常學平, 周 杰, 陳 美

(西南石油大學機電工程學院, 四川 成都 610065)

功能梯度材料(Functionally gradient materials,FGM)是由兩種或兩種以上材料組成的復合材料[1]。它可以被設計成一種非均勻材料,其結構沿優(yōu)選方向連續(xù)變化,其物理性質的分布根據體積分數定律進行分級。同傳統復合材料相比,一個顯著的區(qū)別是功能梯度材料可以減少應力集中[2-3],增加粘結強度[4],提高斷裂韌性[5],并提高耐腐蝕性[6]。此外,FGM所需的機械特性,包括材料密度、泊松比和楊氏模量,可以通過調整沿優(yōu)選方向的體積分數變化來調整[7-8]。隨著材料制造技術的進步,復合材料的制造方式也越來越多樣化,其中燒結法是制備功能梯度材料的一種靈活而合適的方法。然而,在使用無壓燒結技術[9]或多步驟順序填充技術[10]制造FGM的過程中,材料內部不可避免地會出現孔隙和微孔。在這里,孔隙度對管道的影響有兩個方面:一方面是作為一個缺點,由于制造FGM的制造技術問題或質量差,它可能會削弱結構的力學性能;另一方面是可以優(yōu)化孔隙度的適當分布,以實現改進的結構和機械性能,包括有效的能量耗散和所需的強度和剛度[11]。因此,含孔隙流體輸送功能梯度材料管道在核反應堆、飛機工程等工程領域有著廣泛的應用。

近幾十年來,功能梯度材料在熱環(huán)境中的工程應用讓人類越來越重視功能梯度材料的物理性質。在熱環(huán)境中,材料的力學性能(如彈性模量、熱膨脹系數)并不穩(wěn)定,會隨著溫度的改變而改變,所以熱載荷下的熱屈曲問題的研究十分重要。黃懷偉等[12]對不同梯度溫度場下的功能梯度薄壁管進行了熱屈曲分析,分析了溫度場參數、材料參數對臨界溫度的影響。Li 等[13]利用邊界層理論對溫度場中承受外壓和軸壓耦合載荷的層合圓柱殼的屈曲進行了研究,考慮非線性初始屈曲及幾何缺陷,采用奇異攝動法獲得數值解。徐凱[14]對功能梯度材料厚壁圓柱殼進行了熱屈曲分析,基于 Reddy 高階剪切理論,對不同參數條件的圓柱殼進行了熱屈曲分析。李亞杯等[15]利用 Rayleigh-Ritz 法對復合材料薄壁管的熱屈曲和振動問題進行了研究。侯子豪等[16]確定了碳納米管在濕熱環(huán)境中的后屈曲路徑。聶聰聰等[17]研究了纖維起始角和終止角的變化對管的屈曲臨界荷載的影響。劉子赫等[18]研究了管道保溫層變化對管道屈曲能力的影響。武行等[19]研究了不同缺陷位置及尺寸對管道屈曲壓力的影響。王小龍等[20]研究了含缺陷管道的屈曲失穩(wěn)臨界外壓的拐點方法。李學松等[21]研究了熱環(huán)境下對圓弧拱的非線性屈曲的影響。龔順風等[22]研究了外壓作用下含缺陷管道的屈曲失穩(wěn),利用模擬實驗,測得屈曲失穩(wěn)時的壓力和形變。諸多學者對結構穩(wěn)定性的興趣導致屈曲失穩(wěn)成為連續(xù)結構中的一個吸引人的話題。同時,結構元件的后屈曲強度對于設計和分析各種工程結構具有重要意義。

對于多孔的功能梯度材料,目前研究人員主要研究的是關于線性和非線性響應以及穩(wěn)定性。而且對于功能梯度材料在溫度場中的熱穩(wěn)定性、屈曲響應均有研究。但是,在溫度場中,對存在缺陷的功能梯度管道,如幾何缺陷、制造缺陷等研究還十分匱乏。在工程中,研究在溫度場中存在缺陷的功能梯度管道的振動特性,對工程指導具有重要的工程意義。為了更好的預測管道系統的力學性能,需要對這一問題進行深入的討論。

本文考慮了由中性面拉伸而引起幾何非線性的現象,故控制方程存在非線性項?；贓uler-Bernouilli理論,建立了在溫度場中的多孔功能梯度管道的數學模型。首先研究了孔隙度體積分數、冪律指數和溫度對屈曲的靜態(tài)平衡的影響;其次研究了偽非線性動力學模型的動態(tài)響應;最后通過數值解,討論了孔隙度體積分數、冪律指數和溫度等重要參數對模型振動分析的影響。

1 動力模型的建立

圖1所示為多孔功能梯度管道熱-流-固耦合系統的示意圖,該管道的長度為L,內徑為Ri,外徑為Ro的直管。在均勻流速U內,管道兩端鉸接。假設材料成分的微觀結構形態(tài)僅在厚度方向上連續(xù)變化,但是由于加工缺陷,橫截面內存在均勻的空隙。同溫度相關的材料特性如表1和圖1所示。

表1 Si3N4和SUS304的熱擴散系數、楊氏模量、質量密度和泊松比的溫度相關系數

圖1 多孔功能梯度輸流管道物理模型

建立笛卡爾坐標系,引入孔隙度α(α≤1),空隙均勻分布在陶瓷相和金屬相之間的FGM管道的材料的修正系數可以表示為[23]:

(1)

式中:Pm,Pc是金屬和陶瓷的材料特性;α是孔隙度;Vm和Vc分別是堿金屬和陶瓷的體積分數,成分表示為[24]:

Vc+Vm=1。

(2)

陶瓷相的體積分數可以表示為:

(3)

式中:r為管道橫截面任意一點半徑;n為功能梯度材料冪律指數。

金屬和陶瓷材料的與溫度相關的材料特性(楊氏模量E、熱膨脹系數δ、導熱系數k、密度ρ)可通過Touloukian模型得到[25]:

Pf(T)=P0(P-1T-1+1+P1T1+P2T2+P3T3)。

(4)

式中:Pf代表功能梯度材料的楊氏模量E、熱膨脹系數δ、傳導率K以及密度ρ;P-1、P0、P1、P2、P3是溫度系數;T是以開爾文為單位的溫度。

(5)

式中:εxx為應變;u和w分別為管道中間平面的軸向積橫向位移。

基于Euler-Bernoulli梁理論,功能梯度管道的位移場定義如下:

(6)

u2(x,z,t)=0,

(7)

u3(x,z,t)=w(x,t)。

(8)

根據Euler-Bernoulli理論,將式(6)～(8)代入式(5)中可以得到:

(9)

在溫度場中,溫度產生的熱應變?yōu)?

εT=δ(r,T)(T(r)-T0) 。

(10)

對于溫度升高的功能梯度材料,根據式(4)應力-應變可以表示為:

σxx=E(r,T)ε(x)-E(r,T)δ(r,T)(T(r)-T0)。

(11)

功能梯度管道的應變能u1可以表示為:

(12)

將式(12)代入,可以得到:

(13)

式中:

(14)

(15)

(16)

(17)

在該系統發(fā)生振動時,管道發(fā)生彎曲變形而伸長,會有附加的軸向力。因彎曲而誘導發(fā)生的應變能u2可以表示為:

(18)

式中P0為初始軸向力。

系統總的應變能U可以表示為:

U=U1+U2。

(19)

功能梯度輸流管的總動能可以表示為:

T=Tf+Tp。

(20)

式中:Tf為管道內流體產生的動能;Tp為管道產生的動能。具體為:

(21)

(22)

式中:v表示管道內流體的流速;mf、mp分別表示管道和流體單位長度的質量,且

mf=ρfAf,

(23)

(24)

根據Hamilton原理:

(25)

將式(20)和(21)帶入到式(23)和(24)中,然后進行分部積分,就可以得到控制方程:

(26)

(27)

邊界條件在(x=0,L)可以表示為:

(28)

(29)

對于具有2個簡單支承的FGM管道,滿足的邊界條件為:

u(0)=u(L)=0,

(30)

w(0)=w(L)=0,

(31)

w″(0)=w″(L)=0。

(32)

在本文的研究中,假設功能梯度管的振動是一個有限拉伸的問題,只考慮橫向運動時,可以得到:

(33)

對式(33)進行2次積分可以得到縱向位移的表達式:

(34)

根據簡支輸流管的邊界條件,可以得到:

(35)

(36)

將式(36)代入到式(29)中可以得到橫向振動的控制方程為:

(37)

將控制方程無量綱化,引入無量綱參數:

(38)

通過引入無量綱參數,無量綱控制方程可以表示為:

(39)

2 傳熱模型

考慮內表面溫度為Ta,外表面溫度為To的非理想功能梯度材料管。通過求解一維熱傳導問題,得到了功能梯度材料管截面的溫度分布。FGM管穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的熱邊界條件和微分方程可表示為[27]:

(40)

T(ra)=Ti,T(rb)=To。

(41)

式中k(r,T)由式(4)確定。將邊界條件(41)代入式(40)中可以得到:

(42)

式中:r表示管道橫截面任意一點的半徑;ra和rb分別表示材料管的內、外半徑;C1和C2是2個積分常數,由FGM管內、外表面的熱邊界條件確定。因此,根據熱邊界條件,可獲得溫度分布函數:

(43)

進而可以得到熱合力的表達式為:

(44)

(45)

3 后屈曲靜態(tài)特性:

眾所周知,如果流體速度接近臨界值,則輸送流體的簡單支承管道會出現發(fā)散不穩(wěn)定或屈曲[28]。為了確定后屈曲行為,通過刪除式(39)中同時間相關的項來分析靜態(tài)問題。因此,結果可以寫成:

(46)

(47)

屈曲方程可以表示為:

(48)

式中:

λ2=u2+Λ-P-?。

(49)

式(4)的通解形式可以寫為:

η(ξ)=C1+C2ξ+C3cos(λξ)+C4sin(λξ)。

(50)

邊界條件可以表示為:

(51)

將邊界條件代入到方程(48)中,可以的得到:

C1=C2=C3=0,C4sin(λξ)=0,λ=nπ,n=1,2,3……。

(52)

將式(9)帶回到式(4)中可以得到:

(53)

進而得到后屈曲的精確表達式:

(54)

4 屈曲后的動力學行為

為研究屈曲條件下的動力學響應,假設位移的表達式為:

φ(ξ,t)=η(ξ)+φ(ξ,t)。

(55)

式中φ(ξ,t)表示在屈曲位形η(ξ)附近的擾動。將式(55)帶入到方程(39)中,可以得到輸流管繞非平衡位置的控制方程:

(56)

利用式(56)去掉方程中的非線性項阻尼項,可以得到后屈曲偽非線性控制方程:

(57)

由文獻[29]可知,簡支梁屈曲后的模態(tài)函數與屈曲前是相同的。采用伽遼金截斷法來離散控制方程,假設:

(58)

η(ξ)=μ1φ1(ξ)。

(59)

5 數值分析與討論

為了驗證該方法的正確性與準確性,本文作者將其同現有文獻進行了對比驗證。同Dai等[30]的工作相比,圖2給出了流體速度變化時各向同性管道的前四階屈曲前和屈曲后頻率。可以看出,目前的結果同文獻[31]中報告的結果非常一致,這接受了目前模型的準確性。此外,臨界流體速度等于3.14,這同文獻[32]的結果一致。

圖3顯示了管道的前3個屈曲配置的靜態(tài)分叉圖。根據無量綱流速繪制四分之一跨度處管道的無量綱橫向位移。在沒有達到臨界流速時,管道在其原始靜態(tài)平衡位置穩(wěn)定。當軸向速度達到π時,第一次達到屈曲的不穩(wěn)定性臨界值通過分支點分叉發(fā)生,導致撓度位移突然上升。超過這一點,可以看到橫向位移的2個可能的穩(wěn)定解和一個不穩(wěn)定解。當軸向速度增加到超過對應于第二臨界屈曲的第二臨界值2π時,管道有3種平衡狀態(tài):不穩(wěn)定的直線結構、對應于第一和第二屈曲結構的另外兩種平衡狀態(tài)。當流速超過臨界流速時,屈曲幅度增大。隨著軸向速度增加超過第三臨界屈曲值時,管道呈現出與3種屈曲構型相關的3種非平凡平衡。對應于圖3所示的3種屈曲配置。

圖2 隨流體速度變化的各向同性管道的 前和后屈曲頻率(β=0.030 5)

圖4顯示了在初始軸向力的作用下,管道的前3個屈曲配置的靜態(tài)分叉圖。在未達到初始臨界值時,管道在其原始靜態(tài)平衡位置穩(wěn)定。當初始軸向力達到第一臨界值時,未偏轉位置變得不穩(wěn)定。超過該臨界載荷后,直線構型變得不穩(wěn)定,輸流管獲得其他穩(wěn)定平衡位置,即已知的屈曲構型。當第二次臨界屈曲后軸向載荷增加時,管道具有3個平衡。當軸向荷載繼續(xù)增加超過第三臨界屈曲荷載時,管道表現出同屈曲配置相對應的3種非平凡平衡。由此可見,無量綱撓度隨著初始軸向力的增加而增加。

圖3 FGM管道屈曲行為隨流速變化的分叉圖

圖4 FGM管道屈曲行為隨初始軸向力變化分叉圖 Fig.4 Bifurcation diagrams of buckling behavior of FGM pipe as a function of initial tension

圖5研究了FGM管道在不同冪律指數和孔隙度參數下的分叉圖。首次屈曲時的無量綱橫向位移隨速度和初始軸力的變大而變大。FGM管道的屈曲配置如圖5所示,顯示了不同的冪律指數和孔隙度參數的結果。冪律指數和孔隙度參數對臨界值的影響是顯而易見的。對于冪律指數,當所考慮的控制參數較低時,FGM管道呈現出穩(wěn)定且未發(fā)生分叉的靜態(tài)平衡。然而,當參數值超過一定值時,管道在經歷叉式分叉后又表現出雙穩(wěn)態(tài)結構和后屈曲。此外,當冪律指數逐漸增大時,FGM管道的后屈曲位移增加,表明陶瓷組件到金屬組件的過渡后屈曲行為。值得注意的是,冪律指數變化的大小影響后屈曲響應的絕對值,這表明僅通過控制冪律指數就可以獲得所需要的響應。隨著冪律指數增大,同管道不穩(wěn)定性相關的控制參數顯著降低。這意味著隨著冪律指數的增加,管道在較低的控制參數下發(fā)生屈曲。

圖5 冪律指數對第一階屈曲配置的 靜態(tài)分叉的影響

由表1可知,SUS304的楊氏模量遠小于Si3N4的楊氏模量,這表明當冪律指數逐漸增大時,材料由Si3N4組件向SUS304組件過渡,楊氏模量逐漸減小,導致材料的剛度降低,從而使得管道的抗屈曲能力減小。

根據式(45),將流速和初始軸向力作為物理控制參數。圖6顯示了不同孔隙度參數下FGM管道屈曲行為的分叉圖?？梢杂^察到,這樣的控制參數可以改變臨界值。故FGM管道在控制參數較大時表現出穩(wěn)定和未變形的靜態(tài)平衡狀態(tài);然而,當流速超過第一臨界值時,管道在經歷叉式分叉后呈現雙穩(wěn)態(tài)結構和后屈曲。

在后屈曲狀態(tài)下,圖7為第一階屈曲配置周圍無量綱自然頻率隨流體流速和初始軸向力的變化。在后屈曲區(qū)域,第一自然頻率隨著控制參數的改變而改變,而第二、三自然頻率基本保持不變,即流體流速和初始軸向力在后屈曲狀態(tài)下對高階的頻率影響比較小。

圖6 孔隙度體積分數對第一階 屈曲配置的靜態(tài)分叉的影響

圖8(a)顯示了流體流速和初始軸向力對第一階屈曲配置周圍的第一階無量綱頻率的影響。初始軸向力從零開始增大時(此時為拉力),使系統發(fā)生失穩(wěn)的臨界值也隨著初始軸向力的增加而增加。不同冪律指數和孔隙度下流體流速第一階無量綱頻率的影響。在后屈曲區(qū)域中,流速較低時,冪律指數對頻率的影響較小,而孔隙度參數對頻率的影響在低流速比高流速更明顯。圖8(c)顯示了溫度對頻率的影響,當輸流管存在內外溫差時,就會產生熱軸力。由圖8(c)中可知,隨著內外溫差的加大,使得在較小流速下,系統就會發(fā)生失穩(wěn)。而隨著流速的增加,系統頻率也會迅速增加。

為了展示孔隙度體積分數和溫度變化對屈曲前后固有頻率以及臨界溫度的影響。圖9給出了在不同的孔隙度(α=0,0.1,0.2)下,頻率和溫度的變化關系。在發(fā)生屈曲前,無量綱頻率隨著溫度的升高而降低,直至接近零。接近零點的點為該系統發(fā)生屈曲的臨界點。在臨界溫度后,頻率隨著溫度的增加而增加。從圖9中還可以看出,臨界溫度隨著空隙度的增加而升高。從式(4)可知,孔隙度的改變會改變材料的楊氏模量、密度和熱膨脹系數等,進而影響系統的剛度。

圖7 管道一階屈曲位形配置前三階固有頻率 隨控制參數的變化

圖10展示了不同的功能梯度體積分數下,溫度的變化對頻率的影響。在沒有達到臨界溫度時,無量綱頻率隨著溫度的增加而減小,在達到臨界溫度之后,這種行為則完全相反。由式(3)可知,當梯度指數為零時,輸流管材質為陶瓷單一材料。而當梯度指數為∞時,輸流管的材質為金屬單一材料。從圖9可以看出,臨界溫度隨著梯度指數的增加而減小,這是因為當梯度指數增加時,材料中的金屬含量增加,而金屬更易受溫度的影響,陶瓷的耐熱性能更好。

圖8 超臨界輸流管一階固有頻率隨控制參數的變化

圖9 孔隙度和溫度變化對屈曲前后的無量綱頻率的影響

圖11顯示了不同的長徑比下,溫度變化對頻率的影響。長徑比小會使頻率下降得更加緩慢,而且頻率變化的曲線向高溫方向移動。長徑比大會使得輸流管的結構剛度降低。故長徑比越大,發(fā)生屈曲的臨界值就越小。

圖10 功能梯度指數和溫度變化對屈曲 前后的無量綱頻率的影響

系統就越容易發(fā)生屈曲,在實際工程中,通過調整長徑比來改變系統的穩(wěn)定性也是較為常見的方法。

圖11 長徑比和溫度變化對屈曲前后的無量綱頻率的影響

6 結論

(1)對于較低的流速和初始軸向力,FGM管道保持穩(wěn)定,靜態(tài)分叉變形率為零。當流速和初始軸向力進一步升高超過各自的臨界值時,系統發(fā)生叉式分叉并進入不穩(wěn)定的屈曲狀態(tài)。

(2)在一階屈曲配置附近,橫向位移與冪律指數成正比。相反,隨著冪律指數的增加,控制參數的臨界值降低。而孔隙度體積分數與橫向位移成反比。與冪律指數不同的是,隨著孔隙度體積分數的增加,控制參數的臨界值有明顯提高。

(3)屈曲前后某一階模態(tài)的固有頻率是近似相等的。而控制參數對后屈曲的高階頻率幾乎沒有影響。

(4)初始軸向力、溫度、冪律指數、孔隙度體積分數和長徑比對第一階屈曲位形的動態(tài)特性有顯著的影響。