王春瑜

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；學(xué)會思維；操作感知；建構(gòu)模型；發(fā)現(xiàn)規(guī)律；提升素養(yǎng)；《圖形的放大和縮小》

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）09-0080-04

南京大學(xué)鄭毓信教授指出：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升，幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，提升思維的綜合性與靈活性、自覺性與創(chuàng)造性、嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性等。蘇教版六下《圖形的放大和縮小》一課的教學(xué)重點是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圖形的放大和縮小，能利用方格紙按一定的比把簡單圖形放大或縮小。這部分知識對學(xué)生來說難度并不大，那么，如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生真正做到會學(xué)、活學(xué)、深學(xué)，從而有效促進(jìn)他們學(xué)會思維呢？筆者通過實踐與研究發(fā)現(xiàn)，關(guān)注學(xué)習(xí)起點、挖掘知識本原、設(shè)置認(rèn)知沖突、經(jīng)歷探究過程是實現(xiàn)這一愿景的有效路徑。

一、操作感知，初探奧秘

師：同學(xué)們，我們用word編輯文檔時，常常要將插入的圖片放大或縮小，誰來給大家演示一下？（學(xué)生操作）

師：點擊圖片后，圖片邊線上一共顯示8個點，你為什么拖拉的是頂點？

生1：拖拉角上的頂點，長和寬會同時變大或變小，如果拖拉邊上的中點，就只有長變化，或者只有寬變化。

生2：拖拉頂點，圖片不變形，拖拉其他點，圖片會變形。

師：像這樣放大、縮小時形狀不變的情況，就是我們今天要研究的“圖形的放大和縮小”。要想圖形不變形，只要拖拉角上的頂點就可以。頂點為什么這么神奇呢？秘密就藏在圖片工具里。（出示“鎖定縱橫比”）你知道“鎖定縱橫比”是什么意思嗎？

生：縱是寬，橫是長，鎖定縱橫比就是寬和長的比不變。

師：是呀，放大或縮小圖片時，使圖片不變形的秘密就是“鎖定縱橫比”。

課始，教師將數(shù)學(xué)知識與信息技術(shù)有機(jī)整合，鮮活的素材、巧妙的方式有效激發(fā)了學(xué)生的好奇心，進(jìn)而揭示放大或縮小圖片且使其不變形的奧秘是“鎖定縱橫比”，并以此為起點，從定性認(rèn)識過渡到定量刻畫，為用“比”的方式描述圖形的放大和縮小做好準(zhǔn)備。

二、追本溯源，建構(gòu)模型

1.嘗試放大

師（出示一個長6、寬4的長方形）：這個長方形的縱橫比是多少？那長和寬怎樣變化才能鎖定2∶3這個縱橫比呢？在方格紙上嘗試畫出長方形放大或縮小后的樣子。

生1：我畫了一個長12、寬8的長方形，長和寬都擴(kuò)大了2倍。

生2：我把長和寬都擴(kuò)大3倍，畫了一個長18、寬12的長方形。

生3：我把長和寬都縮小2倍，畫了一個長3、寬2的長方形。

生4：我把長和寬都擴(kuò)大1.5倍，畫了一個長9、寬6的長方形。

師：觀察這些放大或縮小的長方形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：縱橫比都是2∶3，形狀相同。

師：如果方格紙足夠大，你能畫多少個這樣的長方形？

生：只要鎖定縱橫比，我們就可以畫出無數(shù)個大小不同、形狀相同的長方形。

在揭示圖形的放大或縮小的意義之前，緊扣“縱橫比不變”，放手讓學(xué)生直接畫出長方形放大和縮小后的圖形。學(xué)生在操作實踐、展示交流中積累了活動經(jīng)驗，鍛煉了綜合思維，初步感悟到圖形放大和縮小的本質(zhì)屬性：大小改變，形狀不變。

2.描述放大

（1）由形想比

師：老師從大家畫的長方形中選擇一個放大的長方形，這個長方形是把每條邊放大到原來的2倍得到的，仔細(xì)觀察原來的長方形與放大后的長方形，你能用一個比表示這個變化過程嗎？比的前項表示什么？后項呢？

生1：我想用2∶1表示，2表示放大后的長，1表示原來的長；2也表示放大后的寬，1也表示原來的寬。

生2：我也是用2∶1表示的，但2表示放大后的周長，1表示原來的周長。

生3：我用1∶2表示，1表示原來的寬，2表示放大后的寬。

生4：我用4∶1表示，4表示放大后的面積，1表示原來的面積。

生5：我用1∶4表示，1表示原來的面積，4表示放大后的面積。

（2）以比定形

師：同學(xué)們想到了用對應(yīng)邊長度的比、周長的比、面積的比來表示圖形的變化，都有自己的道理，這些比都能說清楚長方形的這種變化嗎？我們先來討論面積比1∶4。（出示圖1）。

師：①②③號長方形的面積都是原來長方形的4倍，原來的長方形與它們面積的比都是1∶4，這些長方形都是原來長方形放大后的圖形嗎？

生1：不對，①②③號長方形和原來相比，全都變形了，它們沒能鎖定縱橫比。

生2：如果用面積比說明圖形的放大，得到的圖形有很多種情況，面積雖然都是原來的4倍，但形狀可能會發(fā)生變化，所以用面積比來說明圖形的放大不準(zhǔn)確。

師：既然面積比不能準(zhǔn)確描述圖形的放大，那周長比呢？剛才的研究有給你一些啟發(fā)嗎？

生1：原來的周長是20，放大后的周長是40，周長是40的長方形也不止一個，不一定長是12、寬是8。

生2：這樣看來，用周長比來說明長方形的放大也不準(zhǔn)確，因為周長相等的長方形也有無數(shù)個，不一定就是我們要描述的長方形。

師（出示圖2）：是的，周長變成原來的2倍時，可能是長12、寬8的長方形，也可能是長16、寬4的長方形，當(dāng)然還有其他可能，所以周長比也不能準(zhǔn)確描述圖形的放大。

師：最后我們來討論邊長，放大后的長和原來的長是一組對應(yīng)的邊長，放大后的寬和原來的寬也是一組對應(yīng)的邊長，對應(yīng)邊長的比能準(zhǔn)確描述圖形的放大嗎？

生1：放大后長方形的長和原來長的比是2∶1，寬的比也是2∶1，長和寬都只有一種可能。

生2：放大后長方形的長是12、寬是8，長和寬固定了，長方形的大小和形狀就固定了。

師：看來，用對應(yīng)邊長的比來描述圖形的放大具有唯一性，鎖定了對應(yīng)邊長的比，也就鎖定了圖形的大小和形狀。

（3）揭示放大

師：放大和縮小都是與原來的圖形相比較，在描述放大和縮小時，數(shù)學(xué)上規(guī)定把變化后的長度作為前項，把原來的長度作為后項，這里放大后的長方形與原來長方形對應(yīng)邊長的比是2∶1，也就是把原來的長方形按2∶1的比放大。

師（出示按3∶1的比放大的長方形）：現(xiàn)在的長方形是怎樣放大的？如果要把原來的長方形按4∶1的比放大，你打算怎么做呢？

用比來描述圖形的放大，邊長比、周長比、面積比，哪一種比更合理呢？教師從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點出發(fā)，帶領(lǐng)他們經(jīng)歷自主研究、討論辨析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、建模應(yīng)用的過程，從“由形想比”到“以比定形”，發(fā)現(xiàn)用對應(yīng)邊長的比描述圖形放大最合理，在對比沖突中還原知識形成的本來面貌，培養(yǎng)其思維的深刻性和創(chuàng)造性。

3.認(rèn)識縮小

師：把原來長方形的每條邊都縮小到原來的二分之一，我們可以說是按幾比幾縮小呢？在小組內(nèi)說一說。

師：觀察這些表示放大和縮小的比，你能從中看出圖形的變化嗎？

生1：前項比后項大就表示放大，前項比后項小就表示縮小。

生2：比值就是他們放大或縮小的倍數(shù)，比值比1大就是把原來的圖形放大，比值比1小就是把原來的圖形縮小。

師：如果是1∶1呢？

生：原來的圖形既不放大也不縮小。

師：我們之前學(xué)習(xí)的平移、旋轉(zhuǎn)、畫軸對稱圖形都是把原來的圖形按1∶1的比變化，圖形的形狀、大小都不變。（課件分別演示）今天學(xué)的放大和縮小，你能看出其中的變與不變嗎？

生：圖形的大小變了，但形狀不變。

在認(rèn)識放大的基礎(chǔ)上放手讓學(xué)生說說縮小的含義，然后比較表示放大和縮小的比的特征，再用特殊比1∶1勾連“圖形的運(yùn)動”領(lǐng)域知識間的內(nèi)在聯(lián)系，升華了圖形放大和縮小的本質(zhì)屬性，凸顯了六年級數(shù)學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)體系中的統(tǒng)領(lǐng)作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性。

三、思維拓展，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：學(xué)會了長方形的放大和縮小，你能按2∶1的比畫出直角三角形放大后的圖形嗎？（學(xué)生操作）你是怎樣畫的？

生：把兩條直角邊分別放大到原來的2倍。

師：直角邊放大到原來的2倍，斜邊也放大到原來的2倍嗎？可以怎樣驗證？

生：用尺量一量。

師：可以的，一起量一量。除了測量，還有其他驗證方法嗎？

生：原來的斜邊可以看作4×2長方形的對角線，現(xiàn)在的斜邊上可以找到兩個4×2的長方形，所以斜邊也放大到原來的2倍。（如圖3）

師：直角三角形的每條邊線都放大到原來的2倍，它內(nèi)部的對應(yīng)邊會怎樣變化？以斜邊中點到直角頂點的連線為例，你發(fā)現(xiàn)了什么？（出示圖4）

生1：這條連線也放大了2倍。

生2：三角形按2∶1的比放大，外面的邊線放大到原來的2倍，內(nèi)部的對應(yīng)邊也放大到原來的2倍。

師：圖形在放大或縮小時，看得見的、看不見的對應(yīng)邊都在按同樣的比放大或縮小。

圖形放大或縮小時，是不是所有對應(yīng)的邊長都同步變化呢？學(xué)生潛在的想法需要教師的設(shè)計才能呈現(xiàn)出來，教學(xué)直面學(xué)生的現(xiàn)實，既要面對能聽到的、看到的想法，還要面對他們頭腦中潛在的、尚未敞亮的想法。這里分兩個層次研究了直角三角形的斜邊和內(nèi)部邊線的放大情況，有測量，有推理，學(xué)生思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性不斷得到提升。

四、實踐運(yùn)用，提升素養(yǎng)

師：你能用今天所學(xué)的知識解決下面的問題嗎？

如皋的文廟大成殿已有四百多年歷史，是國內(nèi)罕見的全楠木結(jié)構(gòu)，坐落于如皋師范學(xué)校附屬小學(xué)校園內(nèi)。一群建筑愛好者打算制作一個大成殿模型。通過測量，大成殿主體建筑以及前面的回廊、月臺的總占地大約是一個邊長為30米的正方形。（1）在方格紙上畫出大成殿縮小后的平面圖。（每個小方格的邊長表示1米）我是按（ ）∶（ ）的比縮小的。（2）大成殿的高約12米，根據(jù)你的比制作出的大成殿模型高約（ ）米。

學(xué)以致用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本意；通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。課尾設(shè)置開放題，綜合運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的知識，自主確定合適的比畫出縮小后的圖形，有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界的意識和能力。

（作者單位：江蘇省如皋市教師發(fā)展中心）