◇內(nèi)江市電力初級中學(xué)校 劉怡梅

雙減政策的實(shí)施給教育教學(xué)帶來了巨大的改變，既要減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，又要保證教學(xué)質(zhì)量，提高教學(xué)效率，這對教師提出了更高的要求。幾何證明是學(xué)生學(xué)習(xí)證明的難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)證明能力顯得尤為重要。針對幾何證明教學(xué)中學(xué)生和教師存在的問題進(jìn)行分析歸納，得到數(shù)學(xué)證明的教學(xué)策略，為教師提供參考。

1 研究背景

“雙減”政策于2021年正式發(fā)布，是當(dāng)前教育教學(xué)工作的重點(diǎn)及熱點(diǎn)。“雙減”減的是義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)，減的是校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)。若雙減只是片面地強(qiáng)調(diào)減少作業(yè)學(xué)業(yè)的負(fù)擔(dān)，教師在實(shí)施政策的過程中也只是一味減少作業(yè)，這樣的政策并不能真正對教育現(xiàn)狀起到改變的作用，實(shí)現(xiàn)減負(fù)的本質(zhì)要求，減負(fù)效果也達(dá)不到預(yù)期。因此，作為政策實(shí)施者，首先需要理解減負(fù)的實(shí)質(zhì)，即在于把學(xué)校作為主陣地，課堂作為主戰(zhàn)場，在減負(fù)的同時(shí)必須提質(zhì)，教師須聚焦于如何在40分鐘的課堂教學(xué)中提高教學(xué)和學(xué)習(xí)效率，從而提升教育質(zhì)量。“雙減”其目的在于通過增加課堂效率，減輕課后負(fù)擔(dān)，使得學(xué)生能在初中階段擁有輕松愉快的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使學(xué)生的負(fù)擔(dān)和壓力得到最大化的減輕。

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了新要求，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)首次出現(xiàn)在總目標(biāo)中，并且把“三會”納入核心素養(yǎng)中，從“三會”的角度對六大核心素養(yǎng)進(jìn)行分類。數(shù)學(xué)證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其中幾何證明尤甚。幾何在本質(zhì)上強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格的邏輯和直觀而生動的想象，二者相互聯(lián)系、相互滲透。學(xué)生通過幾何證明的學(xué)習(xí)，能培養(yǎng)學(xué)生推理能力、抽象能力，能訓(xùn)練學(xué)生的演繹思維、空間想象，能訓(xùn)練學(xué)生通過觀察、歸納、類比等進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，并尋求論據(jù)、給出證明，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言把自己的推理過程有條理、有邏輯地表達(dá)出來，且解答過程落筆有據(jù)、言之有理。同時(shí)，數(shù)學(xué)證明也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，學(xué)生不明白為什么要學(xué)習(xí)證明，不知道如何分析證明題，不知道怎么選擇合適的證明方法，不知道怎么用文字語言表達(dá)自己的推理思路和過程。綜上，基于幾何證明在教學(xué)中的特殊地位，初中幾何證明的教學(xué)策略研究非常重要，幾何證明教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著不可或缺的作用。

2 概念厘清

2.1 數(shù)學(xué)證明

“證明”在《辭?！分械慕忉屖牵骸案鶕?jù)已知真實(shí)的判斷來確定某一判斷的真實(shí)性的思維形式[1]。”證明從數(shù)學(xué)的角度解釋為：通過其他的數(shù)學(xué)結(jié)果或?qū)@個(gè)命題數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解來展示命題為何正確的演繹論證。數(shù)學(xué)證明是從一組公理開始并通過邏輯步驟向前推進(jìn)以達(dá)到結(jié)論的形式化和邏輯化推理。幾何證明是以一些幾何基本概念、基本公理為基礎(chǔ)，從問題的設(shè)計(jì)出發(fā)，按照一定的邏輯和方法，借助圖形直觀，經(jīng)過逐步的演繹推理，最后得出結(jié)論的過程[2]。

2.2 教學(xué)策略

策略是制定計(jì)劃、選擇方法或進(jìn)行有目的的活動過程中的一系列決策。教學(xué)策略是教學(xué)前的“總括性計(jì)劃”，不僅包括對教學(xué)方法的選擇，還包括對教學(xué)媒體和教學(xué)形式的選擇等，而且在具體的教學(xué)方法及其組合上也存在著策略問題[3]。教學(xué)策略是建立在一定理論基礎(chǔ)之上，為實(shí)現(xiàn)某種教育目標(biāo)而制定的教學(xué)實(shí)施總方案，包括合理選擇和組織各種方法、材料，確定師生行為程序等內(nèi)容。教學(xué)策略具有綜合性、可操作性、靈活性、層次性等特點(diǎn)。所謂綜合性，指選擇或制定教學(xué)策略必須對教學(xué)方法、步驟、媒體和組織形式等要素加以綜合考慮。在教學(xué)活動中，上述幾種要素是綜合地、密不可分地共同在教學(xué)中發(fā)揮作用。所謂可操作性，教學(xué)策略不是一項(xiàng)抽象的教學(xué)原則，也不是在某種教學(xué)思想指導(dǎo)下構(gòu)筑起來的教學(xué)模式，而是可供教師和學(xué)生在教學(xué)中參照執(zhí)行或操作的具體方案。所謂靈活性，指教師根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和任務(wù)的要求，并依據(jù)學(xué)生的初始狀態(tài)，選擇最適宜的教學(xué)方法、媒體和教學(xué)組織形式，確保教學(xué)活動的順利開展，以完成特定的教學(xué)任務(wù)和實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo)。所謂層次性，指教學(xué)具有不同的層次，不同層次的教學(xué)策略有不同的功能，完成不同的教學(xué)目標(biāo)[4]。

3 學(xué)生證明學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

3.1 數(shù)學(xué)知識儲備不足

初中證明分為代數(shù)證明和幾何證明，幾何證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。幾何證明是將數(shù)學(xué)概念、公理、定理等與圖像結(jié)合，綜合考察學(xué)生。解決此類問題，學(xué)生要將已知條件與圖像結(jié)合，把文字語言轉(zhuǎn)換為圖像語言，因此學(xué)生不僅要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，還要有邏輯推理能力和識圖能力。在證明過程中，學(xué)生既要考慮已知條件，又要考慮圖形，還要提取出數(shù)學(xué)知識與已知條件和圖形之間建立聯(lián)系。這對于初中生來說極富挑戰(zhàn)性，解決一道證明題，有時(shí)涉及許多公理定理。

3.2 學(xué)生認(rèn)知水平限制

初中生的認(rèn)知水平有限，在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，正在經(jīng)歷從小學(xué)階段的“直觀形象”到中學(xué)階段的“邏輯演繹”的轉(zhuǎn)變。在思維方式上，需要從“形象思維”過渡到“抽象思維”。學(xué)生的抽象能力和推理能力的發(fā)展處于起步階段，學(xué)生在小學(xué)階段進(jìn)行著各種以事實(shí)為依據(jù)的實(shí)用性證明活動，學(xué)生進(jìn)入初中后要求進(jìn)行數(shù)學(xué)證明活動，即思維上的邏輯推理論證活動。學(xué)生一時(shí)適應(yīng)不了這種更高一級的思維方式，經(jīng)常在證明活動中依然采用實(shí)用性證明，這與學(xué)生認(rèn)知水平有關(guān)。

3.3 證明方法的選擇

學(xué)生選擇證明方法時(shí)常常照搬教師教學(xué)時(shí)選取的方法，或者是仿照書本上的例題，或者是根據(jù)自己的感覺，而不是依據(jù)問題自身的特點(diǎn)來選取方法。學(xué)生不知道如何分析問題，不知道為什么選擇這個(gè)方法，也不理解為什么在另外一個(gè)問題中就不能使用這個(gè)方法。

3.4 缺乏運(yùn)用輔助線的意識

輔助線可以幫助學(xué)生將未知轉(zhuǎn)為已知，把原圖形割補(bǔ)為熟悉的圖形，獲得更多的隱含條件，以便學(xué)生更好地解決問題。但學(xué)生在添加輔助線上有困難，學(xué)生不知道該不該添加輔助線，不知道如何添加輔助線以及添加的輔助線對問題有沒有幫助等。

3.5 證明過程的敘述

學(xué)生在敘述證明過程時(shí)，不會將文字語言、符號語言與圖形語言相互轉(zhuǎn)換，識圖、畫圖存在困難，不注意文字語言的表述，常常出現(xiàn)證明過程不完整，因果顛倒、邏輯混亂的情況。

4 教師證明教學(xué)的現(xiàn)狀

4.1 忽視學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)與水平

教師備課時(shí)，沒有分析學(xué)生的年齡特點(diǎn)、現(xiàn)有的知識儲備和能力水平，認(rèn)知方式以及學(xué)習(xí)態(tài)度等。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，選擇的學(xué)習(xí)材料難度與容量偏大。在開展數(shù)學(xué)證明教學(xué)時(shí)，未預(yù)先給學(xué)生進(jìn)行教學(xué)鋪墊。

4.2 教學(xué)方式陳舊

教師依然采取傳統(tǒng)的教師講授為主，學(xué)生被動接受的教學(xué)方式，多采用教師提問，學(xué)生回答的互動交流模式，教學(xué)重心放在證明結(jié)果上，忽視了學(xué)生的證明過程，抑制了學(xué)生的主動性和自主性的發(fā)展。教師很少設(shè)置學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的活動形式，也很少給學(xué)生知識生成的體驗(yàn)，忽視學(xué)生的動手能力。

4.3 教師教學(xué)邏輯思維不嚴(yán)謹(jǐn)

教師進(jìn)行數(shù)學(xué)證明教學(xué)，在分析講解幾何證明題時(shí)，存在邏輯思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}，不利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。如果教師在教學(xué)中自己的思路都不清楚，那么學(xué)生很難領(lǐng)悟到教師想要表達(dá)的想法。對證明題示例的講解上細(xì)節(jié)把握不夠，教師在板書過程中為省事，很多重要步驟被省略，這不利于初學(xué)數(shù)學(xué)證明的學(xué)生。

4.4 學(xué)生參與機(jī)會分配不合理

教師在課堂教學(xué)中學(xué)生參與機(jī)會分配不合理，導(dǎo)致學(xué)生對課堂教學(xué)的參與度不高。教師更關(guān)注那些性格外向、喜歡數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生，課堂上也多給機(jī)會讓他們表現(xiàn)自己，忽視那些性格內(nèi)向、學(xué)習(xí)成績不好的學(xué)生，這些學(xué)生在幾何證明上才是存在很大的問題，但教師沒有給機(jī)會讓他們提出自己的疑難。

4.5 習(xí)題例題選擇隨意

習(xí)題例題的訓(xùn)練是對已學(xué)知識、技能、思想方法進(jìn)行應(yīng)用的必要途徑，可以理解鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。教師認(rèn)識到了習(xí)題例題的重要性，但是在教學(xué)中教師過于重視習(xí)題例題的難度和技巧性的訓(xùn)練，會給學(xué)生布置大量的習(xí)題，進(jìn)入了“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū)。

5 初中數(shù)學(xué)證明的教學(xué)策略

5.1 創(chuàng)設(shè)合理教學(xué)情景，營造輕松愉悅教學(xué)氛圍

數(shù)學(xué)要貼近生活，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平和心理特征，創(chuàng)設(shè)引人入勝的教學(xué)情景，調(diào)動學(xué)生的積極性。數(shù)學(xué)本身具有抽象性，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情景把數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，將抽象的數(shù)學(xué)概念、公理、定理等與現(xiàn)實(shí)的生活實(shí)例建立聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的興趣。營造輕松愉悅的教學(xué)氛圍，有利于學(xué)生表現(xiàn)自我，大膽地說出自己的想法。教師要轉(zhuǎn)變角色意識，以學(xué)生為中心，課堂教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，教師要滿足學(xué)生的需求。教師要與學(xué)生建立民主平等的師生關(guān)系，實(shí)現(xiàn)平等和開放的溝通和交流。

5.2 合理運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行教學(xué)

幾何證明需要借助圖形來表示問題，信息技術(shù)引入課堂教學(xué)，利用信息技術(shù)做出圖像，為抽象的數(shù)學(xué)概念、公式、定理的深入理解提供了渠道。教師使用信息技術(shù)可以做出生動直觀的圖形或動畫，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識。教師帶領(lǐng)學(xué)生使用信息技術(shù)做數(shù)學(xué)，經(jīng)歷動手操作的過程，體會知識的生成。

5.3 善用啟發(fā)式教學(xué)

證明教學(xué)不僅僅是學(xué)生理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)的概念、公式、定理等，而是學(xué)生要體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)知識的過程，找到信息間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握這種探索知識的方法。在證明教學(xué)過程中，教師創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情景，給予學(xué)生充足的探索空間，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立地經(jīng)歷觀察、思考、猜想、實(shí)驗(yàn)和證明的全過程，得出結(jié)論后進(jìn)行小組討論，開闊思維，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和抽象能力，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作能力的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的潛能。

5.4 選取典型例題，加強(qiáng)變式訓(xùn)練

例題是對所學(xué)知識的鞏固與應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的理解和吸收。教師在選擇例題時(shí)，要根據(jù)學(xué)生的掌握情況和本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)合理設(shè)計(jì)安排，做到精選精講精練。例題的內(nèi)容選擇要緊抓數(shù)學(xué)的基本概念、公理、定理等基礎(chǔ)知識，學(xué)生要先打好基礎(chǔ)。對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，通過不同角度、不同層次、不同情形的變式，揭露問題的本質(zhì)特征，加深學(xué)生理解。例題的設(shè)置順序要由易到難、由簡到繁、層層遞進(jìn)。難易度要設(shè)置合理，不能太簡單，學(xué)生覺得沒意思，不能太難，學(xué)生會喪失信心。教師針對學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，適當(dāng)給學(xué)生設(shè)置一些陷阱，引誘學(xué)生出錯(cuò)。教師與學(xué)生共同分析出錯(cuò)的原因，加深記憶，避免以后再犯此類錯(cuò)誤。

5.5 證明教學(xué)過程要重視語言表述與轉(zhuǎn)換

教師在教學(xué)過程中要讓學(xué)生記憶并理解幾何中的定義、性質(zhì)定理和判定定理，會用數(shù)學(xué)語言表示它們。審題時(shí)迅速準(zhǔn)確地抓住題目中的關(guān)鍵詞句，并在圖形中標(biāo)注出來，以便找到合適的證明方法。每一步的推理必須有理有據(jù)，不能想當(dāng)然、憑感覺。教師要做好證明書寫的示范，把握細(xì)節(jié)，規(guī)范推理格式，思路清晰，過程簡練。