楊宏偉　趙國防

【摘 要】習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思維的重要載體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以在尊重習(xí)題原創(chuàng)并融合個人思考的基礎(chǔ)上，靈活巧妙地設(shè)計習(xí)題，從而促進學(xué)生在問題解決過程中更好地培養(yǎng)思維的靈活性、系統(tǒng)性、深刻性，實現(xiàn)思維進階。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；思維進階；習(xí)題設(shè)計；靈活性；系統(tǒng)性；深刻性

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）14-0045-05

【作者簡介】1.楊宏偉，江蘇省無錫連元街小學(xué)（江蘇無錫，214000）教導(dǎo)處副主任，一級教師，無錫市教學(xué)新秀；2.趙國防，江蘇省無錫通德橋?qū)嶒炐W(xué)（江蘇無錫，214000）校長，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)說到底是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)?！蹦暇┐髮W(xué)鄭毓信教授指出：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升，幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，提升思維的綜合性與靈活性、自覺性與創(chuàng)造性、嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性等。作為訓(xùn)練學(xué)生思維的重要載體，習(xí)題的價值不言而喻。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意巧妙設(shè)計習(xí)題，使其更好地體現(xiàn)知識的本質(zhì)，促進學(xué)生在問題解決過程中更好地培養(yǎng)思維的靈活性、系統(tǒng)性、深刻性，實現(xiàn)思維進階。

一、從“一題”到“多題”：在巧妙變化中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

靈活多變不僅僅是對習(xí)題的基本要求，也是訓(xùn)練學(xué)生思維的一種重要方式。教材中呈現(xiàn)的例題與習(xí)題由于側(cè)重知識的應(yīng)用與實踐，常常比較簡約。在教學(xué)中，教師可以在尊重教材原創(chuàng)的基礎(chǔ)上，融入個人的思考與理解，創(chuàng)造性地將“一題”轉(zhuǎn)化為“多題”，引導(dǎo)學(xué)生站在聯(lián)系的角度感受知識的整體性與連貫性，挖掘其隱性的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升他們思維的聚力點，培養(yǎng)他們思維的靈活性，促進其思維向縱深發(fā)展。

如教學(xué)蘇教版六上“長方體和正方體的表面積”時，有這樣一道習(xí)題：一個棱長6厘米的正方體，它的表面積是多少平方厘米？教師引導(dǎo)學(xué)生解答并評析后，依據(jù)知識特點和學(xué)情依次呈現(xiàn)下面兩個問題：（1）把一個棱長6厘米的正方體平均分成兩個一樣的長方體，（如圖1）這兩個長方體的表面積之和比原來增加了多少平方厘米？借助圖例，讓學(xué)生初步感知：這兩個長方體的表面積之和比原來增加了正方體2個面的面積，初步建立知識表象，理清基本概念。（2）把一個正方體平均分成兩個一樣的長方體，其中一個長方體的表面積是144平方厘米，原來正方體的表面積是多少平方厘米？基于概念，用已有知識進行解答，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以分析、思考，再次聚焦“分成的兩個長方體的表面積之和比原來的正方體多出其2個面的面積”這一基本概念，促進他們感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性。教師收到作業(yè)1（如圖2）和作業(yè)2（如圖3）。毫無疑問，兩種解題方法都合情合理。蘇聯(lián)教育家烏申斯基強調(diào)：比較是一切思維和理解的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。學(xué)生比較后會發(fā)現(xiàn)：作業(yè)1注重知識的生長點，依托原有經(jīng)驗進行常規(guī)性的解答，其中一個長方體的表面積其實就是原來正方體4個面的面積之和；作業(yè)2注重知識的延伸點，另辟思維路徑，充分、巧妙地轉(zhuǎn)化關(guān)鍵點。

教師巧妙地一題多用，不斷挑戰(zhàn)與刷新學(xué)生的原有認(rèn)知。一方面，通過“這兩個長方體的表面積之和比原來增加了多少平方厘米？”縱向比較，促進學(xué)生整體理解這兩個長方體的表面積之和比原來增加的其實就是原來正方體2個面的面積，積累初步的活動經(jīng)驗，感知概念的表象；另一方面，通過“其中一個長方體的表面積是144平方厘米，求原來正方體的表面積”橫向比較，促進學(xué)生全方位運用概念，體會到兩個長方體的表面積之和其實就是原來正方體的表面積加上新增的2個面的面積，即正方體8個面的面積之和。促進學(xué)生在辨析、思考、對話、交流的過程中，不斷碰撞出思維的火花，產(chǎn)生新思路、新方法，逐步形成對數(shù)學(xué)概念的全方位理解。圍繞“一題”設(shè)計“多題”，充分打開了學(xué)生的思維，在一定程度上培養(yǎng)他們思維的靈活性。

二、從“新題”到“舊題”：在新舊關(guān)聯(lián)中培養(yǎng)學(xué)生思維的系統(tǒng)性

深度學(xué)習(xí)的一個重要特征就是系統(tǒng)化思維，訓(xùn)練系統(tǒng)化思維也是促進兒童思維發(fā)展的一條重要路徑。在習(xí)題設(shè)計中，教師要巧妙而及時地鏈接之前的學(xué)習(xí)，從知識系統(tǒng)化的角度出發(fā)，實現(xiàn)從“新題”到“舊題”的理性回歸，引導(dǎo)學(xué)生更加精確、綜合、深入地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)，為培養(yǎng)其思維的系統(tǒng)性提供來自知識本身的結(jié)構(gòu)化支撐。

例如，蘇教版五下“圓”單元的“整理與練習(xí)”中有如圖4所示的一道思考題，要求學(xué)生綜合運用本單元所學(xué)的知識解決問題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）強調(diào)：在小學(xué)階段要加強字母式運算，加強代數(shù)推理。因此，在解決問題的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助字母r來表示圓的半徑，先求出r2，再計算圓的面積，（如圖5）整個分析過程看似平淡無奇，卻動態(tài)呈現(xiàn)了知識的本質(zhì)，促使學(xué)生初步嘗試用字母表示來解決問題，滲透了轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，有效推動學(xué)生從知識的表層走向知識的內(nèi)涵，促進了他們的思維進階。然而，對于“用字母表示”這一解決問題的方法，學(xué)生很多都只是瞬時記憶，后續(xù)難以真正“用起來”?；谡鎸崒W(xué)情，教師需要找到更有效、更直接的方法，既能推動學(xué)生串聯(lián)知識，促進數(shù)學(xué)方法的遷移，又能使得數(shù)學(xué)知識與學(xué)生思維訓(xùn)練之間有效聯(lián)結(jié)?！皥A”單元就有如圖6所示的這樣一道例題。

在實際教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生通過操作及問題間的比較，初步感知圓的面積是它半徑平方的3倍多一些，即圓面積是正方形面積的π倍。這一題設(shè)是基于學(xué)生循序漸進的思考過程而形成的，但這僅僅局限于題設(shè)表面，我們需要掌握知識的本質(zhì)，由“表”及“里”，有結(jié)構(gòu)地呈現(xiàn)此類問題的基本數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解分析與解決此類問題的方法。

鄭毓信教授強調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)“求全”，而要“求聯(lián)”。在上述例題中，當(dāng)小正方形的邊長等于圓的半徑，圓面積是正方形面積的π倍，由這一表象關(guān)聯(lián)到一類問題，就能換一種思路來解答了。新課標(biāo)強調(diào)：要讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成模型意識，構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，分析和解決問題。這樣學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)，可以先求小正方形的面積，再根據(jù)數(shù)學(xué)模型求出圓的面積是5π。（如圖7）

借助習(xí)題，巧妙鏈接之前的例題，這時新舊知識完全打通，學(xué)生的思維得到了有效遷移，培養(yǎng)了他們思維的系統(tǒng)性。基于以上思考，筆者設(shè)計了兩道新題，以例題為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生進行深度研究，探究知識的本源，建立適配的數(shù)學(xué)模型，旨在推動學(xué)生深刻體會和感悟數(shù)學(xué)，提高其分析與解決問題的能力。

（1）三角形的面積是5，圓的面積是多少？（如圖8）

（2）圓的面積是62.8，陰影部分的面積是多少？（如下頁圖9）

上述教學(xué)中，借助一道例題巧妙連接舊題，并精心設(shè)計新題，徹底實現(xiàn)了由“新”到“舊”、由“舊”到“新”的思維體系。同時，以習(xí)題的呈現(xiàn)為明線，以思維的進階為暗線，明暗交織，共同指引學(xué)生的思維路徑走向“連續(xù)”，從而促進學(xué)生從多個角度建構(gòu)清晰、完整的數(shù)學(xué)模型，形成有序的思考路徑，為其系統(tǒng)性思維的發(fā)展提供了拓展支撐。總之，通過“新”“舊”系統(tǒng)化的鏈接，在關(guān)聯(lián)與創(chuàng)新中切實培養(yǎng)了學(xué)生思維的系統(tǒng)性。

三、從“單題”到“題組”：在對比理解中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程其實是一種深刻理解的過程。為了促進學(xué)生形成清晰的認(rèn)知，教師教學(xué)時要注意借助必要、及時的對比，切實培養(yǎng)其思維的深刻性。我們要以課堂為載體，借“題”變“題”，延展習(xí)題外延，促進學(xué)生理解習(xí)題內(nèi)涵，凸顯其思維能力的培養(yǎng)。同時，要通過巧妙的習(xí)題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從“理解”走向“深思”，從“對比”走向“深刻”，明晰探究思路，優(yōu)化思維進階路徑，推動其思維輕松進階。蘇教版六上“分?jǐn)?shù)除法”單元呈現(xiàn)了如圖10所示的一道例題，注重基礎(chǔ)知識的生成，反映關(guān)鍵推導(dǎo)能力層面的設(shè)計。基于習(xí)題外延以及指向不同核心素養(yǎng)要素的目標(biāo)的有機整合，筆者進行了借“題”變“題”。

4米長的彩帶，每2/3米剪一段，可以剪成多少段？

（1）在下圖中分一分，表示出結(jié)果。

（2）結(jié)合圖意，說說計算過程4÷2/3=4×3/2=4×3/2=6（段）中，4×3/2中的4×3表示（? ?），4×3/2中的3/2表示（? ?）。（把正確答案前的字母填在括號內(nèi)）

A.4米里面包含12個2/3米；

B.4米里面包含12個1/3米；

C.4米里面包含12個1/2米；

D.每段長3/2米；

E.每米可以剪成3/2段；

F.一共可以剪成3/2段

（3）你能利用商不變的規(guī)律來說明4÷2/3=4×3/2嗎？請寫出推導(dǎo)過程。

這樣做，主要體現(xiàn)了以下三點思考：

一是夯實基礎(chǔ)，激活思維。上題中的題（1）讓學(xué)生在新的學(xué)習(xí)場域中理解數(shù)學(xué)知識，實則是理解數(shù)學(xué)。在課堂教學(xué)中，不少教師會采用數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生初步理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的方法，但學(xué)生往往只是機械記憶整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計算方法，而忽略計算方法的形成過程。基于此，上述題（1）從指向知識表面走向深度解析，精準(zhǔn)把握“切入點”，助力學(xué)生順利實現(xiàn)深度理解。解題時，首先要請學(xué)生理解2/3米的含義，根據(jù)圖意，選擇1米的2/3作為切入點，細(xì)化單位，畫出示意圖（如圖11）；然后引導(dǎo)學(xué)生理解“圖”與“算”相結(jié)合，用“圖”驗證“算”，注重知識的形成過程，促進他們理解知識本質(zhì)。

二是引發(fā)探究，延展思維。題（2）需厘清探究思路，深入知識本質(zhì)，聚焦每一個環(huán)節(jié)所指向的問題。題（2）中的第一問要求學(xué)生結(jié)合圖意進一步理解算理，構(gòu)建新的學(xué)習(xí)主體環(huán)節(jié)。圖中的4米可以分成4個1米，其中的每一小段表示1米的1/3，即1/3米，1米里有3小段，4米里就有4×3=12（段），所以4×3表示4米里面包含12個1/3米。第二問凸顯“會想”，要求學(xué)生明晰思維路徑，多角度探究其本質(zhì)。4×3/2中的3/2表示什么呢？不妨換一個角度來思考，每段表示2/3米，即每米可以剪成3/2段，這樣4米就可以剪成4×3/2=6（段）。基于學(xué)科本質(zhì)，通過相互關(guān)聯(lián)的兩道題，聚焦知識外延，關(guān)注問題驅(qū)動下的深度理解，指導(dǎo)學(xué)生開展真實有效的問題探究，搭建學(xué)習(xí)“支架”——數(shù)形結(jié)合，促進其順利實現(xiàn)“會算”和“明理”的雙重發(fā)展。

三是問題解決，思維進階。題（3）深入挖掘教材，注重追溯知識的本質(zhì)內(nèi)核，把學(xué)生的視域從“知識點”拓展到“系統(tǒng)網(wǎng)”。在此過程中，新舊知識不斷碰撞、驗證、運用與重構(gòu)，引發(fā)學(xué)生的思維在對比理解中不斷走向深刻。利用商不變的規(guī)律來說明4÷2/3=4×3/2，此題的重點在于驗證，并追溯商不變的規(guī)律。一方面實現(xiàn)“會用”，聚焦一個知識點或核心概念來解決說明新問題，使學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的完整過程，通過關(guān)聯(lián)新舊知識，使他們初步體會知識的一致性，實現(xiàn)知識進階；另一方面強調(diào)“活用”，在理清知識脈絡(luò)的同時，內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知與探究，多角度引發(fā)他們深度思考，使其形成清晰、穩(wěn)定、可遷移的學(xué)科知識框架，促進其素養(yǎng)提升。

綜上所述，教師在進行習(xí)題設(shè)計時，要注意指向?qū)W生的思維進階，要在尊重教材完整體系的基礎(chǔ)上融入個人思考，實現(xiàn)創(chuàng)造性改編、創(chuàng)新性設(shè)計，從而引發(fā)學(xué)生深度思維，促進其核心素養(yǎng)全面提升。