高小雨，白靜遠，黃揚智，寧紀鋒

（1 西北農林科技大學 信息工程學院，楊凌 712100）

（2 西北農林科技大學 理學院，楊凌 712100）

0 引言

使用光譜儀對同一場景獲取不同光譜的圖像被稱為高光譜圖像（Hyperspectral Image，HSI），HSI 能提供豐富的光譜信息，被各領域［1-3］廣泛應用。然而，由于光照條件、傳輸條件和成像儀器等多種客觀因素的限制，數(shù)據(jù)在采集和傳輸過程中不可避免地受到各種噪聲的污染，并且由于其豐富的光譜維，其受到的噪聲干擾可能性相對更大，噪聲會降低圖像的辨識度，影響圖像質量，并且限制了分類［4-5］和解混［6］等后續(xù)處理任務的精度。因此，作為預處理步驟，HSI 去噪是一個重要的研究課題。

目前許多針對HSI 的去噪模型［7-8］都是基于HSI 中的兩大重要先驗信息，即光譜域的低秩性和空間域的稀疏性。

HSI 的光譜維度存在低秩先驗，即HSI 提供了被觀測對象同一場景下數(shù)十個至數(shù)百個連續(xù)波段的光譜信息，所以不同波段之間存在著高相關性，然而直接求解秩函數(shù)最小化是一個凸優(yōu)化問題，CANDES E J等［9］提出的魯棒主成分分析模型（Robust Principal Component Analysis，RPCA）利用非凸的核范數(shù)對秩函數(shù)進行凸逼近，取得了良好的性能。ZHANG Hongyan 和HE Wei 等［10］在RPCA 的框架下對圖像進行塊處理，然后沿光譜維將三維立方體展開成矩陣，最后使用低秩矩陣復原（Low-Rank Matrix Recover，LRMR）模型恢復矩陣，該做法更好地保存了局部細節(jié)和紋理信息，取得了較好的去噪效果。有研究［11-12］指出，RPCA 模型中的核范數(shù)雖然便于計算但是在逼近秩函數(shù)時不準確，因此，研究者們致力于開發(fā)更精確的低秩近似表示。HUANG Xinjian 等［13］使用加權核范數(shù)來約束低秩先驗，提升對秩函數(shù)逼近的性能。ZENG Haijin 等［14］直接定義了張量的秩，提出γ范數(shù)來描述HSI 局部塊的低秩性質。這些基于低秩矩陣逼近（Low-Rank Matrix Approximation，LRMA）的方法，是通過引入非凸函數(shù)來逼近矩陣的秩，但是這會涉及到奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD），存在計算復雜度高的缺點。為解決以上難題，LIU Yuanyuan 等［15］對低秩矩陣進行快速三因子分解（Fast Tri-Factorization，F(xiàn)TF），將矩陣分解為兩個正交因子矩陣和一個秩為r的核心矩陣。FTF 計算復雜度低，速度快，并且還將低秩約束轉移到規(guī)模更小的核心矩陣上，所以探索矩陣的低秩性有更高的效率。LIU Qiang 等［16］在FTF 框架下提出了一種基于QR 分解的L2，1范數(shù)最小化方法。該方法在對核心矩陣的約束上，用L2，1范數(shù)最小化來替換核范數(shù)最小化，這兩種約束具有相同的最優(yōu)解，而且使用L2，1范數(shù)相較于核范數(shù)能夠帶來計算速度上的顯著提升。同時，HSI 空間維的稀疏性也是常用于去噪的重要先驗信息。對于HSI，不同波段的成像場景相同，不同波段的分段平滑結構也應該相同，即所有波段的差分圖像在光譜維度上應服從組稀疏結構。這啟發(fā)研究者們考慮用組稀疏正則化［17-18］去表示不同波段的空間差分圖像之間的內部結構特征。CHEN Yong 等［19］用組稀疏正則化去除條紋，取得了比使用稀疏正則化更好的效果。文獻［20］利用加權L2，1范數(shù)最小化來約束空間差分圖像，但是只對兩個空間維度上的差分圖像進行約束，沒有考慮到光譜維度。

現(xiàn)有的去噪模型對于矩陣秩最小化問題，多采用核范數(shù)最小化進行不斷迭代求解，而每次迭代都涉及到SVD，所以這些算法有很高的計算復雜度；除此之外，全變差（Total Variation，TV）項無法探索空間差分圖像的共享組稀疏模式。為了更快速地表示低秩，更精確地表示稀疏，同時保證去噪效果的提升，在FTF 與全局組稀疏的啟發(fā)下，本文提出了基于快速三因子分解和組稀疏正則化的高光譜圖像降噪（Fast Trifactorization And Group Sparsity Regularized Hyperspectral Image Denoising，F(xiàn)TFGS）模型，以更有效地表達HSI 的低秩性和全局組稀疏。

1 相關工作

1.1 HSI 的退化模型

假設HSI 受到不同種類噪聲的污染，該退化模型可表示為

式中，O是觀測到的含噪圖像；L是清晰的圖像；S表示包括脈沖噪聲、死線、條帶等稀疏噪聲；N是高斯噪聲；M×N表示HSI 的空間大小，p表示波段數(shù)。

1.2 局部RPCA

文獻［21］指出局部空間內像素屬于同一地物的可能性更大，具有更強的相似性，并利用RPCA 模型來探索這種局部低秩先驗，提出局部RPCA 模型?；诖?，定義取塊算子Pi，j：=O→Oi，j=Oi，j，表示從高光譜圖像O的空間位置(i，j)截取大小為m×n×p的子塊并逐波段列化成矩陣Oi，j。相應的，Li，j和Si，j分別是清晰HSI 和稀疏噪聲張量對應的子矩陣，λ是正則化參數(shù)，ε表示高斯噪聲的噪聲水平。那么，局部RPCA 去噪模型可表示為

文獻［8，21］等指出局部RPCA 以分塊方式進行研究具有諸多優(yōu)勢。首先，在局部區(qū)域中探索低秩屬性更符合HSI 的物理特性；其次，局部模型可以減少對噪聲是獨立同分布這一假設的依賴；最后，這種做法避免了直接將HSI 列化后形成病態(tài)矩陣，有利于保護局部圖塊中的細節(jié)信息。

1.3 快速三因子分解

文獻［15］為了降低核范數(shù)最小化問題的計算成本，提出了一種基于QR 分解的FTF 方法。對于秩為r的矩陣M∈Rm×n，它的求解模型為

式中，A∈Rm×r是列正交矩陣，C∈Rr×n是行正交矩陣，核心矩陣B∈Rr×r，r?min(m，n)。FTF 模型將矩陣M的低秩性轉移到核心矩陣B的低秩性，即

文獻［16］對B的秩進一步約束，即不僅對r進行限制，而且使用L2，1范數(shù)最小化來替換核范數(shù)最小化，提出模型

式中，A和C可通過QR 分解快速求解且計算復雜度僅是SVD 的10%［16］。相比于傳統(tǒng)的SVD，在FTF 框架下采用基于QR 的L2，1范數(shù)不但降低了計算的復雜度，而且利用對核心矩陣的秩和范數(shù)的約束可以更準確、快速地體現(xiàn)圖像的局部低秩特性。

1.4 SSTV 的組稀疏表示

由于HSI 波段間的高度相關性，不同波段的分段平滑結構也應相同，即，一波段的某一區(qū)域是邊界，那么相鄰波段也是邊界；如果該區(qū)域平滑，相鄰波段也是平滑的。對HSI 進行梯度操作之后，邊界都非零，平滑區(qū)域近似為0，這一物理特性就是HSI 的組稀疏特性。文獻［20］采用加權的L2，1范數(shù)探索了HSI 空間上兩個維度梯度張量的組稀疏結構，其數(shù)學表示為

式中，F(xiàn)=[Fx，F(xiàn)y]，F(xiàn)x和Fy是空間維度的兩個差分算子，F(xiàn)x L=L(x+1，y，z)-L(x，y，z)，F(xiàn)y L=L(x，y+1，z)-L(x，y，z)；w=[wx，wy]中wx和wy表示對空間上兩個維度添加的權重。

2 基于FTFGS 的HSI 去噪模型

2.1 FTFGS 模型

在圖1 中，對HSI 的三個梯度張量每個像素處的梯度光譜曲線求L2范數(shù)，并畫出它們的直方圖。從直方圖分布來看絕大多數(shù)L2范數(shù)值集中在固定的值，表明HSI 的梯度張量具有組稀疏的特性，而且這種組稀疏特性不僅存在于空間梯度張量中，也存在于光譜方向的梯度張量中。為了探索HSI 每個梯度方向上的組稀疏結構，本文提出一個全新的加權空譜組稀疏正則化‖w⊙FL‖2，1，即

圖1 探索HSI 的組稀疏性Fig.1 Exploring group sparsity in HSI

式中，F(xiàn)=[F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3]=[bxFx，byFy，bzFz]，約束因子b可以控制不同方向的梯度對模型的影響，F(xiàn)x、Fy和Fz分別是空間維度和光譜維度的三個差分算子；w=[wx，wy，wz]則是對三個維度添加的權重。相較于只對空間維進行約束，對HSI 空間和光譜維度的梯度張量都進行組稀疏正則化，會取得更好的效果。

本文將全局組稀疏和局部FTF 的低秩表示相結合提出FTFGS 模型，即

式中，Ci，j、Di，j和Ri，j分別是將Li，j進行FTF 之后得到的列正交矩陣、核心矩陣和行正交矩陣，λ、γ和τ都是正則化參數(shù)，以平衡各個正則項達到更好的去噪效果。從式（8）可以看出FTFGS 模型的提出側重于為低秩和稀疏分量分別開發(fā)更精確的近似表示，并在保證最優(yōu)解的同時帶來速度的提升。

模型的整體架構如圖2 所示?？梢郧宄乜吹?，局部模塊采用局部RPCA 模型探索HSI 低秩性，不僅符合HSI 的物理特性，避免形成病態(tài)矩陣，而且可以更好地保護局部圖塊中的細節(jié)信息。在處理小規(guī)模矩陣時，不同于使用傳統(tǒng)SVD 方法［10］，F(xiàn)TF 可以達到速度更快、復雜度更低的效果。在對核心矩陣進行處理時，不僅對r進行限制，而且用L2，1范數(shù)最小化在得到最優(yōu)解的同時也能夠帶來計算速度上的顯著提升。在全局上，提出一個全新的加權空譜組稀疏正則化，相較于只在空間維度進行約束的模型［20］，能充分探索HSI 三個維度的組稀疏特性從而取得更好的效果，并且可以有效抑制高斯噪聲，消除分塊處理帶來的人為結構。FTFGS 模型實現(xiàn)了局部低秩模塊和全局組稀疏模塊的有效聯(lián)動，迭代求解模型至收斂條件，最終不僅可以去除各種混合噪聲，而且減少了對噪聲獨立同分布假設的依賴，有效抑制與結構相關的噪聲。

圖2 模型架構Fig.2 Model architecture

2.2 模型求解

采用交替乘子法［22］（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）求解目標函數(shù)，并引入輔助變量J，X∈RM×N×p，U∈RM×N×p×3，式（8）可改寫成

式中，F(xiàn)(?)是空譜TV 算子，U=[u1，u2，u3]=[F1X，F(xiàn)2X，F(xiàn)3X]。

利用增廣拉格朗日乘子法，式（9）優(yōu)化問題可以轉化成

式中，ΓOi，j，ΓDi，j，ΓLi，j，ΓX和Γ是拉格朗日乘子，μ是懲罰參數(shù)。在第k次迭代中，問題的解可以轉化為局部低秩分解子問題與基于SSTV 的組稀疏子問題，即

2.2.1 固定其他參數(shù)，求解子優(yōu)化問題(C,D,R,L,S,N)

1）求解Ci，j，Ri，j和Di，j

求解Ci，j，目標式（11）變?yōu)?/p>

基于QR 分解求L2，1范數(shù)最小化方法［16］得到

按列求解Ci，j得

求解Ri，j，目標式（11）變?yōu)?/p>

類似Ci，j求解步驟，可得

按行求解Ri，j得

求解Di，j，將式（11）改寫成

2）求解Li，j

計算得到

3）求解Si，j

可利用軟閾值收縮算子計算，即

4）求解Ni，j

計算可得

2.2.2 固定其他參數(shù)，求解子優(yōu)化問題(J,X,U)

1）求解J

凸優(yōu)化模型得到解析解

式中，I∈RM×N×P是元素全為1 的張量，Pi，j是取樣算子，PTi，j是其逆算子。

2）求解X

利用快速傅里葉求解X得

式中，fftn(·)表示快速傅里葉變換，ifftn(·)是其逆變換。

3）求解U

根據(jù)文獻［23］給出的引理計算U

更新拉格朗日乘子和懲罰參數(shù)為

在每次迭代中組稀疏權重w(i，j)更新為

綜上所述，得到FTFGS 模型的求解步驟為：

1）輸入觀測到的HSI 圖像O，圖塊大小blocksize，步長stepsize，秩大小r，正則化參數(shù)λ，γ，τ，（bx，by，bz），迭代終止條件ε以及參數(shù)更新率ρ。

2）初始化變量L=J=X=0，U=0，ΓOi，j=ΓDi，j=ΓLi，j=ΓX=Γ=0，μ=0。

3）進入重復迭代：基于式（14）、（19）、（17）、（21）、（23）和（25）更新(Ci，j，Di，j，Ri，j，Li，j，Si，j，Ni，j)；基于式（32）更新拉格朗日乘數(shù)和懲罰參數(shù)；基于式（33）更新權重。

4）重復迭代直至最后迭代到最大迭代次數(shù)或滿足收斂條件max{‖Oi，j-Li，j-Si，j-Ni，j‖∞，，結束迭代。

最終得到降噪后的圖像L。

3 實驗結果與分析

為驗證FTFGS 模型的有效性，將其用于模擬以及真實數(shù)據(jù)實驗。選用5 種高光譜去噪模型：LRMR［21］，LRTDTV［24］，LLRSSTV［10］，LRTDGS［20］和LLxRGTV［14］作為對比，以驗證FTFGS 模型的有效性。對于所有模型的參數(shù)選擇，都仔細遵循所在文獻中的建議，以保證最佳結果。實驗前將HSI 每個波段的像素值歸一化到［0，1］范圍。

對于模型的復原結果，采用三種類型的標準進行評價。第一種是直觀的視覺效果；第二種是定量的數(shù)值評價指標，采用峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR），結構相似度（Structural Similarity Index，SSIM）和特征相似度（Feature Similarity，F(xiàn)SIM）［25］這三個指標，實驗中這些指標的結果是所有頻帶的平均值，值越高，表示恢復效果越好；第三種是定性比較，將恢復結果的光譜特征與原始圖像進行比較，以進一步顯示性能。

3.1 模擬數(shù)據(jù)實驗

3.1.1 數(shù)據(jù)介紹

采用2 個高光譜數(shù)據(jù)集進行模擬，第1 個數(shù)據(jù)集是由機載可見/紅外成像光譜儀（Airborne Visible/Infrared Imaging Spectrometer，AVIRIS）所拍攝Indian Pines 數(shù)據(jù)集所生成，全景大小為145×145，共有224 個波段。第2 個數(shù)據(jù)集是高光譜數(shù)字圖像采集傳感器（Hyperspectral Digital Imagery Collection Experiment，HYDICE）所拍攝的Washington DC Mall，空間尺寸為1 208×307，共有191 個波段，本節(jié)采用256×256×191的子塊。在兩個干凈的HSI 數(shù)據(jù)集中添加6 種不同類型的噪聲，具體情況如表1 所示。

表1 不同的噪聲場景Table 1 Different noise scenarios

3.1.2 模擬數(shù)據(jù)實驗

圖3 和圖4 給出兩個模擬數(shù)據(jù)集中隨機一個波段在情況5 下不同模型的去噪效果，為每張子圖附上PSNR 值并將綠框區(qū)域在紅框中放大以更清晰比較。從圖3 中可直觀的看到LRMR、LRTDTV、LLRSSTV有嚴重的噪聲的殘留，LRTDGS 和LLxRGTV 雖去除了大部分噪聲，但丟失了部分輪廓信息，效果不太理想。觀察圖3（h）可以看到沒有混合噪聲并且保持了輪廓和細節(jié)信息的清晰圖像。從圖4 中看到LRMR 與LLRSSTV 模型仍含有噪聲，LRTDTV、LRTDGS 和LLxRGTV 存在過渡平滑的現(xiàn)象，丟失了圖像的紋理細節(jié)。

圖3 情況5 下Indian Pines 數(shù)據(jù)集第65 波段的去噪結果Fig.3 Denoising results on band 65 of Indian Pines dataset in case 5

圖4 情況5 下Washington DC 數(shù)據(jù)集第66 波段的去噪結果Fig.4 Denoising results on band 66 of Washington DC dataset in case 5

LRMR 通過整合平均HSI 分割而成的所有重疊小塊來去噪，然而只簡單地利用了圖像的空間信息，所以去噪效果不佳。LRTDTV 在平滑噪聲的同時也去除了細節(jié)和紋理信息。LLRSSTV 與LLxRGTV 均只簡單使用SSTV 項，完全沒有探究HSI 的組稀疏先驗，去噪效果較差。LRTDGS 只研究了空間維度的組稀疏性質，忽略了光譜維度。

總體而言，F(xiàn)TFGS 在Indian Pines 數(shù)據(jù)集上取得了明顯的視覺改善，原因是該數(shù)據(jù)集具有局部平滑的特性，而FTFGS 模型的組稀疏正則項則充分挖掘了這一信息。與Washington DC 數(shù)據(jù)集上的其他模型相比，F(xiàn)TFGS 模型由于采用了LLR 模塊，相較于過渡平滑的LRTDTV 能更好地保留圖像細節(jié)與紋理信息，與同樣也采用LLR 模塊的LLRSSTV 和LLxRGTV 相比，優(yōu)勢在于能夠有效地利用圖像稀疏的先驗特性。

表2 列出了6 種模型的去噪效果，表中G 代表高斯噪聲，P 代表脈沖噪聲。實驗的最佳結果用加粗字體顯示，次優(yōu)結果加下劃線顯示。FTFGS 在所有情況下所有評估指標幾乎都達到了最優(yōu)。FTFGS 模型所采用的局部低秩模塊，不同于LLRSSTV 模型使用核范數(shù)或是LLxRGTV 模型采用Lγ范數(shù)直接對低秩矩陣約束，F(xiàn)TFGS 模型在FTF 操作得到核心矩陣后，對其進行秩和L2，1范數(shù)最小化的約束，該操作能更精確地表示HSI 的低秩屬性。在全局模塊，針對LRTDTV、LLRSSTV 與LLxRGTV 采用傳統(tǒng)的TV 正則化無法探索差分圖像的全局結構這一缺點，F(xiàn)TFGS 模型使用加權空譜組稀疏項彌補，并且在LRTDGS 只約束了兩個維度的基礎上，還添加了對光譜維度的約束以充分探索數(shù)據(jù)集分段平滑的特性。

表2 模擬實驗中的定量評價結果Table 2 Quantitative evaluation results of simulated experiment

具體來看，Indian Pines 在噪聲情況5 下，比次優(yōu)模型的平均PSNR（MPSNR）高出3.79 dB，Washington DC 在噪聲情況6 下，比次優(yōu)模型的MPSNR 高出1.16 dB。Indian Pines 在噪聲情況6 下，僅比最優(yōu)結果差0.001 9。兩個數(shù)據(jù)集的平均SSIM（MSSIM）和平均FSIM（MFSIM）指標均有較大提升，因此，F(xiàn)TFGS 模型具有較大優(yōu)勢。

圖5 和圖6 給出不同噪聲情況下所有模型在兩個模擬數(shù)據(jù)集上的PSNR 和SSIM 曲線，F(xiàn)TFGS 模型在Indian Pines 數(shù)據(jù)集的所有頻帶中幾乎都實現(xiàn)了最高的PSNR 和SSIM 值。這說明對差分圖像的組稀疏性約束挖掘了該數(shù)據(jù)集的局部平滑特性，更好地保留了每個頻帶中的大部分細節(jié)。在Washington DC 數(shù)據(jù)集上，F(xiàn)TFGS 模型雖然沒有在每個頻帶中實現(xiàn)最佳結果，但在所有頻帶中實現(xiàn)了平均最優(yōu)。

圖5 不同噪聲情況下6 種模型在Indian Pines 數(shù)據(jù)集上各波段PSNR 和SSIM 值的對比Fig.5 Comparison diagram of PSNR and SSIM values of six models in different bands on the Indian Pines dataset under different noise conditions

圖6 不同噪聲情況下6 種模型在Washington DC 數(shù)據(jù)集各波段PSNR 和SSIM 值的對比Fig.6 Comparison diagram of PSNR and SSIM values of six models in different bands on the Washington DC dataset under different noise conditions

圖7 對各個模型在HSI 局部像素點的去噪效果進行定性比較。對于兩個數(shù)據(jù)集都隨機選取像素點進行考察，對比去噪前后的光譜曲線變化。去噪后的光譜曲線越接近原始圖像，曲線越光滑說明去噪效果越好。圖7 和圖8 展示了不同去噪模型在兩個模擬數(shù)據(jù)集上隨機像素點處的光譜曲線?？梢悦黠@地看出，其他模型都無法較好地貼合原始圖像，由于條紋和其他噪聲的影響，曲線中出現(xiàn)了許多波動。從圖7（g）和圖8（g）看到曲線整體光滑，而且在其它模型波動加大的情況下具有更高的貼合度（第100 波段以后）。在噪聲情況復雜的情況6 下，因為FTFGS 的局部模塊使用FTF 方法代替局部低秩去除稀疏噪聲，全局模塊對圖塊進行整合，有效抑制了高斯噪聲和條紋，所以展示出最優(yōu)越的效果。

圖7 情況6 下Indian Pines 數(shù)據(jù)集中像素（50，20）的光譜曲線Fig.7 Spectrum of Indian Pines dataset at pixel（50，20）in case 6

圖8 情況6 下數(shù)據(jù)集Washington DC 數(shù)據(jù)集中像素（10，180）的光譜曲線Fig.8 Spectrum of Washington DC dataset at pixel （10，180）in case 6

3.2 真實數(shù)據(jù)實驗

采用Indian Pines 數(shù)據(jù)集驗證模型在實際應用中的有效性。數(shù)據(jù)集全景大小為145×145，共有220 個波段，其中一些波段受到高斯噪聲和脈沖噪聲的嚴重污染?？紤]到該數(shù)據(jù)集第150 和162 波段受到的噪聲干擾尤為嚴重，故選取這兩個波段去噪更能體現(xiàn)模型的性能。圖9（a）和10（a）雖然是原始參考影像但是完全無法從中獲得任何有用信息。從去噪結果來看，所有模型都可以去除大部分噪聲并恢復圖像結構。然而，如圖9（b）～（f）所示，與其他模型相比，F(xiàn)TFGS 模型結果最接近原始參考圖像。如圖10（b）～（f）所示，LRMR、LLRSSTV 和LRTDGS 的結果仍然包含一些噪聲，并且圖像結構被破壞。LRTDTV 和LLxRGTV可以有效地去除噪聲，但會使圖像過度平滑。與上述模型相比，本文所提出的FTFGS 在去除噪聲、保留邊緣和局部細節(jié)方面表現(xiàn)最佳。

圖9 不同模型對真實數(shù)據(jù)第150 波段的去噪結果Fig.9 Denoising results of the 150th band of real data by using different models

圖10 不同模型對真實數(shù)據(jù)第162 波段的去噪結果Fig.10 Denoising results of the 162th band of real data by using different models

3.3 靈敏性分析

以Indian Pines 的6 種噪聲情況為例，采用PSNR 為指標對FTFGS 模型的5 個參數(shù)進行靈敏性分析。

采取分塊策略，首先分析塊大小和步長這兩個參數(shù)。如圖11 和圖12 所示，可以看出，情況1、2、3 和5 的最優(yōu)參數(shù)均是blocksize=30 和stepsize=15。對該數(shù)據(jù)集，在所有復雜的噪聲情況下，塊大小的最優(yōu)區(qū)間是［25，30，35］，步長一般固定為10 或者15。在圖11 中，可以發(fā)現(xiàn)當塊大小和步長相等時，即圖塊之間無重合區(qū)域，去噪效果最差，說明FTFGS 采取對重疊的圖塊進行處理的策略能夠更好地去除死線和條紋噪聲。

圖11 Blocksize 的靈敏性分析Fig.11 Sensitivity analysis of the blocksize

圖12 Stepsize 的靈敏性分析Fig.12 Sensitivity analysis of the stepsize

FTFGS 模型中包含λ、γ和τ三個參數(shù)。對于正則化參數(shù)γ，其大小的波動對模型結果影響不大，一般將其設置為高斯噪聲方差的倒數(shù)即可［24］。在FTFGS 中，λ是用來限制稀疏噪聲稀疏性的參數(shù)，根據(jù)調優(yōu)參數(shù)C、塊大小blocksize 與HSI 波段數(shù)p在處設置稀疏正則化參數(shù)，足以保證最優(yōu)解的存在。圖13 顯示了調優(yōu)參數(shù)C在最優(yōu)值上下波動時模型的去噪結果，因為實驗含有不同的復雜噪聲情況，導致最優(yōu)C值在30～60 之間變化。參數(shù)τ的靈敏性分析如圖14 所示，它的最優(yōu)結果在2 上下浮動。

圖13 參數(shù)C 的靈敏性分析Fig.13 Sensitivity analysis of the C

圖14 參數(shù)τ 的靈敏性分析Fig.14 Sensitivity analysis of the τ

從圖13 和14 中可以看出，不同情況下MPSNR 值的變化趨勢相似，說明正則化參數(shù)在不同噪聲情況下具有魯棒性。除此之外，建議根據(jù)噪聲程度的不同，分別在上述范圍內選取參數(shù)C和τ。

如圖15 所示，選取最優(yōu)的去噪結果，對Indian Pines 的秩rank 給出估計，可見當rank=8/9 時MPSNR 達到峰值，也表示信號與噪聲分離的邊界。圖16 表明經過多次迭代，模型結果趨于穩(wěn)定，體現(xiàn)了算法的收斂性。同時也給出了所有噪聲情況下較為理想的迭代次數(shù)為40 次。

圖15 秩的靈敏性分析Fig.15 Sensitivity analysis of the rank

圖16 迭代次數(shù)的靈敏性分析Fig.16 Sensitivity analysis of the iteration

3.4 計算復雜度和時間分析

相比于利用核范數(shù)最小化表示低秩先驗的模型（例如算法LLRSSTV），F(xiàn)TFGS 模型速度的提升主要在于局部模塊所采用的FTF 方法。針對HSI 的低秩先驗，假設實矩陣X∈Rm×n，針對X進行SVD 的計算復雜度是O(mn2)，而FTFGS 在將X進行FTF 并且對核心矩陣D∈Rr×r約束，所以基于核范數(shù)最小化的算法存在高計算成本，將問題從‖X‖*最小化轉換成基于QR 分解的L2，1范數(shù)最小化，即

式（34）的主要CPU 時間在于執(zhí)行兩次QR 分解來更新C和R，因此它的計算復雜度是O(r2(m+n))，并且r?min(m，n)，所以該模型比基于SVD 的傳統(tǒng)模型快得多。

表3 展示了6 種對比模型的運行時間，表中提升率以LLRSSTV 模型作為參考。最好的3 種模型依次用紅、藍、綠表示。其中LLRSSTV 在低秩模塊采用核范數(shù)最小化對矩陣進行約束，顯然，F(xiàn)TFGS 在使用FTF之后，相較于LLRSSTV，模型整體提升效率顯著。盡管FTFGS 并不是在所有情況下都是最快的，但其去噪性能卻遠超于對比模型，所以考慮到優(yōu)越的去噪性能，F(xiàn)TFGS 還是具有優(yōu)秀的綜合能力。

表3 模擬實驗中的運行時間Table 3 Running time in simulation experiment

4 結論

本文充分挖掘HSI 的局部低秩和全局組稀疏的先驗信息，提出了一種高效的高光譜圖像去噪模型：在FTF 的框架下快速、準確地探究圖塊的局部低秩特性，引入全新的組稀疏正則化整合低秩無噪小塊，更好地表達稀疏特性。用該算法有效地求解模型并進行實驗，實驗結果充分證明了該模型的去噪能力。相較于對比模型，其平均峰值信噪比提高1.75 dB，平均結構相似性指標提高0.003，平均特征相似度指標提高0.002，去噪性能有明顯提升。在后續(xù)研究中，可以將該模型應用于諸如高光譜圖像聚類、視頻修復等多種高維數(shù)據(jù)處理任務。