廣東信宜教育局教研室 王位高

1.某財(cái)經(jīng)雜志發(fā)起一項(xiàng)調(diào)查,旨在預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景,隨機(jī)訪問了100位業(yè)內(nèi)人士,根據(jù)被訪問者的問卷得分(滿分10 分)將經(jīng)濟(jì)前景預(yù)期劃分為三個(gè)等級(jí)(悲觀、尚可、樂觀)。分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)及這100 位被訪問者的得分頻數(shù)分布情況如表1所示:

表1

假設(shè)被訪問的每個(gè)人獨(dú)立完成問卷(互不影響),根據(jù)經(jīng)驗(yàn),這100位人士的意見即可代表業(yè)內(nèi)人士的意見,且他們預(yù)測(cè)各等級(jí)的頻率可估計(jì)未來經(jīng)濟(jì)各等級(jí)發(fā)生的可能性。

(1)該雜志記者又隨機(jī)訪問了兩名業(yè)內(nèi)人士,試估計(jì)至少有一人預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“樂觀”的概率。

(2)某人有一筆資金,現(xiàn)有兩個(gè)備選的投資意向:物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目或人工智能項(xiàng)目,兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率都與中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)有關(guān),根據(jù)經(jīng)驗(yàn),大致關(guān)系如表2 所示(正數(shù)表示贏利,負(fù)數(shù)表示虧損):

表2

根據(jù)以上信息,請(qǐng)分別計(jì)算這兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率的期望與方差,并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)給出投資建議。

2.2021年7月18日第30屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行。為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作,將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī),經(jīng)統(tǒng)計(jì),這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0 至100之間,將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組,制成了如圖1 所示的頻率分布直方圖。

圖1

(1)求頻率分布直方圖中m的值,并估計(jì)這50 名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)。

(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)的三組中抽取了11人,再從這11人中隨機(jī)抽取3人,記ξ為3 人中成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(3)轉(zhuǎn)化為百分制后,規(guī)定成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的為A等級(jí),成績(jī)?cè)赱70,90)內(nèi)的為B等級(jí),其他為C等級(jí)。以樣本估計(jì)總體,用頻率代替概率,從所有參加生物學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人,其中獲得B等級(jí)的人數(shù)設(shè)為η,記B等級(jí)的人數(shù)為k的概率為P(η=k),寫出P(η=k)的表達(dá)式,并求出當(dāng)k為何值時(shí),P(η=k)最大?

3.根據(jù)中國(guó)海洋生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào),從2017年到2021年全國(guó)直排海污染物中各年份的氨氮總量y(單位:千噸)與年份的散點(diǎn)圖,如圖2所示。

記年份代碼為x(x=1,2,3,4,5),,對(duì)數(shù)據(jù)處理后得到表3。

圖2

表3

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,模型①y=bx+a與模型哪一個(gè)適宜作為y關(guān)于x的回歸方程? (給出判斷即可,不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果,建立y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)2022年全國(guó)直排海污染物中的氨氮總量(計(jì)算結(jié)果精確到0.01)。

4.中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽(CBA)始于1995年,至今已有28 個(gè)賽季,根據(jù)傳統(tǒng),在每個(gè)賽季總決賽之后,要舉辦一場(chǎng)南北對(duì)抗的全明星比賽,其中三分王的投球環(huán)節(jié)最為吸引眼球,三分王投球的比賽規(guī)則如下:一共有五個(gè)不同角度的三分點(diǎn)位,每個(gè)三分點(diǎn)位有5個(gè)球(前四個(gè)是普通球,最后一個(gè)球是花球),前四個(gè)球每投中一個(gè)得1 分,投不中的得0分,最后一個(gè)花球投中得2分,投不中得0分。全明星參賽球員甲在第一個(gè)角度的三分點(diǎn)開始投球,已知球員甲投球的命中率為,且每次投籃是否命中相互獨(dú)立。

(1)記球員甲投完1 個(gè)普通球的得分為X,求X的方差D(X);

(2)若球員甲投完第一個(gè)三分點(diǎn)位的5個(gè)球后共得到了2 分,求他是投中了花球而得到了2分的概率;

(3)在比賽結(jié)束后與球迷的互動(dòng)環(huán)節(jié)中,將球員甲在前兩個(gè)三分點(diǎn)位使用過的10 個(gè)籃球?qū)?yīng)的小模型放入箱中,由幸運(yùn)球迷從箱中隨機(jī)摸出5個(gè)小模型,并規(guī)定,摸出一個(gè)花球小模型計(jì)2 分,摸出一個(gè)普通球小模型計(jì)1分,求該幸運(yùn)球迷摸出5個(gè)小模型后的總計(jì)分Y的數(shù)學(xué)期望。

5.根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn),一個(gè)家庭有X個(gè)孩子的概率模型為表4:

表4

其中α＞0,0＜p＜1。每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為,且相互獨(dú)立,事件Ai表示一個(gè)家庭有i個(gè)孩子(i=0,1,2,3),事件B表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多(例如:一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩,則該家庭男孩多)

(1)若p=,求α,并根據(jù)全概率公式,求P(B)。

(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu),其中參數(shù)p受到各種因素的影響(例如:生育保險(xiǎn)的增加,教育、醫(yī)療福利的增加等)。

①若希望P(X=2)增大,則該如何調(diào)控p的值?

②是否存在p的值使得,請(qǐng)說明理由。

6.2022年9月28日晚,中國(guó)女排在世錦賽小組賽第三輪比賽中,又一次以3∶0的比分酣暢淋漓地戰(zhàn)勝了老對(duì)手日本女排,沖上了熱搜榜第八位,令國(guó)人振奮! 同學(xué)們,你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎? 其規(guī)則是:每場(chǎng)比賽采用“5局3勝制”(有一支球隊(duì)先勝3局即可獲勝,比賽結(jié)束)。比賽排名采用積分制,積分規(guī)則如下:比賽中,以3∶0或3∶1取勝的球隊(duì)積3分,負(fù)隊(duì)積0分;以3∶2取勝的球隊(duì)積2分,負(fù)隊(duì)積1分。已知甲、乙兩隊(duì)比賽,甲隊(duì)每局獲勝的概率為

(1)如果甲、乙兩隊(duì)比賽1 場(chǎng),求甲隊(duì)的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)如果甲、乙兩隊(duì)約定比賽2 場(chǎng),求兩隊(duì)積分相等的概率。

7.調(diào)查表明:甲種農(nóng)作物的長(zhǎng)勢(shì)與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x,y,z,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示不合格,1表示臨界合格,2 表示合格,再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定這種農(nóng)作物的長(zhǎng)勢(shì)等級(jí),若ω≥4,則長(zhǎng)勢(shì)為一級(jí);若2≤ω≤3,則長(zhǎng)勢(shì)為二級(jí);若0≤ω≤1,則長(zhǎng)勢(shì)為三級(jí)。為了了解目前這種農(nóng)作物的長(zhǎng)勢(shì)情況,研究人員隨機(jī)抽取10塊種植地,得到表5中的結(jié)果:

表5

(1)在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地,求抽取的兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率;

(2)從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為A,從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為B,記隨機(jī)變量X=A-B,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望。

8.已知5 只動(dòng)物中有1 只患有某種疾病,需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物。血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物,呈陰性即沒患病?，F(xiàn)有兩種化驗(yàn)方案,方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止。方案乙:先任取3 只,將它們的血液混在一起化驗(yàn)。若結(jié)果呈陽性,則表明患病動(dòng)物為這3 只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性,則在另外2只中任取1只化驗(yàn)。

(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率;

(2)ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求ξ的期望。

9.某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)大賽”,分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié),已知共有8 000名學(xué)生參加了預(yù)賽,現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本,得到如圖3 所示的頻率分布直方圖。

圖3

(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良,若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2 人,求恰有1 人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率。

(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N（μ,σ2）,其中μ可近似為樣本中的100 名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),且σ2=362。利用該正態(tài)分布,估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)不低于91分的人數(shù)。

(3)預(yù)賽成績(jī)不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①每人的復(fù)賽初始分均為100分;②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n,每一題都需要“花”掉(即減去)一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格,規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k(k=1,2,…,n);③每答對(duì)一道題加1.5 分,答錯(cuò)既不加分也不減分;④答完n道題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī)。已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.7,且每道題答對(duì)與否都相互獨(dú)立。若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績(jī),則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?

10.足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”。為了推廣足球運(yùn)動(dòng),某學(xué)校成立了足球社團(tuán)。由于報(bào)名人數(shù)較多,需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測(cè)試”來決定是否錄取,規(guī)則如圖4所示:

圖4

(1)表6是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù),以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率。為加入足球社團(tuán),該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測(cè)試”,每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立,將他在測(cè)試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為ξ,求E(ξ)。

表6

(2)社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練,從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人,接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到。記開始傳球的人為第1次觸球者,接到第n次傳球的人即為第n+1次觸球者(n∈N*),第n次觸球者是甲的概率記為Pn。

①求P1,P2,P3(直接寫出結(jié)果即可);

參考答案：

1.(1)由題意可得,在100 名被采訪者中,預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“樂觀”的人數(shù)為9+7+4=20,故若隨機(jī)訪問兩名業(yè)內(nèi)人士,至少有一人預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“樂觀”的概率

(2)由題意可得,在100 名被采訪者中,預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“樂觀”的概率為0.2;預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“尚可”的概率為;預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“悲觀”的概率為

故建議投資人工智能項(xiàng)目。

2.(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得,(0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004)×10=1,解得m=0.012,設(shè)中位數(shù)為n,則0.004×10+0.022×10+(n-60)×0.03=0.5,解得n=68。

故ξ的分布列為表7:

表7

3.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì),可知模型②適宜作為y關(guān)于x的回歸方程。

故預(yù)計(jì)2022 年全國(guó)直排海污染物中的氨氮總量為3.97噸。

記g(p)=2p3-3p2-1,則g′(p)=6p2-6p=6p(p-1)＜0,故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減。

因?yàn)間(0)=-1,所以g(p)＜0,f(p)在(0,1)上單調(diào)遞減。

因此增加p的取值,會(huì)減小,α增大,即P(X=2)增大。

所以X的分布列為表8:

表8

(2)記“甲、乙兩隊(duì)比賽兩場(chǎng)后,兩隊(duì)積分相等”為事件A,設(shè)第i場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)積分分別為Xi、Yi,則Xi=3-Yi,i=1,2。

因?yàn)閮申?duì)積分相等,所以X1+X2=Y1+Y2,即X1+X2=(3-X1)+(3-X2),則X1+X2=3。

7.(1)由題表可知,空氣濕度指標(biāo)為1的有A2,A4,A5,A7,A9,A10;空氣濕度指標(biāo)為2的有A1,A3,A6,A8。

抽取的兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個(gè)數(shù)

所以抽取的兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率

(2)由題意得,這10 塊種植地的綜合指標(biāo)如表9所示:

表9

其中長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)(ω≥4)的有A1,A2,A3,A5,A6,A8,A9,共7 個(gè),長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)(ω＜4)的有A4,A7,A10,共3個(gè),隨機(jī)變量X=A-B的所有可能取值為1,2,3,4,5,w=4 的有A1,A2,A5,A6,A9,共5 個(gè),w=3的有A7,A10,共2個(gè),這時(shí)有X=4-3=1。

所以X的分布列為表10:

表10

8.(1)設(shè)A1、A2分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次,B1、B2表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次,A表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。

9.(1)易知樣本中成績(jī)不低于60分的學(xué)生共有(0.012 5+0.007 5)×20×100=40(人),其中成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)為0.007 5×20×100=15(人)。

記“從樣本中成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人,恰有1人成績(jī)優(yōu)良”為事件C,則

(2)由題意可知,樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為x=10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,則μ=53,由σ2=362得σ≈19。

所以P(Z≥91)≈P(Z≥μ+2σ)=[1-P(μ-2σ＜Z＜μ+2σ)]≈0.022 75,由此可估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)不低于91分的人數(shù)為8 000×0.022 75=182(人),即全市參賽學(xué)生中成績(jī)不低于91分的人數(shù)為182。

(3)以隨機(jī)變量ξ表示甲答對(duì)的題數(shù),則ξ～B(n,0.7),且E(ξ)=0.7n。

記甲答完n道題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,則X=1.5ξ,所以E(X)=1.5E(ξ)=1.05n。

依題意,為了獲取答n道題的資格,甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1×(1+2+3+…+n)=0.05(n2+n)。

設(shè)甲答完n道題的最終分?jǐn)?shù)為M(n),則M(n)=100-0.05(n2+n)+1.05n=-0.05(n-10)2+105。

由于n∈N*,所以當(dāng)n=10時(shí),M(n)取最大值105,即復(fù)賽成績(jī)的最大值為105。

所以若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績(jī),則他的答題數(shù)量n應(yīng)為10。

由題意知,ξ的所有可能取值為1,2,3,則P(ξ=1)=0.6;P(ξ=2)=0.6×0.4=0.24;P(ξ=3)=0.42=0.16。

所以期望E(ξ)=1×0.6+2×0.24+3×0.16=1.56。