洪銳敏

［摘 要］文章通過回顧中國古代數(shù)學(xué)的輝煌發(fā)展歷程，挖掘其中富含數(shù)學(xué)思想的部分，以祖暅原理為例，基于HPM視角，對模型思想融入高中數(shù)學(xué)柱體和錐體體積公式的推導(dǎo)及教學(xué)進(jìn)行研究，并從教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施兩個(gè)方面給出教學(xué)建議：教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)結(jié)合教材并深挖數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行二度創(chuàng)造，在教學(xué)設(shè)計(jì)層面將模型思想融入教學(xué)活動(dòng)中；教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)重在讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)模型的形成過程和適用條件，讓學(xué)生體會從具體到抽象、從特殊到一般的研究過程，引導(dǎo)學(xué)生形成模型思想和對策思維，提高學(xué)生解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］ HPM；模型思想；祖暅原理；數(shù)學(xué)史

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）09-0022-04

一、問題的提出

2022年5月，我國教育部發(fā)布了2022年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱“新課標(biāo)”）。新課標(biāo)在2011年版課標(biāo)的基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，其中初中階段要培養(yǎng)學(xué)生包含模型觀念在內(nèi)的九大核心素養(yǎng)［1］。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)高中生包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)［2］。模型觀念和數(shù)學(xué)建模都強(qiáng)調(diào)了模型思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要性。在我國教育改革工作推進(jìn)的過程中，學(xué)者們對模型思想的研究較多，但對基于HPM視角的模型思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用研究并不多見。鑒于模型思想與數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的緊密聯(lián)系，所以，有必要對基于HPM視角對模型思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行研究，為一線教師的教學(xué)和育人提供一定的參考。

二、概念的界定

HPM，即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（History & Pedagogy of Mathematics），是數(shù)學(xué)教育中探索數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的一個(gè)研究領(lǐng)域［3］。HPM涉及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍建設(shè)等細(xì)節(jié)問題，既要在教學(xué)方式上注重?cái)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合，又要大力提高數(shù)學(xué)教師的歷史意識和素養(yǎng)［4］。HPM能夠賦予數(shù)學(xué)以人文因素，有助于增強(qiáng)數(shù)學(xué)在社會發(fā)展中的作用。其中，數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系［5］；數(shù)學(xué)教育是研究數(shù)學(xué)教與學(xué)的實(shí)踐和方法的學(xué)科。

模型思想是指學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，能從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中將問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用所習(xí)得的數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力。模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行模型假設(shè)，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識［6］。

三、基于HPM視角的模型思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究過程

（一）在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的必要性分析

數(shù)學(xué)作為重要的基礎(chǔ)學(xué)科之一，具有悠久的歷史。我們必須充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)史研究對于當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的重要意義。數(shù)學(xué)是一門歷史性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)的發(fā)展建立在先前數(shù)學(xué)家取得的研究成果之上，是對原先理論的包容和擴(kuò)展。例如，對于數(shù)的理論，德國數(shù)學(xué)家高斯說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠?！碑呥_(dá)哥拉斯學(xué)派從重視正整數(shù)開始，逐步擴(kuò)充了正分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為正有理數(shù)，負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為負(fù)有理數(shù)；正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯最早發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)的存在。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。為了解決一個(gè)數(shù)的平方等于負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)無解的問題，意大利學(xué)者卡爾達(dá)諾在16世紀(jì)首次引入復(fù)數(shù)的概念，后來經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的研究，復(fù)數(shù)的概念才逐漸被數(shù)學(xué)家們所接受。由此可見，數(shù)學(xué)史是人類歷史文明的一部分，是數(shù)學(xué)家們集體智慧的結(jié)晶。只有在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，才能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的來龍去脈，體會數(shù)學(xué)家們克服重重困難戰(zhàn)勝數(shù)學(xué)危機(jī)的奮斗歷程，感悟數(shù)學(xué)發(fā)展的艱難和曲折，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)的信心。

（二）在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型思想的必要性分析

知名學(xué)者史寧中教授認(rèn)為，迄今為止，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型［7］。模型在高中數(shù)學(xué)教材中無處不在，例如三角函數(shù)模型、基本不等式模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型等。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)的基本概念和定理，而且要教給學(xué)生在解決問題過程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法，從而提高學(xué)生解決問題的能力。解決問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的落腳點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想和方法是對解決問題這一過程的提煉和升華。解決問題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后利用相應(yīng)的知識進(jìn)行求解。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，對提高學(xué)生的問題解決能力，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，具有深遠(yuǎn)的意義。

（三）中國古代數(shù)學(xué)史的輝煌成就

中國古代數(shù)學(xué)以“算”為中心，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的“算法”精神，形成了為解決一整類實(shí)際或科學(xué)問題而概括出來的、帶有一般性的計(jì)算方法，這使得中國古代數(shù)學(xué)在14世紀(jì)以前相當(dāng)長的一個(gè)時(shí)期內(nèi)處于世界領(lǐng)先水平。中國古代數(shù)學(xué)有三次發(fā)展高峰：第一次高峰是以《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》為代表的兩漢時(shí)期，《周髀算經(jīng)》的勾股定理和《九章算術(shù)》的正負(fù)術(shù)、開方術(shù)是這一時(shí)期幾何與代數(shù)的代表；第二次高峰是以劉徽的《九章算術(shù)注》和祖沖之、祖暅父子的《綴術(shù)》為代表的魏晉南北朝時(shí)期，劉徽的“割圓術(shù)”、體積理論和祖沖之的圓周率、祖暅原理與球體積理論是這一時(shí)期數(shù)學(xué)證明理論的代表，這一時(shí)期是中國古代數(shù)學(xué)唯一出現(xiàn)數(shù)學(xué)論證傾向的時(shí)期，但這種數(shù)學(xué)論證傾向隨著這一時(shí)期的結(jié)束而中斷；第三次高峰是以秦九韶的《數(shù)書九章》、李治的《測圓海鏡》、楊輝的《詳解九章算法》、朱世杰的《四元玉鑒》為代表的宋元時(shí)期，這一時(shí)期是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰時(shí)期。

（四）模型思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用研究

根據(jù)以上分析可知，魏晉南北朝時(shí)期是中國古代數(shù)學(xué)唯一出現(xiàn)數(shù)學(xué)論證傾向的時(shí)期，祖沖之、祖暅父子在劉徽“割圓術(shù)”、體積理論數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推進(jìn)與發(fā)展，提出了圓周率、祖暅原理與球體積理論。祖暅球體積的計(jì)算和推導(dǎo)繼承了劉徽的思路，即從計(jì)算“牟合方蓋”的體積來突破，在其計(jì)算過程中提出祖暅原理，即“冪勢既同，則積不容異”，“冪”指水平截面積，“勢”指高。祖暅原理用自然語言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。祖暅原理要比其他國家早發(fā)現(xiàn)一千多年，直到1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里才得出上述結(jié)論。祖暅原理可通過以下例子來證明：假如桌面上有2沓相同數(shù)量的A4紙，無論A4紙是疊成直棱柱還是斜棱柱，其體積都等于A4紙的面積乘以直棱柱或斜棱柱的高。

祖暅原理，即“等體積模型”（下稱“祖暅模型”），只要保證兩個(gè)等高的立體圖形在每個(gè)高度的截面面積處處相等，就可以得到這兩個(gè)立體圖形的體積相等的結(jié)論。在人教版高中數(shù)學(xué)A版必修二第八章第三節(jié)“簡單幾何體的表面積與體積”［8］的教學(xué)中，可將祖暅模型融入幾何體的體積公式的推導(dǎo)過程。例如對柱體和錐體體積公式的推導(dǎo)及教學(xué)。但在日常教學(xué)過程中，由于高中數(shù)學(xué)的教學(xué)任務(wù)較重，教師為了加快教學(xué)進(jìn)程，常常將柱體和錐體的體積公式直接告訴學(xué)生，讓學(xué)生通過機(jī)械記憶來掌握柱體和錐體的體積公式，缺少引導(dǎo)和探究的過程。這樣學(xué)生習(xí)得的知識只知其然而不知其所以然，死記硬背的效果較差，容易隨著時(shí)間的推移而淡忘。因此，應(yīng)重視學(xué)生知識的發(fā)生和內(nèi)化，將祖暅模型融入柱體和錐體的體積公式的推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生通過祖暅模型來掌握柱體和錐體體積公式的推導(dǎo)過程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，使學(xué)生能夠運(yùn)用模型思想來解決實(shí)際問題。

對于柱體體積公式的推導(dǎo)，可將底面積都等于[S]，高都等于[h]的任意一個(gè)多棱柱、圓柱和長方體放置在同一平面上，由棱柱、圓柱、長方體的定義可知，棱柱、圓柱、長方體在每個(gè)高度的截面面積處處相等，根據(jù)祖暅模型，可得多棱柱的體積[V1]，圓柱體的體積[V2]，長方體的體積[V3]之間的關(guān)系為：[V1=V2=V3]，又由于長方體的體積[V3=Sh]，故[V1=V2=V3=Sh]，進(jìn)而可得到高中階段常見多棱柱的體積公式如下。

對于錐體體積公式的推導(dǎo)，可將底面積都等于[S]，高都等于[h]的任意一個(gè)多棱錐和一個(gè)圓錐放置在同一平面上，設(shè)任意一個(gè)平行于底面且距離底面為[h0]（[0

綜上所述，在柱體和錐體的體積公式的推導(dǎo)教學(xué)過程中，教師應(yīng)先闡述清楚祖暅模型的基本內(nèi)涵，讓學(xué)生明確祖暅模型的形成過程和適用條件，進(jìn)而建立起知識點(diǎn)與祖暅模型之間的聯(lián)系，并運(yùn)用祖暅模型來解決問題。教師應(yīng)將模型思想融入教學(xué)過程中，使得學(xué)生對柱體和錐體體積公式的記憶是基于祖暅模型而生發(fā)的，這是一種有意義的學(xué)習(xí)和記憶方式，在打破學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之后又通過模型思想保持了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完整性，記憶效果較好。教師將模型思想融入教學(xué)，既讓學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的歷史，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)生的民族自豪感，又讓原本略顯枯燥乏味的高中數(shù)學(xué)課堂變得活潑生動(dòng)，有利于學(xué)生理解和接納模型所包含的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

四、研究結(jié)論

本文通過回顧中國古代數(shù)學(xué)史的輝煌發(fā)展歷程，挖掘其中富含數(shù)學(xué)思想的部分，以祖暅原理為例，基于HPM的視角，對模型思想融入高中數(shù)學(xué)柱體和錐體的體積公式的推導(dǎo)及教學(xué)進(jìn)行研究，說明了基于HPM視角的模型思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性和可行性，為一線教師的教學(xué)和育人提供一定的參考。

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行二度創(chuàng)造，深挖數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)模型，例如函數(shù)模型、幾何模型、方程模型等，將模型思想融入教學(xué)中，從教學(xué)設(shè)計(jì)上體現(xiàn)對培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用模型思想來解決問題的重視。

教師在教學(xué)過程中，應(yīng)闡述清楚數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵，包括數(shù)學(xué)模型是怎樣從具體問題中抽象出來的，重在讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)模型的形成過程和適用條件，讓學(xué)生體會從具體到抽象、從特殊到一般的推理過程，引導(dǎo)學(xué)生形成模型思想和對策思維，能運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，真正做到學(xué)以致用。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 汪曉勤.HPM： 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育［M］.北京：科學(xué)出版社，2019.

［4］? 許晶，李淑文.HPM視角下數(shù)學(xué)史融入高校數(shù)學(xué)教育實(shí)踐研究：評《HPM： 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》［J］.教育發(fā)展研究，2020（8）：87.

［5］? 李文林.數(shù)學(xué)史概論［M］.北京：高等教育出版社，2021.

［6］? 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2011年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［7］? 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

［8］? 章建躍，李增滬.普通高中教科書：數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

（責(zé)任編輯? ? 陳? ? 明）