系統(tǒng)必備的條件。文獻(xiàn)［4？5］從不同方面闡述了多種因素對(duì)齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并提出了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論和方法。文獻(xiàn)［6］對(duì)含裂紋、點(diǎn)蝕等缺陷的故障齒輪的振動(dòng)特性做了詳細(xì)論述。文獻(xiàn)［7］建立了隨機(jī)波動(dòng)模型來(lái)模擬風(fēng)力機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的外激勵(lì)，用數(shù)值方法探討了隨機(jī)風(fēng)及隨機(jī)側(cè)隙因素影響下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［8？10］討論了面齒輪分流傳動(dòng)系統(tǒng)和行星輪系的均載特性，從一個(gè)新的角度研究了齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［11］提出了一種使用雙變化時(shí)間步長(zhǎng)的算法，將小齒輪的速度和拖曳轉(zhuǎn)矩作為激勵(lì)源來(lái)分析潤(rùn)滑劑對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)的影響。

從已有文獻(xiàn)來(lái)看，大部分研究聚焦于傳統(tǒng)齒輪構(gòu)型的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性，而非正交面齒輪作為一

種由漸開(kāi)線圓柱齒輪和圓錐齒輪嚙合傳動(dòng)的新型傳動(dòng)構(gòu)型，對(duì)其穩(wěn)定性和振動(dòng)特性的研究則相對(duì)較少，并且目前綜合考慮主動(dòng)控制參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)對(duì)振動(dòng)特性影響的研究較少。

本文的主要目的是對(duì)含時(shí)滯反饋的非正交面齒輪的主共振特性進(jìn)行研究，首先建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，其中考慮了時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和載荷波動(dòng)等因素。隨后采用多尺度法判定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。最后采用數(shù)值方法研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響。

1 非正交面齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1. 1 非正交面齒輪系統(tǒng)模型

如圖 1 所示為非正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型，兩坐標(biāo)系的 Y 軸在 O 點(diǎn)重合，方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲狻７?正 交 面 齒 輪 坐 標(biāo) 系 O？X1Y1Z1 由 直 齒 輪 坐 標(biāo) 系O？X2Y2Z2繞軸線 OY2旋轉(zhuǎn) γm得到，直齒輪軸線與坐標(biāo)軸 OX2重合，非正交面齒輪軸線與坐標(biāo)軸 OZ1重合，坐標(biāo)系原點(diǎn)建立在兩軸線的交點(diǎn)處。γm與軸交角 γ 滿足 γm = 180°- γ。

1. 2 非正交面齒輪時(shí)變嚙合剛度

由于面齒輪副在實(shí)際嚙合過(guò)程中發(fā)生一對(duì)齒嚙合與兩對(duì)齒嚙合的交替，因此齒輪副的嚙合剛度隨嚙合齒數(shù)的周期性變化而變化。

本節(jié)通過(guò)有限元加載的方法求取面齒輪副的時(shí)變嚙合剛度。建立如圖 2 所示的非正交面齒輪副的有限元模型。為了減少不必要的計(jì)算量，只對(duì)五對(duì)輪齒進(jìn)行計(jì)算。圖 2 中 O 為齒輪軸線的交點(diǎn)，O1為非正交面齒輪底面與軸線的交點(diǎn)，O2為直齒輪的幾何中心。求解過(guò)程設(shè)置了 3 個(gè)分析步，在第 1 個(gè)分析步中，對(duì)直齒輪施加微小轉(zhuǎn)動(dòng)量，面齒輪保持固定，使齒面接觸，對(duì)面齒輪施加載荷，幅值為創(chuàng)建的 0？1平滑分析步；在第 2 個(gè)分析步中，釋放面齒輪旋轉(zhuǎn)自由度，面齒輪載荷幅值修改為 Ramp；在第 3 個(gè)分析步中，對(duì)直齒輪施加轉(zhuǎn)動(dòng)量，使直齒輪轉(zhuǎn)過(guò)大約 5 個(gè)齒數(shù)，面齒輪載荷保持不變。

由于齒輪的剛度與齒輪的形狀和載荷有關(guān)，其關(guān)系可表示為：

K m （ t ）= F （ t ） /xn （1）式中 xn表示輪齒間相對(duì)位移，由載荷作用下的傳動(dòng)誤差 LTE 和法向靜態(tài)傳動(dòng)誤差 e（t）共同作用產(chǎn)生，可表示為：xn = LTE - e （ t ）=（r2 θ 2 - r1 θ 1 ） cos αn - e （ t ） （2）

用有限元方法求解載荷作用下的法向接觸力F（t）和兩個(gè)傳動(dòng)誤差 LTE，e（t），根據(jù)式（1）便可得到時(shí)變嚙合剛度的變化曲線。對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行處理，首先提取嚙合剛度的最大值和最小值，得到簡(jiǎn)化的矩形波形式的時(shí)變嚙合剛度曲線，如圖 3 中藍(lán)色曲線所示；進(jìn)而對(duì)矩形波形式的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行傅里葉擬合，一般只取到前 5 階，得到更為精確的時(shí)變嚙合剛度曲線，如圖 3 中紅色曲線所示。由此，可將非正交面齒輪副的時(shí)變嚙合剛度表示為：式中 Ka為矩形波形式時(shí)變嚙合剛度的幅值；ωm為嚙合角頻率，其值等于輸入軸轉(zhuǎn)速頻率 ωs與輸入齒輪齒數(shù) Z2之積；kri為第 i 階分量的波動(dòng)幅值；Nk為傅里葉級(jí)數(shù)的階數(shù)，本文中 Nk=5；φri 為第 i 階分量的相位角。

1. 3 非正交面齒輪振動(dòng)微分方程

如圖 4 構(gòu)建非正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振模型，將傳動(dòng)誤差、時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、輸入扭矩的波動(dòng)等因素引入到該系統(tǒng)的振動(dòng)模型。

假設(shè)軸承和軸的支撐剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于齒輪的嚙合剛度，用嚙合線方向上的等效位移 xn作為新的自由度來(lái)代替系統(tǒng)的兩個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度 θ1和 θ2。非正交面齒輪副因振動(dòng)和傳動(dòng)誤差產(chǎn)生的嚙合線方向位移可表示為式（2），式中，r1為直齒輪的分度圓半徑，r2為非正交面齒輪齒寬中點(diǎn)到回轉(zhuǎn)軸的距離。αn為齒輪副 的 法 向 壓 力 角 。 e（t）可 表 示 為 e （ t ）= e a +er sin （ ω m t + φ0 ），其中，e a 為靜態(tài)誤差，er 表示誤差的波動(dòng)，φ0 為誤差波動(dòng)的相位。

將嚙合線方向的位移 xn 視為唯一的自由度，得到系統(tǒng)振動(dòng)微分方程：

取 bm為無(wú)量綱化標(biāo)尺，對(duì)式（3）進(jìn)行無(wú)量綱化，并將外載荷波動(dòng)分解為一個(gè)常值項(xiàng)與一個(gè)波動(dòng)項(xiàng)之和，得到：

本文考慮了施加主動(dòng)控制后非正交面齒輪系統(tǒng)的時(shí)滯現(xiàn)象，時(shí)滯意味著系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的變化依賴(lài)于系統(tǒng)的過(guò)去。對(duì)于本文所研究的含時(shí)滯非正交面齒輪系統(tǒng)，在系統(tǒng)支撐處施加位移和速度的時(shí)滯反饋控制，將時(shí)滯反饋模型引入到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程（4）中［12］?？傻玫剑菏街?位移時(shí)滯量 xˉ n （ τ - τd ） 在位移反饋回路中，表示非正交面齒輪系統(tǒng)嚙合線上等效位移 xˉ n 在施加主動(dòng)控制前后所表現(xiàn)出的時(shí)間差，其對(duì)應(yīng)的位移控制量為 gd；速度時(shí)滯量 xˉ？ n （ τ - τ v ）在速度反饋回路中，表示非正交面齒輪系統(tǒng)嚙合線上相對(duì)速度 xˉ？ n 在施加主動(dòng)控制前后所表現(xiàn)出的時(shí)間差，其對(duì)應(yīng)的速度控制量為 gv。

2 主共振特性時(shí)間多尺度法分析

該部分采用時(shí)間多尺度法對(duì)非正交面齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的主共振特性進(jìn)行分析，其基本思路是將系統(tǒng)響應(yīng)的展開(kāi)式考慮為多個(gè)時(shí)間尺度的函數(shù)。

對(duì)含時(shí)滯反饋的系統(tǒng)振動(dòng)微分方程（5）中的無(wú)量綱化齒側(cè)間隙函數(shù) f （ xˉ n ） 進(jìn)行擬合［13］，三次多項(xiàng)式 已 經(jīng) 能 夠 精 確 反 映 系 統(tǒng) 嚙 合 狀 態(tài) ：f （ xˉ n ）=δ1 xˉ n + δ2 xˉ 3n = δ1 （ xˉ n + δ0 xˉ 3n ），其中 δ1與系統(tǒng)固有頻率 ω0滿足 ω0 = δ1 。

引入 Ti = εiτ 表示不同尺度的時(shí)間變量，其中？ε？？1。不同的時(shí)間尺度描述了變化過(guò)程中的不同節(jié)奏，階數(shù)越低，變化越緩慢，階數(shù)越高，變化越迅速。將系統(tǒng)振動(dòng)微分方程（5）的解表示為不同尺度時(shí)間變量的函數(shù)：式中 m 表示小參數(shù) ε的最高階次，其值取決于計(jì)算的精度要求。將不同尺度的時(shí)間變量 Ti視為獨(dú)立的變量，xˉ n 可視為 m 個(gè)時(shí)間變量的函數(shù)。

對(duì)系統(tǒng)的主共振的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。將方程（18）在 （ αˉ，φˉ ） 處線性化，形成關(guān)于擾動(dòng)量 Δα 和 Δφ的微分方程：

3 非正交面齒輪主共振特性研究

為了研究非正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，本節(jié)探討了控制參數(shù)、嚙合阻尼、嚙合剛度波動(dòng)和載荷波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)主共振的影響。根據(jù)系統(tǒng)的物理參數(shù)定 義 方 程（20）的 初 始 無(wú) 量 綱 參 數(shù) ：嚙 合 阻 尼 ζm=0.05，時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)幅值 κ=0.3，無(wú)量綱化后的靜載荷 f0=0.1，動(dòng)載荷波動(dòng)幅值 f=0.3。位移反饋gd=0.2，速 度 反 饋 gv= ？ 0.2。 時(shí) 間 遲 滯 τd= τv=T/9。

3. 1 時(shí)滯參數(shù)對(duì)主共振特性的影響

方程（20）的其他參數(shù)取初始參數(shù)，使位移控制參數(shù) gd從？0.2 變化到 0.2。圖 5（a）給出以 gd為參數(shù)的幅頻特性曲線族，可以觀察到，隨著 gd的增加，系統(tǒng) 主 共 振 達(dá) 到 峰 值 所 對(duì) 應(yīng) 的 頻 率 減 小 。 當(dāng) gd 從？0.2 增加到？0.1 時(shí)，主共振幅值降低，但是隨著 gd繼續(xù)增加，在 gd=0 和 gd=0.1 時(shí)，主共振的振幅激增，且存在較大的不穩(wěn)定分支如圖 5（a）中虛線所示。當(dāng) gd取 0.2 時(shí)，不穩(wěn)定分支消失，且振幅降低。這表明當(dāng)其他參數(shù)取初始值時(shí)，控制參數(shù) gd取 0 或0.1 會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

圖 5（b）給出了以 ω 為參數(shù)的幅頻特性曲線族，描述了控制參數(shù) gd隨振幅 α 的變化關(guān)系。隨著激勵(lì)頻率 ω 增加，系統(tǒng)主共振達(dá)到峰值所對(duì)應(yīng)的 gd值減小，并且當(dāng) ω 取 1.075 和 1.1 時(shí)，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α 產(chǎn)生多值。以 ω=1.1為例，圖 5（b）中虛線框內(nèi)為 ω=1.1 時(shí)振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域。當(dāng) gd增加時(shí)，振幅 α 沿曲線 gd？α 變化，到達(dá) A1點(diǎn)時(shí)發(fā)生從 A1到 A3點(diǎn)的跳躍現(xiàn)象。這個(gè)過(guò)程反過(guò)來(lái)，即當(dāng) gd逐漸減小時(shí)，振幅 α 會(huì)從 A4點(diǎn)到 A2點(diǎn)突變。這種曲線多值現(xiàn)象對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的不穩(wěn)定狀態(tài)，因此當(dāng)系統(tǒng)工作在主共振頻率附近時(shí)，應(yīng)控制參數(shù) gd使其避開(kāi) gd？α 曲線的多值區(qū)域。

本文用嚙合力和齒間加速度來(lái)驗(yàn)證多尺度方法求解該系統(tǒng)的可行性。求解系統(tǒng)振動(dòng)微分方程（5）后，將系統(tǒng)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)回代至振動(dòng)微分方程得到嚙合力和齒間加速度隨系統(tǒng)參量變化的規(guī)律。圖 6 給出了位移控制參數(shù) gd對(duì)嚙合力和齒間加速度的影響，可以看出，隨著 gd的增大，嚙合力總體上呈逐漸增加的狀態(tài)；且 gd>0.092 時(shí)，系統(tǒng)的齒間加速度隨 gd的變化急劇增加。圖 5 和圖 6 表明，為了避免對(duì)系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定性造成損害以及避免過(guò)高的嚙合力和齒間相對(duì)加速度，系統(tǒng)的位移控制參數(shù)gd應(yīng)控制在小于 0 的范圍內(nèi)。

方程（20）的其他參數(shù)取初始參數(shù)，使速度控制參數(shù) gv從？0.2 變化到 0.2。可以得到和位移參數(shù) gd變化類(lèi)似的結(jié)果：如圖 7（a）所示，系統(tǒng)主共振達(dá)到峰值所對(duì)應(yīng)的頻率隨著 gv 的增加而增加 ，并且在gv=0.1 和 gv=0.2 時(shí)，主共振的振幅激增，存在較大的不穩(wěn)定分支，造成系統(tǒng)失穩(wěn)。因此在控制過(guò)程中，當(dāng)系統(tǒng)其他參數(shù)取初始值時(shí)，控制參數(shù) gv取 0.1 或0.2 會(huì)損害系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖 7（b）所示為以 ω 為參數(shù)的幅頻特性曲線族，系統(tǒng)主共振達(dá)到峰值所對(duì)應(yīng)的 gv值隨著激勵(lì)頻率 ω 的增加而減小，并且當(dāng) ω 取1.075 和 1.1 時(shí)，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，表明系統(tǒng)即將失穩(wěn)，圖中虛線框內(nèi)表示 ω=1.1 時(shí)的振幅跳躍區(qū)域，gv增加時(shí)振幅 α 從 A4突變到A1，gv減小時(shí)振幅 α 從 A2突變到 A3。

圖 8 給出了速度控制參數(shù) gv對(duì)嚙合力和齒間加速度的影響，可以看出，當(dāng) gv∈（？1，？0.6）時(shí)，嚙合力逐漸增加而齒間加速度逐漸降低，當(dāng) gv∈（？0.6，0.1）時(shí)，嚙合力和加速度的變化趨于平緩，當(dāng) gv>0.1時(shí)，嚙合力和加速度都有劇烈的波動(dòng)。

圖 7 和 圖 8 表 明 系 統(tǒng) 的 速 度 控 制 參 數(shù) 應(yīng) 在（？0.6，0）內(nèi)取值，以保證嚙合力和齒間相對(duì)加速度不會(huì)劇烈波動(dòng)，以及避免系統(tǒng)主共振振幅過(guò)高和產(chǎn)生較大的不穩(wěn)定分支。

方程（20）的其他參數(shù)取初始參數(shù)，使位移時(shí)滯τd從 0 變化到 4T/9。圖 9（a）給出以 τd為參數(shù)的幅頻特性曲線族，可以觀察到，隨著 τd的增加，系統(tǒng)主共振 達(dá) 到 峰 值 所 對(duì) 應(yīng) 的 激 勵(lì) 頻 率 增 加 ，并 且 當(dāng) τd 取2T/9 和 T/3 時(shí)，系統(tǒng)振幅顯著降低，圖 9（a）中虛線所示的不穩(wěn)定分支明顯縮減，當(dāng) τd<2T/9 或 τd>T/3時(shí)，系統(tǒng)振幅較大且都存在較大的不穩(wěn)定分支，這表明當(dāng) τd取 2T/9 和 T/3 時(shí)系統(tǒng)主共振達(dá)到較好的穩(wěn)定狀態(tài)，在控制過(guò)程中應(yīng)選取合理的位移時(shí)滯 τd，避免使系統(tǒng)振幅過(guò)高和產(chǎn)生不穩(wěn)定分支，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。

圖 9（b）給出了以 ω 為參數(shù)的幅頻特性曲線族，描述了位移時(shí)滯 τd 隨振幅 α 的變化關(guān)系。可以看出，隨著激勵(lì)頻率 ω 的增加，系統(tǒng)主共振的振幅 α 的不穩(wěn)定多分支愈發(fā)擴(kuò)張，表現(xiàn)為曲線愈發(fā)明顯地出現(xiàn)多值。以 ω=1.2 為例，圖 9（b）中虛線框內(nèi)為 ω=1.2 時(shí)振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域。隨著 τd增加，振幅 α沿 τd？α 曲線逐漸降低，經(jīng)過(guò) A1點(diǎn)時(shí)發(fā)生從 A1到 A3點(diǎn)的跳躍現(xiàn)象；同樣地，當(dāng) τd減小時(shí)，振幅 α 發(fā)生從 A4到 A2點(diǎn)的跳躍。

圖 10 給出了位移時(shí)滯 τd對(duì)嚙合力和齒間加速度的影響，當(dāng) τd >3.47 時(shí)，系統(tǒng)的嚙合力和齒間相對(duì)加速度發(fā)生劇烈波動(dòng)。圖 9 和圖 10 表明位移時(shí)滯 τd可以降低主共振振幅和縮減系統(tǒng)的不穩(wěn)定分支，有益于系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是若位移時(shí)滯 τd過(guò)大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度劇烈波動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成損害。

方程（20）的其他參數(shù)取初始參數(shù)，使速度時(shí)滯τv從 0 變化到 4T/9。由圖 11（a）的幅頻特性曲線族可以看出，當(dāng) τv取 T/3 和 4T/9 時(shí)，主共振振幅大幅增加，且具有較大的不穩(wěn)定分支。這表明當(dāng)系統(tǒng)其他參數(shù)取初始值時(shí)，τv取 T/3 和 4T/9 會(huì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成損害。圖 11（b）所示為以 ω 為參數(shù)的幅頻特性曲線族，隨著 ω 增加，曲線愈發(fā)明顯地出現(xiàn)多值現(xiàn)象，表明系統(tǒng)主共振的振幅 α 不穩(wěn)定的區(qū)域愈發(fā)增大，意味著系統(tǒng)更容易失穩(wěn)。圖 11（b）中虛線框內(nèi)表示 ω=1.2 時(shí)的振幅跳躍區(qū)域，τv增加時(shí)振幅 α 從A4突變到 A2，τv減小時(shí)振幅 α 從 A1突變到 A3。

圖 12 給出了速度時(shí)滯 τv對(duì)嚙合力和齒間加速度的影響，當(dāng) τv >2.42 時(shí)，系統(tǒng)的嚙合力和齒間相對(duì)加速度發(fā)生劇烈波動(dòng)。圖 11 和圖 12 表明適當(dāng)?shù)乃俣葧r(shí)滯 τv可以降低系統(tǒng)主共振的振幅，但是若 τv取值過(guò)大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)主共振振幅激增，產(chǎn)生較大的不穩(wěn)定分支，且會(huì)造成系統(tǒng)的嚙合力和齒間加速度的劇烈波動(dòng)。

3. 2 嚙合阻尼對(duì)主共振特性的影響

方程（20）的其他參數(shù)取初始參數(shù)，使嚙合阻尼ζm從 0 變化到 0.1。圖 13（a）給出以 ζm為參數(shù)的幅頻特性曲線族。當(dāng) ζm取 0 和 0.025 時(shí)，系統(tǒng)存在如圖中虛線所示的不穩(wěn)定分支。隨著 ζm的增大，系統(tǒng)主共振的振幅 α 下降，且不穩(wěn)定分支逐漸縮小。當(dāng) ζm取0.05，0.075和 0.1時(shí)，不穩(wěn)定分支消失，這表明可以通過(guò)適當(dāng)增加系統(tǒng)的嚙合阻尼來(lái)提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖 13（b）給 出 了 以 ω 為 參 數(shù) 的 幅 頻 特 性 曲 線族，描述了系統(tǒng)嚙合阻尼 ζm 隨振幅 α 的變化關(guān)系。當(dāng)激勵(lì)頻率小于系統(tǒng)共振頻率，即 ω 取 1 和 1.025時(shí)，系統(tǒng)主共振的振幅 α 隨 ζm的增大而降低；當(dāng)激勵(lì)頻率大于系統(tǒng)主共振頻率，即 ω 取 1.05 和 1.075 時(shí)，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α產(chǎn)生多值。圖 13（b）中的虛線框內(nèi)為 ω=1.075 時(shí)振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域：當(dāng) ζm增加時(shí)，振幅 α 沿 ζm？α 曲線降低，經(jīng)過(guò) A1點(diǎn)時(shí)，發(fā)生從 A1點(diǎn)到 A3點(diǎn)的跳躍現(xiàn)象，此時(shí)振幅突然降低，經(jīng)過(guò) A3點(diǎn)后 α 繼續(xù)沿 ζm？α 曲線降低。當(dāng) ζm逐漸減小時(shí)，振幅 α 會(huì)發(fā)生從 A4點(diǎn)到A2點(diǎn)的突變。

嚙合阻尼對(duì)系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度的影響如圖 14 所示?？梢钥闯?，當(dāng)嚙合阻尼 ζm較小時(shí)，系統(tǒng)有較大的嚙合力和齒間相對(duì)加速度。ζm的增加對(duì)降低嚙合力和齒間相對(duì)加速度有明顯的效果，且隨著嚙合阻尼的增加，嚙合力和齒間加速度的變化逐漸趨于平緩。

13 和圖 14 表明：適當(dāng)?shù)卦黾酉到y(tǒng)的嚙合阻尼可以有效地抑制系統(tǒng)的主共振振幅，縮減不穩(wěn)定分支，并且避免系統(tǒng)嚙合力和齒間相對(duì)加速度的急劇變化。

3. 3 嚙合剛度波動(dòng)對(duì)主共振特性的影響

方程（20）的其他參數(shù)取初始參數(shù)，使嚙合剛度波動(dòng)幅值 κ 從 0.2 變化到 1。圖 15（a）給出了以 κ 為參數(shù)的幅頻特性曲線族，可以看出，當(dāng) κ 取 0.2，0.4和 0.6 時(shí)，系統(tǒng)存在如圖中虛線所示的不穩(wěn)定分支。隨著 κ 的增大，系統(tǒng)主共振的振幅下降，且不穩(wěn)定分支逐漸縮減。

圖 15（b）給 出 了 以 ω 為 參 數(shù) 的 幅 頻 特 性 曲 線族，描述了系統(tǒng)嚙合剛度波動(dòng)幅值 κ 隨振幅 α 的變化關(guān)系。當(dāng)激勵(lì)頻率大于系統(tǒng)主共振頻率，即 ω 取1.05 和 1.075 時(shí)，系統(tǒng)主共振幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α 產(chǎn)生多值。以 ω=1.075 為例，圖 15（b）中虛線框內(nèi)為 ω=1.075 振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域，當(dāng)κ 增加時(shí)，振幅 α 沿曲線 κ？α 變化，到達(dá) A1點(diǎn)時(shí)發(fā)生從 A1到 A3點(diǎn)的跳躍現(xiàn)象。當(dāng) κ 逐漸減小時(shí)，振幅 α?xí)l(fā)生從 A4 點(diǎn)到 A2 點(diǎn)的突變。同時(shí)觀察到，ω=1.075 發(fā)生跳躍的區(qū)域所對(duì)應(yīng)的 κ 值比 ω=1.05 時(shí)小，這表明激振頻率接近主共振頻率時(shí)，幅頻特性曲線越容易出現(xiàn)多值，此時(shí)較小的嚙合剛度波動(dòng)也容易導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

嚙合剛度的波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度的影響如圖 16 所示?？梢钥闯?，當(dāng)嚙合剛度波動(dòng)量 κ小于 0.57 時(shí)，系統(tǒng)的嚙合力和齒間相對(duì)加速度隨著κ 的增加逐漸降低，當(dāng)嚙合剛度波動(dòng)量 κ 大于 0.57時(shí)，系統(tǒng)的嚙合力開(kāi)始逐漸上升，且齒間相對(duì)加速度急劇增加。

圖 15 和圖 16 說(shuō)明，適當(dāng)增加嚙合剛度的波動(dòng)可以改善系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，降低主共振幅值，縮減系統(tǒng)的不穩(wěn)定分支以及降低傳動(dòng)過(guò)程中的嚙合力和齒間加速度。但當(dāng)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，較小的嚙合剛度波動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致振幅的突變。

3. 4 載荷波動(dòng)對(duì)主共振特性的影響

方程（20）的其他參數(shù)取初始參數(shù)，使載荷波動(dòng)幅值 f 從 0 變化到 0.5。圖 17（a）給出以 f 為參數(shù)的幅頻特性曲線族，當(dāng) f=0.1 時(shí)，系統(tǒng)主共振的穩(wěn)態(tài)幅值較小，不存在不穩(wěn)定分支；當(dāng) f 從 0.2 變化到 0.5 時(shí)，主共振的振幅急劇增加，存在如圖中虛線所示的不穩(wěn)定分支。隨著 f 的增大，系統(tǒng)主共振的振幅增大，不穩(wěn)定分支擴(kuò)張。這表明外激勵(lì)載荷過(guò)大會(huì)造成系統(tǒng)主共振的穩(wěn)態(tài)幅值增加，并且對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成損害。因此當(dāng)系統(tǒng)工作在接近主共振狀態(tài)時(shí)，應(yīng)該避免過(guò)大的載荷激勵(lì)。

圖 17（b）給 出 了 以 ω 為 參 數(shù) 的 幅 頻 特 性 曲 線族，描述了系統(tǒng)外載荷激勵(lì)的波動(dòng)幅值 f 隨振幅 α 的變化關(guān)系?？梢杂^察到，當(dāng)激勵(lì)頻率大于系統(tǒng)主共振頻率，即 ω 取 1.05 和 1.075 時(shí)，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α 產(chǎn)生多值。以 ω=1.075 為例，圖 17（b）中的虛線框內(nèi)為 ω=1.075 時(shí)振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域。當(dāng) f 增加時(shí)，振幅 α 沿曲線 f？α增加，經(jīng)過(guò) A4點(diǎn)時(shí)發(fā)生從 A4到 A2點(diǎn)的跳躍現(xiàn)象，α繼續(xù)沿曲線 f？α 增加。當(dāng) f 逐漸減小時(shí)，振幅會(huì)發(fā)生從 A1點(diǎn)到 A3點(diǎn)的突變。同時(shí)可以觀察到，激勵(lì)載荷f 越大，激振頻率 ω 越高，振幅 α 的多值現(xiàn)象越明顯，即系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象越明顯。

載荷波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度的影響如圖 18 所示。可以看出，隨著載荷波動(dòng)的增加，齒間嚙合力急劇增加且齒間相對(duì)加速度大幅度波動(dòng)。

圖 17 和圖 18 說(shuō)明，載荷波動(dòng)越大，主共振振幅越大，不穩(wěn)定分支愈發(fā)擴(kuò)張，且會(huì)造成嚙合力激增和齒間加速度的劇烈波動(dòng)，這無(wú)疑會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成損害。因此在實(shí)際工況中，應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的載荷加以限制以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

選取如表 1 所示的三組時(shí)滯參數(shù)，分別代表不對(duì)系統(tǒng)做時(shí)滯反饋控制、對(duì)系統(tǒng)做合理的反饋控制和時(shí)滯參數(shù)選取不合理三種情況。其他參數(shù)按第 3節(jié)定義的初始參數(shù)選取，在 MATLAB 中采用 dde23命令求解含時(shí)滯微分方程（5）的響應(yīng)，可得到如圖19～21 所示的時(shí)間歷程圖和系統(tǒng)相圖。

由圖 19（a）可以看出，當(dāng)不對(duì)系統(tǒng)做時(shí)滯反饋控制時(shí)，系統(tǒng)在 τ>150 后逐漸收斂到周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；對(duì)系統(tǒng)加入合理的時(shí)滯反饋控制時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間歷程圖如圖 20（a）所示，可以看出，合理的時(shí)滯反饋控制參數(shù)可以使系統(tǒng)響應(yīng)快速地收斂到周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

當(dāng)系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制參數(shù)選取不合理時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間歷程圖如圖 21（a）所示，可以看出，此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)不僅不會(huì)收斂到穩(wěn)定解，反而會(huì)隨時(shí)間的增加逐漸發(fā)散，導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，由圖 21（b）的相圖可以看出，此時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。因此在控制過(guò)程中，應(yīng)選取合理的時(shí)滯參數(shù)，避免對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成損害。

4 結(jié) 論

本文建立了非正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用多尺度法對(duì)系統(tǒng)的主共振特性進(jìn)行分析，用數(shù)值方法分析了時(shí)滯參數(shù)、嚙合阻尼、時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)幅值和載荷波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響。結(jié)論表明：

（1）在控制過(guò)程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性并不與時(shí)滯控制參數(shù)呈線性關(guān)系，應(yīng)合理選擇控制參數(shù)，將位移控制參數(shù) gd和速度控制參數(shù) gv限制在小于 0 的范圍內(nèi)，避免主共振振幅過(guò)大和產(chǎn)生不穩(wěn)定分支，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（2）嚙合阻尼有利于抑制振幅幅值過(guò)高，對(duì)縮減不穩(wěn)定分支和防止振幅的跳躍具有明顯的幫助。因此可以選取合適的潤(rùn)滑方式，適當(dāng)增大阻尼，抑制系統(tǒng)在共振頻率附近的響應(yīng)峰值。

（3）載荷的波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，系統(tǒng)的振幅會(huì)隨載荷波動(dòng)幅值的增加而增加；對(duì)于嚙合剛度，雖然隨著嚙合剛度的增加振幅會(huì)減小，但是當(dāng)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，較小的嚙合剛度波動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致振幅的突變?？梢圆捎酶纳讫X輪表面微觀形貌及粗糙度的方法使時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)趨于平緩。

（4）激勵(lì)頻率越大，幅頻曲線越容易出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，系統(tǒng)振幅增加，且跳躍區(qū)域擴(kuò)大，造成系統(tǒng)失穩(wěn)。

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