江蘇省興化市第一中學 劉林

概率與統(tǒng)計專題相關(guān)的知識點錯綜復雜,又環(huán)環(huán)相扣,相關(guān)考題通常不是孤立地考查一個知識點,而是對多個知識點的綜合考查。而基于獨立性檢驗的創(chuàng)新情境問題,是新高考數(shù)學試卷中一個比較常見的題型,由此實現(xiàn)概率與統(tǒng)計的合理交匯與融合,使得各個獨立的知識點加以合理聯(lián)系,綜合考查同學們的“四基”。

一、與統(tǒng)計的交匯

例12022年是共青團建團100周年,某校組織“學團史,知團情,感團恩”知識測試,現(xiàn)從該校隨機抽取了100名學生,并將他們的測試成績按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],分為5組,得到如圖1所示的頻率分布直方圖。

圖1

(1)求圖中m的值,并估計這100 名學生測試成績的平均數(shù);(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表)

(2)規(guī)定測試成績不低于80分為“優(yōu)秀”,請將表1所示的2×2列聯(lián)表(單位:人)補充完整,求出x,y,z,并判斷是否有95%的把握認為“測試成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”。

表1

表2

解析：(1)由題意得10×(m+0.04+0.03+0.02+m)=1,解得m=0.005。

估計這100名學生測試成績的平均數(shù)=(55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73。

(2)在抽取的100名學生中,成績優(yōu)秀的學生人數(shù)為100×0.25=25,由此可得完整的2×2列聯(lián)表,如表3所示:

表3

點評:以實際應用為創(chuàng)新情境,設置獨立性檢驗為問題背景,結(jié)合統(tǒng)計中的頻率分布直方圖、樣本估計等知識,綜合考查概率與統(tǒng)計中的相關(guān)應用問題。

二、與概率的交匯

例2經(jīng)常有人說“數(shù)學學不好,物理也很難學好”,這話聽著好像很有道理的樣子,那么真實情況的確是這樣嗎? 為此,某校數(shù)學興趣小組收集了500名同學的數(shù)學成績和物理成績,記單科成績在平均分之上為優(yōu)秀,整理數(shù)據(jù)形成如圖2所示的統(tǒng)計扇形圖。

(1)根據(jù)圖2 完成表4所示的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認為數(shù)學成績與物理成績有關(guān);

圖2

表4

(2)視頻率為概率,從全校數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中隨機抽取3人,記抽取到的3 人中物理成績優(yōu)秀的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與期望。

表5

解析：(1)由題意,2×2列聯(lián)表如表6:

表6

所以X的分布列為表7:

表7

所以E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8。

點評:以實際應用為創(chuàng)新情境,設置獨立性檢驗為問題背景,結(jié)合概率中的重復獨立試驗、隨機變量的分布列與期望等知識,綜合考查概率與統(tǒng)計中的相關(guān)應用問題。

三、與其他知識的交匯

例32022年5 月以來,世界多個國家報告了猴痘病例,非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多。我國目前為止尚無猴痘病例報告。我國作為為人民健康負責任的國家,對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控提前做出部署。同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》。此《指南》中指出:①猴痘病人潛伏期5～21 天;②以往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力。據(jù)此,援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察21 天。在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大。對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后,統(tǒng)計了感染病毒情況,得到表8所示的列聯(lián)表:

表8

(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)。

(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率。現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計,求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率。

(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊,當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查。在排查期間,發(fā)現(xiàn)一戶3 口之家與確診患者有過密切接觸,這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測。每名成員進行檢測后即告知結(jié)果,若檢測結(jié)果呈陽性,則該家庭被確定為“感染高危家庭”。假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(0＜p＜1)且相互獨立。記該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為f(p)。試問:當p為何值時,f(p)最大?

表9

解析：(1)依題意知,K2=所以沒有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)。

(3)設事件B=檢測了2 名成員確定為“感染高危家庭”,事件C=檢測了3 名成員確定為“感染高危家庭”,則P(B)=(1-p)p,P(C)=(1-p)2p,所以f(p)=(1-p)p+(1-p)2p=p(1-p)(2-p),設x=1-p,則p=1-x,所以y=(1-x)x(1+x)=x-x3,求導得y′=1-3x2,令y′=0,得,此時取得最大值。

點評:以實際應用為創(chuàng)新情境,設置獨立性檢驗為問題背景,結(jié)合概率中的重復獨立試驗,函數(shù)與導數(shù)的應用等知識,綜合考查概率與統(tǒng)計中的相關(guān)應用問題。

基于獨立性檢驗創(chuàng)設的概率與統(tǒng)計專題,由于獨立性檢驗的介入,使得問題的起點相對來說比較低,同時又可以多層面設計,起伏比較大,為問題的設置與能力的考查創(chuàng)設很好的基礎(chǔ),備受各方關(guān)注,成為新高考數(shù)學試卷中概率與統(tǒng)計專題部分的一個特色與亮點。