福建省南安第一中學(xué) (362300) 盧 陽(yáng)

河南省鄭州市春華學(xué)校 (450046) 付思琦

含參恒成立問(wèn)題因綜合性強(qiáng)，解法靈活而備受命題者青睞.筆者在教學(xué)過(guò)程中了解到學(xué)生對(duì)于參數(shù)分類依據(jù)的尋找不勝其煩，需要有較強(qiáng)的思維與觀察能力.解題時(shí)，常從已知條件中推出一些結(jié)論，這些結(jié)論就是題目的必要條件，若能再論證充分性的成立，則問(wèn)題得以解決.我們將這個(gè)方法稱為必要性探路.本文以2022年高考題為例，賞析利用必要性解題的魅力.

2022年高考Ⅱ卷與全國(guó)Ⅰ卷出現(xiàn)了兩道相同背景的含參恒成立問(wèn)題，對(duì)學(xué)生造成了較大困擾.兩題背景如下：

第一類：若函數(shù)f(x,m)≥0(m為參數(shù))在區(qū)間[a,b]上恒成立，且f(a)=0或f(b)=0，則f′(a)≥0或f′(b)≤0.

另外，將f(x,m)≥0改為f(x,m)≤0時(shí)，可類比上述等價(jià)轉(zhuǎn)化，不再贅述.

下面用反證法對(duì)第一類背景進(jìn)行證明：

其他情況證明類似，請(qǐng)讀者自行證明.上述過(guò)程用到了函數(shù)極限的局部保號(hào)性，具體可見參考文獻(xiàn)[1].并且只給出了求參數(shù)范圍的必要條件，解題時(shí)還需要對(duì)充分性進(jìn)行說(shuō)明.

一、利用必要性求參數(shù)范圍

例1 (2022年Ⅱ卷22題第2問(wèn))f(x)=xeax-ex,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<-1,求a的取值范圍.

分析：令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,于是g(x)≤g(0)=0對(duì)?x≥0恒成立.又g′(x)=eax+axeax-ex，且g′(0)=0，g″(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)-ex，則g″(0)=2a-1，于是必要條件為2a-1≤0.

②當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)=eax+axeax-ex<1+0-1=0,得到g(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，所以g(x)

例2 (2022年Ⅰ卷22題第2問(wèn))已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x,若f(x)在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

圖1

解：①當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)x∈(-1,0]時(shí)，f′(x)>0成立，所以f(x)在x∈(-1,0]單調(diào)遞增，且f(x)=0，故x∈(-1,0]時(shí)，f(x)無(wú)零點(diǎn)，舍去；

(ⅰ)當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，h′(0)=1+a<0，h(1)=e>0，故?x0∈(0,1)，使得h(x0)=0，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；又f(0)=0，且當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞，此時(shí)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，a<-1.

評(píng)析：兩題的關(guān)鍵都在于對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.例1利用端點(diǎn)函數(shù)值的特殊情況，再結(jié)合必要性探路，便可快速得到分類依據(jù)，是前面所說(shuō)的第二類背景；例2難度較大，需要對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行大致猜測(cè)，考查了學(xué)生的邏輯推理與直觀想象能力，突破口依舊是利用“f(0)=0”的特殊性和必要性探路，屬于第一類背景的變式.

除了求參數(shù)范圍外，高考和聯(lián)賽還時(shí)?？疾榍髤?shù)的取值.這類問(wèn)題依舊面臨著分類依據(jù)不易找，討論情況繁而多，解題過(guò)程雜而長(zhǎng)的特點(diǎn).如能合理利用必要性縮小討論范圍甚至直接求出參數(shù)值，那就能“化繁為簡(jiǎn)”.

二、利用必要性求參數(shù)值

例3 (2022福建預(yù)賽題)如果對(duì)任意x,y，不等式4x2+y2+1≥kx(y+1)恒成立，求最大常數(shù)k.

解：下面證明4x2+y2+1≥3x(y+1)對(duì)任意整數(shù)x,y均成立.

綜上，k最大為3.

評(píng)析：此題直接去求k的范圍，無(wú)論是直接討論還是分離參數(shù)，都顯得無(wú)從下手.若能枚舉一些特殊值代入不等式中，可得到一些必要條件，從而猜出k的最大值為3，進(jìn)而把參數(shù)范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的證明題，難度大大降低.

解：下面證明a=-π符合題意.令g(x)=xsinx+cosx+πx-π2+1,g′(x)=xcosx+π,g″(x)=cosx-xsinx.

綜上，a=-π符合題意.

評(píng)析：此題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解等能力.若對(duì)a進(jìn)行分類，需要討論①a≥0，②-π