紀(jì)婷　吳明忠

立體幾何證明題通常較為復(fù)雜，側(cè)重于考查同學(xué)們的運(yùn)算、推理、抽象思維能力.數(shù)學(xué)家笛卡爾曾說： “沒有正確的方法，即使是有眼睛的博學(xué)者也會(huì)像瞎子一樣盲目摸索.”可見，只有掌握并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用一些證明立體幾何問題的方法，在解題時(shí)我們才能快速找到解題的思路，提高解題的效率.本文主要談一談證明立體幾何題的三種途徑.

一、利用綜合法

運(yùn)用綜合法證明立體幾何問題，需“由因?qū)Ч?，即從已知條件入手，先分析題目中有哪些條件（包括隱含條件）是已知的，哪些是未知的；然后靈活運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)（定義、公理、定理、公式、法則等）一步步地進(jìn)行推理，直到推出結(jié)論為止.運(yùn)用綜合法解題，需以所要證明的結(jié)論為目標(biāo)，由“已知”推出“可知”，逐步靠近目標(biāo).運(yùn)用綜合法證明命題 “若A，則B” 的思路可簡(jiǎn)記作：A ? C ? D ? … ?B .

例1

證明：

解答本題主要采用了綜合法，由 α ⊥ β 和面面垂直的性質(zhì)定理可知，需在 α 內(nèi)作垂直于直線 c （ α 與 β 的交線） 的直線 b ，且該直線定垂直于 β . 再由 a ⊥ β、b ⊥ β 和線面垂直的性質(zhì)定理可得，a 與 b 重合或平行.用綜合法證明立體幾何題，需充分利用已知條件，深入挖掘幾何圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的定義、定理去推理、證明.

例2

證明：

解答本題，需采用綜合法，根據(jù)已知的垂直關(guān)系，合理添加輔助線，靈活運(yùn)用線面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行推理、求證.運(yùn)用綜合法解題，需將已知條件和所要求證的目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來，找出相關(guān)的推理依據(jù)，使得解題目標(biāo)明確，條理清晰.

二、運(yùn)用分析法

運(yùn)用分析法證明立體幾何問題，需“執(zhí)果索因”，即從所要證明的結(jié)論入手，利用已學(xué)過的定義、定理、公式等去一步步追溯“結(jié)論”成立的條件，即在什么條件下結(jié)論成立；再把所得的條件作為結(jié)論，去尋找這個(gè)新結(jié)論成立的條件，像這樣，追本溯源，一直追到 “已知”為止.需要注意的是，在推理的過程中，后一步都是前一步的充分條件.綜合法是由“條件”向“結(jié)論” 靠攏，而分析法卻是由“結(jié)論”追溯“條件”.

例3

證明：

要證 AB ⊥ DC ，由直線與平面垂直的性質(zhì)知，需證 AB 垂直于過 DC 的某個(gè)平面.因此，需要找到兩條相交的直線，使其都垂直于 AB ，且與 DC 共面.因?yàn)?AB 是△CAB 和△DAB 的公共邊，所以將問題轉(zhuǎn)化為在 AB 上是否存在一點(diǎn) M ，使得 AB ⊥ MC ，AB ⊥ MD ，顯然這可由已知條件 AC = BC ，AD = BD 得出.

用分析法證明命題 “若A，則B” 的思路是尋找使 B 成立的條件（該條件為充分條件），簡(jiǎn)記作： B ? D ? C… ? A . 若 D ? B ，則問題轉(zhuǎn)化為去證 A ? D ，再去尋找 D 成立的條件，若 C ? D ，則問題轉(zhuǎn)化為證 A ? C .像這樣，由“結(jié)論”出發(fā)，逐步向“已知” 靠攏.

三、采用反證法

反證法是一種間接證明方法，是從問題的反面去思考證明結(jié)論的方法.在解題時(shí)，需先假設(shè)“結(jié)論”不成立，然后把“結(jié)論”的反面當(dāng)作已知條件，進(jìn)行推理，得出與題設(shè)或已知的公理、定義、定理相矛盾的結(jié)論，從而說明假設(shè)不成立，原“結(jié)論”成立.運(yùn)用反證法導(dǎo)出矛盾是解題的關(guān)鍵，通常有以下幾種類型：與已知相矛盾，與公理、定理相矛盾，與假設(shè)相矛盾，自相矛盾.

例4.已知直線 a 不垂直于平面 α .求證：過 a 有且只有一個(gè)平面與 α 垂直.

分析：這是一個(gè)唯一性命題，可分為兩步進(jìn)行證明：先證存在性，再證唯一性，即先證“過 a 存在一個(gè)平面與 α 垂直”，再證“只有一個(gè)平面與 α 垂直”.用直接法證明“只有一個(gè)平面與 α 垂直”較困難，正難則反，于是采用反證法進(jìn)行證明.假設(shè)還有一個(gè)平面垂直于 α ，去尋找相矛盾的結(jié)論.

證明：

有些問題，像否定性命題、唯一性命題、含有 “至少”或“至多”的命題，我們從正面思考，很難找到解題的思路，就需用反證法去求證.用反證法證明命題 “若A，則B” 的思路為：?B ? ?A ，因而用反證法解題的實(shí)質(zhì)是證明與原命題等價(jià)的逆否命題成立.

證明立體幾何問題，往往需探尋已知條件和所要證明的結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，可由條件去逐步證明結(jié)論，采用綜合法、分析法求證；也可“執(zhí)果索因”，從結(jié)論出發(fā)尋找解題的思路，運(yùn)用反證法進(jìn)行證明.有時(shí)，可綜合運(yùn)用兩種以上的方法來解題，這樣有利于提升解題的效率.