江婧

摘?要：微積分學是高等數學的重要內容之一，其中微分中值定理和定積分中值定理是微積分學的兩個重要定理，它們用不同的方法研究函數的性質。本文通過研究微積分中值定理的關系，幫助學生理解微分與積分的思想，掌握兩個定理的含義；通過本課程的學習幫助培養(yǎng)學生的思維和能力，培養(yǎng)學生的愛國主義情懷，使學生樹立正確的人生觀和價值觀。

關鍵詞：微分中值定理；定積分中值定理；牛頓—萊布尼茨公式；課程思政

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.08.076

1?高等數學課程思政的實施背景

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議中指出，要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學全程，實現全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。高等教育作為社會發(fā)展進步的重要依靠和重要源泉，應該將思想政治教育深入各個環(huán)節(jié)，使思想政治課程和專業(yè)課程通向同行，形成協(xié)同效應，為社會培養(yǎng)有用之才。

高等數學作為這理工類大學生的必修課程，存在教學時數長、內容高度抽象、知識體量大等特點。長期以來的傳統(tǒng)教學模式使大部分老師在講授知識時只重視理論知識的講解，并沒有將理論知識與實際問題緊密結合起來，使課堂教學既沒有新意又沒有活力。而將思想政治教育融入大學課程的思想啟蒙得較晚，大部分老師將思想政治課程和專業(yè)課程看成完全獨立的兩門課程的思想已根深蒂固，使得要將思想政治教育融入專業(yè)課程難度較大。

思想政治教育如何融入專業(yè)課程？怎樣融入？是當今的大學課程應該思考的問題。對于高等數學這門課程來說，我們應該看到其中蘊含了豐富的數學文化、唯物主義和自然辯證法的思想。數學課程不應只講授復雜的數學公式和定理證明，應該發(fā)掘每個知識點背后的課程思政元素，針對不同的知識點尋找可以融入思政元素的契合點，讓數學課程不再枯燥死板。作為基礎課程也可以豐富精彩，發(fā)揮教師在教書過程中育人的工作，真正做到“立德樹人”的根本任務。

2?微積分中值定理與定積分中值定理關系的教學設計

微分和積分作為研究函數性質的重要工具，以極限思想為基礎，以研究函數為目標。本文以微分中值定理與定積分中值定理的關系為例，探索如何將課程思政元素融入課程教學中，做到將思政教育導向與專業(yè)知識技能相融合。

微分中值定理和定積分中值定理是微積分的兩個基礎定理，由于兩個定理涉及不同章節(jié)的知識點，學生容易將兩個定理產生混淆。因此理解兩個定理并掌握兩個定理的關系，首先需要引導學生回憶兩個定理及相關的概念。

（微分中值定理）如果函數F（x）滿足在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內可導，則在開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使

F（b）－F（a）=F′（ξ）（b－a）.

（定積分中值定理）如果函數f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使

∫baf（x）dx=f（ξ）（b－a）.

（牛頓-萊布尼茨公式）如果函數F（x）是連續(xù)函數f（x）在區(qū)間a，b上的一個原函數，那么

∫baf（x）dx=F（b）－F（a）.

（積分上限函數的性質）如果函數f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，那么積分上限函數

Φ（x）=∫xaf（t）dt

在a，b上可導，并且它的導數

Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）?（a≤x≤b）.

（原函數存在定理）如果函數f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，那么函數

Φ（x）=∫xaf（t）dt

是f（x）在區(qū)間a，b上的一個原函數。

高等數學作為微積分學和幾何學交叉內容形成的一門學科，幾何學思想是研究微積分學的常用方法，因此針對抽象函數可以采用數形結合的思想研究。首先引導學生分析兩個公式的幾何意義，從幾何學的角度區(qū)分兩個定理。

微分中值定理公式通過變形可得F′（ξ）=F（b）－F（a）b－a.由函數在一點處導數定義的幾何意義可知上述公式表示在開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得函數F（x）在ξ點處切線的斜率F′（ξ）一定等于連接（a，F（a））、（b，F（b））兩點的弦的斜率。

積分中值定理公式通過變形可得f（ξ）=∫baf（x）dxb－a.由定積分的幾何意義知∫baf（x）dx表示以b－a為底邊長，f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積。因此上述公式表示在開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（ξ）一定等于曲邊梯形的平均高度。

兩個公式在幾何上都是非常直觀的：一個公式表示兩點弦的斜率，另一個公式表示曲邊梯形的平均高度，通過幾何分析可以幫助學生記憶兩個定理的結論。但兩個定理的關系沒有通過幾何圖形展現出來。

高等數學是一門應用性非常強的學科，在直接分析不可行的前提下，接下來可引導學生將定理代入實際問題來考慮。

假設某物體做直線運動，速度f=f（x）是時間間隔a，b上的連續(xù)函數，x時刻物體所在位置為F（x），速度為f（x）且f（x）0，求物體在a到b時間內的平均速度.

首先提問學生：在學習了定積分后，變速直線運動的總路程有幾種表示方式？通過定積分的學習可知，總路程有兩種表示方式，因此，此問題有兩種求解方法。

解法一：由于物體在某一時間段的平均速度=總路程/總時間，并且假設物體在a到b時間內的速度總是非負，F（b）－F（a）可表示物體走過的總路程，此時F（b）－F（a）b－a表示物體在a到b時間內的平均速度。

解法二：由于f（x）表示物體在x時刻的速度，由定積分的定義，物體在a到b時間內走過的總路程可用∫baf（x）dx表示，此時∫baf（x）dxb－a表示物體在a到b時間內的平均速度。

通過將公式代入實際問題發(fā)現用微分中值定理和定積分中值定理的公式都可以表示物體在a到b時間內平均速度，即在一定條件下，兩個定理的公式是可以互相推導的。

但變速直線運動問題讓我們看到一個前提：兩個定理結論在f（x）是a，b上的連續(xù)函數的前提下才具有等價性，不能忽略此前提直接得出結論，需要我們對兩個定理的條件進行分析。

微分中值定理條件：函數F（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內可導。

定積分中值定理條件：函數f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)。

由上述實際問題可知，將微分中值定理中的函數F（x）看成定積分中值定理中函數f（x）的原函數時，兩個定理的結論才可能互相推導，且定積分中值定理的條件要強于微分中值定理的條件。

因此得出兩個定理條件之間的關系：定積分中值定理條件可推出微分中值定理條件，但反之不成立。

為了回顧原函數存在定理和積分上限函數的性質，加深對定理條件的掌握，可引導學生對兩定理的條件進行簡單的推導證明。

證：設函數f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，由原函數存在定理，f（x）在區(qū)間a，b上的原函數一定存在，記為F（x），且設在區(qū)間a，b上F（x）=∫xaf（t）dt.由原函數的性質，函數F（x）在閉區(qū)間a，b上可導，再由一元函數可導性與連續(xù)性的關系，函數F（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；因此函數F（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內可導.故可推出微分中值定理的條件。

在搞清楚兩個定理條件之間的關系后，便可得到兩個定理之間的關系。即加強微分中值定理條件：F′（x）在a，b上連續(xù)。此時微分中值定理和定積分中值定理的結論可以互相推導。此時定積分中值定理可以理解成微分中值定理的積分表達形式，若F（x）是f（x）在a，b上的一個原函數，兩個定理的關系如下圖1所示。

微積分中值定理和定積分中值定理作為微積分學的重要定理，以微分和積分的思想研究函數。由于微積分思想在初高中很少接觸，對初學者來說掌握起來有一定難度，若只對兩個定理的關系進行理論推導，難度性較高、理論性太強。因此本課程引導學生建立不同學科的聯(lián)系、將定理結論與實際問題相結合，發(fā)掘定理的初衷、價值和意義，將思想政治工作貫穿整個教學過程。

3?微積分中值定理所蘊含的思政元素

（1）理論聯(lián)系實際的知行觀。由于定理具有高度抽象性，對于初學微積分的學生來說，記憶和使用兩個定理并不困難，但將兩個定理聯(lián)系起來，加以理解和區(qū)分，真正做到融會貫通卻并非易事。因此，在教學過程中，應采用數形結合的教學思想，將兩個定理所得公式在幾何圖形中表示，化抽象為具體，引導學生理解和掌握兩個定理的幾何含義，從而提高學習效率。在教學環(huán)節(jié)，要避免學生對理論知識的死記硬背，這是因為當記憶變成一種學習任務，定理本身的價值和意義就會被弱化和忽視，從而影響學生學習的主觀能動性，進而降低學生的學習動力。因此，在教學實踐中，要注重運用現實案例和公式定理相結合，培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的知行觀，采用應用實例——變速直線運動問題，并輔以表達物體平均速度的兩種方式，從而得到在一定假設條件下兩個定理等價的結論。

（2）謙虛嚴謹的治學態(tài)度。變速直線運動問題，能夠較好地化抽象為具體，引導學生自行推導得出定理等價的結論。但在教學實踐中發(fā)現，這種推導容易忽略兩個定理假設條件不同的前提。因此，通過實際問題研究定理等價的前置條件，可以有目的地培養(yǎng)學生嚴謹治學的求學態(tài)度。謙虛嚴謹，作為中華民族的優(yōu)良品質，不僅對當下大學學習生涯大有裨益，更能在今后的生活中讓人受益終生。高校課堂，作為素質教育的主陣地，就是要通過學生的品格塑造，促進學生德智體美勞全面發(fā)展，營造健康和諧的學習氛圍，為黨育人，為國育才。

（3）獨立創(chuàng)新的思考能力。專業(yè)發(fā)展史是課程思政的重要組成部分。牛頓和萊布尼茨作為微積分學的奠基人，為微積分的發(fā)展做出了巨大貢獻。牛頓在解決如何根據物體的速度求解物體的位移這一問題時，在工作總結《流數簡論》中提出了微積分基本定理。而萊布尼茨是在研究巴羅的“微分三角形”時，在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理。縱觀微積分的發(fā)展史，我們知道，科技創(chuàng)新和學術發(fā)展離不開獨立思考。因此，在素質教育中，培養(yǎng)學生的科學思維和創(chuàng)新思考能力尤為重要。正如習近平總書記在二十大報告中指出，必須堅持創(chuàng)新是第一動力，深入實施科教興國戰(zhàn)略、人才強國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅動發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢。遇到問題我們不要拿別人的方案生搬硬套，應該善于思考，提出自己的解決方案，只有這樣我們才能在日益復雜的國際競爭環(huán)境中掌握核心競爭力，發(fā)揮出自己的優(yōu)勢。

（4）自信自強的文化認同。早在古代中國，積分學思想就已經萌芽。三國時期的數學家劉徽發(fā)明了“割圓術”，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”本質上是對極限思想的透徹闡述；南朝數學家祖暅提出“冪勢即同，則積不容異”和“出入互補原理”，比西方提出的“卡列瓦里原理”早1100多年。劉徽和祖暅，他們?yōu)橹袊鴶祵W史作出了極大的貢獻，為中國留下了寶貴的數學遺產。傳統(tǒng)文化，一直是課程思政的重要構成，更是二十大報告提出建設“文化自信自強”的重要組成部分。因此，在教學實踐中，要注重通過弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，通過講述優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化故事，樹立學生的民族自豪感，增強文化自信。

4?結束語

本文在了解高等數學課程思政實施背景的前提下，以微分中值定理與定積分中值定理的關系為例，挖掘課程思政融入專業(yè)課程的切入點，將政治認同、文化自信、人格養(yǎng)成等思想政治教育導向與專業(yè)課程固有的知識、技能傳授有機融合起來，實現顯性教育與隱性教育的有機結合，使高等數學課程與思想政治理論課同向同行，實現協(xié)同育人的目的。通過本課程的學習幫助學生理解掌握兩個定理的關系，培養(yǎng)學生樹立正確的人生觀、思想觀和價值觀，弘揚和創(chuàng)新中國的傳統(tǒng)文化，促進學生的自由全面發(fā)展，充分發(fā)揮教育教書育人的作用。

參考文獻

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