陳月霜

（福建省廈門市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，福建 廈門 361100）

數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)文化融入高中課堂，保留學(xué)生的好奇心、提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考的同時(shí)讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的思想淵源，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯推理過(guò)程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，提升鉆研數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)邏輯素養(yǎng)、數(shù)學(xué)審美觀，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，促進(jìn)課改的快速落實(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科的“育人”功能。而數(shù)學(xué)軟件GeoGebr a是這幾年在可視化信息教學(xué)中最優(yōu)具有勢(shì)的，它的優(yōu)點(diǎn)不僅在三維圖的精致更是因?yàn)槠涑錾?D動(dòng)態(tài)演示功能，做到了函數(shù)變化與幾何圖形的一致同步，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，更是能涵蓋初等到高等數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀展示。數(shù)學(xué)文化視域下的數(shù)學(xué)軟件GeoGebr a的融入輔助教學(xué)，雙管齊下，有效縮短學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解過(guò)程，將核心素養(yǎng)中落在實(shí)處。

一、持之故，言之依，行之理

（一）發(fā)軔之始——與“學(xué)生經(jīng)驗(yàn)”初相識(shí)

執(zhí)教以來(lái)，每當(dāng)與學(xué)生進(jìn)行交流溝通時(shí)，學(xué)生所反映的數(shù)學(xué)知識(shí)的晦澀難懂和無(wú)趣、所體現(xiàn)出的對(duì)數(shù)學(xué)的抵觸情緒總讓人深思：是在哪個(gè)環(huán)節(jié)的操作脫離了教育的“初心”？要想改變現(xiàn)狀，在完成教學(xué)任務(wù)的同時(shí)如何增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、盤活知識(shí)，讓學(xué)生愛(ài)數(shù)學(xué)而不是怕數(shù)學(xué)？讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的回憶不是痛苦的學(xué)習(xí)經(jīng)歷而是有趣的、鮮活的經(jīng)驗(yàn)的累積？這樣的思考一直縈繞，像一團(tuán)霧，擋住了路。在再次對(duì)教育教學(xué)相關(guān)理論的學(xué)習(xí)中，杜威的教育經(jīng)驗(yàn)理念猶如一盞燈，照亮了前方的路：學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)有待于深化，有待于上升到理論。依照數(shù)學(xué)的學(xué)科特色，“生活中的經(jīng)驗(yàn)”與“認(rèn)知數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)”構(gòu)成了“學(xué)生經(jīng)驗(yàn)”，杜威將其細(xì)分為三種：“為何學(xué)的經(jīng)驗(yàn)”“學(xué)什么的經(jīng)驗(yàn)”“怎么學(xué)的經(jīng)驗(yàn)”。帶著這樣的認(rèn)知，在備課中有意識(shí)向這三方面進(jìn)行思考，并尋找和積累相關(guān)的教材及內(nèi)容。

（二）踵事之華——從“學(xué)生經(jīng)驗(yàn)”到“核心素養(yǎng)”的跨越

杜威認(rèn)為學(xué)生對(duì)經(jīng)驗(yàn)有連續(xù)性和發(fā)展性的特點(diǎn)，而學(xué)生的認(rèn)知思維有最近發(fā)展區(qū)，以知識(shí)的先后次序?yàn)榛?。教學(xué)時(shí)教師兼顧學(xué)生的心理邏輯和知識(shí)的層級(jí)，以學(xué)生易接受的方式展開(kāi)學(xué)習(xí)內(nèi)容。這不僅要基于數(shù)學(xué)史更要符合學(xué)生的邏輯認(rèn)知，便有了融入數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史提升學(xué)生興趣與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的想法?！鞍l(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，而對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用卻根植于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，指向?qū)W生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)一定要植根于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)?！背浞掷斫饬恕皩W(xué)生經(jīng)驗(yàn)”才能更好地實(shí)現(xiàn)“核心素養(yǎng)”的育人目標(biāo)，從“學(xué)生經(jīng)驗(yàn)”到“核心素養(yǎng)”的實(shí)現(xiàn)需要打破“已有經(jīng)驗(yàn)”，喚起學(xué)生“我要學(xué)”的欲望，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的主動(dòng)化發(fā)展；打破深根固蒂的“已有經(jīng)驗(yàn)”，通曉“怎么學(xué)”的路徑，促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的系統(tǒng)化。新課改提出通過(guò)數(shù)學(xué)史培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主義思想的目標(biāo)，而2019版的新教材在“平面向量”章節(jié)中增加移入了原來(lái)在三角函數(shù)章節(jié)中的“解三角形”，是“基于數(shù)學(xué)史實(shí)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)整體性的一次重新整合?！睌?shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)史的滲透有助于從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)到核心素養(yǎng)的跨越。數(shù)學(xué)文化的融入，不僅增加學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生有了比較愉快的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，喚起“我要學(xué)”的欲望；數(shù)學(xué)史的融入，讓學(xué)生理清或厘清了知識(shí)的來(lái)龍去脈，有了知其然并知其所以然的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史料的重構(gòu)，學(xué)生經(jīng)歷著知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，在這樣學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的驅(qū)使下，學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性被激發(fā)，成為課堂上學(xué)習(xí)的主體。

（三）滿載而歸——雙管齊下促素養(yǎng)

明確教學(xué)思路后，再繼續(xù)對(duì)數(shù)學(xué)史的滲透研究學(xué)習(xí)中接觸到HPM，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育理論，依據(jù)汪曉勤教授的四種教學(xué)方式進(jìn)行數(shù)學(xué)史的滲透教學(xué)，通過(guò)信息技術(shù)既可以發(fā)揮數(shù)學(xué)史的多種教育價(jià)值，又不增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)。信息技術(shù)與HPM的結(jié)合是一個(gè)重要的課題，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的必備品格，它遵循歷史相似性原理、建構(gòu)主義理論、有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”理論。數(shù)學(xué)軟件GeoGebr a具有動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)、便捷操作的功能特點(diǎn)，在概念教學(xué)、性質(zhì)展示、定理探究等方面充分發(fā)揮其長(zhǎng)處。在具體課堂教學(xué)中，借鑒數(shù)學(xué)歷史問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)感知數(shù)學(xué)概念的動(dòng)態(tài)情境，呈現(xiàn)形成數(shù)學(xué)概念的動(dòng)態(tài)表征；借鑒歷史重構(gòu)概念的發(fā)生過(guò)程，設(shè)計(jì)同化數(shù)學(xué)概念的視覺(jué)空間，提供強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，培養(yǎng)邏輯數(shù)理智能，兩者結(jié)合，雙管齊下，促進(jìn)直觀想象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，促進(jìn)課程改革快速落實(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能。

二、足于課堂，行而不輟，履踐致遠(yuǎn)

（一）在平面知識(shí)的融合應(yīng)用

平面，它貫穿于立體幾何的始終，從數(shù)學(xué)發(fā)展（HPM）的角度來(lái)看，在平面如何理解與定義上，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的嘗試，將其作為一個(gè)不加定義的基本概念。但是，如何更本質(zhì)的描述和理解這個(gè)概念的結(jié)果？事實(shí)上，對(duì)平面的本質(zhì)特征的認(rèn)知濃縮在刻畫平面的三個(gè)基本事實(shí)中（用三個(gè)基本事實(shí)來(lái)刻劃它的“平”、“無(wú)限延展”的基本特征，掌握確定平面的基本要素），對(duì)于這三個(gè)基本事實(shí)的理解，有益于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

例如在進(jìn)行平面的概念教學(xué)時(shí)可以進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的融入：先復(fù)習(xí)回顧、探究歷史、感知平面，滲透學(xué)科內(nèi)容之美、欣賞學(xué)科之美。通過(guò)網(wǎng)絡(luò)視頻介紹西湖（水光瀲滟晴方好，山色空蒙雨亦奇）、高原明珠——納木錯(cuò)湖，引入“平面”這一學(xué)習(xí)重點(diǎn)，感知平面，感受自然美、欣賞數(shù)學(xué)學(xué)科之美，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生的審美素養(yǎng)。應(yīng)用“平面”數(shù)學(xué)史的微視頻讓學(xué)生認(rèn)知“平面”作為一個(gè)基本的概念，不加定義而只加以描述。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的嘗試和堅(jiān)持，歷經(jīng)古希臘時(shí)期的平面定義，18世紀(jì)的平面包含式定義以及構(gòu)造性定義，19世紀(jì)末的公理化定義。人們經(jīng)過(guò)不斷研究發(fā)現(xiàn)，平面也和集合一樣，是原始概念，所以德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在其《幾何基礎(chǔ)》中就將平面作為不加定義的概念。這樣的融入讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)家迎難而上、挑戰(zhàn)自我、頑強(qiáng)拼搏的精神；領(lǐng)悟開(kāi)拓創(chuàng)新、精益求精的勞動(dòng)精神，引導(dǎo)學(xué)生健全其世界觀、豐富其歷史觀、促進(jìn)其人生觀的形成。

再如在進(jìn)行平面的性質(zhì)教學(xué)時(shí)融合應(yīng)用GGB提高核心養(yǎng)：平面的性質(zhì)抽象性比較強(qiáng)，學(xué)生較難掌握，教學(xué)時(shí)通過(guò)Geogebr a網(wǎng)頁(yè)3D幾何的直觀展示直線密鋪平面的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生得到平面的性質(zhì)：平面的3個(gè)基本事實(shí),平面的3個(gè)推論，降低知識(shí)抽象性和學(xué)習(xí)難度；同時(shí)也進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。數(shù)學(xué)軟件GeoGebr a的3D直觀展示不僅讓學(xué)生感悟模型的科學(xué)美、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容之美，激發(fā)積極的學(xué)習(xí)興趣與情感，進(jìn)行信息技術(shù)融合課堂，同時(shí)展示數(shù)學(xué)對(duì)象動(dòng)態(tài)生成的全過(guò)程，感悟運(yùn)動(dòng)之美，讓學(xué)生觀察、思考并進(jìn)行類比，感悟數(shù)學(xué)研究的方法，提升學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

（二）在圓錐曲線知識(shí)的融合應(yīng)用

希臘人很早就知道：圓柱或圓錐被平行于底面的平面截得的截線是圓。平面不平行于底面時(shí)的截線自然也就引起希臘人的注意，他們將其分為銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐，這是最早的圓錐曲線。這三種曲線是有其內(nèi)在聯(lián)系，阿波羅尼奧斯生動(dòng)的描述了圓錐曲線并研究其性質(zhì)，它們不是單純的靜態(tài)曲線而是物體運(yùn)動(dòng)的常見(jiàn)形式。如何讓學(xué)生從動(dòng)態(tài)的角度去理解這一點(diǎn)，并掌握三種圓錐線的特征和共性，讓感性認(rèn)識(shí)理性化？可以通過(guò)GeoGebr a軟件3D動(dòng)態(tài)展示生成圓與圓錐曲線的過(guò)程，體現(xiàn)這些曲線的共性；通過(guò)數(shù)學(xué)文化幫助學(xué)生在知識(shí)儲(chǔ)備、直觀感知、活動(dòng)體驗(yàn)的基礎(chǔ)上逐步建構(gòu)概念，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的良好形成。

例如在圓錐曲線復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用：先通過(guò)信息技術(shù)GeoGebr a數(shù)學(xué)軟件演示，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)截面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)得到的不同的截口曲線，再?gòu)臄?shù)學(xué)史的角度回顧三種曲線的方程發(fā)現(xiàn)過(guò)程，橢圓拋物線：y2=px，雙曲線接著引入問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)直線改變或者比值常數(shù)改變時(shí)軌跡是什么？是之前熟悉的圓嗎？將距離之比設(shè)為k，通過(guò)k值的變化我們會(huì)得到了什么？在通過(guò)數(shù)學(xué)軟件GGB構(gòu)建小程序活動(dòng)，編寫指令、更改參數(shù)k的值，通過(guò)k值的變化得到了橢圓、雙曲線和拋物線，利用軌跡跟蹤功能讓學(xué)生更加直觀和連續(xù)地觀察數(shù)學(xué)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)三維空間中的圖像進(jìn)行全面編輯展示，將三種曲線統(tǒng)一，三種曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系是圓錐曲線統(tǒng)一性的表現(xiàn)，是個(gè)性與共性的體現(xiàn)。通過(guò)k值的展示使概念的引入及定義的給出做到了銜接自然、光滑，也與學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng)。同時(shí)讓學(xué)生從整體上把握本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容與基本框架，為學(xué)生提供一個(gè)系統(tǒng)學(xué)習(xí)的構(gòu)架，積累基本活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)及在實(shí)踐中的體悟，同時(shí)深化為學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法研究問(wèn)題的基本思路與基本方法的理解。而軟件中的代數(shù)表達(dá)區(qū)與繪圖展示區(qū)的同步變化數(shù)形結(jié)合思想的最佳體現(xiàn)，學(xué)生對(duì)其理解有了最直接的實(shí)例，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累了對(duì)圓錐曲線的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，明確了為何學(xué)，同時(shí)提高了直觀想象素養(yǎng)。

（三）在橢圓知識(shí)的融合應(yīng)用

在圓錐曲線中，橢圓應(yīng)該是最早被發(fā)現(xiàn)的，教材遵循歷史發(fā)展順序?qū)⑵浞胖糜凇皥A錐曲線與方程”這一章節(jié)的第二節(jié)并在章引言中提到橢圓的起源，其內(nèi)容起到的是承上啟下的作用。但在日常生活中，學(xué)生雖對(duì)橢圓的大致形狀已經(jīng)有了一定的感性認(rèn)識(shí)，但并不清楚橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何特征，對(duì)橢圓的理性思考與認(rèn)知不足。而如何讓學(xué)生對(duì)橢圓的認(rèn)知由具體實(shí)物提升到抽象概念的核心是對(duì)橢圓進(jìn)行數(shù)量上的描述，即定量，以及性質(zhì)特征上的描述——定性。解決這個(gè)問(wèn)題可以HPM理論為依據(jù)，在橢圓起源與發(fā)展的歷史背景中通過(guò)GGB軟件模擬演示橢圓繪制過(guò)程和展示折紙成橢圓的過(guò)程，呈現(xiàn)形成數(shù)學(xué)概念的動(dòng)態(tài)表征，強(qiáng)化橢圓的概念的抽象與建立過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。借助數(shù)學(xué)史上的旦德林雙球模型抽象出橢圓的定義并研究橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何特征；將對(duì)空間幾何體圓錐橢圓的研究轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)研究橢圓，體現(xiàn)化歸思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”。

例如在橢圓定義教學(xué)中的應(yīng)用：先通過(guò)GGB軟件模擬演示橢圓繪制過(guò)程和展示折紙成橢圓的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，呈現(xiàn)形成數(shù)學(xué)概念的動(dòng)態(tài)表征，強(qiáng)化橢圓的概念的抽象與建立過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，再通過(guò)GGB軟件展示歷史上的“旦德林雙球”，通過(guò)雙球模型來(lái)研究橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何特征，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際繪制橢圓的過(guò)程、認(rèn)識(shí)橢圓上點(diǎn)的幾何特征，再根據(jù)橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件列出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，應(yīng)用軟件化簡(jiǎn)所列出的方程，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)橢圓方程的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，具有“怎么學(xué)的經(jīng)驗(yàn)”也發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。最后通過(guò)數(shù)學(xué)史料“杰尼西亞的耳朵”這一傳說(shuō)，用坐標(biāo)法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，解決傳說(shuō)問(wèn)題。這樣將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)、進(jìn)一步深化坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的思想；也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、應(yīng)用于生活的理念。

三、結(jié)語(yǔ)

悟以往，要而論之。歷史相似性原理告訴我們，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過(guò)程與數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程具有一定的相似性。由此，教師可以借助數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生的認(rèn)知障礙進(jìn)行預(yù)測(cè),能夠有針對(duì)性地制訂相關(guān)教學(xué)策略；也可以適當(dāng)選取相關(guān)的史學(xué)材料滲透到教學(xué)中，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、講清相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和概念的來(lái)龍去脈，介紹數(shù)學(xué)方法；學(xué)生了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)作用，知其然知其所謂，全面發(fā)展學(xué)生的各個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這也是HPM視角下的課堂教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。而近幾年信息技術(shù)的深度整合課堂，將可視化教學(xué)推到課改前沿，其巨大優(yōu)勢(shì)符合國(guó)家高技術(shù)高素質(zhì)人才培養(yǎng)的發(fā)展規(guī)劃，其中3D動(dòng)態(tài)軟件GeoGebr a更是在學(xué)生感知數(shù)學(xué)方面提供了非常好的環(huán)境支持，為課堂增添了活力和趣味性，提高了教學(xué)效率；在探究中使用GeoGebr a一步步將復(fù)雜的過(guò)程清晰的展示講解，提高了學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)軟件GGB，一個(gè)“古”，一個(gè)“今”，二者融合滲透，雙劍合璧,開(kāi)劈數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)新角度、新方式，實(shí)現(xiàn)課改的快速落地、數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的高效實(shí)施。