■內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市特殊教育學(xué)校 閆翌勃

在特殊教育學(xué)校進(jìn)行生活數(shù)學(xué)教學(xué)工作時(shí)，我們常發(fā)現(xiàn)培智學(xué)生難以計(jì)算。在教學(xué)中，教師無(wú)奈反復(fù)教導(dǎo)培智學(xué)生背誦記憶算式，卻效率極低。如何改變這一現(xiàn)象，減輕教師工作壓力，幫助培智學(xué)生掌握基本的計(jì)算能力、融入正常社會(huì)生活，是特教教師面臨的難題。

一、現(xiàn)象背后的原因

產(chǎn)生上述現(xiàn)象的根源并不在于計(jì)算本身，而是培智學(xué)生沒(méi)有數(shù)前概念及無(wú)法建立數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系。不理解什么是“數(shù)”，就不能處理數(shù)與數(shù)之間相互作用的關(guān)系，也就是計(jì)算，因此造成短板效應(yīng)。

二、解決方法及理論依據(jù)

要補(bǔ)齊這一短板，則需幫助培智學(xué)生從具體事物抽象出數(shù)的概念。通過(guò)模擬數(shù)學(xué)起源時(shí)代生產(chǎn)生活環(huán)境的教學(xué)情景，利用教具進(jìn)行實(shí)物教學(xué)，并逐漸過(guò)渡到使用抽象的語(yǔ)言文字，是一種有效手段。

我目前所采用的教案中，用模擬數(shù)學(xué)文物的教具構(gòu)建與數(shù)學(xué)起源時(shí)期類似的教學(xué)環(huán)境，引導(dǎo)培智學(xué)生與之互動(dòng)，以建立數(shù)量對(duì)應(yīng)，這是一個(gè)關(guān)鍵步驟。

關(guān)于計(jì)算的數(shù)學(xué)文物類型大致分為實(shí)物計(jì)數(shù)型和刻痕計(jì)數(shù)型兩類。實(shí)物計(jì)數(shù)類，如“結(jié)繩記事”、算籌、算珠等，這一類文物在同一文明中的起源較早，最終演化為類似算盤(pán)等計(jì)算工具，或棋類游戲（如圍棋）；出現(xiàn)較晚的刻痕計(jì)數(shù)類，如出土于剛果民主共和國(guó)的“伊尚戈骨頭”、出土于我國(guó)河南許昌的赭石涂染刻痕骨片，以及著名的“河圖”“洛書(shū)”等，這一類文物發(fā)展形成了牌類游戲（如各類骨牌、紙牌等），并且繼續(xù)發(fā)展出更豐富的刻畫(huà)符號(hào)最終進(jìn)化為文字。

因此，我們?cè)谏顢?shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中也應(yīng)遵循這一歷史規(guī)律，在低年級(jí)段啟蒙時(shí)期采用實(shí)物計(jì)數(shù)類教具，逐步過(guò)渡到刻痕計(jì)數(shù)類教具或更進(jìn)一步使用文字符號(hào)類教具。在數(shù)量對(duì)應(yīng)教學(xué)中，我讓學(xué)生從不同的事物中抽象出其共同數(shù)的概念，再通過(guò)語(yǔ)言和書(shū)寫(xiě)訓(xùn)練將數(shù)字用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)或以文字書(shū)寫(xiě)記錄下來(lái)。

三、在課程中的實(shí)施方法

（一）十以內(nèi)加法（不進(jìn)位加法）教學(xué)

十以內(nèi)加法以5+3 為例。選擇一個(gè)棋路作為個(gè)位在上方放置豎式題卡，先放置5 顆黑子代表上方加數(shù)，再放置3顆白子代表下方加數(shù)，最后通過(guò)點(diǎn)數(shù)棋子得到總數(shù)8作為和。

進(jìn)行計(jì)算先要把數(shù)字轉(zhuǎn)換成它所代表的量（如棋子），再通過(guò)操作進(jìn)行計(jì)算。例如：計(jì)算兩數(shù)加法時(shí)，人腦所要做的就是把兩個(gè)加數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的量分別用黑白棋子表示，不考慮顏色區(qū)分兩個(gè)量就自然轉(zhuǎn)化為一個(gè)量，我只需把棋子代表的量轉(zhuǎn)化為數(shù)字就是和。

在這一過(guò)程中，實(shí)際上我們并沒(méi)有做什么，只是進(jìn)行了“數(shù)—量—數(shù)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，相加本身是自然規(guī)律替我們完成的，智力正常者這一過(guò)程完全是在意識(shí)中進(jìn)行的。但培智學(xué)生則需要教具加以輔助，也就是由數(shù)轉(zhuǎn)量再由量轉(zhuǎn)數(shù)過(guò)程中以實(shí)物教具充當(dāng)媒介。數(shù)與量之間的轉(zhuǎn)化是通過(guò)點(diǎn)數(shù)這項(xiàng)技能完成的，因此我們?cè)谏顢?shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中必須重視點(diǎn)數(shù)技能的訓(xùn)練與應(yīng)用。

（二）十以內(nèi)減法（不退位減法）教學(xué)

十以內(nèi)減法以上題的驗(yàn)算8-3為例。選擇一個(gè)棋路作為個(gè)位在上方放置豎式題卡，按從上到下順序先放置8顆棋子代表被減數(shù)，取走3顆棋子放入棋盒代表減數(shù)，最后通過(guò)點(diǎn)數(shù)棋盤(pán)剩下棋子還剩5顆作為差。

遠(yuǎn)古人類在處理原有物品數(shù)量和消耗數(shù)量的關(guān)系時(shí)形成了減法運(yùn)算。與加法不同，加法運(yùn)算的加數(shù)與和從本質(zhì)上講都是正數(shù)，但假設(shè)減法的被減數(shù)與差是正數(shù)，則減數(shù)為負(fù)數(shù)就是消耗的量。我們?cè)谟?jì)算時(shí)需要把被減數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的正量（如上題的全部棋子），再把減數(shù)轉(zhuǎn)換為負(fù)量（放入棋盒的棋子），棋盤(pán)上剩下的就是差（也是正數(shù)）。要時(shí)刻記住在這一過(guò)程中，棋盤(pán)上的棋子代表正數(shù)，收回棋盒中的棋子代表負(fù)數(shù)。

正負(fù)數(shù)概念是遠(yuǎn)古人類在生產(chǎn)勞動(dòng)過(guò)程中對(duì)應(yīng)產(chǎn)出與消耗形成的，代表了人類對(duì)自然界更加深入的了解。我國(guó)傳統(tǒng)哲學(xué)中的陰陽(yáng)學(xué)說(shuō)正是基于這一數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生的，其實(shí)驗(yàn)算與計(jì)算的關(guān)系就互為陰陽(yáng)，驗(yàn)算在我們的計(jì)算教學(xué)中是必須強(qiáng)調(diào)的。這樣做在提高計(jì)算正確率的同時(shí)，也能使學(xué)生建立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀念。

（三）十以上加法（進(jìn)位加法）教學(xué)

以25+7為例，在教學(xué)中我們?nèi)缦逻M(jìn)行。選一個(gè)棋路為個(gè)位，則其左側(cè)棋路依次為十位、百位、千位……依據(jù)讀題順序先用黑子十位2子、個(gè)位5子表示上方加數(shù)25，再用白子在個(gè)位放7子代表下方加數(shù)7。

此時(shí)，個(gè)位上5 下7 超過(guò)（或達(dá)到）10 子，取走上面10子，換來(lái)在十位添加一子參加十位運(yùn)算。按照從低位到高位順序，此時(shí)個(gè)位有2 子，十位上2 下1共3子，所以25+7=32。相比不進(jìn)位加法，多了“滿十進(jìn)一”步驟。

十進(jìn)制計(jì)數(shù)制的產(chǎn)生是基于我們與生俱來(lái)的計(jì)算工具——手指。正是因?yàn)檎Ｇ闆r下人類都有十根手指，所以我們?cè)谟檬种高M(jìn)行計(jì)算時(shí)無(wú)法表示10以上的數(shù)，這正是十進(jìn)制產(chǎn)生的原因?；谑M(jìn)制產(chǎn)生了數(shù)位的概念，使我們能夠計(jì)算更大的數(shù)字。

（四）十以上減法（退位減法）教學(xué)

我們以上題的驗(yàn)算32-7 為例。用黑子在十位擺放3子，個(gè)位擺放2子代表被減數(shù)32。個(gè)位2-7不夠，從十位取走一子換個(gè)位10顆白子?，F(xiàn)在個(gè)位有12 子，從中拿走7 子放入棋盒。則現(xiàn)在個(gè)位5 子，十位2子，32-7=25。

基于“滿十進(jìn)一”“借一補(bǔ)十”操作，該方法可以計(jì)算任意多位數(shù)加減法。只需將多位數(shù)計(jì)算分解為逐位加減，則每個(gè)數(shù)位的加減計(jì)算只與其相鄰的數(shù)位相關(guān)，實(shí)際上就是多次進(jìn)行一位數(shù)或兩位數(shù)加減。

（五）表內(nèi)乘法教學(xué)

表內(nèi)乘法教學(xué)中，我常采用兩種教具，蒙臺(tái)梭利乘法板和《清華簡(jiǎn)算表》。蒙臺(tái)梭利乘法板利用二維點(diǎn)陣方法推導(dǎo)乘法口訣。而在日常教學(xué)中我常使用圍棋來(lái)替代乘法板以簡(jiǎn)化教具。例如：3×7的計(jì)算。

每行放置3顆棋子，擺放7行（或每行7顆，擺放3行），通過(guò)點(diǎn)數(shù)得到共21子。推導(dǎo)得到口訣：三七二十一，因此3×7=21。通過(guò)該方法推導(dǎo)得到乘法口訣加深印象，有助于學(xué)生對(duì)乘法口訣的記憶與理解，可以避免單純靠背誦口訣而出現(xiàn)的反復(fù)忘記。雖然在教學(xué)早期進(jìn)度較慢，但會(huì)給學(xué)生打下更扎實(shí)的基礎(chǔ)。

當(dāng)使用蒙臺(tái)梭利乘法板推導(dǎo)乘法口訣打下一定基礎(chǔ)之后，可以采用《清華簡(jiǎn)算表》進(jìn)行教學(xué)。我們把《清華簡(jiǎn)算表》中關(guān)于表內(nèi)乘法部分內(nèi)容制作成10根“竹簡(jiǎn)”。其中：每根“竹簡(jiǎn)”對(duì)應(yīng)從1×1=1、……1×9=9、2×1=2、……2×9=18……到9×1=9、……9×9=81等九條乘法口訣。拉直縱橫兩條紅繩套則相交處為紅藍(lán)兩數(shù)乘積。《清華簡(jiǎn)算表》屬于文字符號(hào)類教具，所表達(dá)的數(shù)理關(guān)系更為抽象概括，可以更快速查找乘法口訣，進(jìn)行驗(yàn)算。但必須強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，文字符號(hào)類教具必須是在熟練掌握實(shí)物計(jì)數(shù)類教具基礎(chǔ)上才能使用。

（六）表內(nèi)除法教學(xué)

我在教學(xué)中常使用圍棋模擬蒙氏除法板進(jìn)行教學(xué)。以有余除法19÷5為例。

點(diǎn)數(shù)19顆黑子做被除數(shù)，點(diǎn)數(shù)5顆白子做除數(shù)。將白子放在棋盤(pán)上方，黑子依次放在白子下方。擺滿3行則商為3，還剩4子則余數(shù)為4。因此19÷5=3……4。

除法計(jì)算一直以來(lái)是生活數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)。其原因是學(xué)生并沒(méi)能理解除法運(yùn)算的過(guò)程。除法并不只是乘法的逆運(yùn)算，而是和減法有密切關(guān)系，尤其是有余除法中更加明顯。如上題中19÷5計(jì)算過(guò)程就是從19中連續(xù)減5（除數(shù)）可以減3（商）次還剩4（余數(shù)）。正如乘法是多個(gè)相同加數(shù)相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法可以理解為從一個(gè)較大被減數(shù)（被除數(shù)）中減去一個(gè)減數(shù)（除數(shù)）可以減幾次（商），還剩幾（余數(shù)）的運(yùn)算。

基于以上計(jì)算手段的組合，我們可以利用圍棋或類似功能的教具計(jì)算任意整數(shù)、小數(shù)范圍內(nèi)四則運(yùn)算。這將在另外的文章中予以說(shuō)明。

綜上，教具在數(shù)學(xué)課程中的作用極其重要。其作用主要在于輔助學(xué)生把抽象的數(shù)理概念轉(zhuǎn)化為具體事物，再通過(guò)操作教具進(jìn)行計(jì)算，并在這一過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。而這一過(guò)程正是遠(yuǎn)古人類在從事勞動(dòng)生產(chǎn)活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展出數(shù)學(xué)學(xué)科的漫長(zhǎng)過(guò)程的縮影。通過(guò)用模擬數(shù)學(xué)文物的教具為學(xué)生搭建解決對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)環(huán)境，并引導(dǎo)學(xué)生在與環(huán)境互動(dòng)過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，這一方法既符合恩格斯對(duì)人類進(jìn)化史的論證，又符合蒙臺(tái)梭利教育學(xué)原理，能夠?yàn)榕嘀菍W(xué)生學(xué)習(xí)生活數(shù)學(xué)與教師的教學(xué)工作帶來(lái)幫助。