楊叔儼

乘法分配律復(fù)雜、困難卻運(yùn)用廣泛。學(xué)生學(xué)習(xí)零散、孤立，就題教題、機(jī)械套用知識(shí)，脫離真實(shí)世界，歸納總結(jié)不充分的淺表學(xué)習(xí)，導(dǎo)致公式、概念熟記，基本題型掌握，但是稍加變式便無(wú)從下手。在“以學(xué)定教，學(xué)為中心”理念的指導(dǎo)下，我們要改變現(xiàn)狀，促成深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。從學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果分析，“深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒓河械闹R(shí)遷移到新的情境中，作出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)?！?但深度學(xué)習(xí)不是偶然發(fā)生的，教學(xué)的引導(dǎo)很關(guān)鍵。筆者將就實(shí)踐中若干促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略進(jìn)行探討。

一、系統(tǒng)研讀教材，做好整體教學(xué)

運(yùn)算定律單元編排在人教版四年級(jí)，簡(jiǎn)便計(jì)算題型隨之出現(xiàn)。學(xué)生容易誤解乘法分配律是剛學(xué)并且只用在簡(jiǎn)便計(jì)算中。這種認(rèn)知偏差，不利于乘法分配律的學(xué)習(xí)，甚至影響學(xué)生乘法豎式算理的掌握和簡(jiǎn)算意識(shí)的培養(yǎng)。布魯納強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性，任何學(xué)科的知識(shí)都是充滿關(guān)系的有機(jī)整體。它要求我們?cè)谄綍r(shí)的細(xì)節(jié)教學(xué)中，不僅要了解內(nèi)容本身的規(guī)定和含義，還要求以整體觀念為指導(dǎo)，瞻前顧后。

乘法是把幾個(gè)相同加數(shù)合并。乘法分配律和乘法結(jié)合律是把乘法再拆分，是隨著乘法出現(xiàn)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)簡(jiǎn)便的追求。二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法時(shí)就可以滲透。如：6×8=48可以看成是5×8+1×8=48，6×7+6×1=48，3×2×8=48，6×4×2=48等等。不同拆法可以溝通不同口訣之間的聯(lián)系，驗(yàn)證口訣，拓展思維。乘法分配律在解決復(fù)雜問(wèn)題的時(shí)候更能體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)，因此可以用表外乘法舉例，比如12個(gè)6相加，為了簡(jiǎn)便就合并寫成了6×12。因?yàn)?×12沒有口訣并且不太好算，所以把6×12進(jìn)行了再拆分。可以拆分成6×4+6×4+6×4，6×6+6×6，6×9+6×3，6×10+6×2等乘加混合的方式，實(shí)際運(yùn)用了乘法分配律。前兩種是均等拆分，每份的數(shù)量都一樣，因此還可以寫成（6×4）×3及（6×6）×2的連乘方式，實(shí)際運(yùn)用了乘法結(jié)合律。教學(xué)時(shí)搭配點(diǎn)子圖讓學(xué)生進(jìn)行合并和拆分，使得思考過(guò)程更加直觀，符合學(xué)生思維的階段性特點(diǎn)。二年級(jí)的學(xué)習(xí)任務(wù)是讓學(xué)生初步體會(huì)到乘法是合并，乘加混合和連乘是再拆分。經(jīng)過(guò)了再拆分，使得表外乘法也可以運(yùn)用口訣進(jìn)行計(jì)算，甚至可以使得一些計(jì)算變得更加簡(jiǎn)便。

三年級(jí)乘法豎式的原理相同，回顧二年級(jí)內(nèi)容再出示例題：14×12=？方法的一致性為學(xué)生指明了自主探究的方向，降低了遷移的難度，加深了學(xué)生的理解。如：（1）14×10+14×2（2）10×12+4×12（3）14×4×3（4）14×2×6等其中（1）、（2）的方法是兩位數(shù)乘法的原理，也是乘法分配律的重要應(yīng)用。因?yàn)闄M式是算理，先理解橫式的書寫，然后才是算法，即豎式的書寫。增加一組數(shù)字如13×11，讓學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)子圖的操作和對(duì)比，再歸納總結(jié)。三年級(jí)的學(xué)習(xí)任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拆分要根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，雙數(shù)才可以均等拆分，任意數(shù)都可以進(jìn)行非均等拆。非均等拆分更具一般性，因此豎式依托乘法分配律逐位相乘再相加成為必然，這也是三年級(jí)乘法豎式的算理根源和數(shù)學(xué)思想。

經(jīng)過(guò)鋪墊，四年級(jí)的乘法分配律教學(xué)就可以讓學(xué)生沿用一致性進(jìn)行遷移，此時(shí)不能僅停留在乘法分配律的概念和機(jī)械練習(xí)，要進(jìn)一步總結(jié)、深化，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)通過(guò)導(dǎo)圖進(jìn)行串聯(lián)。四年級(jí)的學(xué)習(xí)任務(wù)是理解乘法的再拆分中，乘加混合的一類稱為乘法分配律，連乘的一類稱為乘法結(jié)合律。等分和不等分都可以寫成乘法分配律，其中等分的情況還可以寫成乘法結(jié)合律（見圖1）。從這點(diǎn)來(lái)說(shuō)，乘法分配律包含了乘法結(jié)合律。這樣不僅深化了學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體理解，還把容易混肴的知識(shí)進(jìn)行了區(qū)別和聯(lián)系。五、六年級(jí)學(xué)習(xí)的乘法分配律只是數(shù)的范圍擴(kuò)大了，計(jì)算的原理無(wú)異，可以讓學(xué)生嘗試自主進(jìn)行方法的遷移。

教學(xué)一致性的保持，使得學(xué)生把乘法分配律和乘法結(jié)合律融入到乘法的學(xué)習(xí)當(dāng)中，從整體視角，抓住核心，建立結(jié)構(gòu)，利用遷移，學(xué)會(huì)聯(lián)系地思考問(wèn)題，舉一反三，觸類旁通，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)思維可持續(xù)發(fā)展。減負(fù)提質(zhì)增效，落實(shí)核心素養(yǎng)。

二、借助問(wèn)題情境，理解定律本質(zhì)

數(shù)學(xué)的抽象性和小學(xué)生思維的直觀性存在矛盾。生活化的問(wèn)題解決，可以調(diào)用學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和積極情感。有現(xiàn)實(shí)背景和數(shù)量關(guān)系支撐，能幫助學(xué)生更直觀地理解定律本質(zhì)。

例一：A學(xué)校有40名同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要統(tǒng)一服裝。上衣一件46元，褲子一條54元，一共需要多少錢？可以分別算出40件上衣和40條褲子的總價(jià)，再相加。即：46×40+54×40=1840+2160=4000。或先算出單價(jià)和（成套價(jià)），再乘數(shù)量。即：（46+54）×40=4000。結(jié)論：46×40+54×40=（46+54）×40。

例二：A學(xué)校有17名女生和23名男生參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，每名同學(xué)車費(fèi)25元，車費(fèi)一共多少錢？分別算出男女生的車費(fèi)，再相加。即：25×17+25×23=1000?；蛳人愠鋈藬?shù)和，再乘單價(jià)。即：25×（17+23）=1000。結(jié)論：25×17+25×23=25×（17+23）。

以上兩道題都可以用乘法分配律先合并后計(jì)算。區(qū)別是具體情境中單價(jià)（每份數(shù)）相等時(shí)，可以先求份數(shù)和再求總價(jià)；份數(shù)相同時(shí)，可以先求單價(jià)和（成套價(jià)）再求總價(jià)。抽象的定律有了現(xiàn)實(shí)背景的支撐更容易理解。借由學(xué)生最為熟悉的單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的數(shù)量關(guān)系，推廣到每份數(shù)、份數(shù)、總數(shù)的數(shù)量關(guān)系，就可以涵蓋大部分的解決問(wèn)題使用乘法分配律的情況。

例三：B學(xué)校參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)有102人，每位同學(xué)餐飲費(fèi)45元，一共要花多少錢？這道題是乘法分配律的逆用，屬于易錯(cuò)題，容易寫成：45×102=45×（100+2）=45×100+2。結(jié)合情境再與例二對(duì)比可知，單價(jià)相同時(shí)，計(jì)算總價(jià)可以根據(jù)需要把數(shù)量合并（或拆分），使計(jì)算簡(jiǎn)便。即：45×102=45×（100+2）=45×100+45×2=4500+90=4590（元）。

日常教學(xué)中更多的是學(xué)生根據(jù)問(wèn)題情境，抽象出數(shù)量關(guān)系，列出算式，通過(guò)計(jì)算算出得數(shù)，從而解決問(wèn)題，也就是說(shuō)我們的學(xué)生經(jīng)歷了太多從形象的情境到符號(hào)的提煉活動(dòng)。根據(jù)計(jì)算題編應(yīng)用題，恰恰采用了相反的策略，即從抽象的符號(hào)與算式，到具體的問(wèn)題情境，豐富了計(jì)算的內(nèi)涵，賦予了計(jì)算現(xiàn)實(shí)的意義。

例四：25×44=？①25×40+25×4：書包一個(gè)25元，第一次買了40個(gè)，后來(lái)又買了4個(gè)，一共需要多少錢？②25×40+4：書包一個(gè)25元，買了40個(gè)，后來(lái)包裝又花了4元。一共需要多少錢？③25×40×4：書包一個(gè)25元，一個(gè)班級(jí)40人，給4個(gè)班級(jí)買書包一共需要多少錢？④25×4×11：書包一個(gè)25元，一個(gè)小組4人，買11個(gè)小組一共需要多少錢？

通過(guò)編題可以讓學(xué)生把乘法分配律的模型和生活問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生理解并檢驗(yàn)運(yùn)算律。對(duì)易錯(cuò)題進(jìn)行題組編制，暴露由簡(jiǎn)單模仿造成的錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生批判性思維，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，理解運(yùn)算定律的本質(zhì)。

三、系統(tǒng)歸納總結(jié)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

簡(jiǎn)便計(jì)算貫穿始終，運(yùn)算規(guī)律紛繁復(fù)雜，學(xué)生經(jīng)常把乘法結(jié)合律和乘法分配律混肴（見上文例四）。學(xué)生學(xué)會(huì)梳理知識(shí)，建立起知識(shí)之間的聯(lián)系，能透過(guò)復(fù)雜事物的表象抓住其規(guī)律和實(shí)質(zhì)，是學(xué)生解決綜合性問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是初步建立小學(xué)生系統(tǒng)新思維，培養(yǎng)思維深刻性的關(guān)鍵。

梳理角度和方式的不同，可以幫助學(xué)生更全面、深刻地理解知識(shí)，可以適配學(xué)生的個(gè)性化需求。簡(jiǎn)便計(jì)算實(shí)際是一種思想，方法多樣，歸納可以提高學(xué)生簡(jiǎn)算意識(shí)。減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，減法都可以轉(zhuǎn)化成加法，乘除同理。學(xué)生雖然還沒有學(xué)，但是通過(guò)合情推理可知同級(jí)運(yùn)算中，數(shù)可以帶著前面的符號(hào)改變順序，可以用“同級(jí)運(yùn)算交換律”來(lái)概括加法交換律、乘法交換律，“帶符號(hào)搬家”等運(yùn)算律。同樣可以用“同級(jí)結(jié)合律”來(lái)概括加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律、減法性質(zhì)、除法性質(zhì)等，這些運(yùn)算律都是屬于同級(jí)運(yùn)算，并且都有添、去括號(hào)，逆運(yùn)算符號(hào)后面添、去括號(hào)需要變號(hào)。分類后，運(yùn)算定律從原來(lái)的5個(gè)歸納為3個(gè)，并且涵蓋了一些運(yùn)算規(guī)律。從符號(hào)角度很容易區(qū)分乘法分配律和其他運(yùn)算律，因?yàn)槌朔ǚ峙渎墒俏ㄒ豢缂?jí)的運(yùn)算定律。知識(shí)的串聯(lián)，減少了知識(shí)的冗余和記憶的負(fù)擔(dān)；自主建構(gòu)，促進(jìn)了學(xué)生的思辨，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，指向了深度學(xué)習(xí)。

深度教學(xué)關(guān)注結(jié)構(gòu)，重串聯(lián)；關(guān)注探究，重思辨；關(guān)注體驗(yàn)，重遷移。深度教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)，不是追求深和難的教學(xué)，是追求一致性和系統(tǒng)性、生活化和個(gè)性化、“減負(fù)”和創(chuàng)新的教學(xué)方式。