徐國棟，張丹蕾，徐振東

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001

脈沖星的發(fā)現(xiàn)對天文物理具有里程碑意義，1967年Hewish等［1］發(fā)現(xiàn)了第一顆脈沖星，其后不久又有多顆脈沖星被天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了一波脈沖星探測的高潮。由于觀測到脈沖星信號具有穩(wěn)定的周期及良好的長期穩(wěn)定性，1974年Downs［2］提出了基于射電脈沖星的導(dǎo)航方法。經(jīng)過30年的研究發(fā)展，2004年ESA報告分析了脈沖星導(dǎo)航基本原理及信號模型，并闡述了系統(tǒng)的工程可實現(xiàn)性［3］。2005年美國馬里蘭大學(xué)Sheikh［4］在其博士論文中提出了一套脈沖星信號到達時間（Time of Arrival， TOA）的精確轉(zhuǎn)換模型，建立了適用于X射線脈沖星自主導(dǎo)航的數(shù)學(xué)模型，從而形成了基于X射線脈沖星自主導(dǎo)航的基礎(chǔ)理論。

2017年美國國家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration， NASA）將NICER探測器安裝在國際空間站上，開展了在軌演示X射線毫秒脈沖星導(dǎo)航技術(shù)試驗與驗證工作，通過對多個毫秒脈沖星的觀測，評估X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)的實時軌道確定精度，在觀測脈沖星8 h后，自主導(dǎo)航系統(tǒng)的精度達到5 km［5］。NASA空間發(fā)展規(guī)劃同時制定了X射線導(dǎo)航技術(shù)發(fā)展的短期與長期目標，其長期目標為利用毫秒級脈沖星實現(xiàn)航天器星際導(dǎo)航，導(dǎo)航性能為在高動態(tài)環(huán)境下小于10 km的定位精度，在低動態(tài)環(huán)境中實現(xiàn)幾百米的定位精度。

中國也于2004年展開了對脈沖星導(dǎo)航技術(shù)的全面研究，并在航天器自主導(dǎo)航領(lǐng)域快速推進，于2011年實施了脈沖星導(dǎo)航技術(shù)研發(fā)創(chuàng)新管理［6］，重點對X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)進行了系統(tǒng)的研究。中國空間技術(shù)研究院、中國科學(xué)院高能物理研究所、國防科技大學(xué)、西安電子科技大學(xué)以及哈爾濱工業(yè)大學(xué)等單位均開展了X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)的研究，發(fā)展十分迅速。

在X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)試驗方面，2016年中國發(fā)射了專用試驗衛(wèi)星（X-ray Pulsar-based Navigation-1， XPNAV-1）［7］，由中國空間技術(shù)研究院研制，主要任務(wù)是開展X射線脈沖星在軌觀測，驗證X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)［8］。2017年中國第1顆硬X射線天文衛(wèi)星“慧眼”（Hard X-ray Modulation Telescope， HXMT）成功發(fā)射，開展了X射線脈沖星導(dǎo)航的在軌試驗，對著名的蟹狀星云脈沖星進行了約5 d的觀測，可實現(xiàn)10 km的位置定位精度［9-10］，進一步驗證了航天器利用脈沖星自主導(dǎo)航的可行性，為未來深空應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

雖然驗證了X射線脈沖星導(dǎo)航原理的技術(shù)可行性，但在實際應(yīng)用中還存在著很多約束條件。對于導(dǎo)航應(yīng)用，特別是空間應(yīng)用，導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度、體積重量功耗是決定它是否適用的關(guān)鍵因素。脈沖星信號能流密度極低，收集脈沖星信號能量所需要的時空尺度很大，使得脈沖星導(dǎo)航接收機的體積在物理上難于小型化［11-13］，其輕型化設(shè)計幾乎成為脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用的唯一選擇。在已有GPS接收機為參考的情況下，脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用的范圍非常有限。

由于深空探測無法利用GPS進行導(dǎo)航定位，使得脈沖星導(dǎo)航定位的優(yōu)勢得以體現(xiàn)，而實現(xiàn)脈沖星導(dǎo)航定位的必要條件是實現(xiàn)脈沖星信號的TOA處理。主要包括基于最大似然的參數(shù)估計［14］，基于頻譜的脈沖星信號辨識［15-16］，基于互相關(guān)和最大似然估計的弱信號檢測［17］，以及信號相關(guān)法［18］等。這些處理方法或是利用時域性質(zhì)獲取脈沖星信號的到達時間，或是利用頻域參數(shù)獲取時間參數(shù)信息，但信號處理的類型不多，基本是信號與信息處理的一些傳統(tǒng)方法。由于信號在頻域的相位信息反映了信號在時域的延時，而信號到達時間的特征是峰值或波谷相對時延，并且頻域不用模板匹配處理，因此本文采用信號頻域處理提取脈沖星信號的到達時間參數(shù)。

在合理的時空尺度約束條件下，脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)必然面臨著極低信噪比、并且定位精度應(yīng)滿足使用要求的挑戰(zhàn)［11-13，19-22］，而迎接這種挑戰(zhàn)，必須在脈沖星信號處理方面取得突破。

本文探討分析了脈沖星信號的特點，基于傅里葉分析、信號與信息處理等理論，提出采用脈沖星特征頻率信號處理獲得TOA的方法，證明了特征頻率信號處理為最佳匹配濾波，為任意脈沖星信號的最佳處理提供了理論依據(jù)?；诟呔壤走_原理，提出了脈沖星信號的寬帶處理技術(shù)，利用脈沖星信號的特點，提高了TOA的估計精度，探索了高精度脈沖星導(dǎo)航的技術(shù)途徑。

1 脈沖星信號處理

1.1 脈沖星信號到達時間（TOA）估計

對TOA的估計，可分為時域及頻域處理。從信號形式上看，有脈沖星信號觀測輪廓積累和光子到達時間TOA估計2種。由于脈沖星信號能流密度極低，以最強的Crab脈沖星信號作為參考，在X射線頻段其能流密度也不過約1 ph/（s·cm2）（ph為光子photons縮寫）［4］，1 m2面積的探測器在1 s時間內(nèi)所接收的光子數(shù)約1×104個，每個脈沖星信號周期獲得的平均光子數(shù)約為300個，因此幾乎不可能觀測到連續(xù)的脈沖星信號波形，無法直接測量脈沖星信號的TOA，其脈沖星信號波形主要是利用信號的周期性通過多周期統(tǒng)計積累獲得。

基于脈沖星觀測輪廓的TOA估計方法以恢復(fù)脈沖星輪廓為基礎(chǔ)，通過將積累得到的觀測輪廓與標準模板輪廓進行對比，從而實現(xiàn)對TOA的估計。目前，基于輪廓的TOA估計主要在時域進行，采用優(yōu)化理論進行求解，其脈沖星信號輪廓一般采用歷元折疊統(tǒng)計獲得。歷元折疊的基本思想是：將觀測時間段內(nèi)所有的光子時間標簽按脈沖星信號周期取模，并將周期量化為多個時間片段，統(tǒng)計每個時間片段內(nèi)的光子數(shù)目，利用統(tǒng)計直方圖近似獲得脈沖星信號的輪廓。

通過多周期的信號積累對信號進行估計，基本條件是信號已按周期對準，或相位對準。圖 1給出了n個周期脈沖星信號，每個周期再量化為m個間隔進行折疊統(tǒng)計的示意圖。

圖1 脈沖星信號的周期折疊統(tǒng)計Fig. 1 Pulsar signal statistics in epoch folding

觀測到的脈沖星信號x(t)可以表示為x(t)=s(t)+n(t)，其中s(t)為理想信號，或用模板信號近似，n(t)為噪聲。其離散形式表示為

在最大似然準則下，對參數(shù)的最佳估計為

式中：μm與σm分別是信號的均值與方差。顯然多周期信號相同相位采樣值的均值與脈沖星信號的真值最接近，而方差則反映了噪聲的大小。觀察均值信號可以發(fā)現(xiàn)，脈沖星信號波形特征隨著n的增加逐漸清晰，當n≥Ns時（其中Ns為模板統(tǒng)計所用的周期數(shù)），其均值信號波形即為脈沖星信號波形，并可作為所謂的脈沖星信號模板使用。一種合理的假設(shè)是，因為從時間分布看，噪聲出現(xiàn)的機會是均等的。

對于脈沖星模板信號，s(t)=μm，則對信號實現(xiàn)最佳檢測的是匹配濾波器：

其匹配濾波器輸出為

式中：R(t)為自相關(guān)函數(shù)；N(t)為輸出噪聲；τ為時移量。匹配濾波器的輸出具有最大的信噪比，可實現(xiàn)最佳的信號檢測。同時匹配濾波器也是相關(guān)器，即最佳檢測是理想的脈沖星信號模板與采樣信號之間進行的相關(guān)處理。當t=0時自相關(guān)函數(shù)即為信號功率：

匹配濾波器輸出的信噪比為

式中：N0為接收機噪聲因素；Bn=為噪聲帶寬，f為頻率，f0為最大響應(yīng)幅值處的頻率；Ts為環(huán)境溫度；k為波茲曼常數(shù)。

經(jīng)過多周期平均，獲得了脈沖星信號的最大似然估計，其波形特征漸進逼近模板波形；經(jīng)過匹配濾波器處理，獲得最大信噪比輸出時刻，即可獲得TOA觀測值。直接從多周期平均信號中獲取TOA參數(shù)（例如峰值測量），其信噪比要低于匹配濾波器輸出的信噪比，因此采用匹配濾波處理也是一種最優(yōu)參數(shù)估計方法。

由于多普勒效應(yīng)、脈沖星信號周期變化、引力延時等因素影響，多周期積累信號中的每個周期信號相位也有一定變化，因此需要對每個周期信號的相位進行修正補償，才能獲得質(zhì)量良好的信號積累波形，以便在其后的處理中獲得最大的匹配輸出信噪比。顯然，要實現(xiàn)對上述因素的補償修正，需要知道準確的時間、空間及速度信息，但在沒有匹配輸出TOA時刻之前，要獲得這些信息也是不現(xiàn)實的。

另一方面，先進行匹配處理再進行相位修正補償，則由于輸入信號的信噪比太差，信號完全沒有波形特征，造成匹配濾波器處理處于嚴重的失配狀態(tài)，其輸出信噪比也非常低，也無法進行準確的TOA觀測，再進行信號積累仍然存在較大的相位偏差。

根據(jù)Sheikh［4］的分析，脈沖星信號到達時間TOA的精度為

式中：W為脈沖星信號的等效脈沖分量時寬；SNR為信噪比。信噪比用信號脈沖分量計數(shù)與噪聲方差計數(shù)表示為

式中：NSpulsed為脈沖部分光子計數(shù)；σnoise為噪聲計數(shù)方差；NB為背景噪聲計數(shù)；NSnon-pulsed為非脈沖部分光子計數(shù)；下標duty-cycle表示工作周期。因此有

對于Crab脈沖星信號，采用1 m2探測器，信號脈沖分量的光子計數(shù)每秒不超過NSpulsed=1.54×104×10%，則σTOA≥0.012W。Crab脈沖星信號的W=1.67 ms，因此σTOA≥21 μs，等效定位誤差>6 km，這也是在沒有背景噪聲下利用Crab脈沖星能夠?qū)崿F(xiàn)的最好定位精度?？紤]到噪聲光子計數(shù)大約是有效信號光子計數(shù)的10倍左右，則定位誤差在20 km以上。

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，通常選擇可用于導(dǎo)航應(yīng)用的脈沖星，例如毫秒級脈沖星，其信號能流密度一般<10?4ph/(s·cm2)量級，比Crab脈沖星低了4個量級，更難獲得高信噪比信號，因此僅靠傳統(tǒng)的信號處理方法實現(xiàn)脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用是非常困難的。

1.2 脈沖星信號特征頻率

周期的脈沖星信號可以用傅里葉級數(shù)分解成一系列的諧波分量，包括直流分量，基頻分量及高次諧波分量。其中直流分量不包括脈沖星信號的任何信息，而基頻分量的周期與脈沖星信號周期相同，定義為脈沖星信號的特征頻率信號。特征頻率信號的幅度與脈沖星信號存在固定的比例關(guān)系，通常超過10%；特征頻率信號的相位與脈沖星信號的峰值、TOA或其他信號特征也具有特定的時序關(guān)系。因此，獲得了特征頻率信號的相位，也就獲得了TOA的信息，進而可以用于導(dǎo)航定位。

背景噪聲具有與脈沖星信號相同或相近的X射線光子譜段，其噪聲幅度分布與脈沖星信號幅度也具有特定的比例。在探測器中，超過檢測門限的X射線光子信號被記錄，被量化為1 bit的數(shù)字信號，其量化輸出為

式中：Q[·]表示量化運算；n(t)為噪聲；ε(t)包含量化噪聲及背景噪聲，也包括了除特征頻率信號s(t)之外的其他諧波分量。

脈沖星特征頻率信號可以表示為離散復(fù)余弦形式：

式中：A為特征頻率信號的復(fù)振幅；n為采樣序號；N為離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， DFT）采樣數(shù)；k為離散傅里葉變換后頻域信號分量序號；kf表示特征頻率信號在N采樣點中變化的次數(shù)。

將1 bit量化的信號x(t)進行DFT處理，則有

式中：X(k)為特征頻率信號的頻域表達形式，其均值與方差分別為

特征頻率信號功率為

其信噪比為

通過X(k)獲得特征頻率信號的相位信息，其相位誤差為

式中：|·|表示取模；ΔX為相位誤差引入的頻譜幅值誤差，因此有

相位觀測誤差σφ與時間觀測誤差σt具有如下關(guān)系：

式中：fs為特征頻率信號頻率，因此有

其中：Ts為特征頻率信號周期；Tp為脈沖星信號周期；且有Ts=Tp?？梢姇r間觀測誤差與采樣點數(shù)N的平方根成反比，與信噪比SNR的平方根成反比。

由于X射線光子信號的特點，信號光子與噪聲光子在能量幅值上沒有量級上的差別（或信號功率與噪聲功率沒有量級的差別），都可以被探測器以單光子能量進行檢測，無論是信號還是噪聲，只要超過檢測門限即可輸出。在1 bit量化條件下，信號與噪聲同時出現(xiàn)時被量化為信號，而無信號時出現(xiàn)的噪聲被量化為噪聲，因此信噪比的差別主要反映在光子計數(shù)方面的差別。在一定背景下，信噪比及信號周期均為定值，能夠改善測量精度的參數(shù)是采樣點數(shù)。

時間觀測精度與采樣點數(shù)的平方根成反比是特征頻率信號處理的重要特點，增加處理時間可以增加采樣點數(shù)，從而提高測量精度，但在不增加測量時間的條件下通過提高采樣率增加采樣點數(shù)，提供了一種更加吸引人的改善測量精度的技術(shù)途徑，這就是脈沖星信號的過采樣處理。

脈沖星特征頻率信號處理不能提高信號增益，但它改善了噪聲特性，減小了噪聲方差，因此提高了信噪比，其綜合處理增益提高10lgNdB，時間觀測精度提高N倍。

利用脈沖星特征頻率信號估計TOA，其精度依賴于相位估計誤差σφ。特征頻率信號即為正弦信號，而對正弦信號相位估計的克拉美-羅界（Cramer-Rao Bound，CRB）為當N?1時，克拉美-羅界可表示為。對于實余弦信號，其信號幅值是式（11）復(fù)余弦形式的一半，則式（17）給出的相位估計誤差可表示為

因此，采用特征頻率信號相位對TOA進行估計時，與理想的克拉美-羅界相差3 dB。當采樣數(shù)N≥100時，用特征頻率信號對克拉美-羅界的估計偏差<1.5%。圖 2給出了特征頻率TOA估計方差與克拉美-羅界與采樣數(shù)N的關(guān)系。

圖2 特征頻率TOA估計方差與克拉美-羅界對比Fig. 2 TOA estimation deviation for characteristic fre?quency vs CRB

提高采樣序列長度N有2種方法：一方面是提高采樣率；另一方面是增加采樣時間。RXTE衛(wèi)星獲得的Crab脈沖星數(shù)據(jù)，其時間粒度是100 μs，對應(yīng)10 kHz的采樣率，1 s時間內(nèi)有104次采樣，將采樣率提高到100 MHz，則序列長度為108量級。如果增加采樣時間使序列長度增加到108量級，則需104s的時間采樣，接近2.8 h。從應(yīng)用角度看，提高采樣率是一種可行的方法，在100 MHz采樣率內(nèi)是可以實現(xiàn)的。如果將X射線探測器輸出的脈沖信號以1 bit量化為光子計數(shù)方式采樣，則可用FPGA器件直接對脈沖信號進行檢測，而高速FPGA處理1 GHz的脈沖信號已是成熟技術(shù)，實現(xiàn)100 MHz的采樣處理具有較大的設(shè)計余量。

脈沖星特征頻率信號處理是一種與脈沖星信號波形特征無關(guān)的最佳匹配濾波方法，最佳匹配濾波保證了信號處理可以獲得最大信噪比，對提高信號到達時間TOA的觀測精度具有最優(yōu)的性能，而與脈沖星信號波形特征無關(guān)的特點，極大擴展了脈沖星信號選擇的范圍，也簡化了信號處理系統(tǒng)，為快好省發(fā)展方向提出了一種可行的技術(shù)途徑。

從頻域上看，信號功率譜密度主要為低頻分量，噪聲功率譜密度為常值，如圖 3所示。

圖3 脈沖星信號與噪聲功率譜Fig. 3 Pulsar signal with noise power spectrum

因此有

式中：N0為白噪聲功率譜密度；B為噪聲帶寬；Pm為信號功率譜峰值。

在白噪聲情況下，信噪比小于信號功率譜密度最大值鄰域內(nèi)的信號功率譜密度與噪聲功率譜密度之比。由此可見，如果將信號功率譜最大值對應(yīng)的頻段內(nèi)信號濾波處理出來，則可以獲得最大的信噪比輸出。

對于周期的脈沖星信號，l次諧波分量的信噪比可表示為

式中：Al為l次諧波分量幅值；ΔBl為頻域單位帶寬。濾除直流分量及高次諧波分量，則前L次諧波分量信號的總信噪比為

在特征頻率處，信號具有最大的幅值，其功率密度也為最大值，通過傅里葉分析可以獲得特征頻率信號分量，因此采用特征頻率信號將給出最大的信噪比。根據(jù)式（23）可有

式中：下標lf表示特征頻率。信噪比最大，意味著對相位精度的估計精度高，其定位精度也會提高。由于采用特征頻率信號可以獲得最大的信噪比，因此特征頻率信號的TOA估計也是最佳估計。

2 仿真分析

2.1 脈沖星特征頻率信號的TOA處理

脈沖星特征頻率信號具有與原脈沖星信號相同的周期，脈沖星信號的峰值特征點對應(yīng)的時刻與脈沖星特征頻率信號的過零點時刻具有確定的時間延時，檢測到特征頻率信號的過零點時刻，也即確定了脈沖星信號的到達時間TOA。將脈沖星信號經(jīng)過離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT）處理后，提取特征頻率信號，對特征頻率信號進行逆離散傅里葉變換（Inverse Discrete Fourier Transform， IDFT），再檢測特征頻率信號的過零點。由于過零點時刻與TOA具有確定的關(guān)系，因此也可以認為過零點時刻即為TOA。

特征頻率信號過零點時刻，與特征頻率信號相位是等價的。在頻域的相位信息對應(yīng)時域的信號延時。如果X射線探測器相對脈沖星運動速度為0，則每次收到的特征頻率信號過零點時刻相同；如果存在相對運動速度，則接收的信號延時發(fā)生變化，導(dǎo)致過零點時刻也發(fā)生相應(yīng)的變化；在頻域看，特征頻率信號的相位也按比例變化。相對時間的相位變化即為多普勒頻率，特征頻率信號處理正是利用多普勒頻率導(dǎo)致的信號相位變化來檢測過零點時刻的，無需再對多普勒頻率進行其他處理。

利用脈沖星信號特征頻率的TOA測量方法，直接對Crab脈沖星信號進行DFT處理，通過檢測特征頻率信號相位的過零點，獲得了TOA參數(shù)，如圖 4所示。

圖4 特征頻率信號獲得TOA參數(shù)Fig. 4 TOA parameters extracted from characteristic frequency signal

通過對RXTE衛(wèi)星的Crab脈沖星數(shù)據(jù)進行DFT處理，驗證了特征頻率信號處理的優(yōu)越性。RXTE衛(wèi)星獲取的Crab脈沖星數(shù)據(jù)總計2700 s，每30個Crab脈沖星信號周期處理1次，時間為1.0051 s。每進行1次DFT處理的序列長度為10051，變換處理完成確定1次TOA。

根據(jù)分析，Crab脈沖星原始信號的信噪比大約為?10 dB，RXTE衛(wèi)星所記錄的X射線光子計數(shù)中每10次計數(shù)大約有一次為Crab脈沖星發(fā)射的X射線光子信號，信號完全淹沒在噪聲里。經(jīng)過1.0051 s時間序列的DFT處理，其特征頻率信號的信噪比平均為5 dB，處理增益為20 dB。圖 4為一次更新處理過程的脈沖星信號及特征頻率信號，也給出了連續(xù)3次更新的特征頻率信號相位及相對關(guān)系，數(shù)據(jù)分析表明特征頻率處理具有良好的相位估計精度。

利用DFT處理獲得的脈沖星信號TOA反映了RXTE衛(wèi)星的運行軌道。根據(jù)RXTE衛(wèi)星提供的軌道參數(shù)，計算了該軌道在Crab脈沖星方向上的投影。再利用DFT方法獲得的TOA參數(shù)轉(zhuǎn)換為RXTE衛(wèi)星在Crab脈沖星方向上的軌跡，其真實軌道投影軌跡與利用特征頻率信號觀測TOA獲得的軌跡一致，其方差σr≤9 km，在進行濾波處理后，其方差σr可減少到3 km量級，是僅利用脈沖星信號觀測數(shù)據(jù)實現(xiàn)定位方法中精度最高的，見圖 5與圖 6，其中rn為軌道半徑。

圖5 特征頻率信號相位獲得的RXTE衛(wèi)星軌道投影(σr=9 km)Fig. 5 Orbit projection of RXTE satellite estimated by phase of characteristic frequency (σr=9 km)

圖6 特征頻率信號相位獲得的RXTE衛(wèi)星軌道投影(σr=3 km)Fig. 6 Orbit projection of RXTE satellite estimated by phase of characteristic frequency (σr=3 km)

根據(jù)RXTE衛(wèi)星的數(shù)據(jù)處理過程，可以給出一種脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)方案，如圖7所示。在圖7中，信號處理與特征識別模塊主要是利用脈沖星特征頻率信號獲取TOA參數(shù)，并按上述方法獲得某顆已知脈沖星方向矢量的軌道投影，測量3顆獨立的X射線脈沖星信號，則可解算飛行器空間相對位置增量。關(guān)于相對定位原理可參見文獻［23］。

圖7 脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)方案Fig. 7 Schematic diagram of pulsar navigation

2.2 脈沖星特征頻率信號TOA仿真結(jié)果分析

脈沖星特征頻率信號是與脈沖星信號周期相同的正余弦信號，當采樣時間為1個脈沖星信號周期時，其特征頻率信號為1個周期的信號，頻點為1，表示在該時間內(nèi)信號變化1次。當采樣時間為M個周期時，其特征頻率信號變化M次，因此頻點為M。在頻域，采樣時間為1個周期T時，其頻域1個頻點對應(yīng)的帶寬為1/T，當采樣時間為M個周期T時，其頻域1個頻點對應(yīng)的帶寬為1/（MT）。

由于噪聲功率譜為N0，因此每個頻點對應(yīng)的噪聲功率為Np=N0ΔB，其中ΔB為頻點對應(yīng)的帶寬。由于多周期時長的增加，在頻域其對應(yīng)頻點帶寬減少，因此當采樣時長為MT時，噪聲功率也相應(yīng)下降為

與1個周期時長相比，M個周期時長的信號處理其噪聲功率降低M倍。用分貝表示為

根據(jù)量化信噪比與量化位數(shù)及采樣率的關(guān)系：

式中：nq為量化位數(shù)；fm為最高信號頻率；fs為采樣頻率；mo為過采樣倍數(shù)。

可見增加采樣率可以提高信噪比，采樣率提高1倍，其信噪比也將提高3 dB，在信號功率相同條件下也等效降低噪聲3 dB。特征頻率信號處理以增加信號分析時長方法減小了單位頻域采樣點的噪聲功率，以高采樣率將噪聲分布在寬帶頻域內(nèi)，使特征頻率信號處理具有很高的增益，可實現(xiàn)極低信噪比脈沖星信號的高精度時延估計，為高精度脈沖星導(dǎo)航奠定了理論基礎(chǔ)。

無論是多周期處理還是高采樣率處理，其本質(zhì)是一致的，可以統(tǒng)一處理。在特征頻率信號處理中，信號采樣時間也是數(shù)據(jù)更新周期，該參數(shù)與飛行器速度、系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)更新率有關(guān)。例如飛行器速度為30 km/s，其多普勒頻移為0.003 Hz，因此數(shù)據(jù)處理時間不能超過300 s（主要受固定頻點檢測約束）。為了獲得更高的處理增益，期望較高的采樣率，但該參數(shù)受實際系統(tǒng)性能的限制，以目前的技術(shù)條件，實現(xiàn)100 MHz采樣率是可行的，其處理增益可達100 dB，時延測量精度為0.35 μs，定位精度約為10 m（參考Crab數(shù)據(jù)），數(shù)據(jù)更新時間100 s。

2.3 脈沖星信號量化影響分析

X射線脈沖星信號主要是以光子計數(shù)形式出現(xiàn)的。一般認為：X射線脈沖星光子信號到達時間的量化粒度對脈沖星信號波形的TOA觀測精度影響不大，在RXTE衛(wèi)星中觀測的Crab脈沖星光子信號記錄的時間粒度為100 μs，在此時間間隔內(nèi)，統(tǒng)計觀測到出現(xiàn)的光子計數(shù)為0～7，其出現(xiàn)比例如表 1所示。

表1 Crab脈沖星信號光子計數(shù)統(tǒng)計分布Table 1 Statistical counts of photon for Crab

由表 1可見，在100 μs的量化時間間隔內(nèi)，光子計數(shù)出現(xiàn)0或1的比例占90%以上?？梢酝茢啵寒斄炕瘯r間間隔減小后，其0/1出現(xiàn)的比例將變大，甚至僅出現(xiàn)0/1的計數(shù)統(tǒng)計情形。因此對X射線脈沖星信號采用1 bit量化與實際的信號形式相匹配，甚至沒有量化誤差。RXTE衛(wèi)星的定時精度為1 μs，如果以此周期量化時間進行光子計數(shù)統(tǒng)計，基本可保證僅存在0/1的光子計數(shù)。在不考慮單光子能量分布的情況下，X射線脈沖星信號光子檢測與1 bit量化信號具有等效的形式，因此式（10）的量化輸出也是準確的X射線脈沖星信號表達方式。

對于1 bit的量化信號，F(xiàn)FT可以表達成最簡單的形式，僅用加減運算即可獲得特征頻率信號，對過采樣應(yīng)用非常有利。X射線脈沖星信號類似于條形碼結(jié)構(gòu)，條紋的疏密反映了光子能流密度在時間上的分布。每個光子在時間上的變化對脈沖星信號TOA產(chǎn)生一定的影響，其特征頻率的相位是光子時間分布的統(tǒng)計效應(yīng)，因此通過特征頻率信號相位信號的處理可以確定脈沖星信號的TOA。

通過特征頻率信號的相位確定TOA，消除了在時域?qū)庾佑嫈?shù)統(tǒng)計的復(fù)雜過程，也消除了復(fù)雜的時間變換過程，無需重建脈沖星信號的波形，對不同的脈沖星信號具有相同的處理方法，并且是一種最佳的TOA估計方法。在脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用中，只需脈沖星的方向矢量及信號周期參數(shù)即可實現(xiàn)導(dǎo)航處理。

對于Crab脈沖星輸出量化噪聲，采用1 bit量化與原始數(shù)據(jù)相比性能惡化約0.6 dB?？紤]到運算量帶來的收益，這種權(quán)衡還是值得的。而對于實際過采樣處理，量化噪聲損失可以避免。采用仿真數(shù)據(jù)進行了驗證，結(jié)果還是令人滿意的。

根據(jù)雷達原理，周期脈沖信號的時間測量精度主要取決于信號帶寬，脈沖信號越窄，帶寬就越寬，時間測量精度也就越高。在信號形式上，X射線脈沖星信號為δ(t)函數(shù)，以光子脈沖出現(xiàn)，其脈沖寬度由接收系統(tǒng)響應(yīng)決定。因此假設(shè)脈沖周期為T，脈沖時寬為τ，且遠小于周期，脈沖幅度為1，以此模擬1 bit量化的脈沖星信號。

發(fā)射的周期脈沖信號被接收機接收，在信號周期已知時，接收機可以按周期對信號進行處理。將相鄰周期的信號進行“與”運算，顯然不改變信號的形式，如圖 8所示。

圖8 周期信號“與”運算（無噪聲）Fig. 8 Periodical signal and its “AND” operation （noise free）

當存在噪聲脈沖時，噪聲與信號同時出現(xiàn)表現(xiàn)為信號脈沖，沒有信號時為噪聲脈沖，經(jīng)過相鄰周期的“與”運算，可恢復(fù)信號脈沖，如圖9所示。由于信號是按周期出現(xiàn)的，而噪聲是隨機出現(xiàn)的，因此相鄰周期的信號經(jīng)過“與”預(yù)算后可以保留，而噪聲脈沖經(jīng)過“與”預(yù)算后被消除。信號的脈沖越窄，受噪聲的影響越小，噪聲被“與”消除得越多。并且信號脈沖越窄，其時間測量的不確定性越小，即測量精度越高。

圖9 周期信號“與”運算（有噪聲）Fig. 9 Periodical signal and its “AND” operation （noise introduced）

將該方法擴展到多周期，可以將噪聲脈沖降低到需要的指標。根據(jù)對脈沖星信號及背景噪聲的分析，探測器單位面積接收的光子脈沖數(shù)為104ph/(s·cm2)量級，對于1000 cm2量級的探測器，每秒接收的光子數(shù)為107量級。

設(shè)探測器采樣頻率為100 MHz，則每秒產(chǎn)生108個采樣，每個采樣時間10 ns。假設(shè)一個周期采樣數(shù)為NT，噪聲脈沖在時間上為均勻分布，則對應(yīng)每個采樣出現(xiàn)噪聲脈沖的概率為p=107/108=0.1。對于脈沖星信號，假設(shè)每個周期出現(xiàn)信號脈沖的概率為q。則連續(xù)Np個周期“與”運算至少出現(xiàn)1次噪聲脈沖的概率為

連續(xù)Np個周期“與”運算檢測出信號脈沖并且不出現(xiàn)噪聲脈沖的概率為

因此平均時間測量值為

時間測量方差為

對于RXTE衛(wèi)星探測的Crab脈沖星信號，其 時 間 分 辨 率 為τr=1 μs，采 樣 率 為1 MHz。Crab脈沖星周期約為34 ms，則NT=34000。根據(jù)統(tǒng)計，Crab脈沖星信號平均100 μs出現(xiàn)1次光子計數(shù)，噪聲脈沖出現(xiàn)概率約為p=0.01，每個周期內(nèi)信號脈沖平均出現(xiàn)34個，信號出現(xiàn)概率約為q=0.5。用Np=5個周期進行“與”操作，則有P=3×10?6，Q=0.03，mt=0.1 μs，σt=59 μs，對應(yīng)測 距 精度17 km，平 均5 s輸出1次結(jié)果。

如果將“與”運算的周期增加到10個，則有P=3×10?16，Q=0.0009，mt=1 ns，σt=0.03 μs，對應(yīng)測距精度10 m。由于信號檢測概率太低，需要較長時間才能給出測試結(jié)果，平均需要341 s輸出1次測試結(jié)果。

一般情況下，單位時間內(nèi)信號脈沖與噪聲脈沖的總數(shù)是一定的，只要采樣率足夠高，總可以使得噪聲脈沖在單位時間內(nèi)出現(xiàn)的概率小于一定值，即

式中：Nnoise為單位時間內(nèi)的噪聲脈沖數(shù)；Nt為單位時間采樣數(shù)。在信號周期Tp時間內(nèi)，采樣數(shù)為

當采用多周期“與”檢測邏輯時，采用的周期數(shù)越多，則噪聲消除的越好，但同時對信號也抑制的很嚴重，需要權(quán)衡考慮。假設(shè)采用的周期數(shù)為Nu，則噪聲誤檢概率為

通常pNu?1，因此式（34）近似為

當采樣數(shù)超過噪聲脈沖數(shù)10倍以上時，則p≤0.1，P以指數(shù)關(guān)系隨Nu下降。如果將采樣率提高r倍，則Nsample提高r倍，而p減小r倍，則有

一般Np>10，r>10，可見提高采樣率可以更容易獲得低的噪聲誤檢概率。

脈沖星信號在時域表現(xiàn)為周期脈沖，在頻域表現(xiàn)為特征頻率信號及其他諧波與噪聲干擾之和。經(jīng)過DFT分析重建特征頻率信號，該信號為相位加擾的正余弦信號。將正余弦信號量化為方波信號，則可以按“與”操作實現(xiàn)多周期的信號檢測，其提高時間測量精度的原理如圖 10所示。

由圖10可見，每增加1個信號周期，其輸出檢測信號的脈寬就降低一點，信號的不確定性程度也相應(yīng)降低，即提高了時間測量精度。以Crab脈沖星為例，設(shè)1 s時間內(nèi)噪聲脈沖數(shù)Nnoise=106，采樣數(shù)Nt=108，則p=10?2，信號周期Tp=34 ms，Nsample=NtTp=3.4×106，采用10個周期進行“與”處理，即Np=10，則有P=3.4×10?14，Q=0.12，mt≈0.12τr，。

圖10 正余弦信號的高精度測量原理Fig. 10 Principle of improving accuracy for detecting cosine signal

由于信號檢測概率Q=0.12，因此約Q?1=9次可以獲得1次信號檢測數(shù)據(jù)輸出，即0.3 s更新1次數(shù)據(jù)，其誤差σt=0.3×10 ns=3 ns。因此理論上，如果對Crab脈沖星信號用100 MHz頻率采樣，則預(yù)期可以獲得約1 m的定位精度。

3 脈沖星信號高次諧波TOA定位

根據(jù)式（19），脈沖星信號TOA參數(shù)估計的不確定度與脈沖星信號的周期成正比，因此期望采用周期短的脈沖星信號作為導(dǎo)航應(yīng)用，例如選擇所謂的毫秒級脈沖星。目前觀測到的毫秒級脈沖星一般信號的能流密度非常低，信噪比也不高，這對導(dǎo)航應(yīng)用是不利的。雖然可以選擇能流密度較大的脈沖星作為導(dǎo)航星，盡可能采用信噪比大的信號源，其不利因素是可用的脈沖星數(shù)量將減少。由于導(dǎo)航定位同時觀測到3顆脈沖星信號即可，因此只要選擇的脈沖星數(shù)量合適，則脈沖星在天球中即可形成一個有效的構(gòu)形，滿足導(dǎo)航定位的要求。根據(jù)文獻［4］，表 2選擇了能流密度>1 ph/(cm2·s)的脈沖星作為導(dǎo)航星，總計23顆，X射線范圍為2～10 keV。

在表 2選擇的脈沖星中，主要是毫秒級脈沖星，但有些脈沖星的信號周期還是較長的，信噪比較低，根據(jù)式（19）給出的TOA參數(shù)不確定度也較差。利用脈沖星信號諧波分量并非獨立的特性，可以改善脈沖星信號TOA參數(shù)的估計精度［24-26］，但當諧波分量增加時，其運算量成倍增加，并且參數(shù)估計精度無法進一步改善。

表2 選擇的脈沖星Table 2 Pulsar sources selected

雖然多諧波分量處理對TOA估計性能改善不明顯，但對利用脈沖星信號高次諧波的信息具有積極意義。在脈沖星特征頻率信號處理的基礎(chǔ)上，提出了脈沖星信號TOA高次諧波TOA估計方法。

脈沖星信號的M次諧波頻率與脈沖星特征頻率具有整數(shù)倍的關(guān)系，其諧波信號周期TM=Tp/M。因此根據(jù)式（19），其TOA測量的不確定度可以減小1/M。另一方面，信號脈沖的諧波頻率分量也按1/M減小，其M次諧波信號幅值減小1/M，信噪比部分根據(jù)式（22）減小1/M2，因此總的TOA測量的不確定度并不會因此而改善。

雖然利用M次諧波頻率信號并沒有改善TOA測量的不確定度，但也沒有惡化，這多少有一些意外，因為從諧波幅值的角度看，畢竟M次諧波的幅值一般情況下僅為特征頻率信號的1/M，在信號功率存在差距的情況下，還能保持同樣的性能，這是值的研究的。

可以預(yù)期，如果諧波次數(shù)足夠高，以至于諧波信號的周期達到微秒，則信號周期對TOA測量不確定度的影響將成為次要因素，或TOA測量的不確定度將主要由信噪比決定。

顯然，所謂諧波次數(shù)足夠高，意味著信號本身具有非常寬的帶寬，而對于X射線脈沖星信號，在時域就是一個個光子形成的δ(t)函數(shù)，它的頻譜是無限寬的。然而由于所看到的頻譜是經(jīng)過了探測器系統(tǒng)形成的，而探測器系統(tǒng)是有限帶寬的，它限制了所觀測的脈沖星信號帶寬；并且通常在其后的處理中采用積累方法獲得信號的波形，而積累過程等效于低通濾波，在此過程中，脈沖星光子信號攜帶的TOA信息損失嚴重。

極限情況是：X射線脈沖星光子到達時刻是X射線信號的相位調(diào)制信號。相位調(diào)制信號的帶寬1/τ遠大于通過積累形成的周期信號帶寬fr，因此攜帶時間信息的相位調(diào)制信號在m次諧波頻率mfr處其幅值基本不變，如圖 11所示。圖中fs為采樣頻率，τ為采樣脈沖時寬。

圖11 相位調(diào)制與諧波頻率的關(guān)系Fig. 11 Phase modulation vs harmonic frequency

根據(jù)信號的這種特性，在脈沖星信號采樣頻率遠大于積累周期信號帶寬的情況下，其高次諧波信號的幅值隨頻率增加下降的比較慢，甚至δ(t)函數(shù)的頻譜特性呈現(xiàn)均勻分布的形式。圖4所示的時域信號本身更類似于隨機信號，因此在頻域表現(xiàn)為白噪聲的頻譜特性，具有類似于擴頻通信的作用機理，對于RXTE觀測的Crab信號頻域分析則驗證了該結(jié)論。采用特征頻率信號、二次諧波頻率信號、三次及五次諧波頻率信號進行軌道定位結(jié)果如圖 12所示。

圖12 利用特征頻率及高次諧波頻率信號定位Fig. 12 Feature and harmonic frequency signals used for positioning

采用遠高于脈沖星特征頻率的采樣率，即過采樣應(yīng)用，則由于高次諧波分量在幅值方面下降得較慢，其信噪比下降也相對緩慢，因此可以獲得高次諧波周期短帶來的增益，等效于采用毫秒級脈沖星獲得了微秒級脈沖星信號進行導(dǎo)航定位的效果，由此可降低對脈沖星導(dǎo)航星的要求，為脈沖星選擇提供了一種新的方法。

事實上，X射線脈沖星的特征頻率信號，將TOA信息調(diào)制到光子脈沖的時間位移參數(shù)中，相當于雷達發(fā)射的偽隨機碼脈沖序列，而該脈沖序列的匹配濾波器就是自身的編碼序列，因此在進行匹配濾波處理后，其脈沖匹配輸出具有脈沖壓縮增益，這與雷達信號處理具有類似的機理。而在雷達信號處理技術(shù)中，雷達信號的帶寬是決定雷達距離分辨率的關(guān)鍵因素，信號帶寬越寬，則距離分辨率越高。至于編碼形式，則是由脈沖星信號產(chǎn)生過程中自然形成的，它就是構(gòu)成脈沖星信號的基向量，由正交的正弦函數(shù)基對信號波形進行編碼，并具有統(tǒng)計意義。

從信息處理的角度看，TOA獲取的本質(zhì)是時間信息的獲取。在擴頻通信中，獲取的信息量，可以通過提高信噪比實現(xiàn)，也可以通過提高信道的帶寬實現(xiàn)。根據(jù)信息論有

式中：R為TOA攜帶的時間信息量?？梢?，TOA信息的獲取，提高信道帶寬B比提高信噪比更有效。對于脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用，在信噪比受限的情況下，提高信道帶寬（系統(tǒng)帶寬）是提高TOA測量精度的最優(yōu)選擇。而脈沖星特征頻率信號以及高次諧波處理方法是實現(xiàn)寬帶處理的技術(shù)途徑，屬于擴頻處理的一種應(yīng)用。

高次諧波頻率信號定位偏差與信噪比并不存在比例關(guān)系，表 3給出了不同諧波頻率信號的定位偏差統(tǒng)計值。

表3 高次諧波頻率信號信噪比與定位偏差Table 3 Harmonic frequency signal to noise ratio and its deviation of positioning

由于信號統(tǒng)計具有一定的離散性，因此信噪比高不一定具有較小的定位偏差，但信噪比過低是無法定位的。對于Crab脈沖星信號，偶數(shù)次諧波除二次諧波外，均無法用于定位；而奇數(shù)次諧波超過五次諧波后也無法用于定位，由圖12定位曲線可見變化趨勢。

在一定的信噪比保證下，高次諧波定位偏差略有改善，符合式（19）的預(yù)期。實際改善程度與脈沖星的信號特點有關(guān)，Crab脈沖星信號的二次諧波分量較大，其波形模板信號具有明顯的2個峰值，二次諧波信噪比甚至比特征頻率信號高，因此用其定位的偏差也略有改善。

對于其他脈沖星信號，其特征頻率分量占主要部分，利用特征頻率信號進行導(dǎo)航定位同樣有效，僅利用脈沖星信號的周期參數(shù)即可。對于高次諧波分量的使用，取決于信號的頻率分布特征。一般情況下，脈沖星信號的三次、五次、七次等奇次諧波按比例攜帶脈沖星信號的TOA信息，因此可通過這些諧波信號獲取TOA參數(shù)，但諧波的選擇最終取決于信噪比的限制。

4 結(jié)論

1）提高X射線光子脈沖信號的采樣率，可以提高TOA的時間分辨能力，并且光子脈沖信號將更多的以單光子脈沖信號的形式出現(xiàn)。對于單光子脈沖信號，等效為1 bit量化的數(shù)字信號，有利于采用FPGA進行高速信號處理。

2）基于特征頻率的脈沖星信號處理，具有最佳的匹配濾波檢測性能，并且基本與脈沖星信號波形無關(guān)，為脈沖星信號TOA測量提供了1種新的處理方法。

3）將脈沖星特征頻率信號處理與過采樣技術(shù)相結(jié)合，具有明顯的信號處理增益，改進系統(tǒng)性能，有助于提高脈沖星導(dǎo)航定位精度，仿真分析驗證了特征頻率信號處理方法的有效性。