鄧習軍,敖和松,王成華

(1. 安慶師范大學數(shù)理學院,安徽安慶,246133;2. 懷化學院數(shù)學與計算科學院,湖南懷化,418000;3. 湖北省洪湖市第一中學,湖北洪湖,433200)

有關反常積分的斂散性判定問題是分析學的重要內(nèi)容,由于判定方法比較多,學生學習起來不太容易熟練掌握,因此如何判別反常積分的斂散性始終是教學中一個重要的研究課題。關于反常積分的斂散性問題,經(jīng)典教材中介紹的主要判定方法有柯西收斂準則、比較判別法、阿貝爾判別法及狄利克雷判別法等[1–2]。此外,有關反常積分的斂散性的新的研究成果也不斷涌現(xiàn)[3–12]。然而,需要指出的是,上述判別法各有利弊,每個判別法都有其自身的應用局限性。尤其是常用的比較判別法其核心思想是通過與已知斂散性的反常積分進行比較來判別其斂散性,而在這一過程中,找到適當?shù)姆闯７e分卻是很困難的?；诖?一個自然的想法應運而生,即反常積分的斂散性能否由被積函數(shù)本身的性質(zhì)來判別,而不需要去找其它的反常積分來進行比較呢？事實上,通過對級數(shù)與反常積分之間聯(lián)系的分析,發(fā)現(xiàn)這一想法是可行的。

本文首先通過被積函數(shù)的自身性態(tài)建立關于無窮積分的一個新的比值判別法,然后根據(jù)無窮積分與瑕積分的密切關系再建立關于瑕積分的比值判別法,最后以實際例子驗證該判別法的一些應用。

1 無窮積分的比值判別法

下面給出一個關于無窮積分斂散性的判別方法及其證明。

定理1設f(x)是定義在區(qū)間[a,+)∞上的正值連續(xù)函數(shù),函數(shù)g(x)在[a,+)∞上嚴格單調(diào)遞增,連續(xù)可導且g(x)＞x,x∈[a,+∞),則有

證取則數(shù)列{xn}嚴格單調(diào)遞增,且作變換x=g(t),于是由函數(shù)g(x)的嚴格單調(diào)性可得,即

對任意u＞a,必存在正整數(shù)n,使得因而有

因?qū)θ我鈞∈[a,+∞),有f(x)＞0,從而由式(2)可知

通常情形下,可采用如下的極限形式來加以判別斂散性。

推論1(極限形式)設f(x)是定義在區(qū)間[a,+)∞上的正值連續(xù)函數(shù),函數(shù)g(x)在[a,+)∞上嚴格單調(diào)遞增,連續(xù)可導且g(x)＞x,x∈[a,+∞),若則有

(I)當λ＜1時,無窮積分收斂;

(II)當λ＞1(包含λ=+∞)時,無窮積分發(fā)散。

證因,由極限定義知,對?ε＞0,?A＞0,當x＞A時,有λ-ε＜

(I)當λ＜1 時,取故由定理1(1)知收斂。

(II)當λ＞1 時,取故由定理1(2)知發(fā)散。特別地,當λ=+∞時,由極限定義可知,對?M＞0 ,?A＞0 ,當x＞A時,有不妨取M=1,則由定理1(ii)知也發(fā)散。

2 瑕積分的比值判別法

注意到瑕積分與無窮積分之間有著密切聯(lián)系,因此相應地有下列結論。

定理2設f(x)是定義在區(qū)間(a,b] 上的正值連續(xù)函數(shù),a是函數(shù)f(x)的瑕點,函數(shù)g(x)在上嚴格單調(diào)遞增,連續(xù)可導且則有

證作變換則瑕積分可化為是定義在區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù),于是可由定理1推導出定理2。

類似地,常用如下的極限形式來判別斂散性。

推論2(極限形式)設函數(shù)f(x)與g(x)滿足定理2 的條件,若則

(I)當μ＜1 時,瑕積分收斂;

(II)當μ＞1(包含μ=+∞)時,瑕積分發(fā)散。

仿推論1 的證明可得推論2 的證明。這里從略。

3 應用舉例

下面列舉幾個實例,將會看到對滿足條件的反常積分,其斂散性不需要尋求另外的積分來進行比較,而只需通過被積函數(shù)本身的性質(zhì)就可以進行判別。

例1判別的斂散性。

解令。由推論1 知,收斂。

注1:本題不能利用通常的比值判別法來判別斂散性。事實上,因故比值判別法失效。

例2判別的斂散性。

解令則當x＞2 時,f(x)＞0 。取g(x)=ex,有

由推論1 知,當p＞1 時,收斂,當p1≤ 時,

注2:本題也不能利用比值判別法或拉貝判別法來判別斂散性。事實上,由這表明利用拉貝判別法是無法判定的。類似地,應用比值判別法也無法判定的。

例3判別的斂散性。

解易見,x=0 是被積函數(shù)的瑕點,并且f(x)＞0,?x∈(0,1)。取g(x)=2x,則有

例4判別的斂散性。

解因。原積分可改寫為其中:

易見,對于I1,當a＜1 時,x=0 是被積函數(shù)的瑕點; 對于I2,當b＜1 時,x=1 是被積函數(shù)xa-1(1-x)b-1|lnx|的瑕點。為研究方便,作變換t=1-x,可將I2進一步化為I2=相應地,變換后x=0是新的被積函數(shù)h(x)=xb-1·的瑕點。

于是,若取g(x)=2x,則對于I1有

而對于I2有

注3:本題的被積函數(shù)比較特殊,不能利用經(jīng)典的比較判別法來判別斂散性。事實上,對于I1有這只能說明當a＜0 時I1一定是發(fā)散的,但無法確定當a＞0 時I1是否收斂。然而,利用本文的方法卻可以完全確定當a＞0 時I1是收斂的,因此這表明本文的判別方法更為優(yōu)越。