湖北省恩施州教育科學(xué)研究院 (445000) 周 威

湖南省長(zhǎng)沙市雷鋒學(xué)校 (410217) 童繼稀

一、命題靈感與創(chuàng)新

2022屆湖北省七市(州)3月聯(lián)考，備受學(xué)校和社會(huì)關(guān)注，命題質(zhì)量要求較高，而其經(jīng)典壓軸的導(dǎo)數(shù)綜合題，自然成為關(guān)注焦點(diǎn).結(jié)合近幾年的高考考查趨勢(shì)，此次聯(lián)考導(dǎo)數(shù)綜合題的多維雙向細(xì)目表設(shè)置如下：

表1 導(dǎo)數(shù)綜合題雙向細(xì)目表

那么，如何根據(jù)表中必備知識(shí)、關(guān)鍵能力要求命好這道導(dǎo)數(shù)綜合題呢？這肯定少不了高考導(dǎo)向與靈感創(chuàng)新．

1．高考導(dǎo)向下的命題靈感

首先，根據(jù)必備知識(shí)要求，從2021年新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)題中尋找靈感．

例1 (2021年新高考Ⅰ卷22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

其次，注意到2021年新高考Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)題綜合考查了含雙參數(shù)的關(guān)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，試題呈現(xiàn)如下：

例2 (2021年新高考Ⅱ卷22題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

思考到這里，雙向細(xì)目表中的“初等函數(shù)的組合、零點(diǎn)與參數(shù)范圍問題”要求，就有了命題靈感，那就是y=xlnx與二次函數(shù)的組合成一個(gè)新函數(shù)g(x)=xlnx-ax2+b+cx．

接下來的問題是考查一個(gè)參數(shù)還是兩個(gè)參數(shù)問題，以及如何確定參數(shù)a,b,c的值？考慮到文[2]中對(duì)含雙參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論的復(fù)雜性，還是選擇單參數(shù).另外，注意到對(duì)g(x)求導(dǎo)后有g(shù)′(x)=lnx+1-2ax+c，設(shè)置c=-1方便進(jìn)一步計(jì)算．同時(shí)，設(shè)置b=1，此時(shí)g(1)=-a恰好只含有參數(shù)部分．因此，新函數(shù)確定為g(x)=xlnx-ax2-x+1，從而設(shè)置試題命制初稿如下：

例3 已知函數(shù)g(x)=xlnx-ax2-x+1．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(2)試討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

2．基于“解決問題能力”的命題創(chuàng)新

在對(duì)例3第(2)問的計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，

若

若

如圖1所示，g(x)在(0,m)上單調(diào)遞減，在(m,n)上單調(diào)遞增，在(n,+∞)上單調(diào)遞減．

圖1

由g(m)=mlnm-am2-m+1=am2-m+1<0，可知g(n)=nlnn-an2-n+1有三種情況，如圖2所示，且g(n)=0時(shí)n為“隱零點(diǎn)”，n的值求不出來，這為后面的討論帶來了困難，因此這就需要對(duì)題目進(jìn)行再修改.

g(n)=0

(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，+∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)假設(shè)常數(shù)λ>1，且滿足f(λ)=0，試討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

二、試題解法分析

例4第(1)問的證明較為簡(jiǎn)單，分值設(shè)置為3分，具體證明過程如下：

結(jié)合單調(diào)性得f(x)在(1，+∞)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

例4第(2)問可以從分類討論角度進(jìn)行求解，也可以從半分離參數(shù)或分離參數(shù)的角度進(jìn)行求解，思路入口寬，即實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)綜合題兩種常用方法的考查，考查了學(xué)生在具體實(shí)踐中的問題解決能力.

解法1：(分類討論)由題意

當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=xlnx-x+1，g′(x)=lnx．令g′(x)=0，解得x=1，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)min=g(1)=0，可得g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)a=0時(shí)，y=ax圖像與φ(x)圖像有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a<0時(shí)，y=ax圖像經(jīng)過二、四象限，與φ(x)圖像無交點(diǎn)；

結(jié)合(1)可知，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，0在(1,λ)上單調(diào)遞增，在(λ,+∞)上單調(diào)遞減，如圖3所示．又

圖3

令函數(shù)φ(x)=ax2-x+1,x∈(0,+∞)．

同(1)問，可證函數(shù)f(x)在x∈(0,1)單調(diào)遞減，則h(x)min=f(x0)>f(1)=0，可得函數(shù)h(x)在(0,+∞)無零點(diǎn)．

當(dāng)a=0時(shí)，可得x∈(0,1)時(shí)，φ(x)>0，即h′(x)<0，則函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；x∈(1,+∞)時(shí)，φ(x)<0，即h′(x)>0，則函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，有h(x)min=h(1)=0，故h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)判別式Δ=1-4a的符號(hào)分情況討論．

可得函數(shù)h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．

則函數(shù)h(x)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn)；而在(1,+∞)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由極大值h(x2)的符號(hào)決定，函數(shù)h(x)圖象有圖4的3種情況如下：

圖4

三、考試結(jié)果評(píng)價(jià)與結(jié)語

結(jié)合上述命題意圖和考試結(jié)果分析，在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，依然要注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本解題技能的滲透，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生的計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化化歸能力、直觀想象能力進(jìn)行專項(xiàng)突破，對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)板塊知識(shí)做好分層教學(xué)，因材施教，使得不同思維水平的學(xué)生的得分均得到體現(xiàn)．