張祖堅(jiān)，郭 輝，王曉瑋，袁 濤，孫 裴

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

機(jī)械超材料是一種人工周期性復(fù)合材料，在其帶隙范圍內(nèi)可有效抑制彈性波的傳播，被廣泛應(yīng)用于減振降噪[1-2]、超分辨率成像[3]、波濾波導(dǎo)[4]、水聲通信[5]等方面。

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，彈性波帶隙形成遵循Bragg散射機(jī)理[6-7]和局域共振機(jī)理[8]。隨著研究的深入，超材料結(jié)構(gòu)由經(jīng)典的桿、板、體等拓展到多孔結(jié)構(gòu)。如Yao等[9]設(shè)計(jì)了一種周期性“框架-彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)，即典型的局域共振單元，該結(jié)構(gòu)可用于制作隔振板。Wang等[10-11]研究了不同孔型的聲子晶體帶隙特性，其中“十”字孔結(jié)構(gòu)的二維聲子晶體具有多個(gè)完全帶隙。Krushynska等[12]設(shè)計(jì)的由單一材料組成的具有準(zhǔn)共振Bragg帶隙超材料，其帶隙寬度和位置均能保持穩(wěn)定。而Tian等[13]在相互正交的矩形穿孔板中加入了4個(gè)螺旋孔，使得該結(jié)構(gòu)可同時(shí)打開(kāi)Bragg和局域共振帶隙。

為適應(yīng)各類復(fù)雜場(chǎng)景應(yīng)用需求，研究人員一直致力于探索超材料帶隙的調(diào)控方法，如改變?cè)Y(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、對(duì)其拓?fù)鋬?yōu)化以及引入層級(jí)結(jié)構(gòu)等以調(diào)控超材料帶隙位置、寬度等，但至今仍存在諸多挑戰(zhàn)。因此，Sun等[14-15]采用改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化了蜂窩結(jié)構(gòu)中的材料分布，可有效拓寬帶隙寬度和調(diào)控帶隙中心頻率位置。Sepehri等[16]設(shè)計(jì)了蛛網(wǎng)和雪花狀的層級(jí)結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)六角形和三角形超材料局域共振帶隙的調(diào)控。Miniaci等[17]設(shè)計(jì)了輪輻層級(jí)結(jié)構(gòu)和十字形層級(jí)多孔超材料結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)層級(jí)結(jié)構(gòu)在明顯減小整體結(jié)構(gòu)重量的同時(shí)，可額外產(chǎn)生更低頻率的帶隙。Billon等[18]通過(guò)在層級(jí)矩形板中嵌入穿孔結(jié)構(gòu)，并拓?fù)湫纬梢环N新型超材料，在該結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較寬帶隙的同時(shí)，帶隙向低頻范圍移動(dòng)；Xu等[19]設(shè)計(jì)了包含局域共振單元的層級(jí)超材料結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可將各帶隙范圍的彈性波有效衰減。

然而，盡管上述帶隙調(diào)控手段是有效的，但忽略了超材料結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)的受載情況，僅通過(guò)引入層級(jí)的方式設(shè)計(jì)超材料結(jié)構(gòu)仍存在一定局限性。因此，Bertoldi等[20-22]通過(guò)對(duì)其制作的超材料結(jié)構(gòu)施加外部載荷誘導(dǎo)出多種模式的屈曲變形，從而改變?cè)摻Y(jié)構(gòu)的帶隙特性，這為彈性波調(diào)控提供了新的思路。Shim等[23-24]針對(duì)4種周期性多孔平面結(jié)構(gòu)研究了在單軸壓縮載荷作用下彈性波的傳播特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了通過(guò)單軸張力調(diào)控泊松比和彈性波帶隙的目的。此外，孔型的排列方式也會(huì)造成結(jié)構(gòu)屈曲變形及相應(yīng)的模態(tài)變化[25-29]，Li等[30-31]對(duì)軟多孔結(jié)構(gòu)采用不同方式填充鋼柱，研究結(jié)構(gòu)在單軸載荷作用時(shí)屈曲變形對(duì)帶隙特性的影響，得到了低頻可調(diào)控的帶隙。Dudek等[32]提出了新的二維和三維微尺度的層級(jí)機(jī)械超材料，研究發(fā)現(xiàn)，改變連接元件的鉸鏈厚度時(shí)，該結(jié)構(gòu)能表現(xiàn)出可控的拉脹行為。

可見(jiàn)，施加外部載荷是調(diào)控多孔層級(jí)超材料帶隙的一種途徑，目前對(duì)穿孔結(jié)構(gòu)施加載荷作用的研究主要集中于力學(xué)性能方面。而與方形和圓形穿孔板結(jié)構(gòu)相比，橢圓穿孔板更易于打開(kāi)帶隙，不同層級(jí)間孔型的分布方式更加多樣化，且載荷引起的結(jié)構(gòu)變形可調(diào)控帶隙分布。本文基于橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)[33]建立3個(gè)層級(jí)橢圓穿孔板模型，通過(guò)對(duì)不同層級(jí)結(jié)構(gòu)的邊界施加載荷，研究不同載荷與帶隙的分布規(guī)律，以期得到更多的完全帶隙和方向帶隙。

1 彈性波理論

彈性波在超材料結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，受其內(nèi)部周期性結(jié)構(gòu)作用而形成特殊的色散關(guān)系，為表征該特殊色散關(guān)系，本文采用商用軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行了本征頻率計(jì)算分析。通過(guò)求解平衡方程，可得到頻率f和波矢k的變化曲線，即能帶結(jié)構(gòu)。彈性波在晶格特性的周期介質(zhì)中傳播時(shí)，其波動(dòng)方程如公式(1)所示：

(1)

(2)

根據(jù)Bloch定理可將位移用公式(3)表示：

u(r,t)=uk(r)ei(k·r-ωt)

(3)

式中：k為波矢；uk是與各材料參數(shù)具有相同周期的函數(shù)。采用有限元法計(jì)算，對(duì)于任意離散單元可得到公式(4)：

(K-ω2M)u=0

(4)

式中:K為結(jié)構(gòu)全局剛度矩陣;M是結(jié)構(gòu)全局質(zhì)量矩陣;u是特征向量;ω為結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率。

2 層級(jí)橢圓穿孔板超材料模型

本文設(shè)計(jì)的橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)分為三個(gè)不同層級(jí)，不同層級(jí)的幾何參數(shù)通過(guò)公式(5)～(7)進(jìn)行定義。其中，ai表示第i層級(jí)原胞尺寸，bi表示第i層級(jí)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，ci表示第i層級(jí)橢圓短半軸長(zhǎng)度，它們均按照下一層級(jí)與上一層級(jí)的比例來(lái)設(shè)定。該結(jié)構(gòu)中，填充的圓柱體半徑R=0.2ai，圖1為第一層級(jí)橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)(左側(cè))和原胞模型(右側(cè))。

圖1 橢圓穿孔板模型

(5)

(6)

(7)

上述結(jié)構(gòu)中基體為尼龍，材料參數(shù)為彈性模量E0=1.8×109Pa、密度ρ0=1 010 kg/m3、泊松比ν0=0.38，中間填充體為銅質(zhì)圓柱，材料參數(shù)為彈性模量E1=1.64×1011Pa、密度ρ1=8 950 kg/m3、泊松比ν1=0.34。第一層級(jí)中原胞結(jié)構(gòu)的尺寸為40 mm×40 mm×10 mm，包覆的銅質(zhì)圓柱塊高h(yuǎn)=10 mm，半徑R=8 mm，第一層級(jí)結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)如表1所示。

表1 原胞結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[34]，在有限元計(jì)算中，掃掠相同布里淵區(qū)時(shí)可將高度在0.1a～0.5a的三維結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為二維平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。本文將高度為0.25a的三維結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為二維平面結(jié)構(gòu)，以便于研究其面內(nèi)帶隙特性。根據(jù)表1和各材料參數(shù)建立了不同層級(jí)橢圓穿孔板模型，如圖2所示。

3 邊界載荷對(duì)帶隙的影響

基于彈性波理論和有限元法計(jì)算出各層級(jí)的能帶結(jié)構(gòu)及相應(yīng)振型，考慮到精確度和計(jì)算效率，只研究前20階振型，與之對(duì)應(yīng)的為前20條能帶。為方便觀察帶隙頻率與材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，將能帶結(jié)構(gòu)圖的縱坐標(biāo)數(shù)值通過(guò)公式(8)進(jìn)行歸一化處理。

(8)

式中：Ω為歸一化頻率；f為頻率；a為晶格常數(shù)；ct為橫波波速。

根據(jù)結(jié)構(gòu)是否受邊界載荷作用，分別用Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ表示無(wú)邊界載荷作用的第一、第二、第三層級(jí)結(jié)構(gòu)，用Ⅰ0、Ⅱ0和Ⅲ0分別表示有邊界載荷作用的第一、第二、第三層級(jí)結(jié)構(gòu)，如表2所示。

表2 層級(jí)結(jié)構(gòu)的序列

在對(duì)比分析能帶結(jié)構(gòu)和振型時(shí)，按照表2將相鄰層級(jí)分為4組：層級(jí)Ⅰ和層級(jí)Ⅱ、層級(jí)Ⅱ和層級(jí)Ⅲ、層級(jí)Ⅰ0和層級(jí)Ⅱ0、層級(jí)Ⅱ0和層級(jí)Ⅲ0。將層級(jí)結(jié)構(gòu)有無(wú)邊界載荷作用分為3組：層級(jí)Ⅰ和層級(jí)Ⅰ0、層級(jí)Ⅱ和層級(jí)Ⅱ0、層級(jí)Ⅲ和層級(jí)Ⅲ0。

3.1 無(wú)邊界載荷時(shí)帶隙計(jì)算和分析

計(jì)算得到的層級(jí)Ⅰ能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗分別如圖3(a)、(b)所示，其中灰色陰影部分表示完全帶隙，黑色陰影部分表示XM方向帶隙。從圖3(a)可知，層級(jí)Ⅰ在前20條能帶共打開(kāi)了3個(gè)完全帶隙和3個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙范圍為0.60～0.70，分布在第5、6能帶之間；第二個(gè)完全帶隙同時(shí)也是帶寬最大的帶隙分布于第6、7能帶之間，范圍是0.75～1.0。從圖3(b)可知，傳輸損耗系數(shù)在3個(gè)完全帶隙范圍內(nèi)大幅下降，3個(gè)方向帶隙范圍也均有不同程度的下降。

圖3 層級(jí)Ⅰ的帶隙特性和振型

圖3(c)對(duì)應(yīng)圖3(a)中第一個(gè)完全帶隙和最寬帶隙上、下邊界處的振型。由圖3(c)中的A1知，該結(jié)構(gòu)四個(gè)角部分可等效為局域振子，彈性波傳播過(guò)程中的能量在該區(qū)域被耗散，帶隙開(kāi)始打開(kāi)。圖3(c)中的B1顯示，此時(shí)該結(jié)構(gòu)四周邊界圍繞四個(gè)角振動(dòng)，而結(jié)構(gòu)中心基本保持靜止，彈性波隨著結(jié)構(gòu)邊界的振動(dòng)繼續(xù)傳播，帶隙關(guān)閉。圖3(c)中的C1表明，此時(shí)該結(jié)構(gòu)四個(gè)角部分圍繞四個(gè)角旋轉(zhuǎn)振動(dòng)，且結(jié)構(gòu)中心填充的銅質(zhì)圓柱體開(kāi)始小幅度振動(dòng)，該部分也可視為局域振動(dòng)，起到衰減彈性波的作用并打開(kāi)帶隙。從圖3(c)中的D1可知，該結(jié)構(gòu)四周邊界圍繞結(jié)構(gòu)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)振動(dòng)，且以邊界中心韌帶處振動(dòng)最為激烈，彈性波繼續(xù)傳播，帶隙關(guān)閉。

層級(jí)Ⅱ共有2個(gè)完全帶隙和4個(gè)XM方向帶隙，如圖4(a)所示。第一個(gè)完全帶隙分布在第4、5能帶間，范圍為0.25～0.35；第2個(gè)完全帶隙分布于第18、19能帶間，范圍為1.05～1.3。從圖4(b)可知，傳輸損耗系數(shù)在2個(gè)完全帶隙范圍內(nèi)大幅下降，并在4個(gè)方向帶隙范圍有不同程度的下降。

圖4 層級(jí)Ⅱ的帶隙特性和振型

從圖4(c)中A2可知，該結(jié)構(gòu)四個(gè)角沿著特定方向振動(dòng)，而結(jié)構(gòu)中心填充的銅質(zhì)圓柱體沿著y方向振動(dòng)，該部分振動(dòng)可等效為局域振動(dòng)，衰減彈性波的傳播，第1個(gè)完全帶隙由此打開(kāi)。當(dāng)?shù)?個(gè)完全帶隙關(guān)閉時(shí)，圖4(c)中B2和帶隙打開(kāi)時(shí)A2相反，B2中該結(jié)構(gòu)四個(gè)角和中心位置均保持靜止，而結(jié)構(gòu)邊界和韌帶沿著特定方向振動(dòng)。由圖4(c)中C2可知，最寬帶隙打開(kāi)時(shí)，該結(jié)構(gòu)的四個(gè)角、韌帶和中心位置均為靜止?fàn)顟B(tài)，而結(jié)構(gòu)邊界振動(dòng)部分可等效為多個(gè)局域振子，從而對(duì)彈性波的傳播進(jìn)行衰減。從圖4(c)中D2可知，該結(jié)構(gòu)的四周邊界和中間韌帶位置劇烈振動(dòng)，彈性波在該結(jié)構(gòu)中繼續(xù)傳播，帶隙關(guān)閉。

層級(jí)Ⅲ的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗分別如圖5(a)、(b)所示。從圖5(a)可知，層級(jí)Ⅲ只有1個(gè)完全帶隙和3個(gè)XM方向帶隙，完全帶隙分布于第18、19能帶間，范圍是0.95～1.11，在Ω=1附近層級(jí)Ⅲ的帶寬比層級(jí)Ⅰ和層級(jí)Ⅱ都小。從圖5(b)可知，彈性波不僅在完全帶隙范圍內(nèi)被大幅度衰減，在3個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)也有不同程度的衰減。

從圖5(c)的A3可知，該結(jié)構(gòu)的四個(gè)角產(chǎn)生局域共振，在歸一化頻率Ω=0.95附近，彈性波因局域共振作用而不能通過(guò)該結(jié)構(gòu)，因此帶隙開(kāi)始形成。從圖5(c)中的B3可知，連接該結(jié)構(gòu)中心的韌帶和連接該結(jié)構(gòu)四個(gè)角位置的韌帶劇烈振動(dòng)。這是因?yàn)閷蛹?jí)的增加導(dǎo)致韌帶幾何尺寸減小，使得該結(jié)構(gòu)整體等效剛度減小，而添加的銅質(zhì)圓柱體難以減弱結(jié)構(gòu)對(duì)幾何缺陷態(tài)的敏感性，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在該頻率下劇烈振動(dòng)，從而帶隙消失。

圖5 層級(jí)Ⅲ的帶隙特性和振型

通過(guò)比較層級(jí)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的能帶結(jié)構(gòu)可知，在層級(jí)增加的過(guò)程中，完全帶隙數(shù)量逐漸減少，且在Ω≤1范圍內(nèi)的完全帶隙逐漸消失。由此可知，能帶結(jié)構(gòu)會(huì)因?qū)蛹?jí)的增加而發(fā)生變化。

3.2 有邊界載荷的帶隙計(jì)算和分析

載荷引起的結(jié)構(gòu)變形可有效改善帶隙特性，為探索載荷對(duì)超材料帶隙的影響，以第一層級(jí)結(jié)構(gòu)為例，在材料的完全線彈性范圍內(nèi)，對(duì)不同層級(jí)結(jié)構(gòu)施加邊界載荷并計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)，此處邊界載荷是指在P邊界面施加的100 N均勻恒定載荷，如圖1(b)所示。在該結(jié)構(gòu)邊界受到單軸載荷作用后，為防止發(fā)生位移，把Q面的邊界條件設(shè)為固定約束。

層級(jí)Ⅰ0的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗分別如圖6(a)、(b)所示。從圖6(a)可知，層級(jí)Ⅰ0共有9個(gè)完全帶隙和6個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙范圍為0.25～0.40，分布于第2、3能帶間，帶寬最大的帶隙為0.61～0.97，分布于第7、8能帶間。從圖6(b)傳輸損耗曲線可知，彈性波在9個(gè)完全帶隙和6個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)被大幅度衰減。

圖6 層級(jí)Ⅰ0的帶隙特性和振型

根據(jù)圖6(c)的A01可知，該結(jié)構(gòu)上方兩角部分可等效為局域質(zhì)量產(chǎn)生局域共振，彈性波因結(jié)構(gòu)的局域振動(dòng)被衰減，開(kāi)始形成帶隙。由圖6(c)中B01可知，結(jié)構(gòu)中心的圓柱體向水平方向振動(dòng)，該結(jié)構(gòu)上方左右兩側(cè)振動(dòng)方向則相反，當(dāng)彈性波大于結(jié)構(gòu)本征頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)的局域振動(dòng)不足以衰減彈性波，帶隙消失。從圖6(c)中的C01可知，它與A01不同的是，該結(jié)構(gòu)上方的邊界沿著外側(cè)方向發(fā)生局部共振從而形成帶隙。而從圖6(c)中D01可知，因結(jié)構(gòu)的上邊界與連接中心質(zhì)量塊的韌帶部分有著不同方向的振動(dòng)，局域共振的作用不足以衰減彈性波傳播，此時(shí)帶隙消失。從圖6(a)可知，帶隙開(kāi)始形成時(shí)能帶大多呈平直狀態(tài)，且圖6(b)中傳輸損耗系數(shù)在帶隙范圍內(nèi)明顯下降，說(shuō)明彈性波明顯被局域共振所衰減。

層級(jí)Ⅱ0共打開(kāi)了10個(gè)完全帶隙和7個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙范圍為0.13～0.15，分布于第1、2能帶間，帶寬最大的帶隙為1.08～1.37，分布于第18、19能帶間，如圖7(a)所示。傳輸損耗系數(shù)在10個(gè)完全帶隙和7個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)大幅下降，表明彈性波在相關(guān)帶隙范圍內(nèi)可被有效衰減，如圖7(b)所示。

圖7 層級(jí)Ⅱ0的帶隙特性和振型

從圖7(c)中的A02可知，該結(jié)構(gòu)上方兩角的局部質(zhì)量沿著特定方向振動(dòng)，彈性波在傳播過(guò)程中的能量被局域振動(dòng)衰減，從圖7(a)可知，第一個(gè)完全帶隙打開(kāi)時(shí)能帶非常平直，因此說(shuō)明該結(jié)構(gòu)對(duì)彈性波群速度有明顯的衰減作用。圖7(c)中B02的振動(dòng)模式和B01類似，振動(dòng)發(fā)生在結(jié)構(gòu)中心和韌帶位置，以及結(jié)構(gòu)上方的兩角，當(dāng)彈性波頻率大于該結(jié)構(gòu)的本征頻率時(shí)，因局域共振的作用逐漸減弱，彈性波隨著結(jié)構(gòu)的振動(dòng)繼續(xù)傳播，導(dǎo)致帶隙關(guān)閉。對(duì)于圖7(c)中C02，由于引入層級(jí)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)部邊界數(shù)量增加，彈性波在該周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，部分彈性波在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的邊界發(fā)生反射，與入射的行波發(fā)生相互作用，從而產(chǎn)生布拉格帶隙。從圖7(c)中D02可知，該結(jié)構(gòu)下邊界因施加固定約束保持靜止，而其余邊界和左右兩側(cè)的韌帶振動(dòng)模式與圖5(c)中D2類似，彈性波因結(jié)構(gòu)的振動(dòng)向下一個(gè)周期單元繼續(xù)傳播，因此帶隙消失。

層級(jí)Ⅲ0的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗曲線如圖8(a)、(b)所示。從圖8(a)可知，層級(jí)Ⅲ0共有11個(gè)完全帶隙和6個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙為0.18～0.20，分布于第1、2能帶間，帶寬最大的帶隙為1.01～1.16，分布于第18、19能帶間。從圖8(b)中傳輸損耗系數(shù)大幅下降可知，彈性波在11個(gè)完全帶隙和6個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)均被有效衰減。

圖8(c)中A03振動(dòng)模式和圖7(c)的A02相同，只有作為局部質(zhì)量的兩角位置發(fā)生振動(dòng)，彈性波因局域振動(dòng)被衰減。圖8(c)中B03的振型和圖8(c)中B02類似，在結(jié)構(gòu)的中心和上方角位置處產(chǎn)生振動(dòng)，彈性波隨著結(jié)構(gòu)振動(dòng)繼續(xù)傳播。由圖8(c)中C03和D03振型可知，當(dāng)彈性波在傳播過(guò)程中引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)，因入射波和反射波相互作用，從而打開(kāi)帶隙；當(dāng)反射波的頻率、相位和入射波不同時(shí)，布拉格散射作用減弱直至消失，帶隙隨之關(guān)閉。

圖8 層級(jí)Ⅲ0的帶隙特性和振型

根據(jù)上述分析可知，邊界載荷引起的結(jié)構(gòu)變形可改變其本征頻率，并可將簡(jiǎn)并態(tài)能帶打開(kāi)形成帶隙。以層級(jí)Ⅱ、層級(jí)Ⅲ的第5、6條能帶為例，由圖4(a)、圖5(a)可知，無(wú)載荷作用時(shí)第5、6條能帶在X點(diǎn)發(fā)生“簡(jiǎn)并”，即在X點(diǎn)處彈性波能量相同但對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的本征頻率。在施加載荷作用后，由圖7(a)、圖8(a)可知，第5、6條能帶簡(jiǎn)并態(tài)消失從而形成帶隙，同時(shí)在其他XM方向打開(kāi)了多個(gè)方向帶隙。

另外，由圖2可知層級(jí)的增加造成結(jié)構(gòu)邊界面的橫截面積減小，以及結(jié)構(gòu)內(nèi)韌帶部分幾何尺寸減小，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體等效剛度減小，因此結(jié)構(gòu)本征頻率下降。若用ωn+1、ωn分別表示第n(n≤19)個(gè)帶隙上、下邊界的頻率，ωc=(ωn+1-ωn)/2表示帶隙中心頻率，由圖6(a)、圖7(a)和圖8(a)可知，總體上帶隙中心頻率均下降。而在施加載荷作用后，層級(jí)Ⅰ0、層級(jí)Ⅱ0和層級(jí)Ⅲ0打開(kāi)的完全帶隙數(shù)量明顯增多；在Ω≤1范圍內(nèi)，層級(jí)Ⅱ0、Ⅲ0最寬帶隙如圖7(a)和圖8(a)藍(lán)色陰影部分所示，很明顯，隨著層級(jí)的增加該范圍內(nèi)最寬帶隙的帶寬在逐漸減小。從圖6(b)、圖7(b)和圖8(b)的傳輸特性曲線可知，在帶隙范圍內(nèi)傳輸損耗系數(shù)均小于-150 dB，說(shuō)明對(duì)該結(jié)構(gòu)施加載荷作用可有效衰減彈性波的傳播。

圖9表示第一層級(jí)結(jié)構(gòu)的帶隙在不同邊界載荷作用下的變化，從圖中可知，在載荷增大的過(guò)程中，完全帶隙的數(shù)量在逐漸減少。另外，在載荷增大的過(guò)程中，帶隙上邊界的頻率幾乎不變，而帶隙下邊界的頻率則不斷增大，因此第一個(gè)完全帶隙和最寬帶隙的帶寬隨著載荷的增大而逐漸減小。通過(guò)上述結(jié)果可知，合理施加邊界載荷，可改善帶隙特性。

圖9 帶隙寬度隨不同邊界載荷的變化關(guān)系

4 結(jié) 論

通過(guò)研究不同層級(jí)橢圓穿孔板超材料在有無(wú)邊界載荷情況下的帶隙特性、傳輸損耗及相關(guān)振型變化，發(fā)現(xiàn)在結(jié)構(gòu)邊界施加載荷后可使能帶結(jié)構(gòu)和振型發(fā)生明顯變化，從而得出以下結(jié)論：

1)在結(jié)構(gòu)不考慮邊界載荷作用的影響時(shí)，通過(guò)引入層級(jí)設(shè)計(jì)，增加層級(jí)數(shù)量可降低帶隙的頻率，實(shí)現(xiàn)對(duì)低頻彈性波的有效抑制。

2)在考慮邊界施加載荷作用的影響時(shí)，層級(jí)橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)并態(tài)能帶被打開(kāi)且“拉直”成平帶，可打開(kāi)更多的方向帶隙及增大方向帶隙的帶寬，有利于在更寬頻率范圍內(nèi)抑制特定方向的彈性波傳播。

3)在超材料結(jié)構(gòu)的多個(gè)區(qū)域形成局域振子，可增加彈性波傳播過(guò)程中的能量耗散。引入層級(jí)設(shè)計(jì)并施加一定邊界載荷是抑制彈性波傳播的有效途徑。

值得說(shuō)明的是，不同邊界載荷對(duì)超材料結(jié)構(gòu)力學(xué)性能及帶隙特性的影響程度不同，本文研究?jī)H限于完全線彈性變形階段，因此，多種類型的載荷作用情況下超材料結(jié)構(gòu)的剛度和泊松比的變化情況值得進(jìn)一步研究討論。此外，還可采用合適的拓?fù)鋬?yōu)化方法來(lái)拓寬低頻范圍的帶隙寬度，以便于實(shí)際工程應(yīng)用。