楊永福

[摘 ?要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，因部分教師對教材的認(rèn)識不夠充分，加之教學(xué)重于功利，致使在部分知識點(diǎn)的教學(xué)中顯得過于急躁，影響了學(xué)生核心素養(yǎng)的全面提升. 文章以學(xué)生認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，通過遞進(jìn)式的教學(xué)設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生知識的形成和發(fā)展，在探究中激發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知;探究;核心素養(yǎng)

問題提出

“二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域”在教學(xué)中有著重要價值，若能將該部分內(nèi)容學(xué)懂吃透更易于學(xué)生理解和掌握二元一次不等式（組）及簡單的線性規(guī)劃問題，不過在實(shí)際教學(xué)中，這部分內(nèi)容并沒有引起一線教師的足夠重視，因此使得學(xué)生處理簡單線性規(guī)劃的最值問題時常常受阻. 在功利教育的影響下，為了追求速度，部分教師將“二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域”壓縮成一節(jié)課進(jìn)行教學(xué)，缺乏深度的講解，使得學(xué)生應(yīng)用這部分內(nèi)容解決實(shí)際問題時顯得力不從心. 本節(jié)課的內(nèi)容溝通了一元二次不等式、二元一次不等式及簡單的線性規(guī)劃等相關(guān)內(nèi)容，若教學(xué)中不能很好地發(fā)揮其地位和作用，知識間的相互溝通就會產(chǎn)生障礙，進(jìn)而影響知識的遷移. 筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該重視本節(jié)課的教學(xué)，從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合問題情境和遞進(jìn)式問題引導(dǎo)學(xué)生將本節(jié)課的內(nèi)容學(xué)懂吃透，發(fā)揮好本節(jié)課承上啟下的作用.

教學(xué)實(shí)錄

1. 借助情境，激發(fā)熱情

教學(xué)情境是調(diào)節(jié)課堂氣氛、激發(fā)學(xué)習(xí)熱情的催化劑，教學(xué)中教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)或與生活緊密聯(lián)系的，或具有一定趣味性的、懸念性的問題情境來激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使教學(xué)效率的提升.

師：2017年4月26日是一個值得紀(jì)念的日子，你知道這天發(fā)生了什么嗎？

生1：我國首艘國產(chǎn)航母遼寧艦正式入水.

師：很好，這是一件值得國人驕傲的大事，是國家綜合國力上升的象征！從航母的設(shè)計(jì)到施工需要經(jīng)過無數(shù)次精細(xì)計(jì)算，數(shù)學(xué)的作用可謂功不可沒. 現(xiàn)在請大家思考一下這個問題：在航母建造過程中需要許多巨大的高質(zhì)量鋼柱，根據(jù)綜合評定選擇了甲、乙兩家具備生產(chǎn)能力的鋼廠進(jìn)行生產(chǎn)，為了保證工期，兩個鋼廠每天至少需要提供40根鋼柱. 已知甲、乙鋼廠每個車間的日產(chǎn)量分別為5根和8根，若兩廠共能抽調(diào)最多6個車間生產(chǎn)該鋼柱，請問兩鋼廠各需提供幾個車間？

生2：設(shè)甲鋼廠提供x個車間，乙鋼廠提供y個車間，則根據(jù)條件可得x+y≤6，

5x+8y≥40（x，y∈N*）.

師：很好. 不等式組容易列出來，求解卻沒有那么容易，為了能夠解決這個問題，我們可以先從數(shù)對（x，y）的范圍開始研究.

設(shè)計(jì)意圖 借助問題點(diǎn)明本節(jié)課研究的方向，使主題的引入自然順暢. 同時結(jié)合熱點(diǎn)情境創(chuàng)設(shè)問題更易于激發(fā)學(xué)生的探究熱情，讓學(xué)生在“用數(shù)學(xué)”的過程中體驗(yàn)“學(xué)以致用”的真諦.

2. 借助聯(lián)想，合理類比

在教學(xué)過程中，教師要善于調(diào)動學(xué)生參與的積極性，鼓勵學(xué)生運(yùn)用已有認(rèn)知去思考新問題，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想、類比、探究等數(shù)學(xué)活動發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到解題的突破口.

師：結(jié)合已有認(rèn)知，你認(rèn)為在解決二元一次不等式的平面區(qū)域問題時，我們應(yīng)該先從哪里入手呢？

生3：先要知道這個平面區(qū)域表示什么.

師：很好，聯(lián)想一下二元一次等式的圖象，你知道它表示的是什么嗎？

生4：是一條直線.

師：很好，請大家在草稿紙上畫一畫，觀察一下直線會把它所在的區(qū)域分成幾部分.

生5：可以分為上、下兩部分.

生6：還有直線本身. （生6補(bǔ)充道）

師：說得很好，確實(shí)分成了三部分.

師：斜截式和一般式是直線方程的常用形式，今天我們先以斜截式y(tǒng)=kx+b為例，開啟我們的探究之旅. 如果直線l：y=8-2x，那么直線l與方程y+2x-8=0有何聯(lián)系？

生7：直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，而方程的解亦是直線上點(diǎn)的坐標(biāo).

師：說得很好. 根據(jù)前面的分析，我們知道除了直線外，還有直線下方和上方的平面區(qū)域，那么對于直線l：y=8-2x上方的平面區(qū)域該如何表示呢？

生8：我認(rèn)為上方的平面區(qū)域可以用不等式y(tǒng)>8-2x來表示.

師：能說一說你的理由嗎？

生8：在直線l：y=8-2x上方的平面區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P（x，y），過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交直線l于點(diǎn)Q（x，y），則y>y，而y=8-2x，所以y>8-2x，所以直線l：y=8-2x上方的平面區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都適合不等式y(tǒng)>8-2x. 反之，亦可驗(yàn)證對于不等式y(tǒng)>8-2x的解，其所對應(yīng)的任意一對有序?qū)崝?shù)x，y構(gòu)成的點(diǎn)P（x，y），都在直線l：y=8-2x的上方.

師：說得非常棒，與之前所學(xué)的知識相類比，從兩個方面進(jìn)行了詳細(xì)的分析和闡述，很到位. 那么如何表示直線l：y=8-2x下方的平面區(qū)域呢？

結(jié)合前面的探究過程，學(xué)生輕松地得出用不等式y(tǒng)<8-2x表示直線l下方的平面區(qū)域. 接下來教師讓基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生給出理由，學(xué)生的表達(dá)能力在自主探究過程中得到了明顯的提升.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中通過恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生先聯(lián)想直線與方程的對應(yīng)關(guān)系，為后面新知的探究埋下伏筆，通過新舊知識的聯(lián)系讓學(xué)生明晰問題的本質(zhì). 從以上探究過程可以看出，在探究“不等”的問題時常常以“相等”進(jìn)行界定，利用“相等”來解決“不等”的問題是常用的手段. 在此環(huán)節(jié)的探究過程中，類比思想方法的應(yīng)用激發(fā)了學(xué)生的參與積極性，學(xué)生結(jié)合已有認(rèn)知（二元一次方程的幾何意義）很自然地推導(dǎo)出了二元一次不等式的幾何意義，前者表示一條直線，而后者為平面區(qū)域. 這樣學(xué)生通過探究和交流實(shí)現(xiàn)了等式到不等式的拓展，不僅鞏固了已有認(rèn)知，也有利于學(xué)生將來對方程的曲線與曲線的方程等相關(guān)知識點(diǎn)的理解. 在整個過程中，學(xué)生通過聯(lián)系、類比、總結(jié)和概括，探究能力得到了提升.

3. 借助圖形，激發(fā)靈感

面對復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)問題時，巧妙地應(yīng)用圖形的直觀性往往可以激發(fā)學(xué)生的靈感，很多問題都可以迎刃而解. 為了讓學(xué)生結(jié)合自己的直觀感受總結(jié)出數(shù)學(xué)規(guī)律，在接下來的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師組織學(xué)生動手畫圖，結(jié)合圖形進(jìn)一步理解不等式表示的平面區(qū)域.

師：如果讓你畫出不等式y(tǒng)<2x+3表示的平面區(qū)域，你會畫嗎？（問題給出后，很多學(xué)生躍躍欲試地想上臺展示）

生9：如圖1所示，先要畫出直線l：y=2x+3，由于不等式y(tǒng)<2x+3中不含“=”，因此直線l：y=2x+3可以用虛線來表示，直線l下面的斜線為不等式y(tǒng)<2x+3表示的平面區(qū)域.

師：請進(jìn)一步說說你的想法.

生9：根據(jù)前面的探究結(jié)果我們知道了平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與不等式的對應(yīng)關(guān)系，因此可以用選點(diǎn)的方法進(jìn)行驗(yàn)證. 本題不妨取點(diǎn)（0，0），代入不等式得0<3，符合題意，觀察圖象可知點(diǎn)（0，0）正好在直線l：y=2x+3的下方，于是驗(yàn)證了前面的結(jié)論.

師：借助“點(diǎn)”進(jìn)行驗(yàn)證既利于理解又易于操作，是一個不錯的方法，這也是我們理解和解決此類問題的常見方法，常將其稱為“選點(diǎn)法”. 對于取點(diǎn)，在驗(yàn)證過程中大多會選取原點(diǎn)，當(dāng)然原點(diǎn)不能在驗(yàn)證的直線上，借助特殊點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)“以點(diǎn)帶面”的效果. 生9所畫的圖形非常清晰、準(zhǔn)確，尤其認(rèn)識到了“<”與“≤”的區(qū)別. 現(xiàn)在讓你畫y≥2x+3表示的平面區(qū)域，你會了嗎？

生10：先畫直線l：y=2x+3，由于不等式y(tǒng)≥2x+3中有“=”，因此直線l應(yīng)為實(shí)線，如圖2所示. 接下來我們利用“選點(diǎn)法”進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)樵c(diǎn)O不在直線l：y=2x+3上，故可以直接取原點(diǎn)O（0，0）進(jìn)行驗(yàn)證. 根據(jù)驗(yàn)證可知原點(diǎn)O的坐標(biāo)不適合不等式y(tǒng)≥2x+3，因此原點(diǎn)O的另外一側(cè)，即直線l：y=2x+3上方的平面區(qū)域?yàn)椴坏仁統(tǒng)≥2x+3表示的平面區(qū)域（含邊界直線）.

設(shè)計(jì)意圖 通過圖形能讓學(xué)生獲得直觀感受，用“選點(diǎn)法”可將不等式與平面區(qū)域的關(guān)系進(jìn)行簡化，“以點(diǎn)定側(cè)”利于學(xué)生理解和記憶. 對于取點(diǎn)，若直線不過原點(diǎn)可以直接選取原點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生理解化特殊為一般的重要應(yīng)用價值，有助于學(xué)生解題能力的提升.

4. 借助探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

許多數(shù)學(xué)知識往往會呈現(xiàn)一定的規(guī)律，然規(guī)律一般不是顯性呈現(xiàn)的，需要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探究、抽象、總結(jié)歸納等數(shù)學(xué)實(shí)踐活動. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要對知識進(jìn)行一定的拓展和延伸，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加積極和主動.

師：在以上問題的探究中，我們發(fā)現(xiàn)了不等式與平面區(qū)域的關(guān)系，但是我們之前探究的直線是確定的直線，那么對于不確定的直線y=kx+b，其上方的平面區(qū)域應(yīng)該用什么不等式表示？下方呢？

生11：結(jié)合前面內(nèi)容，可知直線y=kx+b上方的平面區(qū)域應(yīng)該用不等式y(tǒng)>kx+b來表示，下方的平面區(qū)域用不等式y(tǒng)<kx+b來表示.

生12：難道這個不需要考慮k的值嗎？

在生12的質(zhì)疑中學(xué)生開始了新一輪的探究，最終發(fā)現(xiàn)不等式表示的平面區(qū)域與其對應(yīng)直線的斜率k的正負(fù)無關(guān)系. 通過質(zhì)疑與探究進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生認(rèn)知，同時為了便于學(xué)生記憶，在教師的帶領(lǐng)下學(xué)生總結(jié)歸納出了“上大下小”的分布規(guī)律，至此完成了對斜截式直線方程的探究.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，逐漸向一般性問題轉(zhuǎn)化，從而得到了斜截式直線與對應(yīng)不等式的關(guān)系. 教學(xué)中通過合作探究，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被點(diǎn)燃，完成了斜截式直線方程的探究后，學(xué)生自然會想知道對于一般式直線方程又存在什么規(guī)律，學(xué)生的思維能力在探究中螺旋上升.

5. 借助轉(zhuǎn)化，完善認(rèn)知

師：剛剛已經(jīng)完成了斜截式直線y=kx+b的探究，那么對于一般式直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）兩側(cè)平面區(qū)域的不等式又存在怎樣的規(guī)律呢？（教師鼓勵各小組進(jìn)行互助合作）

生13：我們探究后發(fā)現(xiàn)，若B≠0，則可以將一般式直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式直線方程，先根據(jù)B值進(jìn)行分類討論.

當(dāng)B>0時，不等式Ax+By+C>0可以轉(zhuǎn)化為y>-x-，而不等式y(tǒng)>-x-表示直線y=-x-上方的平面區(qū)域，故當(dāng)B>0時，不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的平面區(qū)域;同理可得，當(dāng)B>0時，不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的平面區(qū)域.

當(dāng)B<0時，不等式Ax+By+C>0可以轉(zhuǎn)化為y<-x-，而不等式y(tǒng)<-x-表示直線y=-x-下方的平面區(qū)域，故當(dāng)B<0時，不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0下方的平面區(qū)域;同理可得，當(dāng)B<0時，不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0上方的平面區(qū)域.

當(dāng)B=0時，因?yàn)锳2+B2≠0，所以A≠0.

①若A>0，不等式Ax+C>0表示直線Ax+C=0右方的平面區(qū)域;不等式Ax+C<0表示直線Ax+C=0左方的平面區(qū)域.

②若A<0，不等式Ax+C>0表示直線Ax+C=0左方的平面區(qū)域;不等式Ax+C<0表示直線Ax+C=0右方的平面區(qū)域.

師：很好，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的內(nèi)容，問題順利地解決了. 在這里我們需要關(guān)注B的正負(fù)了，若B>0，則與我們前面討論的斜截式擁有同樣的分布規(guī)律，即“上大下小”;若B<0，則正好相反. 在學(xué)習(xí)中，我們要善于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律，這樣以后解題時可以有效地簡化過程，有利于解題效率的提升.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作探究，通過問題的挖掘發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)和一般規(guī)律，完善學(xué)生認(rèn)知體系. 同時在探究中引導(dǎo)學(xué)生化生為熟，化特殊為一般，有助于學(xué)生思維變通，以及分析能力和抽象概括能力提升.

6. 借助應(yīng)用，鞏固強(qiáng)化

學(xué)生已經(jīng)掌握了一般規(guī)律，也總結(jié)歸納出了口訣，為了更好地進(jìn)行檢驗(yàn)，在完成相應(yīng)的拓展延伸后，教師還需要借助一些適當(dāng)?shù)木毩?xí)進(jìn)行檢測，以達(dá)到鞏固和內(nèi)化的目的.

在完成以上內(nèi)容后，可以給出如下習(xí)題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練：

（1）不等式x+8y-10>0表示直線x+8y-10=0的______平面區(qū)域.

（2）不等式x-8y-10<0表示直線x-8y-10=0的______平面區(qū)域.

學(xué)生根據(jù)總結(jié)出的口訣，輕松得到了答案，為了引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“選點(diǎn)法”，還可以給出這樣一個問題：若點(diǎn)（-3，t）在直線x-3y+6=0的上方，求t的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)計(jì)不同的問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不同的方法來解決，達(dá)到鞏固知識，加深理解的目的，讓學(xué)生在應(yīng)用的過程中實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)化.

教學(xué)反思

在教學(xué)中，教師應(yīng)該更加全面地理解教材，對教學(xué)內(nèi)容形成整體認(rèn)識，進(jìn)而通過有效溝通和滲透將新舊知識進(jìn)行串聯(lián)，幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系. 要知道，很多數(shù)學(xué)知識都是前后關(guān)聯(lián)的，若教學(xué)中片面認(rèn)為不是重點(diǎn)、考點(diǎn)就將其忽略，勢必會出現(xiàn)思維障礙，影響學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，因此教師應(yīng)深刻領(lǐng)會教學(xué)內(nèi)容的地位和作用，以便通過合理的開發(fā)和利用，幫助學(xué)生完善和優(yōu)化認(rèn)知體系.

同時，教師應(yīng)意識到，課堂是一種雙向活動的場地，教學(xué)中既要進(jìn)行必要的“講”，又應(yīng)該學(xué)會“聽”，通過適時適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)來調(diào)動學(xué)生的積極性，提升教學(xué)的有效性. 另外，在新知體系的建構(gòu)過程中，教師要以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和知識為出發(fā)點(diǎn)，立足學(xué)生的學(xué)情才能讓學(xué)生真正地參與其中，通過合作交流激發(fā)學(xué)生思維，點(diǎn)燃學(xué)生智慧的火花.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，多讓學(xué)生經(jīng)歷一些知識形成和發(fā)展的過程，在過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、積累方法，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力不斷提升.