吳莉娜 李善良

摘要：《普通高中拓展創(chuàng)新學(xué)程·數(shù)學(xué)》與蘇教版高中數(shù)學(xué)教材一體化設(shè)計，以“重基本方法，促思維創(chuàng)新”為宗旨，按專題講座的方式編寫。其內(nèi)容包括專題性綜合解決問題的基本方法、高中數(shù)學(xué)的常用方法等。其編寫特色有：注重理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識；注重多種角度思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維；注重數(shù)學(xué)文化熏陶，提高學(xué)生的探究能力。教學(xué)要義有三點(diǎn)：理性滲透，精心設(shè)計教學(xué)；掌握學(xué)情，把握教學(xué)節(jié)奏；體驗實踐，發(fā)展核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；拓展創(chuàng)新學(xué)程；基本方法；內(nèi)容特色

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》明確強(qiáng)調(diào)：“高中階段教育要推進(jìn)培養(yǎng)模式多樣化，滿足不同潛質(zhì)學(xué)生的發(fā)展需要，要探索發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)創(chuàng)新人才的途徑。在人才培養(yǎng)體制改革上，要更新人才培養(yǎng)觀念、創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式、改革教育質(zhì)量評價和人才評價制度；在創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式上，要創(chuàng)新教育教學(xué)方法，探索多種培養(yǎng)方式，形成各類人才輩出、拔尖創(chuàng)新人才不斷涌現(xiàn)的局面?！?020年，教育部啟動了部分高?；A(chǔ)學(xué)科招生改革的“強(qiáng)基計劃”，聚焦于選擇和培養(yǎng)“關(guān)鍵領(lǐng)域”的拔尖創(chuàng)新人才。數(shù)學(xué)是高中的主要課程之一，在拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)中發(fā)揮著重要的作用。而數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵，因而也是培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的基礎(chǔ)。重視數(shù)學(xué)基本方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然，是現(xiàn)代社會對人才培養(yǎng)的要求。

為了達(dá)到拓展知識、創(chuàng)新方法、促進(jìn)探究、提升思維的目的，我們對高中數(shù)學(xué)必修、選擇性必修、選修課程進(jìn)行一體化設(shè)計，在蘇教版必修、選擇性必修教材的基礎(chǔ)上，配套研制了《普通高中拓展創(chuàng)新學(xué)程·數(shù)學(xué)》（以下簡稱《拓展創(chuàng)新學(xué)程》）。其編寫以“重基本方法，促思維創(chuàng)新”為宗旨，以“題”（典型考題、傳統(tǒng)經(jīng)典題、重要結(jié)論）為載體進(jìn)行分類串通，著重從怎樣思考、怎樣尋找突破口入手，著力于解題方法策略的研究、通性通法的運(yùn)用以及綜合分析解題能力的提升。同時，以高考中檔題為起點(diǎn)，避開競賽題的技巧性；求核心內(nèi)容，不求面面俱到，避免繁雜的計算；力求提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平與實踐創(chuàng)新能力，滿足對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有較高需求的學(xué)生的需要。

本文試從基本方法的角度談?wù)劇锻卣箘?chuàng)新學(xué)程》的基本內(nèi)容與編寫特色，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、 基本內(nèi)容

《拓展創(chuàng)新學(xué)程》按專題講座的方式編寫（共72講），包括三類基本方法：一是專題性綜合解決問題的基本方法，二是高中數(shù)學(xué)的常用方法，三是關(guān)于拓展性知識的基本方法。下面重點(diǎn)介紹前兩類。

（一） 專題性綜合解決問題的基本方法

我們圍繞高中數(shù)學(xué)必修、選擇性必修課程的主要內(nèi)容，以解決問題的“基本方法”為線索，按單元重新組合，力圖使學(xué)生在解決問題的過程中，掌握解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。主要設(shè)計了以下內(nèi)容：

集合內(nèi)容主要涉及“集合的概念與關(guān)系”“集合的運(yùn)算”等專題。借助于集合中元素的共同性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想、集合運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)，研究集合中元素的含義分析，集合之間的關(guān)系判定，集合的交集、并集、補(bǔ)集、差集等運(yùn)算。

不等式內(nèi)容主要涉及“二次函數(shù)與二次不等式”“不等式的性質(zhì)”“常用放縮技巧”等專題。不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，借助于不等式的性質(zhì)求解不等式（包括含參數(shù)不等式的變形）。放縮是指借助于不等式的傳遞性將不等式的一端或兩端放大或縮小，常使用不等式的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、基本不等式來實現(xiàn)。

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容主要涉及“函數(shù)的再認(rèn)識”“函數(shù)的周期性”“函數(shù)的最值”“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”“函數(shù)復(fù)合與分解”“函數(shù)與方程”“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”等專題。在函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖像等基本知識的基礎(chǔ)上，研究一些特殊函數(shù)的基本性質(zhì)以及反函數(shù)，函數(shù)的周期性與對稱性的關(guān)系，復(fù)雜函數(shù)的最值，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其應(yīng)用，函數(shù)的復(fù)合與分解，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程的關(guān)系。利用導(dǎo)數(shù)，綜合運(yùn)用單調(diào)性、極值等性質(zhì)探討曲線的切線、方程及不等式的解、含參數(shù)的數(shù)學(xué)式子恒成立問題。

三角函數(shù)內(nèi)容主要涉及“三角函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)”“三角函數(shù)與不等式、最值”“反三角函數(shù)與三角方程”“三角恒等變換”“正弦定理與余弦定理”等專題。借助于三角函數(shù)的定義、圖像、單調(diào)性、對稱性、周期性等可解決三角函數(shù)式零點(diǎn)、三角函數(shù)不等式與最值、反三角函數(shù)與三角方程問題。借助于基本的三角恒等變換可解決三角函數(shù)式化簡、求值與證明問題。正弦定理、余弦定理給出了三角形邊與角的關(guān)系，借助于它們可解決解三角形、判別三角形形狀、證明恒等式與不等式問題。

數(shù)列內(nèi)容主要涉及數(shù)列的求通項與求和問題。通過定義證明等差數(shù)列和等比數(shù)列，并采用基本量法進(jìn)行“知三求一”；通過倒序相加法、錯位相減法與裂項相消法解決數(shù)列求和問題；通過遞推公式解決數(shù)列求通項問題，具體總結(jié)了累加法、累乘法及構(gòu)造法等。

平面向量內(nèi)容主要涉及“向量的概念與運(yùn)算”“向量法解決平面幾何問題”等專題。向量是既有大小又有方向的量，借助于向量運(yùn)算幾何與代數(shù)的雙重性，解決向量的基本運(yùn)算以及常見的平面幾何問題。

立體幾何內(nèi)容主要涉及“空間位置關(guān)系”“立體幾何運(yùn)算”“四面體與球”“空間向量與立體幾何”等專題。借助于基本模型法、轉(zhuǎn)化法、空間向量等方法解決空間位置關(guān)系以及立體幾何計算問題，包括空間動點(diǎn)、動線和動角等運(yùn)動問題，點(diǎn)、線、面主要位置關(guān)系的確定問題，距離和角、面積和體積的計算問題?！八拿骟w與球”探討了四面體問題以及球與多面體的內(nèi)切、外接問題。

解析幾何內(nèi)容主要涉及“直線與圓”“圓錐曲線的定義及其運(yùn)用”“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”等專題。探討了用待定系數(shù)法求直線與圓的方程、圓的切線方程和切點(diǎn)弦方程，以及直線與圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用；給出了圓錐曲線的第一定義與統(tǒng)一定義，探討了焦點(diǎn)三角形、焦半徑、焦點(diǎn)弦問題；從直線與圓錐曲線的位置關(guān)系角度探討了弦長計算、中點(diǎn)弦、切線與切點(diǎn)弦問題，并且著重探討了解析幾何中的定點(diǎn)與定值問題、取值范圍與最值問題。

概率與統(tǒng)計內(nèi)容主要涉及“隨機(jī)事件的概率”“排列組合問題”“條件概率”“隨機(jī)變量的概率、均值與方差”“統(tǒng)計案例”等專題。探討了隨機(jī)事件發(fā)生的概率，排列組合的計算與應(yīng)用，獨(dú)立事件與條件概率，隨機(jī)變量的概率分布以及均值、方差等；根據(jù)散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)推斷線性相關(guān)關(guān)系，求解線性回歸方程，運(yùn)用卡方分布進(jìn)行獨(dú)立性檢驗。

（二） 高中數(shù)學(xué)的常用方法

高中數(shù)學(xué)中，除了融入具體內(nèi)容的專題性基本方法之外，還有一些在解決各類問題時經(jīng)常使用的方法，主要包括：

化歸與轉(zhuǎn)化方法［1］，分為三步：將什么問題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到何處去，如何轉(zhuǎn)化。這是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心。比如，第50講“函數(shù)綜合（2）”中，利用常用不等式對函數(shù)解析式進(jìn)行放縮，進(jìn)而把超越函數(shù)化歸為熟悉的函數(shù)模型［2］。

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象方法［3］，即從研究對象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性，對其進(jìn)行考察的方法［4］。比如，第24講“三角綜合”中，在解決輪船的救援時間問題時，對實際生活問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，將題目所給的方位角轉(zhuǎn)化為三角形中的角，再通過正弦定理、余弦定理的代數(shù)方法求解。

數(shù)形結(jié)合方法［5］，即將數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來，包括：以圖形作為手段，以求解數(shù)為目的，即“以形助數(shù)”，借助圖形的直觀性和形象性來明晰數(shù)之間的關(guān)系；以數(shù)為手段，以求解圖形為目的，即“以數(shù)輔形”，借助數(shù)的嚴(yán)密性和精確性來刻畫圖形的某些屬性［6］；數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化、互相補(bǔ)充。比如，第41講“解析幾何綜合”中，一方面，通過分析幾何圖形的特征、元素以及元素之間的關(guān)系，利用代數(shù)語言加以表達(dá)；另一方面，通過代數(shù)運(yùn)算獲得相關(guān)結(jié)果，進(jìn)而把握代數(shù)式或數(shù)的幾何意義，從中獲得幾何圖形的特征。

函數(shù)與方程方法［7］，即通過建立函數(shù)關(guān)系來研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量問題，再通過函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析解決問題。比如，第11講“函數(shù)與方程”中，說明函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，方程的根就是對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，從而利用函數(shù)的圖像，得到相應(yīng)方程的近似解。

分類討論方法：由于每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其適用（成立）的范圍，而有些問題的結(jié)論或已知量的不固定會影響問題的解決，所以要將一些問題根據(jù)特點(diǎn)及要求重新分類，再逐一研究解決。比如，第3講“二次函數(shù)與二次不等式”中，對含參數(shù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)進(jìn)行討論，以決定開口方向的恒成立問題，就充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法。

數(shù)學(xué)推理與證明方法，包括數(shù)學(xué)歸納法、反證法、存在性證明方法和不可能性證明方法等［8］。比如，第31講“反證法”中，先假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，再在此假設(shè)下進(jìn)行邏輯推理，直到得出一個與已知條件、假設(shè)或與定義、公理、定理相矛盾的結(jié)論，由此否定假設(shè)，從而肯定要證明的結(jié)論。這是一種間接證明方法。

特定情境下的數(shù)學(xué)方法，包括構(gòu)造法、待定系數(shù)法、常用變換法、三角法、面積法、賦值法、算兩次法等。對這些方法，《拓展創(chuàng)新學(xué)程》都單列了專題，通過典型例題進(jìn)行梳理。

二、 編寫特色

在“重基本方法”的基礎(chǔ)上，為了更好地“促思維創(chuàng)新”，《拓展創(chuàng)新學(xué)程》的編寫具有以下特色：

（一） 注重理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重理論聯(lián)系實際，讓學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)知識以及思考方法，而且掌握所學(xué)知識的實際意義，在現(xiàn)實情境中理解數(shù)學(xué)知識并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題；不能機(jī)械地進(jìn)行反復(fù)操練與模仿，這會使得學(xué)生一知半解。

事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi（i=1，2，…，n），如果A由原因Bi引起，則A發(fā)生的概率為P（ABi）=P（Bi）P（A|Bi）。每一個原因都可能導(dǎo)致A的發(fā)生，故A發(fā)生的概率是全部原因引起A發(fā)生的概率的總和。由此，可以形象地把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”的公式。每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的作用，結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的作用大小有關(guān)，全概率公式就表達(dá)了它們之間的關(guān)系。

第61講“條件概率”例6變式的第（1）問就是全概率公式的一個典型實際應(yīng)用：

在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列。由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接受為1或0。已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別0.9和0.1;發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05。假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的。

（1） 求接收的信號為0的概率。

解本題最直接的思路是設(shè)三組對棱長分別為a、ｂ、ｃ，可得四個面均是三邊長分別為a、ｂ、ｃ的三角形，然后化立體幾何問題為平面幾何問題，計算求解——實際上，該四面體是由一個平行四邊形沿一條對角線折起，且使折起的兩個頂點(diǎn)在空間中的連線長等于所沿對角線的長而形成的。

此外，長方體是對棱相等的四面體的母體，可以為研究四面體的性質(zhì)搭建良好的平臺。構(gòu)造長方體模型，連接六條面對角線，即得對棱相等的四面體；設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，在長方體中可以很方便地研究該四面體。

（三） 注重數(shù)學(xué)文化熏陶，提高學(xué)生的探究能力

新課程改革背景下，教師應(yīng)積極探索有效的教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)活動，結(jié)合數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)史，創(chuàng)設(shè)合理、有趣、美好的數(shù)學(xué)情境，從而全面培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)及綜合能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

比如，第54講“軌跡”例2：

阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究。阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為λ（λ>0且λ≠1），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓。在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)A（-1，0）、B（0，1），且M為圓O上的一個動點(diǎn)，則2MA+MB的最小值為。

本題先介紹阿波羅尼斯以及他對圓錐曲線的研究，一方面讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面，創(chuàng)設(shè)情境，合理引出問題。

又如，第28講“立體幾何綜合”例2：

中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（如圖2）。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。圖3是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為１，則該半正多面體共有個面，其棱長為。

本題通過介紹南北朝時期獨(dú)孤信的印信形狀，引出半正多面體的問題，可以讓學(xué)生體會到生活中處處是立體幾何的實物存在，進(jìn)而運(yùn)用立體幾何的知識研究一個新的幾何體，確定位置關(guān)系，求解長度、面積、體積，發(fā)揮空間想象能力與基本模型的作用。

三、 教學(xué)要義

教師使用《拓展創(chuàng)新學(xué)程》時，應(yīng)注意挖掘其中的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。教學(xué)要義有以下三點(diǎn)：

（一） 理性滲透，精心設(shè)計教學(xué)

在教學(xué)中，我們應(yīng)該從對具體數(shù)學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分析出發(fā)，考慮需要滲透、介紹或突出哪些數(shù)學(xué)基本方法，要求學(xué)生在什么層次上把握數(shù)學(xué)基本方法（是了解、理解、掌握還是靈活運(yùn)用），然后才能進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計，從教學(xué)目標(biāo)的確定、問題的提出、情境的創(chuàng)設(shè)到教學(xué)方法的選擇，教學(xué)過程的梳理，做到有意識、有目的地進(jìn)行基本方法教學(xué)。

（二） 掌握學(xué)情，把握教學(xué)節(jié)奏

學(xué)生學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)的過程，教學(xué)設(shè)計應(yīng)該充分尊重學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，不僅要有意識、有目的地進(jìn)行，而且要有計劃、有步驟地進(jìn)行?！锻卣箘?chuàng)新學(xué)程》可以作為每周一講、每章綜合講座之用，也可以作為寒假、暑假集中提優(yōu)拓展的教材；可以作為平時教學(xué)的補(bǔ)充，也可以作為高三復(fù)習(xí)的輔助資源。所以，需要教師依照學(xué)生的學(xué)情，選取適合的時間使用。

（三） 體驗實踐，發(fā)展核心素養(yǎng)

由于數(shù)學(xué)基本方法是基于數(shù)學(xué)知識又高于數(shù)學(xué)知識的，要在反復(fù)的體驗和實踐中逐漸認(rèn)識、理解，進(jìn)而內(nèi)化為個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決有著生長點(diǎn)和開放面作用的穩(wěn)定成分。其教學(xué)要從對數(shù)學(xué)具有歸納、演繹兩個側(cè)面的全面認(rèn)識，以及如何幫助學(xué)生在掌握知識的基礎(chǔ)上發(fā)展素養(yǎng)的全方位要求出發(fā)，充分體現(xiàn)“觀察—實驗—思考—猜想—證明（反駁）”這一數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造（再發(fā)現(xiàn)）過程和理解（建構(gòu)）過程，展現(xiàn)概念的提出過程、結(jié)論的探索過程和解題的思考過程。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李紅金.高中數(shù)學(xué)課本中蘊(yùn)含的化歸轉(zhuǎn)化思想方法［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015（6）：1416.

［2］ 郁杰華.例談轉(zhuǎn)化和化歸在高中函數(shù)解題中的應(yīng)用［J］.高考，2019（32）：35.

［3］ 李明振，喻平.高中數(shù)學(xué)建模課程實施的背景、問題與對策［J］.數(shù)學(xué)通報，2008（11）：810.

［4］ 劉玉婷.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下三角函數(shù)學(xué)習(xí)狀況研究［D］.南京：南京師范大學(xué)，2021：1012.

［5］ 劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析［J］.中國校外教育，2015（13）：106.

［6］ 呂世虎，吳振英.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其體系構(gòu)建［J］.課程·教材·教法，2017（9）：1217.

［7］ 蔡玉鳳.高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想應(yīng)用的研究［D］.蘇州：蘇州大學(xué)，2014：811.

［8］ 錢珮玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010：1520.