方帆,郝育新

(北京信息科技大學(xué) 機電工程學(xué)院,北京 100192)

0 引言

雙穩(wěn)態(tài)層合殼結(jié)構(gòu)具有兩種平衡位置,每種穩(wěn)態(tài)都是自然平衡的,其結(jié)構(gòu)是由碳纖維增強材料和樹脂基體復(fù)合而成,根據(jù)每層纖維鋪設(shè)角度的不同,分為非對稱和反對稱等鋪設(shè)方式。由于熱膨脹系數(shù)不一致,復(fù)合材料層合板在固化過程中產(chǎn)生兩個柱形的平衡穩(wěn)態(tài)構(gòu)型和一個不穩(wěn)定的馬鞍形狀態(tài)。這種平衡構(gòu)型不需要外部能量輸入來維持其圓柱構(gòu)型,且只需較小的外部力就可以實現(xiàn)兩種構(gòu)型之間的相互跳變。因此,雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)已被應(yīng)用于自適應(yīng)結(jié)構(gòu)、可變形機翼、變體飛行器等變形部件的研究和制造[1-2]?；鸺?、飛機機翼、葉輪機和渦輪發(fā)動機葉片、潛艇船體等結(jié)構(gòu)通常被簡化為曲邊固支模型的懸臂結(jié)構(gòu)。在復(fù)雜的應(yīng)用工作環(huán)境中,雙穩(wěn)態(tài)層合殼結(jié)構(gòu)不可避免地會受到外部載荷的沖擊,從而導(dǎo)致振動的發(fā)生。因此,研究曲邊固支雙穩(wěn)態(tài)層合殼的振動特性具有實際意義。

Hyer[3]率先研究了雙穩(wěn)態(tài)非對稱復(fù)合層板,發(fā)現(xiàn)其存在兩種近似圓柱態(tài)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,且主曲率方向相互垂直。隨后,Daton-Lovett[4]發(fā)現(xiàn)反對稱復(fù)合材料層合板也具有雙穩(wěn)態(tài)特性,且存在兩種曲率方向相同的圓柱構(gòu)型。也有研究者采用有限元方法來模擬這兩種鋪設(shè)方式的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,所得結(jié)果與理論方法基本一致[5]。Swaminathan等[6]利用一階剪切變形理論研究了角鋪設(shè)反對稱復(fù)合材料層合板的自由振動。翟彥春等[7]推導(dǎo)了復(fù)合材料夾芯開口圓柱殼的動力學(xué)方程,并研究了開口角度對自由振動的影響。Firouzian-Nejad等[8]利用高階形函數(shù)對雙穩(wěn)態(tài)正交復(fù)合材料層合板的固有頻率進行了準(zhǔn)確的預(yù)測,并對其振動特性進行了有限元分析。Emam[9]研究了鋪層為[90n/0n]的雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的自由振動,在中點固支的情況下,計算了不同長厚比對基頻的影響及其變化趨勢。Vogl和Hyer[10]考慮了方形層合板的線性振動特性,主要研究了夾緊中點時的固有頻率和相關(guān)振型。Wu等[11]采用有限元以及理論和實驗方法研究了四角點簡支雙穩(wěn)態(tài)方殼的自由振動。Zhang等[12]研究了邊界條件為中心點固支-四邊自由的非對稱雙穩(wěn)態(tài)殼的振動特性,并獲得不同參數(shù)下的頻率和模態(tài)振型。

在具有懸臂邊界條件的雙穩(wěn)態(tài)層合殼結(jié)構(gòu)上,Arrieta等[13]提出了雙穩(wěn)態(tài)懸臂板的穩(wěn)定構(gòu)型,并開發(fā)了導(dǎo)致結(jié)構(gòu)快速跳變的模態(tài)頻率的變形策略。Pan等[14]對懸臂混雜鋪設(shè)對稱層合板的跳變行為進行了研究。Brunetti等[15-16]研究了懸臂邊界條件的雙穩(wěn)態(tài)非對稱穩(wěn)定構(gòu)型的非線性動力學(xué),并描述了包括規(guī)則動力學(xué)、混沌動力學(xué)和快速穿越運動在內(nèi)的全局動力學(xué)。

本文基于一階剪切變形理論和殼理論,應(yīng)用瑞利-里茲法(Rayleigh-Ritz)和切比雪夫(Chebyshev)多項式,求解曲邊固支的非對稱和反對稱雙穩(wěn)態(tài)層合方殼的固有頻率和模態(tài)振型,并討論了不同尺寸大小和鋪層數(shù)量對其固有頻率的影響。

1 理論表述

1.1 力學(xué)模型

本文研究的一條曲邊固支,其他三條邊自由的非對稱和反對稱雙穩(wěn)態(tài)圓柱復(fù)合材料層合方殼模型及其幾何參數(shù)如圖1所示。

圖1 曲邊固支雙穩(wěn)態(tài)層合殼模型

其中,笛卡爾坐標(biāo)系(O-xyz)位于圓柱穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的中面,且坐標(biāo)原點選在固支曲邊的中點。懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼的總厚度為h,曲率半徑為R,長和寬分別為Lx和Ly,對于方殼來說,Lx=Ly。圖2給出了雙穩(wěn)態(tài)非對稱和反對稱復(fù)合材料層合板的兩種鋪層方式。

圖2 復(fù)合材料層合板的鋪層方式

1.2 能量表述

考慮橫向剪切變形影響,使用一階剪切變形理論來表述懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼內(nèi)任意點在x、y、z坐標(biāo)方向的位移分量:

(1)

式中:u0(x,y,t)、v0(x,y,t)、w0(x,y,t)為中面z=0上任意點在x、y、z坐標(biāo)方向上的位移分量;φx(x,y,t)和φy(x,y,t)為層合殼中面法線關(guān)于y軸和x軸的旋轉(zhuǎn)函數(shù)。

正交非對稱和反對稱鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)層合板穩(wěn)態(tài)構(gòu)型可以看作是殼模型。因此,采用殼體理論并只考慮應(yīng)變與位移之間的線性關(guān)系,第k層的應(yīng)變-位移關(guān)系為

(2)

式中:

考慮固化溫度的影響,第k層雙穩(wěn)態(tài)懸臂圓柱殼的本構(gòu)關(guān)系為

(3)

式中:σxx,σyy,τxy,τyz和τxz為應(yīng)力分量;ΔT為固化溫度差;熱膨脹轉(zhuǎn)換系數(shù)αxx,αyy和αxy可表達為以下的形式:

(4)

(5)

式中:S和C代表sinθ和cosθ,θ表示相對于坐標(biāo)系的復(fù)合材料單層板的纖維鋪設(shè)角度;剛度項Qij(i=1,2…,6;j=1,2…,6)為

Q66=G12,Q55=G13,Q44=G23

(6)

因此,每層雙穩(wěn)態(tài)懸臂層合殼的動能可通過下面公式進行計算:

(7)

雙穩(wěn)態(tài)層合殼應(yīng)變能計算公式為

(8)

式中:N為總鋪層數(shù)量。值得注意的是,該式的應(yīng)力項已經(jīng)包含了熱應(yīng)力影響項,因此考慮了固化溫度差對殼體的影響。

1.3 固有頻率和振型的求解

為了求解懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼的振動固有頻率和模態(tài),采用瑞利-里茲法和切比雪夫多項式。瑞利-里茲法是研究雙穩(wěn)態(tài)固有振動特性的一種常用且經(jīng)典的方法。使用切比雪夫多項式優(yōu)點是可以減小龍格現(xiàn)象,并提供最佳的均勻近似。系統(tǒng)的位移和旋轉(zhuǎn)位移可表示為

(9)

式中:U(x,y),V(x,y),W(x,y),Φx(x,y)和Φy(x,y)為各位移分量的模態(tài)振型函數(shù);ω為系統(tǒng)固有振動頻率。由于坐標(biāo)原點選取在固支曲邊的中點,為了在整個層合殼區(qū)域保證切比雪夫多項式的正交性,需進行坐標(biāo)變換,即ξ=2x/Lx-1,η=2y/Ly。

模態(tài)振型函數(shù)以雙求和級數(shù)形式表示,即在兩個方向上用切比雪夫展開式乘以相應(yīng)的邊界函數(shù)值。展開形式如下:

(10)

式中:Umn,Vmn,Wmn,Φxmn和Φymn為多項式待定系數(shù);Tδm和Tδn(δ=u,v,w,Φx,Φy)為多項式表示的位移項,即兩個方向上邊界函數(shù)值乘以m階和n階的切比雪夫展開式,其具體表達式為

Tδm(ξ)=fδ(ξ)pm(ξ),Tδn(η)=gδ(η)pn(η)

(11)

式中:fδ(ξ)和gδ(η)為邊界函數(shù)值,可由每條邊的邊界條件進行選取,相應(yīng)的值如表1所示;pm(ξ)和pn(η)均為切比雪夫多項式遞推關(guān)系式,表達式為

(12)

其中M和N為切比雪夫多項式的階數(shù)。

表1 不同邊界條件對應(yīng)的邊界函數(shù)值

將式(9)代入到式(7)和(8),可獲得系統(tǒng)的最大動能和勢能。懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼的能量函數(shù)表達式為

Π=Umax-Kmax

(13)

利用瑞利-里茲法,令能量函數(shù)對系數(shù)Umn、Vmn、Wmn、Φxmn和Φymn的偏導(dǎo)數(shù)為零,可以求解特征值問題,即

(14)

式(14)可以整理為以下形式

(S-ω2D)P=0

(15)

式中:S和D分別為剛度和質(zhì)量矩陣;P為各階頻率對應(yīng)的多項式待定系數(shù)向量,其表達式可寫為

(16)

將線性振動方程的系數(shù)矩陣設(shè)為零,可計算出雙穩(wěn)態(tài)懸臂層合殼的廣義特征值,即固有頻率,將其代入式(15)中,可確定相應(yīng)的模態(tài)。

2 穩(wěn)態(tài)構(gòu)型

首先使用有限元軟件ABAQUS來獲得非對稱和反對稱層合板的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,假設(shè)層合板材料為CFRP環(huán)氧樹脂Gr.-Ep (T300/934)[17],材料特性參數(shù)如表2所示。表中:E1、E2為材料的彈性模量;v12、v13、v23為泊松比;G12、G23、G13為剪切模量;ρ為材料密度;ΔT為高溫固化溫度差;α1、α2和α3為材料的熱膨脹系數(shù);tply為材料每層的厚度。

表2 材料Gr.-Ep (T300/934)特性參數(shù)

在建立有限元模型時,采用四節(jié)點S4R殼體單元類型,并考慮幾何非線性和固化溫差的影響。層壓板的初始溫度設(shè)為170 ℃,固化后降至室溫20 ℃。對于方形層合板,固化后形成的兩個柱形構(gòu)型經(jīng)過一定角度的旋轉(zhuǎn)會重合,即其曲率大小相同。因此,本文只研究上穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的振動特性。

此外,采用有限元法研究了4層非對稱和反對稱層合殼的半徑收斂性和網(wǎng)格密度對半徑的影響,如表3所示。從表3可以看出,當(dāng)網(wǎng)格密度為50×50時,曲率半徑趨于一致和收斂。因此,在模擬雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)型時,采用50×50的網(wǎng)格密度來確定曲率半徑,以滿足可接受的精度。表4為有限元計算得到的雙穩(wěn)態(tài)懸臂層合殼的半徑,計算結(jié)果與文獻[18]采用的殼理論計算出的半徑進行了比較。從表中可以看出,所有的誤差都在可接受的范圍內(nèi)。

表3 四層非對稱和反對稱層合殼半徑隨網(wǎng)格密度收斂性

表4 不同尺寸四層非對稱層合殼曲率和半徑對比

3 對比驗證及結(jié)果分析

3.1 對比驗證

為了證實理論方法的正確性和可靠性,通過兩組算例與已有文獻[19-22]以及有限元分析結(jié)果進行了比較。

算例2：以具有完全自由邊界條件的各向同性圓柱殼為研究對象,材料特性為:E=210 GPa,ν=0.3,ρ=7 800 kg/m3;幾何參數(shù)為:R=2 m,θ=45°,L=3 m,h=0.01 m。與文獻[22]采用的切比雪夫-里茲法計算結(jié)果以及有限元結(jié)果進行了比較,表6列出了對比結(jié)果的前8階頻率。

表5 四層開口圓柱殼的前6階無量綱頻率對比

表6 自由邊界條件下圓柱殼的前8階固有頻率對比

從表5和表6可以看出,采用本文的理論方法計算出來的結(jié)果與文獻具有良好的一致性,表明該理論方法可以用來求解系統(tǒng)的自由振動頻率。

3.2 固有頻率和振型

表7給出了一條彎曲邊被固支,其他邊自由的非對稱和反對稱鋪層雙穩(wěn)態(tài)層合方殼的前6階頻率。懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合殼尺寸大小分別為0.3 m×0.3 m、0.35 m×0.35 m和0.4 m×0.4 m,鋪層數(shù)量有4、6和8層。在數(shù)值計算中我們發(fā)現(xiàn),選取切比雪夫多項式為9階時,結(jié)果基本上收斂為一致。表8為理論方法與有限元法得到的8層反對稱懸臂層合殼的前6階模態(tài)對比。從曲邊固支層合殼的模態(tài)和頻率的對比情況可以看出,理論計算方法與有限元法較為吻合。

表7 不同尺寸和鋪層順序的懸臂雙穩(wěn)態(tài)層合方殼的前6階固有頻率理論值與有限元結(jié)果對比

3.3 幾何參數(shù)對固有頻率的影響

雙穩(wěn)態(tài)層合殼的尺寸大小和鋪層數(shù)量都會對固有頻率大小產(chǎn)生影響,本文研究了非對稱和反對稱雙穩(wěn)態(tài)曲邊固支層合殼在不同尺寸大小和鋪層數(shù)量增加情況下的固有振動特性。使用表2中的材料參數(shù),分別計算出鋪層數(shù)量為4、6和8層,尺寸大小為0.3 m×0.3 m、0.35 m×0.35 m和0.4 m×0.4 m的非對稱和反對稱懸臂層合殼的固有頻率,結(jié)果如圖3、4所示。

圖3 4,6和8層雙穩(wěn)態(tài)非對稱曲邊固支層合殼的前6階頻率

圖4 4,6和8層雙穩(wěn)態(tài)反對稱曲邊固支層合殼的前6階頻率

從圖3、4可以看出:同鋪層類型的層合殼,固有頻率隨著層合板尺寸的增加而減小;隨著鋪層數(shù)量的增加,非對稱層合殼固有頻率增大,而反對稱層合殼固有頻率減小。特別值得注意的是,對于曲線邊固支的雙穩(wěn)態(tài)層合殼,非對稱鋪設(shè)層合殼的固有頻率大于反對稱層合殼的固有頻率。

表9展示了尺寸大小為0.3 m×0.3 m的不同鋪層數(shù)量下非對稱和反對稱雙穩(wěn)態(tài)曲邊固支層合殼前6階模態(tài)。從表9可以看出,曲邊固支的雙穩(wěn)態(tài)層合殼,不論非對稱還是反對稱,無論是彎曲振動還是扭轉(zhuǎn)振動,其振動主要沿夾緊邊方向發(fā)生。

表9 不同鋪層順序下雙穩(wěn)態(tài)曲邊固支層合殼的前6階模態(tài)

4 結(jié)束語

本文以一條曲邊固支,其余三邊自由為邊界條件,對非對稱和反對稱雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合殼的固有振動特性進行了研究?？紤]幾何非線性和固化溫度差的影響,基于一階剪切變形理論、最小勢能原理和切比雪夫多項式研究了曲邊固支非對稱和反對稱雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合殼的頻率和模態(tài)。

首先通過有限元方法獲得雙穩(wěn)態(tài)層合殼的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,并與已有文獻進行對比;然后將本文理論方法和有限元法以及已有文獻進行了對比驗證,并且給出了不同尺寸大小和鋪層數(shù)量的非對稱和反對稱曲邊固支層合殼的頻率和模態(tài);最后討論了幾何參數(shù)對曲邊固支雙穩(wěn)態(tài)層合殼固有頻率的影響。

結(jié)果表明:與直線邊固支的模態(tài)振型為所有的彎曲振動沿自由邊方向發(fā)生,而扭轉(zhuǎn)振動沿固支邊方向發(fā)生相反,對于曲邊固支的雙穩(wěn)態(tài)層合殼來說,非對稱鋪設(shè)層合殼的固有頻率大于反對稱層合殼的固有頻率,且無論是彎曲振動還是扭轉(zhuǎn)振動,其振動主要沿夾緊固支邊的方向發(fā)生。