王少虎，宿月文，金守峰，李宇濤

(1.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安 710048；2.寶雞文理學(xué)院陜西省機(jī)器人關(guān)鍵零部件先進(jìn)制造與評(píng)估省市共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，寶雞 721016)

0 引言

擺線針輪減速器具有高減速比、高傳動(dòng)效率、高承載能力且低噪音的優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、機(jī)床，以及其他高精度傳動(dòng)領(lǐng)域[1]。該減速器的制造誤差的控制對(duì)其傳動(dòng)性能有重要影響[2-3]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)擺線針輪傳動(dòng)精度分析主要從兩個(gè)方面展開(kāi)，一類是基于輪齒接觸分析方法(tooth contact analysis，TCA)的研究；另一類是通過(guò)動(dòng)力學(xué)建模和虛擬樣機(jī)技術(shù)的系統(tǒng)仿真方法。其中，TCA分析方面，LITVIN等[4]基于齒輪嚙合原理與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法，推導(dǎo)出考慮齒廓修形的擺線輪廓的參數(shù)式，進(jìn)而建立完整的TCA分析流程，得到了擺線針輪減速器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的傳動(dòng)誤差曲線。李軒[5]應(yīng)用齒面接觸分析原理，建立了有側(cè)隙嚙合擺線針輪嚙合副TCA模型及LTCA(loaded tooth contact analysis)模型，計(jì)算擺線輪輪齒與針齒之間背隙角，得到了有/無(wú)負(fù)載時(shí)傳動(dòng)誤差、嚙合剛度等傳動(dòng)性能指標(biāo)。李兵等[6]采用作用線增量法，得到多齒嚙合下的擺線輪輸出轉(zhuǎn)角誤差,在此基礎(chǔ)上建立了傳動(dòng)誤差分析模型。

動(dòng)力學(xué)分析及虛擬樣機(jī)技術(shù)方面，XU、吳鑫輝等[7-8]提出了考慮間隙及加工誤差的擺線針輪虛擬樣機(jī)模型，對(duì)多齒接觸和嚙合特性進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)實(shí)測(cè)驗(yàn)證了虛擬樣機(jī)的可靠性；劉華明、WIKLO等[9-10]建立了RV減速器的剛?cè)狁詈先S模型并導(dǎo)入ADAMS進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)仿真，仿真數(shù)據(jù)表明考慮加工誤差時(shí)輸出軸力矩波動(dòng)情況與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為接近。但是虛擬樣機(jī)仿真軟件對(duì)于多齒接觸模型計(jì)算效率略低[11]。任軍、WANG等[12-13]采用集中質(zhì)量法建立了十六自由度的重載RV減速器動(dòng)力學(xué)模型，分析了整機(jī)固有頻率對(duì)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的靈敏度；楊偉朋[14]基于等價(jià)誤差法建立RV減速器動(dòng)力學(xué)模型，并將單個(gè)制造誤差引入到動(dòng)力學(xué)模型的傳動(dòng)誤差計(jì)算中。

上述研究表明，已有的TCA方法研究較少考慮減速器的制造誤差和設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化。動(dòng)力學(xué)仿真與虛擬樣機(jī)技術(shù)存在比較難于融入多個(gè)制造誤差和計(jì)算效率低的問(wèn)題。因此，本文根據(jù)擺線針輪傳動(dòng)特點(diǎn)，建立了考慮齒廓修形、加工誤差的輪齒接觸分析法，以獲取傳動(dòng)誤差。然后針對(duì)各加工誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的靈敏度進(jìn)行分析，以傳動(dòng)可靠度為條件，利用DIRECT算法對(duì)修形量和加工誤差進(jìn)行優(yōu)化，得到一組許用傳動(dòng)誤差下制造成本最低且可靠度高的擺線針輪減速器加工參數(shù)。

1 綜合齒廓修形和制造誤差的擺線輪針齒建模

1.1 考慮修形的擺線針輪傳動(dòng)的幾何模型

擺線針輪減速器的加工過(guò)程產(chǎn)生的制造誤差會(huì)導(dǎo)致裝配時(shí)零件之間產(chǎn)生干涉。通過(guò)對(duì)齒廓適當(dāng)修形，可提升整機(jī)的裝配性。常見(jiàn)的擺線輪齒廓修形方法有針齒半徑修形、針齒位置修形和偏心量修形[15]。前兩種方法較為常用，因此綜合該兩種修形方法，基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，建立齒廓坐標(biāo)系，可得到通用的擺線輪齒廓參數(shù)式。

圖1所示為擺線輪齒廓坐標(biāo)系示意圖，其中Sf(Xf-Of-Yf)為固定坐標(biāo)系，且Of為其原點(diǎn)；Sc(Xc-Oc-Yc)為擺線齒輪坐標(biāo)系，Oc為其原點(diǎn)；Sp(Xp-Op-Yp)為針齒坐標(biāo)系，Op為其原點(diǎn)。Oc與Of重合，Op與Of相距一個(gè)曲柄偏心量e。φc為Sc之轉(zhuǎn)角，φp為Sp之轉(zhuǎn)角，Rp為針齒中心到Op的距離，Rrp為針齒半徑，M點(diǎn)為針齒與擺線輪接觸的一點(diǎn)，α為M點(diǎn)在針齒上的角度參數(shù)。根據(jù)嚙合原理，可將擺線輪與針齒視為一對(duì)嚙合齒輪，則假定nc為擺線輪齒數(shù)，np為針齒數(shù)，二者轉(zhuǎn)角和齒數(shù)符合式φcnc=φpnp。依據(jù)此關(guān)系式，并考慮針齒半徑修形和位置修形，可得到擺線輪齒廓方程的參數(shù)式為rc=[xc,yc,1]T，其中：

圖1 擺線輪齒廓坐標(biāo)系

(1)

(2)

式中，dR為移距修形量；dr為等距修形量，角度參數(shù)α可表示為：

(3)

在擺線齒輪參數(shù)式(1)～式(3)里，dR、dr與e為擺線輪齒廓修形參數(shù)，通過(guò)不同修形參數(shù)組合，可達(dá)到不同的修形效果。若專門(mén)針對(duì)修形參數(shù)，擺線輪齒廓參數(shù)式可簡(jiǎn)化為rc=rc(φp,dR,dr)。

1.2 考慮制造誤差的擺線輪齒廓幾何方程

擺線輪上的制造誤差主要來(lái)自實(shí)際加工擺線輪中心與理論中心不同，從而引起的齒距變化，齒距是擺線輪沿節(jié)圓圓周上，自齒形上一點(diǎn)至相鄰齒上對(duì)應(yīng)點(diǎn)所量得的弧長(zhǎng)Δb。在此將齒距誤差記為Et，考慮齒距誤差的擺線輪齒廓線示意圖如圖2所示。真實(shí)廓線與理論廓線節(jié)圓半徑差值為Δρ，分析時(shí)可以將齒距誤差換算成角度誤差θc=Et/(Rp-Rrp)。

圖2 考慮齒距誤差的擺線輪齒廓線

考慮齒距誤差時(shí)的擺線輪齒廓在其自身坐標(biāo)系Sc下可表述為：

rc(φp;dR,dr;θc,Δρ)=M1(θc)rc(φp;dR,dr;Δρ)

(4)

式中，誤差的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(5)

1.3 考慮制造誤差的針齒幾何方程

針齒在實(shí)際加工時(shí)會(huì)因?yàn)榈毒吣p、加工面溫度升高等原因而產(chǎn)生針齒半徑發(fā)生變化，記為針齒半徑誤差Δr[16]?？紤]半徑誤差的針齒外圓輪廓方程為：

(6)

減速器中針齒孔加工時(shí)，會(huì)由于加工精度的限制導(dǎo)致針齒孔中心位置距離組裝坐標(biāo)中心產(chǎn)生誤差，從而形成針齒分布圓半徑誤差ΔR和針齒中心平面位置度誤差。后者可定義為，實(shí)際針齒中心位于一個(gè)以理論中心為中心，半徑為公差帶的一個(gè)圓內(nèi)。利用極坐標(biāo)表示為，誤差半徑為Re，誤差半徑角度為θp，如圖3所示，其中灰色陰影范圍為實(shí)際針齒中心出現(xiàn)的位置。因此綜合上述針齒制造誤差，針齒在固定坐標(biāo)系下實(shí)際針齒輪廓的位置方程如式(7)所示，i為針齒編號(hào)，Ap為兩針齒夾角，β為針齒在固定坐標(biāo)系中接觸點(diǎn)的角度：

圖3 針齒位置度誤差示意圖

(7)

2 綜合齒廓修形和制造誤差的輪齒接接觸分析

2.1 輪齒接觸分析模型(TCA)

TCA分析中定義兩個(gè)連續(xù)曲面接觸時(shí)，其接觸狀態(tài)為共扼接觸，其幾何條件為：在同一坐標(biāo)系下，兩個(gè)連續(xù)曲面上的接觸點(diǎn)位置坐標(biāo)必須相同，且接觸點(diǎn)上的外法向矢量也必須相等[17]。

設(shè)TCA模型中擺線針輪機(jī)構(gòu)曲柄輸入角為φ1，輸出轉(zhuǎn)角為φ2，擺線輪裝配時(shí)曲柄偏心量誤差Δe可作為偏心量e的附加值予以考慮，最終可得到固定坐標(biāo)系下的擺線輪齒廓方程為：

rcf(φ1,φ2,φp;dR,dr;Δρ,θc,Δe)=
Mcf(φ1,φ2,Δe)rc(φp;dR,dr;Δρ,θc)

(8)

式中，Mcf為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，可表述為：

(9)

擺線輪齒廓上任一點(diǎn)的外法向矢量為：

(10)

固定坐標(biāo)系下的外法向矢量為：

ncf=Lcfnc

(11)

式中，Lcf為擺線輪上法向矢量的轉(zhuǎn)換矩陣：

(12)

同理，針齒的外法向矢量表述為：

(13)

根據(jù)共軛接觸條件可得擺線輪齒廓與針齒的接觸的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(14)

式中，φ1為已知量，且給定各類制造誤差時(shí)，未知量為φ2、φp、β。利用MATLAB軟件求解該非線性方程組可得到3個(gè)未知變量數(shù)值解，進(jìn)而確定具體接觸點(diǎn)位置與實(shí)際輸出轉(zhuǎn)角。但是，若未知量的初值選取不當(dāng)，將會(huì)造成求解無(wú)法收斂，所以需要確定合理的初始接觸點(diǎn)參數(shù)。

2.2 TCA分析的初始接觸點(diǎn)確定方法

為了在求解非線性方程時(shí)時(shí)穩(wěn)定收斂，未知量φ2、φp、β的初值可通過(guò)瞬心法求解的理論接觸點(diǎn)來(lái)獲得[18]。給定φ1的情況下，φ2的理論初值為φ20=φ1/nc。圖4中W點(diǎn)為速度瞬心，針齒和擺線輪的理論接觸點(diǎn)B的法向矢量nc必須通過(guò)瞬時(shí)中心W。nc與+Xf軸夾角即為的β的初值β0。即：

圖4 瞬心法針齒理論接觸位置

β0=tan-1(nc·x,nc·y)

(15)

進(jìn)而由nc可推導(dǎo)出B點(diǎn)位置矢量為rB，并由幾何位置關(guān)系得到針齒轉(zhuǎn)角初值φp0，即：

rc(φp)=rB

(16)

2.3 輪齒接觸分析計(jì)算傳動(dòng)誤差

擺線針輪減速器的實(shí)際輸出角可由前一節(jié)的TCA分析式求解所獲得，即為求解后的φ2。傳動(dòng)誤差為實(shí)際輸出和理論輸出值的差值，如式(17)所示。由于當(dāng)擺線齒輪在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)先將擺線齒輪轉(zhuǎn)至和針齒接觸，將起始間隙消除，所以會(huì)將運(yùn)動(dòng)誤差平移一個(gè)角度，再計(jì)算其中最大值和最小值的差距，此值稱為最大傳動(dòng)誤差。

(17)

圖5示出了用于計(jì)算傳動(dòng)誤差的流程。首先確定擺線齒輪的修形輪廓參數(shù)式，針齒和擺線齒輪在固定坐標(biāo)系中的位置和法線向量。再通過(guò)搜索φ2的最小值求解真實(shí)接觸點(diǎn)，當(dāng)輸入角φ1大于最小輸入角時(shí)，根據(jù)式(17)確定傳動(dòng)誤差。最后再計(jì)算此輸入角范圍內(nèi)的最大傳動(dòng)誤差。

圖5 擺線針輪機(jī)構(gòu)傳動(dòng)誤差計(jì)算流程

3 加工誤差對(duì)傳動(dòng)精度的靈敏度分析

3.1 傳動(dòng)誤差求解

根據(jù)上文提出的TCA模型，可在固定的擺線齒輪設(shè)計(jì)尺寸下，求解輸入一周的傳動(dòng)誤差變化。采用的擺線輪與針齒設(shè)計(jì)尺寸與修形量如表1所示。

表1 擺線針輪減速器結(jié)構(gòu)參數(shù)

將設(shè)計(jì)參數(shù)代入模型求解，得到機(jī)構(gòu)傳動(dòng)誤差曲線如圖6所示。圖中可以看出，傳動(dòng)誤差呈周期性的波形。

圖6 傳動(dòng)誤差曲線

3.2 加工誤差的靈敏度分析

靈敏度分析的方法是將各加工誤差作為變量分別加入齒面接觸分析，觀察最大傳動(dòng)誤差結(jié)果的變化趨勢(shì)[19]。

3.2.1 針齒半徑靈敏度

設(shè)置針齒半徑從7.9 mm逐步增大至8 mm，則圖7為針齒半徑變化對(duì)傳動(dòng)誤差影響曲線圖，圖中點(diǎn)劃線皆為線性擬合曲線，斜率即為靈敏度?？梢杂^察到越小的針齒會(huì)造成越大的運(yùn)動(dòng)誤差，近似呈線性關(guān)系。

圖7 針齒半徑誤差對(duì)傳動(dòng)誤差靈敏度

3.2.2 針齒分布圓半徑靈敏度

設(shè)置針齒分布圓半徑從96 mm逐步增大至96.1 mm。圖8為產(chǎn)生的實(shí)際針齒位置變化對(duì)傳動(dòng)誤差影響曲線圖，圖中點(diǎn)劃線皆為線性擬合曲線。可以觀察到越遠(yuǎn)的針齒位置造成的傳動(dòng)誤差越大，近似呈線性關(guān)系。

圖8 針齒分布圓半徑誤差靈敏度

3.2.3 擺線輪齒距靈敏度

設(shè)置最大累加齒距從-0.02 mm逐步增大至0.02 mm。產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差對(duì)最大累加齒距變化如圖9所示。可以觀察到最大累加齒距絕對(duì)值越大，皆會(huì)造成越大的運(yùn)動(dòng)誤差，造成的影響量近乎相等。

圖9 最大累加齒距誤差對(duì)傳動(dòng)誤差靈敏度

3.2.4 曲柄偏心量靈敏度

設(shè)置實(shí)際曲柄偏心量從2.98 mm逐步增大至3.02 mm。圖10為產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)實(shí)際曲柄偏心之曲線圖，可以觀察到偏心量的實(shí)際值越大，運(yùn)動(dòng)誤差越大，靈敏度也越大，且近似呈指數(shù)關(guān)系。

圖10 曲柄偏心量誤差對(duì)傳動(dòng)誤差靈敏度

4 基于可靠度的加工誤差優(yōu)化與評(píng)估

4.1 加工誤差優(yōu)化

根據(jù)不同制造誤差對(duì)傳動(dòng)誤差靈敏度作為參考，可以在規(guī)定的傳動(dòng)誤差條件下對(duì)修形量和加工精度進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)最低的制造成本。本文利用DIviding RECTangle(DIRECT)樣本算法[20]，在傳動(dòng)誤差限制范圍內(nèi)設(shè)定樣本參數(shù)，利用有限的分割及變量搭配，逐漸逼近全域最佳解，以確定最優(yōu)的擺線輪與針齒的加工精度和修形量。下文將最大運(yùn)動(dòng)誤差的限制設(shè)為30 arcsec。算法中各變量定義如下：

(1)設(shè)計(jì)變量：制造誤差與加工方式、加工刀具和生產(chǎn)環(huán)境等諸多因素有關(guān)，這些因素?zé)o法明確量化。因此，將所有的設(shè)計(jì)參數(shù)公差帶上下限人為設(shè)定，如表2所示。

表2 設(shè)計(jì)變量的取值范圍

(2)約束函數(shù)：基于可靠度的加工精度最優(yōu)化過(guò)程中，設(shè)定分析的總樣本數(shù)為Ns，若某組樣本得到的傳動(dòng)誤差超過(guò)了限制值，則認(rèn)為該組樣本不合格。假定不合格樣本組數(shù)必須低于NfKE，則可接受最低可靠度表示Pc為：

(18)

(3)目標(biāo)函數(shù)：擺線針輪減速器制造時(shí)，通常要求在滿足規(guī)定傳動(dòng)誤差的前提下，其制造成本越低越好。因此將目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為滿足傳動(dòng)誤差要求下，各個(gè)設(shè)計(jì)變量的公差帶范圍總和，將此目標(biāo)函數(shù)最大化，則代表達(dá)到最低成本的最大公差帶范圍。公差帶成本以(花費(fèi)/mm)表示。此外，將各個(gè)參數(shù)之公差帶范圍前，再乘上一個(gè)權(quán)重值wi(0.1≤wi≤1)，表示各公差帶對(duì)目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生不同的影響。權(quán)重值越大，表示該參數(shù)所控制的公差帶的成本越低，即增加該誤差公差帶范圍對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響較大?？紤]各零件精度的成本控制，針齒權(quán)重取0.1，擺線輪權(quán)重取0.2，曲柄權(quán)重取0.3。程序在最佳化計(jì)算時(shí)，會(huì)根據(jù)權(quán)重而判斷要提高何種設(shè)計(jì)參數(shù)公差帶，而使結(jié)果滿足傳動(dòng)誤差條件下，又可達(dá)到成本最低的制造方式。優(yōu)化出的最大公差帶范圍fo如式(19)所示，TZ表示各個(gè)制造誤差公差帶。

maxfo=(w1×A_Rrp_TZ+
w2×A_Rp_TZ+
w3×A_Re_TZ+w4×D_A_TZ+
w5×Max_cumulative_pitch_error_TZ+
w6×A_A_TZ)

(19)

在使用DIRECT算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)最佳化時(shí)，為使計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，應(yīng)盡可能設(shè)置多的樣本數(shù)迭代，所以在此將樣本數(shù)分為100、500及1000做討論。將產(chǎn)生出的樣本數(shù)據(jù)帶入計(jì)算TCA程序中，可求解所有樣本的傳動(dòng)誤差結(jié)果。3組樣本優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)結(jié)果如表3所示，優(yōu)化后該公差帶下最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)取值如表4所示。

表3 優(yōu)化結(jié)果

表4 優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量取值

4.2 最優(yōu)加工誤差的可靠度分析

由最佳化程序得到制造擺線針輪減速器最低成本的設(shè)計(jì)參數(shù)公差帶后，驗(yàn)證該公差帶下的減速器運(yùn)動(dòng)誤差是否在要求的范圍，再對(duì)優(yōu)化后的加工參數(shù)進(jìn)行可靠度分析，在此將驗(yàn)證的樣本數(shù)設(shè)為2000，可以更逼近于實(shí)際加工情形。3組樣本優(yōu)化結(jié)果的可靠度如表5所示。

表5 優(yōu)化結(jié)果的可靠度

由以上數(shù)據(jù)得知，優(yōu)化樣本數(shù)越大，則所得公差帶之結(jié)果可靠度越高，迭代樣本數(shù)1000時(shí)獲得的可靠度皆在99.5%以上，符合高可靠度的特性。一般擺線齒輪減速機(jī)的造價(jià)很高，所以通過(guò)該方法可避免制造出過(guò)多傳動(dòng)性能不達(dá)標(biāo)的減速器，從而大大節(jié)約制造成本。

5 結(jié)論

本文依據(jù)擺線針輪嚙合原理，建立了考慮齒廓修形、加工誤差的輪齒接觸分析(TCA)法，通過(guò)此方法對(duì)各加工誤差下傳動(dòng)誤差的靈敏度進(jìn)行分析?；诜治鼋Y(jié)果，設(shè)計(jì)出一種可靠度約束下的輪齒修形與加工精度優(yōu)化方法。得出以下結(jié)論。

(1)對(duì)各類加工誤差下擺線針輪減速器傳動(dòng)誤差靈敏度分析表明：針齒半徑誤差和針齒分布圓半徑誤差與傳動(dòng)誤差呈線性關(guān)系；曲柄偏心量誤差與傳動(dòng)誤差呈指數(shù)關(guān)系；最大齒距累積誤差與傳動(dòng)誤差近似呈對(duì)稱分布關(guān)系。

(2)基于DIRECT樣本算法，對(duì)擺線針輪減速器加工精度進(jìn)行優(yōu)化，得出3組滿足傳動(dòng)誤差條件的設(shè)計(jì)參數(shù)公差帶。驗(yàn)證表明在迭代樣本數(shù)1000時(shí)選取的設(shè)計(jì)參數(shù)可靠度可達(dá)最高并且制造成本最低。