【摘 要】除法豎式的“長相”比較特別，計算步驟比較多，學生理解算理不易，掌握算法更難。借助擬人化的方法讓除法豎式變成一座有趣的“工廠”，借助分一分、畫一畫等直觀操作使算理一目了然，借助比劃、橫式、口訣、兒歌等多元表征使算法呼之即出，借助由易到難的分層練習讓計算模型真正內化，將有助于學生在親身體驗、探究、運用中逐步建構出除、乘、減的計算模型，從而促進他們有效培育數(shù)感、運算能力、模型意識等核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】小學數(shù)學；除法豎式；建模；模型意識

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）09-0075-05

【作者簡介】馮桂群，江蘇省南通師范學校第一附屬小學（江蘇南通，226001）教師，南通師范高等?？茖W校小教研究所研究員，正高級教師，江蘇省數(shù)學特級教師。

蘇教版數(shù)學教材將“除法豎式計算”的起始課安排在二年級下冊。與加、減、乘這三種運算相比，除法豎式的計算流程最復雜——涉及除、乘、減三種運算，算理理解起來也不太容易；同時，除法豎式“長”得跟加法豎式、減法豎式完全不一樣，難以引發(fā)直接的正向遷移，這些構成了學生學習過程中的認知障礙?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：教學活動應注重啟發(fā)式，激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生積極思考， 鼓勵學生質疑問難，引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題……逐步形成核心素養(yǎng)。為了有效落實新課改理念，筆者精心創(chuàng)設循序漸進的探究情境和活動，讓學生在親身體驗、探究、運用中逐步建構“除、乘、減”三步計算模型，從而有效提升他們的運算能力、模型意識等核心素養(yǎng)。

一、激活經(jīng)驗，變式導入

師：我們先來玩?zhèn)€撥數(shù)游戲。瞧！這是計數(shù)器，誰來撥出數(shù)11？（指名一生上臺撥數(shù)）計數(shù)器上這兩個1的含義一樣嗎？為什么？

生：左邊的1在十位上，表示一個十；右邊的1在個位上，表示一個一。

師：講得真好！同樣的數(shù)字在不同的數(shù)位上，表示的數(shù)值不一樣。

師：在個位上添上一個撥珠，就得到了12。列豎式計算12-4時，要將4和12中的幾對齊，為什么？（師板演，指名一生口答）

生：4要和12個位上的2對齊，因為2和4的計數(shù)單位相同，都是一。

師：是呀，相同數(shù)位對齊，能方便地將計數(shù)單位相同的數(shù)直接相加減。所以，列加減豎式時，一定要注意相同數(shù)位——對齊。

師：老師要變魔術了！想象一下，在減號上下各添一個點，12-4就變成12÷4。計算12÷4，也可以列豎式呢！關于除法的豎式計算，你想研究哪些問題？

生1：除法豎式跟加減法豎式“長”得一樣嗎？

生2：列除法豎式也要相同數(shù)位對齊嗎？

生3：列除法豎式要注意什么？

…………

師：孩子們真善于提問！讓我們帶著這些問題一起走進今天的數(shù)學樂園吧！

約翰.D.布蘭思福特等人在《人是如何學習的：大腦、心理、經(jīng)驗及學?！芬粫兄赋觯河性S多證據(jù)表明，如果教師關注學習者帶到學習任務中的已有知識和觀念，將這些知識當作新教學的起點，并在教學過程中監(jiān)控學生概念的轉化，那么就可以促進學生學習。在上述教學中，教師借助撥數(shù)和列減法豎式，無痕地激活學生的已有學習經(jīng)驗，強調關注數(shù)位和相同數(shù)位對齊的重要性，為他們后續(xù)學習除法豎式埋下了伏筆。同時，借助有趣的數(shù)學魔術，讓學生意識到符號間的內在聯(lián)系，并自然地由減法豎式引出除法豎式，在類比中激發(fā)他們的好奇心與問題意識，使他們在主動提問中興趣盎然地步入新知探究之旅。

二、深度探究，建構模型

師（出示例3第一小題）：請看，這位媽媽是如何分蘋果的？第一個問題是什么？

生：媽媽把12個蘋果每4個放一盤，問題是“可以放幾盤？”。

師：在頭腦里想象一下分蘋果的情景，結果是多少？如何列式？

生：12÷4=3（盤）。

師：借助哪句口訣，就能直接口算出12÷4的得數(shù)？

生：三四十二。

師：除了借助乘法口訣直接口算，還可以用除法豎式來計算。不過，除法豎式“長”得跟加減法的豎式完全不同，學起來有些困難，敢于挑戰(zhàn)嗎？

生（齊）：敢！

師：仔細看，除號中的兩個點要變魔術了?。ǘ嗝襟w同步演示）這兩個點很頑皮，它們伸出彎彎的手臂，手拉手跑到除號中橫線的前方，變出了漢字“廠”！在這個神奇的豎式“工廠”里，被除數(shù)、除數(shù)和商各就其位，被除數(shù)12站在“廠”里，等待被平均分；除數(shù)4站在“廠”的左側，提醒大家要4個4個地分；而除得的商3特別頑皮，竟爬到“廠”的上面，對著被除數(shù)的個位玩起“疊羅漢”的游戲。為什么商要跟12的個位而不是十位對齊呢？

生1：因為3表示3個一，所以要跟12的個位對齊。

生2：這跟加法和減法豎式中相同數(shù)位對齊的道理是一樣的。

師：真會思考和聯(lián)想！除法豎式跟加法和減法豎式最大的共同點就是——除了除數(shù)，其他數(shù)在豎式中都要做到“相同數(shù)位對齊”，這一點大家要特別注意。除法豎式的第一步就是“除中求商”。（同步板書）

生：老師，商不是求出來了嗎？

師：真善于提問！這就是除法豎式的特殊之處。寫12÷4的除法豎式時，不僅要算出除得的商“3”，還要表示平均分時一共分掉了幾個4，最終有沒有剩余。請大家仔細觀察和思考分蘋果的過程。（多媒體動態(tài)演示將12個蘋果每4個放一盤的完整過程）

生：一共分掉了3個4，最后沒有剩余。

師：既然分掉了3個4，那一共分掉了多少個蘋果，怎么求出來？

生：一共分掉3×4=12（個）。

師：對！除法豎式的第2步就是通過“乘”求分掉的蘋果。一共12個蘋果，分掉了12個，最后剩幾個，如何算？

生：12-12=0（個），分完了，沒有剩余。

師（完善板書后得到圖1）：仔細觀察，12÷4的除法豎式包括哪三步？

生：除、乘和減。

師：這三步分別求什么？

生：通過除，求得商是3，表示3盤；通過乘，求出一共分掉12個蘋果；通過減，求出最后剩余0個，也就是無余。

師：真會總結！除法豎式比加法和減法豎式復雜，不但要注意商的個位跟被除數(shù)的個位對齊，還要按除、乘、減三步來分別求出商是幾、一共分掉幾和最后剩余幾。

借助變魔術游戲，完全陌生的豎式“臉譜”變得熟悉可親——有趣的除號瞬間變?yōu)樨Q式中的“工廠”，商跟被除數(shù)竟在“工廠”上下玩起了相同數(shù)位對齊的“疊羅漢”游戲；求出商后，還得在豎式里分別表示出一共分掉和最終剩余的數(shù)量。在動態(tài)演示、師生互動、用心觀察、縝密思考和簡潔表達的過程中，算理和算法被完美地創(chuàng)生出來，“除、乘、減”三步流程一清二楚，數(shù)學思維的嚴謹之美、邏輯之美與簡約之美也展現(xiàn)無遺。

師：如果將這12個蘋果每5個放一盤，結果怎樣？先在頭腦里想象出平均分的過程和結果，再在研究單上圈一圈、畫一畫。（學生自主圈、畫）對不對呢？一起看屏幕?。ǘ嗝襟w動態(tài)演示將12個蘋果每5個放一盤的完整過程）結合分蘋果的具體過程和圖畫，你也能用除、乘、減這三個步驟列出12÷5的除法豎式嗎？先獨立思考并完成研究單，然后在四人小組里交流，做好上臺展示的準備。

生在獨立思考與小組交流中完成如圖2所示的研究單，之后指名某小組上臺展示。

師：孩子們真能干！通過獨立思考、小組合作和全班交流，學會了有余數(shù)的除法的豎式計算。比較12÷4和12÷5的豎式，它們有什么相同點和不同點？

生1：相同點是都要按除、乘、減這三個步驟來計算。

生2：商的個位都要和被除數(shù)的個位對齊。

生3：不同點是一個無余，一個有余。

師：在第二步“乘”的時候，都是用除法豎式中的什么數(shù)相乘的？

生：“商”乘“除數(shù)”。

師：下面這首兒歌，你能迅速填寫完整嗎？

生邊拍手邊和師對口令。

師：除法豎式分幾步？

生：（除）（乘）（減），共（三）步！

師：第二步，誰乘誰？

生：（商）乘（除數(shù)），要記住！

在探究有余數(shù)的除法豎式時，教師通過開展觀察、想象、畫圖等自主探索、合作交流活動，提供填空式的思考支架，由扶到放地讓學生在類推中學會用豎式計算12÷5，感受12÷5跟12÷4在算法和算理上的一致性；之后，借助反思與總結，進一步抽象、概括算法，在說唱兒歌的過程中實現(xiàn)數(shù)學學習的趣味化表達，深入淺出地實現(xiàn)計算模型的整體建構，發(fā)展了學生的數(shù)感、運算能力、推理意識和模型意識，為他們后續(xù)學習更復雜的除法筆算打下了堅實的認知基礎。

三、分層鞏固，內化模型

師：下面，我們來玩兩個手勢游戲。聽好——將9根棒平均分成2堆，每堆幾根，余幾根？請同桌兩人在想象與合作中比劃出最終的結果。

生與同桌合作開展比劃游戲，師巡視指導，后指名回答。

生：9根棒平均分成2堆，每堆4根，最后剩余1根。

師：真不錯！我們來加大難度，聽好——將11根棒每4根一堆，分成幾堆，余幾根？合作比劃游戲開始！

生與同桌合作開展比劃游戲，師巡視指導，后指名回答。

生：11根棒每4根一堆，分成2堆，余3根。

師：孩子們比劃得好，說得更棒！那你能結合手勢游戲，用除法豎式快速求出9÷2和11÷4的結果嗎？

生獨立完成“想想做做”第1題，師巡視指導后組織交流。

師：千金難買回頭看！仔細觀察這兩個豎式，你能找出它們的共同點嗎？

生1：都是用除、乘、減三個步驟算出來的。

生2：都有余數(shù)。

生3：第二步算出的積都是8。

師：真善于觀察和表達。這兩題不僅第二步的乘積一樣，還用了同一句口訣——

生（齊）：二四得八。

師：可見，除了借助動手分一分、畫一畫和比劃手勢以外，我們還可以通過念口訣，快速求出豎式計算中第一步的商和第二步的積；在被除數(shù)較大的情況下，用口訣來求這里的商與積，會特別簡便。比如4[24]和4[25]，都可以共用哪句口訣求商？

生：四六二十四。

師：25里最多有6個4嗎？為什么不是7個4？

生：四七二十八，28超過25了，商大了。

師：念口訣求商時，不妨往上多念一句，發(fā)現(xiàn)積超過了被除數(shù)，再退回來，這就叫——進退自如。只有找對除得的商，后面的乘中求積和減中求差才能順利進行。

師：繼續(xù)變魔術！將24變?yōu)?3，23÷4還跟２4÷4和25÷4共用“四六二十四”求商嗎？

生1：不能！四六二十四，超過23了，退一步，四五二十。

生2：四五二十，商是5，乘得的積是20，減得的差是3，余數(shù)就是3。

師：真會思考！那5[30]和5[28]分別念哪句口訣，就能快速求出相應的商、積和差？獨立完成，寫出相應的橫式，并跟同桌交流。

生獨立完成后組織交流。

師：寫這兩題的橫式時，要注意什么？

生：30÷5=6，沒有余數(shù)；28÷5=5……3，要記得商后寫上余數(shù)3。

師：把剛才的注意點總結到數(shù)學兒歌里去，一起大聲說一說！

生（齊）：除法豎式分幾步？（除）（乘）（減），共（三）步！第二步，誰乘誰？（商）乘（除數(shù)），要記??！橫式得數(shù)寫清楚，無余時，只寫（商）；有余時，添（余）數(shù)，添——（余）——數(shù)！

師：你們能用所學的計算本領解決實際問題嗎？請看書上第5頁的4、5兩題，同桌兩人各選其中一題來完成，之后相互交流，做好上臺展示的準備。

…………

師：在解決有余數(shù)的實際問題時，除了要正確列豎式計算以外，還需要注意什么？

生：橫式得數(shù)中的兩個單位名稱要寫對，答句里商和余數(shù)的結果也要寫全。

師：真會反思！

在以上遞進練習中，教師先引導學生借助有趣的手勢游戲完成基礎練習，培養(yǎng)他們的合作能力，同時利用直觀操作，使直觀的算理與抽象的算法相得益彰；之后順勢引導學生用較抽象的乘法口訣直接求商和積，讓計算思路由直觀走向抽象、由感性走向理性、由具象表征走向符號表征，從而有效培養(yǎng)學生的運算能力和推理意識；最后在分工合作中學以致用，提升學生解決實際問題的能力，促進他們養(yǎng)成嚴謹解題、自覺反思的習慣。

四、拓展思路，發(fā)展模型意識和創(chuàng)新意識

師：通過今天的學習，你有哪些新的收獲？

生1：除法豎式的確有些復雜，要分除、乘、減三步。

生2：在除法豎式中，商的個位要和被除數(shù)的個位對齊。

生3：念口訣求商時可以往上多念一句，積超過被除數(shù)了就再退一步，這樣求得的商剛好。

生4：除了豎式，有余數(shù)的除法的橫式要記得寫全商和余數(shù)，解決實際問題時還要記得寫對單位名稱。

師：孩子們真是反思、總結的小達人！

師：這里有一個沒寫全的除法豎式（如圖3），你能用今天學到的本領把它補全嗎？想好一種填法就在四人小組里交流，看哪一組能想到與眾不同的思路。

小組交流后組織全班互動。

生：第二步乘積個位上是4，我想到口訣“二七十四”，如果商是7、除數(shù)是2，余數(shù)就是1，被除數(shù)就是14加1等于15。

師：真善于觀察！如果除數(shù)是7而商是2，余數(shù)可能是——

生：余數(shù)可能是1到6，那被除數(shù)就可能是15到20。

師：數(shù)感極好。除了“二七十四”，你還能想到哪幾句口訣？

…………

師：這是一道開放題，答案有很多種。孩子們課后可以繼續(xù)思考與探討。

通過組織對全課進行總結與反思，讓他們有“登高望遠”的整體感和成就感，形成“除、乘、減”三步流程的整體架構，培養(yǎng)元認知能力和學好數(shù)學的信心。之后的拓展練習創(chuàng)設了一個極其開放的思維空間，讓學生在遷移和運用中敏銳地觀察、靈活地思考、有序地表達，學會求異思維、有序思維、逆向思維等， 同時使數(shù)學教學真正進入啟智增慧、創(chuàng)新育人的美好境界。