夏鴻鳴

(天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 天水 741001)

分數(shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣,已有300多年的歷史,早期因為分數(shù)階微積分缺乏應用背景和計算困難等原因,分數(shù)階微積分理論及應用沒有得到實質(zhì)性進展[1].近20 a來,由于計算機的快速發(fā)展,學者發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微積分有很多的優(yōu)點,可以更加準確地描述與歷史相關(guān)的物理變化過程,實際系統(tǒng)具有這種動態(tài)特性的現(xiàn)象很多,因此,很多學者在不同的領(lǐng)域采用分數(shù)階系統(tǒng)描述,并得到了很好的結(jié)果[2-5].另一方面,分數(shù)階混沌系統(tǒng)與對應的整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比有著更加豐富的動力學行為,目前,學者研究了很多的分數(shù)階混沌系統(tǒng)并取得了大量的優(yōu)秀成果[6-8].最近幾年,很多新的混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn),如多翼混沌系統(tǒng)、級聯(lián)混沌系統(tǒng)等,研究表明,許多系統(tǒng)具有多重穩(wěn)定性,共存吸引子是非線性系統(tǒng)中存在的一種新的動力學行為,通過調(diào)整初始狀態(tài),系統(tǒng)運行軌線可能漸近趨向點、混沌、周期、準周期等不同的穩(wěn)定狀態(tài),存在共存吸引子的混沌系統(tǒng)在保密通信領(lǐng)域有更好的應用價值[9].基于此,本文中,筆者提出了一個新的分數(shù)階混沌系統(tǒng),不斷調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)和初值條件,得到了系統(tǒng)的各種共存吸引子,并進一步研究了此分數(shù)階混沌系統(tǒng)的混合同步控制問題.

1 分數(shù)階微積分定義

定義1分數(shù)階微積分是對非整數(shù)階積分-微分算子的推廣,如下定義[2]:

(1)

其中,q表示階數(shù),R(q)表示q的實部,a和t是積分的上下限.由于Caputo分數(shù)階微分定義幾何和物理意義明確,在工程實際中應用廣泛,因此采用Caputo定義.

定義2函數(shù)f(x)的Caupto分數(shù)階導數(shù)定義為

(2)

為了簡單起見,關(guān)于分數(shù)階非線性系統(tǒng)的表達式中積分下限統(tǒng)一用*代替.

2 分數(shù)階系統(tǒng)描述

文獻[10]提出了一個整數(shù)階的四維非線性系統(tǒng),方程如下描述:

(3)

其中x,y,z,w是狀態(tài)變量,a,b,c,d是正的參數(shù).結(jié)果表明系統(tǒng)(1)具有豐富的動力學行為.

考慮系統(tǒng)的階數(shù)為分數(shù)階,則相應的動力學方程表示如下:

(4)

首先,計算系統(tǒng)的平衡點

(5)

通過計算可得,系統(tǒng)的平衡點為s=(0,0,0,0),進一步計算雅克比矩陣

(6)

令det(λI-J)=0,可得下列多項式:

f(λ)=λ4+P3λ3+P2λ2+P1λ+P0,

(7)

其中

(8)

根據(jù)穩(wěn)定性理論,此平衡點是不穩(wěn)定的.

2.1 分數(shù)階系統(tǒng)的混沌和分岔分析

當系統(tǒng)參數(shù)選取a=6,b=4,c=8,d=2時,調(diào)整系統(tǒng)的階數(shù)qi(i=1,2,3,4),這里考慮等階的情形q1=q2=q3=q4=q.圖1a,b給出了階數(shù)不同時系統(tǒng)的相圖.當系統(tǒng)的階數(shù)為q=0.64時,系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期態(tài),隨著階數(shù)的增加,系統(tǒng)產(chǎn)生混沌吸引子.

a.q=0.64; b.q=0.96.圖1 階數(shù)不同時,分數(shù)階系統(tǒng)(4)的相圖Fig.1 2-D Projections of New System (4) in the xOz Plane for Different Orders

為了進一步分析系統(tǒng)的動力學行為,固定系統(tǒng)的階數(shù),調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù),利用分岔圖研究系統(tǒng)(4)的分岔過程.

系統(tǒng)參數(shù)選取b=4,c=8,d=2,q=0.96時,改變參數(shù) 2.0≤a≤3.2,系統(tǒng)隨著參數(shù)a變化的分岔圖見圖2.可以看出,當參數(shù)值a∈[3.05 3.2]時,系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌吸引子,當參數(shù)值a=2.6時,系統(tǒng)發(fā)生一系列的倍周期分岔.

圖2 當a∈(2.0,3.2)時,分數(shù)階系統(tǒng)(4)的分岔圖Fig.2 Bifurcation Diagram of the Fractional Order System Showing Period-doubling Route to Chaos fora∈(2.0,3.2)

系統(tǒng)(4)對應分岔圖的二維相圖如圖3a,b所示.

qi=0.96(i=1,2,3,4); a.a=2.9;b.a=3.2.圖3 當a取不同值時,分數(shù)階系統(tǒng)(4)的不同吸引子Fig.3 Phase Portraits of Various Attractors the Fractional-order System (4) for Derivative Order

接下來,系統(tǒng)參數(shù)選取a=6,c=8,d=2,不斷調(diào)整參數(shù)11.0≤b≤15.5,系統(tǒng)(4)的分岔圖見圖4.

圖4 分數(shù)階系統(tǒng)(4)隨著參數(shù)b變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation Diagram of the Fractional Order System (4) forb∈(11.0,15.5)

由圖4可見,當b=12時,系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔,其對應的相圖見圖5a,b.

a.b=14; b.b=15.5.圖5 當b取不同值時,分數(shù)階系統(tǒng)(4)的不同吸引子Fig.5 Attractors of the Fractional Order System with Different Parameters

由圖5可見,當參數(shù)取一定值時,系統(tǒng)(4)從混沌態(tài)跳躍到周期態(tài).

2.2 分數(shù)階系統(tǒng)的共存吸引子

主要考慮改變初始條件和系統(tǒng)參數(shù),分析系統(tǒng)(4)的共存吸引子.為簡單起見,固定系統(tǒng)的階數(shù)為q=0.96.對于此系統(tǒng)的共存吸引子,分以下幾種取值形式.

1) 系統(tǒng)參數(shù)取值為a=6,b=4,c=1.25,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4時,共存吸引子如圖6a所示.可以看出,系統(tǒng)呈現(xiàn)1周期.

2) 當參數(shù)取值為a=6,b=4,c=2,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4時,系統(tǒng)(4)的共存吸引子如圖6b所示.可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)呈現(xiàn)4周期.

3) 當參數(shù)取值為a=6,b=10.1,c=8,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4時,共存吸引子如圖 7a所示.

4) 當參數(shù)取值為a=8.9,b=4,c=8,d=2,初值條件分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4時,共存吸引子如圖7b所示.

紅色和藍色吸引子對應的初值分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4;參數(shù)值分別為a.a=6,b=4,c=1.25,d=2; b.a=6,b=4,c=2,d=2.圖6 分數(shù)階系統(tǒng)(4)隨著系統(tǒng)參數(shù)和初值條件變化的共存吸引子Fig.6 Coexisting Attractors of Fractional Order System (4) with Varied System Parameters

紅色和藍色吸引子對應的初值分別為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4;參數(shù)值分別為a.a=6,b=10.1,c=8,d=2; b.a=8.9,b=4,c=8,d=2.圖7 分數(shù)階系統(tǒng)(4)隨參數(shù)值和初值條件變化的各類共存吸引子Fig.7 Various Coexisting Attractors of Fractional Order System (4) with Varied System Parameters

從上述數(shù)值模擬中可以看出,當改變系統(tǒng)的初值和參數(shù)值時,新的分數(shù)階系統(tǒng)(4)呈現(xiàn)出各類不同的共存吸引子,包括周期、倍周期、混沌吸引子.

3 結(jié) 論

提出了一個新的分數(shù)階非線性系統(tǒng),并研究了此系統(tǒng)的豐富的動力學行為.主要包括穩(wěn)定點分析以及不同參數(shù)下的相圖、系統(tǒng)隨著不同的參數(shù)變化的分岔圖;進一步調(diào)整系統(tǒng)的初始條件和參數(shù)取值,數(shù)值仿真得到了新系統(tǒng)不同狀態(tài)的共存吸引子.