宋宸葦, 柳銀萍

（1. 華東師范大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 200062; 2. 華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 上海 200241）

0 引 言

齊次平衡方法是構(gòu)造非線性演化方程精確解的一種有效方法, 其中假設(shè)變換的階數(shù)是通過部分地平衡最高階項來確定的[1-7], 這就是所謂的齊次平衡原則. 下面以雙曲正切方法[8-13]為例, 簡要介紹齊次平衡原則.

考慮如下非線性演化方程

1 擴展的齊次平衡原則

在這一章中, 我們?nèi)砸噪p曲正切方法為例來介紹擴展的齊次平衡原則的基本思想和步驟.

考慮非線性演化方程

其中u=u(x1,···,xn,t) .u(k)表示u的所有k階導(dǎo)數(shù)的集合, 比如u(1)={ut,ux1,···,uxn}. 假設(shè)

將它們依次代入原方程, 得到了一個關(guān)于 t anh(ξ) 的多項式方程, 這個多項式的階數(shù)列表為

基于已有的齊次平衡原則可建立如下階數(shù)方程

來確定階數(shù)m的值, 即忽略了si=sj的情況. 但是, 我們不能否定平衡這些情況的可能性, 因此, 本文將平衡條件重新定義為

? 整數(shù)性約束:m∈Z+;

? 平衡性約束:?i?=j,sim+di=sjm+dj;

? 最大性約束:?k?∈{i,j},sim+di≥skm+dk.

令

平衡點分類示意圖如圖1所示. 從圖1中可以看出, 有三類平衡點.

圖 1 平衡點分類示意圖Fig. 1 Schematic diagram for the classification of balance points

?B1,B2,B3不滿足最大性約束, 它們不是平衡點.

?B4,B5可以由平衡性約束唯一確定, 它們是第一類平衡點.

?B6不能由平衡性約束唯一確定, 但可以由最大性約束確定, 它是第二類平衡點.

?B7,B8及它們右側(cè)的一系列整數(shù)點滿足上述三個平衡條件, 但我們不能確定它們的上界, 它們是第三類平衡點.

本文提出了一種基于第三類平衡點來確定解的階數(shù)的n階展開法.

2 n階展開方法

我們注意到, 由于求導(dǎo)的緣故, 階數(shù)m不僅會出現(xiàn)在指數(shù)中, 還會出現(xiàn)在一些系數(shù)中. 通過考慮第一類和第二類平衡點, 我們可以確定階數(shù)m的上界. 通過考慮第三類平衡點, 即考慮最高n項的指數(shù)和系數(shù), 可能會獲得階數(shù)m的新的上界. 本文提出的n階展開方法的思路和步驟如下.

定義一個關(guān)于x的m次多項式的n階展開形式

其中

在雙曲正切方法中, 令

將它代入原方程, 得到的方程通常為關(guān)于 t anh(ξ) 的多項式方程. 我們考慮最高的n項, 即n階展開多項式. 下面定義了n階展開多項式的乘法、求導(dǎo)和加法規(guī)則.

n階展開多項式的乘法:

我們得到

值得注意的是, 雖然該方程的三類平衡點都存在, 但由于m的最終上界等于由第一類平衡點確定的上界, 因此沒有獲得新的解.

3 應(yīng)用實例

在這一章中, 我們將擴展的齊次平衡原則和n階展開方法應(yīng)用于幾個具體的非線性演化方程, 由此獲得了一些新的解.

例 1 考慮(1+1)維非線性演化方程[22]

根據(jù)第一類平衡點, 我們有 2m+3=3m+1 , 得到m=2 . 由于有兩個相等的階數(shù) 2m+3 , 根據(jù)第二類平衡點, 我們有 2m+3＞3m+1 , 從而得到m＜2 . 在這種情況下, 我們得到m的上界為m=1 . 該方程沒有第三類平衡點. 因此, 解的階數(shù)的最終上界為m=2 . 在此基礎(chǔ)上, 我們獲得了該方程的如下7個解:

4 結(jié) 論

本文進一步擴展了原有的齊次平衡原則, 考慮了更多的平衡可能性, 并提出了一種n階展開方法來確定解的新的階數(shù)上界. 將其應(yīng)用到雙曲正切方法中, 通過三個具體實例可以看出, 基于n階展開方法確實可以獲得所求級數(shù)解的新的更高階數(shù), 并由此獲得了所考慮的非線性演化方程的一些新解.需要說明的是, 擴展的齊次平衡原則雖然具有普適性, 但第二類平衡點和第三類平衡點都是基于重復(fù)的階數(shù), 即只有當(dāng)非線性演化方程的階數(shù)列表中有重復(fù)的階數(shù)時, 才能使用擴展的齊次平衡原則, 以此來獲得新的更高階數(shù)以及非線性演化方程更多的新解. 另外, 目前關(guān)于有限級數(shù)解的成果不限于行波解, 還可構(gòu)造出更一般的有限級數(shù)解, 如CRE (Consistent Riccati Expansion)方法, 通過將行波變量替換為關(guān)于自變量的更一般的函數(shù), 從而可構(gòu)造出更復(fù)雜的有限級數(shù)解, 特別是不同波之間的相互作用解.