歐碧云

小學(xué)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)、從易到難、由淺入深的過程，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的逐步提升，建構(gòu)知識體系、內(nèi)化知識涵養(yǎng)就顯得尤為重要?；跀?shù)學(xué)單元整合的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，通過強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化特征，以單元整合的知識體系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)單元整合系統(tǒng)知識，有利于學(xué)生牢固掌握所學(xué)知識。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）重視課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，“新課標(biāo)”中有6處呈現(xiàn)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化凸顯了數(shù)學(xué)課程的整體性和一致性，有利于提高學(xué)生綜合運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力?！靶抡n標(biāo)”要求改變碎片化的教學(xué)傾向，教學(xué)時，教師應(yīng)注重梳理知識間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化。

以結(jié)構(gòu)化為特征的課程內(nèi)容并不是對課程內(nèi)容的簡單整合，而是以數(shù)學(xué)核心內(nèi)容和基本思想為主線的整合，強(qiáng)調(diào)單元的整體性，突出了數(shù)學(xué)知識在不同學(xué)段的螺旋上升。因此，結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容有助于單元整合，從而避免了碎片化教學(xué)，以單元整合為載體，突出知識的結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生建立起系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)思維，有利于提升學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維能力。

一、由點到面，建立整體意識

數(shù)學(xué)知識具有發(fā)散性，通常可以由單一的理論延伸出多個知識的分支，由點到面進(jìn)行發(fā)散。教學(xué)中，教師可以利用數(shù)學(xué)的這種發(fā)散性，通過知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將知識歸納到同一主要屬性，建立起邏輯關(guān)系，以某個知識特質(zhì)來讓學(xué)生聯(lián)系知識結(jié)構(gòu)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的整體意識。

例如，在學(xué)習(xí)運算相關(guān)的內(nèi)容時，“四則運算”是小學(xué)階段學(xué)生要掌握的一個重點內(nèi)容，而運算的對象又分為整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等，在教學(xué)與運算相關(guān)的知識點時，教師可以由“四則運算”這一要素，向外拓展延伸，將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等元素進(jìn)行聯(lián)系，通過調(diào)換題目類型，替換題目元素，讓學(xué)生以多元化的視角分析四則運算。又例如，在教學(xué)“面積”時，教師可以將其與周長以及多類圖形進(jìn)行結(jié)合，通過面積這一知識點聯(lián)系前后知識，以幾何圖形為中心建立起幾何知識結(jié)構(gòu)。通過這樣由點到面的知識拓展延伸，逐步培養(yǎng)學(xué)生的整體意識，讓學(xué)生用整體思維去思考問題，形成脈絡(luò)清晰的知識結(jié)構(gòu)。

二、化零為整，建立知識框架

數(shù)學(xué)知識的存在不是孤立的。它具有一定的整體性和系統(tǒng)性，突出表現(xiàn)在教材編寫時都強(qiáng)調(diào)知識之間的邏輯結(jié)構(gòu)。“新課標(biāo)”指出：“我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的講解時，不能只是片面的，而要注意數(shù)學(xué)知識的拓展和聯(lián)系，把部分知識點融入大的知識框架中，注意知識間的構(gòu)局和聯(lián)系，一定要把碎片化的知識融入主體當(dāng)中，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的整體。”結(jié)構(gòu)化教學(xué)原理其實非常容易理解，像“聚沙成塔，集腋成裘”一樣，將一點一滴的知識整合起來。

小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及知識結(jié)構(gòu)相對較少，大多數(shù)的分散知識點，我們可以整體看待，抓住知識間的思維連接點，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)以單元為基礎(chǔ)的知識體系，將其延伸至學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)內(nèi)容，再教會學(xué)生學(xué)習(xí)方法。將不同階段的教學(xué)內(nèi)容由零碎變?yōu)檎w，觀察每一個知識點當(dāng)中的源頭與變化，將相關(guān)知識點納入起始的知識結(jié)構(gòu)之中，實現(xiàn)新舊知識的相互融合。

教師可以嘗試將知識與生活聯(lián)系，以列式子、構(gòu)圖、列舉、假設(shè)等不同的方法來幫助學(xué)生分析問題、解決問題。例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時，總會提到一個概念，就是“單位1”，讓學(xué)生理解“單位1”的概念，教師要幫助學(xué)生建立知識框架，因為在不同的問題場景中，“單位1”會隨著題目的變化而變化，教師可以將其延伸到生活當(dāng)中，讓學(xué)生對知識的認(rèn)知得到強(qiáng)化，立足知識本質(zhì)，結(jié)合實際問題不斷進(jìn)行積累，逐步將知識體系當(dāng)中的分散知識點整合成一個整體，形成特定認(rèn)識，從而建立知識框架。

“優(yōu)化思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可謂是無處不在。例如，在計算教學(xué)中有許多“算法優(yōu)化”的內(nèi)容，在解決問題教學(xué)中也有“方法優(yōu)化”的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)廣角中有“搭配問題”“沏茶問題”“田忌賽馬”“找次品”等，都是以“優(yōu)化”為主題的綜合實踐活動。通過“優(yōu)化思想”的引領(lǐng)，也溝通了不同算法、不同方法之間的聯(lián)系，從而達(dá)到思維的結(jié)構(gòu)化。

三、整分入合，擴(kuò)展知識結(jié)構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化怎樣才能夠改變學(xué)生原來片面化、零碎的知識格局呢？筆者認(rèn)為，必須統(tǒng)領(lǐng)學(xué)生的知識面，抓住數(shù)學(xué)知識的整體，將知識揉碎再合成，讓知識變得容易理解。這一方式能有效地幫助學(xué)生在腦海中建立一個清晰明了的數(shù)學(xué)知識框架，讓學(xué)生在整體的知識框架中學(xué)習(xí)新知識。教學(xué)時，教師有意識地將題型適當(dāng)擴(kuò)展與延伸，并鼓勵學(xué)生采取不同解法，分析不同場景下采用的解題方法，幫助學(xué)生區(qū)分不同知識體系，并以結(jié)構(gòu)化思維審視、剖析不同的問題，提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時，兩位數(shù)乘兩位數(shù)在小學(xué)階段基本采用豎式乘法進(jìn)行計算，其實，是采用數(shù)的分解進(jìn)行計算，有助于學(xué)生理解算理。在計算過程中，也會用到一定的加法運算和個位數(shù)相乘計算。如24×12=（? ? ? ），以算式方法計算，可以變?yōu)?4×10+24×2，在這個過程中，其實加法和乘法就進(jìn)行了結(jié)合。相比于豎式乘法，該類運算的運用更容易讓學(xué)生理解。在將兩位數(shù)乘法與個位數(shù)乘法和加法結(jié)合的過程中，教師需要讓學(xué)生分清不同的乘法、加法法則適用的不同場景，通過幾個具體的題型進(jìn)行分析比較，引導(dǎo)學(xué)生在對知識內(nèi)化的過程中進(jìn)行剖析分解，將知識點由分到合進(jìn)行深層次剖析，加深學(xué)生對計算算理的理解，從而幫助學(xué)生構(gòu)建完善的知識體系。

又例如，在教學(xué)“多邊形面積”這一單元時，本單元的核心數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想。教學(xué)中，教師可以通過轉(zhuǎn)化思想打通各課時之間的聯(lián)系。即在教學(xué)“平行四邊形的面積”時，教師可以先通過問題“當(dāng)我們以前遇到一些未知的知識時，通常會怎么辦”？把新知識轉(zhuǎn)化成舊知識，并用已學(xué)的方法解決問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想。借助問題“你打算把該圖形轉(zhuǎn)化成什么圖形？轉(zhuǎn)化后得到的圖形和原來的圖形之間有什么關(guān)系？”從而讓學(xué)生領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想，掌握學(xué)習(xí)方法。并在學(xué)習(xí)三角形的面積計算、梯形的面積計算、圓的面積計算以及組合圖形的面積計算時，學(xué)生能夠應(yīng)用已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗和思想方法，自主探究、解決問題，逐漸構(gòu)建多邊形的面積公式之間的關(guān)系網(wǎng)，讓學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)中發(fā)展結(jié)構(gòu)性思維。

四、集散歸類，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)

同類數(shù)學(xué)知識分散在教材的不同冊次之中。教師要根據(jù)教學(xué)實際，合理調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，在同一學(xué)期中，教師可以將同類教學(xué)知識連貫在一起。這樣同類知識教學(xué)的方式可以更好地為后面的知識學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊，有利于提高課堂教學(xué)效率，促進(jìn)學(xué)生知識學(xué)習(xí)的連貫性，凸顯結(jié)構(gòu)化的教學(xué)優(yōu)勢。

例如，人教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊的第四單元“表內(nèi)乘法（一）”與第六單元“表內(nèi)乘法（二）”，二年級下冊第二單元“表內(nèi)除法（一）”與第四單元“表內(nèi)除法（二）”這幾部分內(nèi)容可以連續(xù)教學(xué)，教師不妨先跳過二年級上冊第五單元、二年級下冊第三單元的知識。這樣，將課本同類的知識結(jié)構(gòu)化的做法，不會產(chǎn)生學(xué)習(xí)的停頓。當(dāng)然，還有一種就是同類教學(xué)知識的類比思維學(xué)習(xí)，這種“類”也要教師去發(fā)掘。又例如，人教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第一單元“小數(shù)乘法”與第三單元“小數(shù)除法”，六年級上冊第一單元“分?jǐn)?shù)乘法”與第三單元“分?jǐn)?shù)除法”，將小數(shù)乘法與除法，分?jǐn)?shù)乘法與除法聯(lián)系在一起進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更系統(tǒng)，有利于幫助學(xué)生建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)。

五、統(tǒng)異互聯(lián)，構(gòu)建知識體系

數(shù)學(xué)知識具有結(jié)構(gòu)化。為此，教師需要構(gòu)建知識體系，通過有效地“聯(lián)”起來，讓學(xué)生形成對同體系知識的梳理、歸納、整理等。教師要引入知識體系的思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生在知識結(jié)構(gòu)中找到知識與知識的差異，形成有效的記憶。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生理解知識結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，構(gòu)建立體式的教學(xué)內(nèi)容，使知識呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化。

例如，在教學(xué)“圓的認(rèn)識”時，其中圓心、半徑、直徑都是知識點，教師應(yīng)設(shè)計合理的流程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系?？梢宰寣W(xué)生畫出幾個圓，并把它剪下來，將圓紙片對折再對折，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，明確圓心、直徑以及半徑，了解圓心、直徑以及半徑的概念，了解同一個或等圓直徑與半徑的關(guān)系，這樣一連串的概念教學(xué)是為了更好地加強(qiáng)學(xué)生對知識的系統(tǒng)理解，凸顯知識的連貫性。又例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，為了幫助學(xué)生掌握兩位數(shù)乘法的算法，教師嘗試聯(lián)結(jié)新舊知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)。先出示一位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，即“24×3=（? ? ? ? ?），35×6=（? ? ? ? ?）”等，并提問學(xué)生“一位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法是什么”，引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知識的學(xué)習(xí)方法，然后，再讓學(xué)生計算“24×12=（? ? ? ? ?）”，學(xué)生通過結(jié)構(gòu)化層次的計算方法，牢固掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法。

六、由碎到網(wǎng)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

小學(xué)數(shù)學(xué)四個領(lǐng)域的知識往往呈現(xiàn)螺旋式上升的編排體系，這樣的編排既符合兒童成長的規(guī)律，又符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點。但是，由于小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)跨度六年，在六年級下學(xué)期總復(fù)習(xí)時，教師需要對1～6年級的各個相關(guān)的知識點進(jìn)行整理，使碎片化的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，使點狀化的知識條理化、結(jié)構(gòu)化。

例如，“數(shù)的認(rèn)識”是以數(shù)的認(rèn)識貫穿一年級到六年級的學(xué)習(xí)的。從一年級的10以內(nèi)、20以內(nèi)、100以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識到二年級1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，再到三年級小數(shù)和分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，再到五年級小數(shù)和分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識，再到六年級的百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的認(rèn)識等。那么，如何把六年所學(xué)的各個知識點構(gòu)建成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)呢？教師可借助一條數(shù)軸來整理。

教師先出示如下幾個數(shù)，讓學(xué)生先標(biāo)在數(shù)軸上，并給這些數(shù)進(jìn)行分類。

在小學(xué)寫數(shù)的習(xí)慣上，分類的方法以數(shù)軸的上下為標(biāo)準(zhǔn)來分：習(xí)慣上是把整數(shù)寫在數(shù)軸的下面，而把小數(shù)、分?jǐn)?shù)寫在數(shù)軸的上面，所以將數(shù)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，然后再以0為分界線，把兩大類進(jìn)行二次分類，整數(shù)分成正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)分成正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。

以0為分界線分成左邊的小于0的一類、中間等于0的一類、右邊大于0的一類，共三類。小于0的為負(fù)數(shù)，大于0的為正數(shù)，而0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。這樣，把一至六年級的數(shù)的認(rèn)識都用一條數(shù)軸整理得清楚明了，既直觀看出各類數(shù)的特點，又能理解數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系與差別，形成數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生理解與掌握。

復(fù)習(xí)時，教師讓學(xué)生畫“主題樹狀圖”，主要知識章節(jié)為樹干，將各個細(xì)小的知識畫在樹梢上，從而展示整個單元的學(xué)習(xí)知識。學(xué)生根據(jù)“主題樹狀圖”進(jìn)行探討交流。把握各種細(xì)小的知識點與主要知識點的聯(lián)系，這樣的學(xué)習(xí)能夠整體感悟知識，逐步建立自己的知識體系。這樣，結(jié)構(gòu)化教學(xué)可以系統(tǒng)幫助學(xué)生掌握更加完整的知識，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，其實就是一種知識體系的整合過程，教師要探索知識的內(nèi)在聯(lián)系，用分析、比較、梳理、整合等學(xué)習(xí)方式掌握結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識。

（作者單位：福建省福清市龍?zhí)镏行男W(xué)）