孫秋祥 李靜

［摘 要］基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課程標(biāo)準(zhǔn)”）和《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“雙減”）背景，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，以“角的度量”一課為例，積極探索GeoGebra軟件對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的提升作用，通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)此款軟件可以促進(jìn)教學(xué)過(guò)程動(dòng)態(tài)化、教學(xué)思路直觀化、教學(xué)知識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)化、教學(xué)內(nèi)容多樣化、教學(xué)活動(dòng)豐富化、教學(xué)方式高效化、學(xué)習(xí)方式積極化。把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，豐富了教與學(xué)的方式，對(duì)提高課堂效率，實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增質(zhì)”的課堂教學(xué)具有重要意義。

［關(guān)鍵詞］小學(xué)數(shù)學(xué)課堂；GeoGebra軟件；角的度量

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）02-0047-03

為了適應(yīng)社會(huì)發(fā)展，落實(shí)新時(shí)代對(duì)人才培養(yǎng)的新需求，課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程目標(biāo)從“雙基”到“三維”，再到“核心素養(yǎng)”調(diào)整，從重方法到重算理轉(zhuǎn)變，從以“教師為中心”到以“學(xué)生為本”變化。課程理念還特別強(qiáng)調(diào)促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合，在推進(jìn)高質(zhì)量落實(shí)“雙減”政策的大背景下信息技術(shù)與課堂的有效融合，對(duì)提升教學(xué)質(zhì)量、減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)、致力于立德樹(shù)人的根本任務(wù)、促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的變革都具有重要的實(shí)踐意義?！督逃畔⒒?.0行動(dòng)計(jì)劃》提到，新時(shí)代賦予教育信息化新的使命，以教育信息化帶動(dòng)教育現(xiàn)代化是優(yōu)化教育資源配置、提升教學(xué)質(zhì)量、創(chuàng)新應(yīng)用發(fā)展智慧教育、深化教育領(lǐng)域綜合變革的戰(zhàn)略選擇。聚焦教育的主陣地——學(xué)校教育中的課堂教學(xué)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科抽象的特點(diǎn)，將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)合理整合，使得知識(shí)外顯化、展開(kāi)化，動(dòng)態(tài)展示知識(shí)的發(fā)生及發(fā)展過(guò)程，能豐富學(xué)生的體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，對(duì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值和目標(biāo)有很大的促進(jìn)作用。對(duì)教師來(lái)說(shuō)，選擇合適的教學(xué)軟件輔助教學(xué)有重要的意義。

一、GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)

GeoGebra是在幾何畫(huà)板繪圖功能的基礎(chǔ)上增加了包含處理幾何、代數(shù)、微積分、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)表、圖形、計(jì)算等功能的交互式動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件。GeoGebra拆開(kāi)來(lái)就是 “Geo”“Gebra”，意思是結(jié)合了幾何 （Geometry）與代數(shù) （Algebra）的功能（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“GGB”）。GGB幾乎能輔助完成從啟蒙教育到大學(xué)教育中的所有的數(shù)學(xué)教學(xué)演示，人教版數(shù)學(xué)教材已經(jīng)有GGB的身影了，其強(qiáng)大的功能可以幫助我們解決傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，充分表達(dá)教學(xué)思想。

針對(duì)學(xué)生的思維方式處于由直觀形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡階段的特點(diǎn)，使用GGB數(shù)學(xué)教學(xué)軟件可以創(chuàng)設(shè)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的直觀教學(xué)情境，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，直觀地揭示出數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，化抽象為具體，使思維“可視化”，幫助學(xué)生建構(gòu)理解。同時(shí)，信息技術(shù)的交互性強(qiáng)，為師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、協(xié)作交流注入了活力，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)思維的深層共享。

二、GeoGebra軟件輔助教學(xué)例析

課程標(biāo)準(zhǔn)中新增了“量感”的內(nèi)容，這體現(xiàn)了量感的育人價(jià)值以及聚焦與學(xué)生未來(lái)職業(yè)和生活聯(lián)系在一起的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程建設(shè)宗旨。量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。以人教版教材四年級(jí)上冊(cè)第三單元“角的度量”為例，這一課的重點(diǎn)是使學(xué)生知道角的度量的意義，經(jīng)歷和理解統(tǒng)一度量單位的過(guò)程、方法和必要性，培養(yǎng)學(xué)生針對(duì)不同的問(wèn)題情境選擇合適的度量單位，并通過(guò)定量的方法去認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的習(xí)慣。對(duì)于“角的度量單位1°大概是多大？”“1°又有什么作用？”等問(wèn)題，本著培養(yǎng)學(xué)生量感的核心素養(yǎng)目標(biāo)，接下來(lái)就讓我們探究GGB在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

“角的度量”這節(jié)課的數(shù)學(xué)概念比較多，如中心點(diǎn)、0刻度線、內(nèi)圈刻度線、外圈刻度線都是一些抽象的純數(shù)學(xué)語(yǔ)言的概念。測(cè)量角的大小幾乎沒(méi)有舊知識(shí)做鋪墊，操作程序復(fù)雜，這對(duì)四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一次對(duì)手腦協(xié)調(diào)力、反應(yīng)力的考驗(yàn)。量角的過(guò)程是教學(xué)難點(diǎn)，尤其是在讀刻度時(shí)容易混淆內(nèi)、外圈刻度。

1.豐富教學(xué)方式，突破思維難點(diǎn)

按照教材的提示，課程以“比較兩個(gè)角相差多少”的問(wèn)題為切入點(diǎn)，通過(guò)簡(jiǎn)單的重合比較，或者用活動(dòng)角進(jìn)行測(cè)量，發(fā)現(xiàn)無(wú)法直接得出∠1和∠2究竟相差多少。為精確測(cè)量，引出了細(xì)化角的概念，確定“角的單位”的必要性，自然引出介紹1°角的概念及量角的工具——量角器，并講解量角器的使用方法。

學(xué)生學(xué)習(xí)量角的過(guò)程是比較困難的，常出現(xiàn)以下問(wèn)題：量角時(shí)沒(méi)有確定量角器的中心點(diǎn)的位置，甚至認(rèn)為中心點(diǎn)沒(méi)有用，直接用刻度線與角的一條邊重合；把量角器當(dāng)作尺子使用，直接數(shù)兩條邊之間的格子數(shù)得出結(jié)果；可以正確擺放量角器，但讀度數(shù)時(shí)卻分不清內(nèi)、外圈刻度；不從0刻度線開(kāi)始就不會(huì)量。

正如波利亞所說(shuō)，只有理解人類(lèi)如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類(lèi)的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷。從易錯(cuò)點(diǎn)出發(fā)，透過(guò)現(xiàn)象思考本質(zhì)，學(xué)生量角過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題在于學(xué)生對(duì)量角器的原理理解不夠深刻。四年級(jí)學(xué)生的空間思維能力和抽象思維能力還沒(méi)有完全形成，而量角器的原理復(fù)雜，僅用語(yǔ)言描述學(xué)生難以理解，因此出現(xiàn)動(dòng)手操作費(fèi)時(shí)費(fèi)力的情況。與其直接介紹如何使用量角器，不如讓學(xué)生親身體驗(yàn)制作量角器的過(guò)程，使抽象的知識(shí)趣味化，有助于喚起學(xué)生對(duì)度量的興趣，深入了解量角器的構(gòu)造，為認(rèn)識(shí)量角器做準(zhǔn)備。教師可以借助GGB軟件直觀、形象、動(dòng)態(tài)的呈現(xiàn)方式，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的圖形美、簡(jiǎn)約美等特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的欲望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

2.動(dòng)態(tài)演示操作，經(jīng)歷體驗(yàn)過(guò)程

按照教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)統(tǒng)一單位的必要性，在探究∠1和∠2相差多少的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生反饋只要知道單位角的大小，就可以測(cè)量出未知角的大小，再聯(lián)系十進(jìn)制，自然而然想到把10°角平均分成10份。如何同步動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)連續(xù)的教學(xué)思路，此時(shí)利用GGB的“指令”功能，在繪圖區(qū)首先呈現(xiàn)10°角（如圖1）。

通過(guò)設(shè)置“平均分”按鈕，展現(xiàn)把10°角平均分成10份，得到1°角（如圖2），讓學(xué)生動(dòng)態(tài)體驗(yàn)創(chuàng)建1°角的過(guò)程。再借助“開(kāi)始/暫停”按鈕，并勾選顯示框，利用腳本操作展現(xiàn)從0°開(kāi)始，由1個(gè)1°角繞著頂點(diǎn)疊加出180個(gè)1°角（如圖3）

為了讀寫(xiě)方便，點(diǎn)擊“指令3”刪除部分線條，標(biāo)出內(nèi)外圈度數(shù)，最終得到一個(gè)量角器（如圖4）。

GGB軟件通過(guò)動(dòng)畫(huà)展現(xiàn)知識(shí)的生成過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的巧妙結(jié)合。有代數(shù)就能顯示圖形，有圖形亦能顯示數(shù)量關(guān)系，正呼應(yīng)了“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。教師在“動(dòng)”中講，思維連續(xù)外顯；學(xué)生在“動(dòng)”中學(xué)，感悟知識(shí)生成。借助GGB還原量角器的制作原理，能幫助學(xué)生更好地理解角的測(cè)量單位以及量角器的用法，更幫助教師巧妙地突破了教學(xué)難點(diǎn)。

只要掌握指令操作和原理，GGB軟件就可以把核心教學(xué)思路動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，展現(xiàn)的效果利用滑動(dòng)條功能便可控，畫(huà)面準(zhǔn)確性更高，很好地滿足了數(shù)學(xué)教學(xué)的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和直觀性的要求。GGB制作的動(dòng)畫(huà)效果通過(guò)“鏈接”的形式，可嵌入PowerPoint播放頁(yè)面中，豐富PowerPoint中的教學(xué)內(nèi)容。

3.鞏固練習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，用GGB制作的動(dòng)態(tài)角＋量角器的教學(xué)設(shè)計(jì)（如圖5），為師生互動(dòng)的多樣性提供了便利條件。教師只需要輕點(diǎn)鼠標(biāo)，就能切換出任意角度的角，使教學(xué)內(nèi)容更豐富；學(xué)生可隨意拖動(dòng)量角器進(jìn)行測(cè)量，填寫(xiě)測(cè)量結(jié)果后由系統(tǒng)實(shí)時(shí)反饋，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效。學(xué)生在動(dòng)手操作和觀察中增加了對(duì)量角器的感性和理性認(rèn)識(shí)。同時(shí)，GGB軟件還幫助教師解決了以往使用教具的弊端：看不清量角器中心點(diǎn)和角的頂點(diǎn)，或0刻度線和起始邊重合有誤差；在PowerPoint上使用教具演示易跳頁(yè)等。為教師操作示范的規(guī)范性、學(xué)生課堂參與度提供了保障，真正通過(guò)信息技術(shù)呈現(xiàn)出最佳效果，最終給學(xué)生良好的沉浸式感官體驗(yàn)。

GGB軟件幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到，量角器有兩條0刻度線：內(nèi)圈0刻度線和外圈0刻度線。0刻度線是角開(kāi)始的位置，所以另一條邊看到的度數(shù)應(yīng)該是從0逐漸增大到要讀的度數(shù)，即度數(shù)是逐漸增大的。

通過(guò)GGB軟件的穿針引線，學(xué)生突破了重難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)了量角器，會(huì)用量角器正確量角。把抽象的知識(shí)具體化、外顯化，有利于學(xué)生高效地經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程。同時(shí)，借助GGB軟件的交互性，學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展。另外，GGB軟件制作出的成品可以反復(fù)使用，它強(qiáng)大的兼容性可以作為課堂教學(xué)的補(bǔ)充和拓展。

綜上所述，在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用GGB軟件，可使抽象知識(shí)外顯化，幫助學(xué)生理解算理；利用動(dòng)態(tài)操作吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生探索的欲望；數(shù)形結(jié)合的呈現(xiàn)方式，使得教學(xué)過(guò)程更充實(shí)，提高課堂利用率。為了使用好GGB軟件，教師不但要熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)的整體框架，還要熟練掌握程序的設(shè)計(jì)、流程的控制、腳本的編寫(xiě)、動(dòng)畫(huà)的制作等環(huán)節(jié)，這對(duì)教師的邏輯思維能力、知識(shí)結(jié)構(gòu)的再理解、知識(shí)結(jié)構(gòu)性遷移能力、綜合能力起到促進(jìn)作用，進(jìn)而提高教師對(duì)新媒體、新技術(shù)的應(yīng)用能力?；谛W(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)和發(fā)展教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的需要，將與時(shí)俱進(jìn)的信息技術(shù)融入課堂教學(xué)是勢(shì)在必行的。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 構(gòu)建利用信息化手段擴(kuò)大優(yōu)質(zhì)教育資源覆蓋面有效機(jī)制的實(shí)施方案[EB/OL].[2014-11-24].http：//www. moe.gov.cn/srcsite/A16/s3342/201411/t20141124_179124.html.

[2] 張明.GeoGebra在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2016：1-13.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)編 李琪琦）