龐如達，張耀滿，王振起，史家順

(東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

0 引言

高速高精度數(shù)控機床在加工過程中，熱變形引起的誤差占機床總誤差的40%～70%[1]。滾動直線導(dǎo)軌作為機床重要功能部件，對其熱特性進行研究有利于提高數(shù)控機床的最終加工精度[2]。國內(nèi)外關(guān)于滾動直線導(dǎo)軌熱特性的研究主要在理論研究，仿真分析與實驗研究幾個方面。

在理論研究分析方面，TACHIYA等[3]提出了一種利用機床特定測點的溫度變化來逼近機床熱變形的方法，得到了熱變形近似方程。YUN等[4]建立了導(dǎo)軌的溫度場和熱變形數(shù)學模型，并對其求解得出了摩擦熱對變形及應(yīng)力的影響規(guī)律。WAN等[5]提出了求解二維熱傳導(dǎo)問題的有限差分區(qū)域分解算法，通過求解驗證了算法的穩(wěn)定性和準確性。李宛珊等[6]提出一種在內(nèi)節(jié)點采用顯式算法，邊界節(jié)點采用隱式算法的顯-隱差分格式求解二維熱傳導(dǎo)問題。多數(shù)學者只針對導(dǎo)軌長度方向進行一維導(dǎo)熱問題求解，有些學者為了求解導(dǎo)軌截面二維導(dǎo)熱問題的數(shù)學表達式，將導(dǎo)軌截面簡化成簡單的矩形并對實際的邊界條件作了適當調(diào)整。

在有限元仿真分析方面，WANG等[7]采用集總電容法建立了滾動直線導(dǎo)軌的熱模型，分析表明垂直載荷、運行速度和轉(zhuǎn)矩對滾動直線導(dǎo)軌溫度變化有顯著影響。ZOU等[8]建立了考慮內(nèi)部熱源和外部熱波動影響的高精度工作臺熱力學仿真分析模型，預(yù)測了由溫度變化引起的工作臺熱誤差。ZHANG等[9]基于摩擦熱模型對滾動直線導(dǎo)軌進行熱結(jié)構(gòu)耦合仿真分析，得到了熱特性對力學性能的影響規(guī)律。MING等[10]建立了滾動直線導(dǎo)軌有限元模型，分析了影響熱變形的主要因素，并提出了相應(yīng)的誤差補償措施。ZOU等[11]基于預(yù)緊力、熱變形和磨損等因素綜合作用，建立了滾動直線導(dǎo)軌的接觸剛度仿真模型，得到了接觸剛度變化情況。目前多數(shù)研究，對簡化的滾動直線導(dǎo)軌模型研究與實際情況有較大差異，建立的模型相對簡單，難以準確描述滾動直線導(dǎo)軌的熱特性。

在實驗研究方面，LEE等[12]通過實驗研究了滾動直線導(dǎo)軌的熱變形隨運行時間的變化規(guī)律，得到了導(dǎo)軌熱變形對導(dǎo)軌運動精度和摩擦系數(shù)的影響規(guī)律。周怡帆等[13]運用能量守恒定律和導(dǎo)熱的基本定律建立了滾動直線導(dǎo)軌的溫升和熱變形理論模型，通過實驗得到滾動直線導(dǎo)軌各測量點的溫升曲線及穩(wěn)態(tài)溫升值。

目前，尚未有研究對導(dǎo)軌截面瞬態(tài)溫度場理論模型進行建立與求解，并通過仿真與實驗驗證。本文以HSR15A滾動直線導(dǎo)軌為研究對象，采用有限差分方法建立瞬態(tài)溫度場模型，求解得到滾動直線導(dǎo)軌截面溫度場及其變化規(guī)律；建立滾動直線導(dǎo)軌有限元熱特性仿真分析模型，獲得導(dǎo)軌穩(wěn)態(tài)溫度場；通過熱特性實驗，驗證了建立的溫度場理論模型和熱特性仿真分析模型的準確性。

1 導(dǎo)軌截面溫度場理論模型建立

1.1 導(dǎo)軌截面導(dǎo)熱模型和參數(shù)計算

滾動直線導(dǎo)軌在運行過程中，滾珠與導(dǎo)軌滾道因摩擦產(chǎn)生大量熱，由摩擦熱引起的熱流密度[2]如式(1)所示。

(1)

式中，q為熱流密度；J為熱功當量值為4.2 J/cal；a為接觸橢圓長半軸的大??；L為導(dǎo)軌承載區(qū)的有效長度。

滾動直線導(dǎo)軌在工作的過程中，導(dǎo)軌表面與空氣直接接觸進行對流換熱。根據(jù)對流換熱的特征數(shù)方程式求解對流換熱系數(shù)如式(2)所示。

(2)

式中，Nu為努塞爾數(shù)；l為特征長度；λ為導(dǎo)熱系數(shù)。

導(dǎo)軌與空氣直接接觸，屬于自然對流換熱，努塞爾數(shù)可由自然對流換熱的實驗關(guān)聯(lián)式[14]求得，如式(3)～式(5)所示。

Nu=C(GrPr)n

(3)

(4)

(5)

式中，Gr為格拉曉夫數(shù)；Pr為普朗特系數(shù)；α為體積膨脹系數(shù)；cp為定壓比熱容；C和指數(shù)n為常數(shù)根據(jù)對流換熱面形狀與位置和流體流態(tài)進行選取。

式(1)～ 式(5)用以確定滾動直線導(dǎo)軌在特定工況下的熱力學參數(shù)。

采用有限差分法建立滾動直線導(dǎo)軌溫度場理論分析模型的過程中，需要將導(dǎo)軌截面的圓弧滾道、傾斜邊界和橢圓熱源邊界簡化為階梯形折線。在導(dǎo)軌滾道接觸區(qū)域處施加橢圓熱源，其余邊界與空氣發(fā)生熱對流。導(dǎo)軌截面導(dǎo)熱模型如圖1所示。

圖1 導(dǎo)軌截面導(dǎo)熱模型

1.2 導(dǎo)軌截面各節(jié)點離散方程組建立

基于有限差分法和熱邊界條件，用離散節(jié)點的溫度值表示導(dǎo)軌真實的溫度場，將節(jié)點按照其位置分為內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點，并將這些節(jié)點組成離散方程組，通過矩陣運算進行求解。

(1)內(nèi)節(jié)點離散方程的建立。采用有限差分法對有限離散節(jié)點組成的溫度離散方程進行求解，滾動直線導(dǎo)軌內(nèi)節(jié)點如圖2所示。

圖2 導(dǎo)軌內(nèi)節(jié)點示意圖 圖3 邊界上的節(jié)點示意圖

對內(nèi)節(jié)點(i,j)采用泰勒級數(shù)展開法來推導(dǎo)出差分表達式，忽略截斷誤差后得到溫度在Y和Z方向的二階偏導(dǎo)和差分表達式如式(6)所示。

(6)

將差分表達式轉(zhuǎn)換成矩陣式如式(7)所示。

(7)

考慮到熱源移動和幾何邊界條件周期性重復(fù)，采用周期性邊界條件來調(diào)節(jié)系數(shù)矩陣，通過邊界節(jié)點離散方程給定邊界條件，為利于Ay和Az兩個系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)形式，便于變換和編程求解，將其變成對稱矩陣，得到溫度在兩個方向上的二階偏導(dǎo)和的統(tǒng)一表達式如式(8)所示。

(8)

(2)邊界節(jié)點離散方程的建立。通過邊界條件確定邊界上的節(jié)點離散方程，邊界上的節(jié)點分布如圖3所示。

根據(jù)能量守恒定律，得到邊界上的平直節(jié)點E、外部角點ACDFO和內(nèi)部角點B的對流邊界節(jié)點溫度表達式，分別如式(9)、式(10)和式(11)所示。

(9)

(10)

(11)

式中，q為熱流密度；h為對流換熱系數(shù)；Ta為空氣溫度。

通過所有節(jié)點的溫度離散方程構(gòu)建導(dǎo)軌截面節(jié)點溫度的離散方程組，得到溫度Tt的矩陣，代入導(dǎo)熱微分方程，得到不同時刻的溫度矩陣，如式(12)所示。

(12)

式中，a=k/(ρc)為熱擴散率；Tt為t時刻的溫度矩陣；Tt+1為(t+1)時刻的溫度矩陣。

1.3 導(dǎo)軌截面溫度場求解

為了獲取滾動直線導(dǎo)軌各截面的溫度場，編寫程序?qū)ν廨d荷400 N，滑塊以6 m/min速度運行時的導(dǎo)軌截面溫度場進行求解。導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)參數(shù)和由式(1)～式(5)確定的熱力學參數(shù)如表1所示。

表1 導(dǎo)軌的物理參數(shù)

內(nèi)節(jié)點溫度通過編寫A矩陣與之對應(yīng)，邊界節(jié)點溫度通過邊界條件進行確定，求解導(dǎo)軌導(dǎo)熱微分方程，獲得導(dǎo)軌截面不同時刻的溫度場，最終獲得導(dǎo)軌截面在穩(wěn)態(tài)時的溫度分布情況，求解流程如圖4所示。

圖4 導(dǎo)軌截面瞬態(tài)溫度求解流程圖

在750 s、1600 s和1850 s時輸出導(dǎo)軌截面溫度圖像，求解得到導(dǎo)軌截面在相應(yīng)時刻的溫度場，如圖5所示。

(a) 運行750 s后截面溫度 (b) 運行1600 s截面溫度

由圖可知，導(dǎo)軌上滾道溫度高于下滾道溫度，熱源區(qū)域的溫升最大，隨著時間的增加，導(dǎo)軌截面的熱源區(qū)域的溫度不斷升高，且熱源區(qū)域的熱量不斷向周圍傳導(dǎo)。隨著運行時間的增加，溫升速度越來越慢，最后達到穩(wěn)定狀態(tài)。導(dǎo)軌截面不同時刻最高溫度具體數(shù)值如表2所示。

表2 導(dǎo)軌截面不同時刻溫度

導(dǎo)軌截面穩(wěn)態(tài)溫度場如圖6所示。由圖可知，當導(dǎo)軌溫度達到穩(wěn)態(tài)時，導(dǎo)軌上滾道溫度高于下滾道溫度，導(dǎo)軌的最高溫度為27.3 ℃，摩擦產(chǎn)生的熱量主要影響導(dǎo)軌接觸區(qū)域的溫度變化。

圖6 導(dǎo)軌截面穩(wěn)態(tài)溫度分布圖 圖7 導(dǎo)軌截面最高溫度隨時間變化

導(dǎo)軌截面最高溫度隨時間的變化如圖7所示。滾動直線導(dǎo)軌在初始運行的1 h內(nèi)，導(dǎo)軌的溫升較快；之后溫升逐漸緩慢，最終導(dǎo)軌溫度達到穩(wěn)定狀態(tài)。

2 滾動直線導(dǎo)軌熱特性仿真分析

環(huán)境溫度設(shè)為20 ℃，導(dǎo)軌底部溫度固定等于環(huán)境溫度，當滑塊滾動直線導(dǎo)軌在400 N垂直載荷的作用下以6 m/min速度運行時，依據(jù)表1對導(dǎo)軌中心區(qū)域滾道內(nèi)外側(cè)施加熱流密度，對導(dǎo)軌不同區(qū)域分別施加對流換熱系數(shù)。穩(wěn)態(tài)熱分析載荷與約束施加如圖8所示。隱藏滑塊后導(dǎo)軌的穩(wěn)態(tài)溫度場分布如圖9所示。

圖8 導(dǎo)軌穩(wěn)態(tài)熱分析載荷與約束施加 圖9 導(dǎo)軌穩(wěn)態(tài)熱分析溫度分布

由圖可知，在導(dǎo)軌長度方向，距離導(dǎo)軌熱源區(qū)域較近位置的溫度均升高，離熱源遠的位置溫度與環(huán)境溫度相同；在導(dǎo)軌截面方向，溫度呈對稱分布，離滾道接觸區(qū)域近的位置溫度較高，離滾道接觸區(qū)域遠的位置溫度較低。導(dǎo)軌在接觸區(qū)域達到最高溫度27.03 ℃。選取熱源中心區(qū)域截面，得到導(dǎo)軌截面的溫度分布，如圖10所示。

圖10 熱源中心導(dǎo)軌截面穩(wěn)態(tài)溫度云圖

由圖6和圖10可知，最高溫度分別為27.03 ℃和27.3 ℃，最高溫度相對誤差為0.99%，理論建模求解結(jié)果與仿真分析結(jié)果一致。導(dǎo)軌截面靠近熱源區(qū)域兩側(cè)和導(dǎo)軌頂端的溫度分布不一致，主要是由于在進行導(dǎo)軌截面熱特性理論分析時，對導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)進行了簡化。

3 滾動直線導(dǎo)軌熱特性實驗

搭建實驗臺，如圖11所示。將鉑熱電阻溫度傳感器粘在導(dǎo)軌滑塊上，通過溫度傳感器測量導(dǎo)軌滑塊的溫度變化。其中，T1測量端蓋的溫度，T2測量滑塊的溫度，T3測量導(dǎo)軌端面的溫度，T4測量周圍環(huán)境的溫度，同時通過數(shù)據(jù)記錄儀采集并儲存數(shù)據(jù)信息。

圖11 實驗臺搭建

通過安裝固定不同的負載板，對工作臺分別施加13.5 N、27.0 N、40.5 N、54.0 N和67.5 N的負載，探究外載荷對導(dǎo)軌溫度的影響，實驗數(shù)據(jù)如圖12所示。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以計算出，載荷每增大13.5 N，滑塊平均溫升為0.2 ℃，導(dǎo)軌平均溫升為0.21 ℃。將理論計算和仿真分析結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進行對比，如表3所示。

表3 導(dǎo)軌在不同載荷下的最大溫升及誤差值

導(dǎo)軌在不同載荷下的最大溫升的最大理論誤差為7.25%，說明滾動直線導(dǎo)軌熱特性模型正確；最大仿真誤差為6.22%，說明熱特性仿真分析合理。

通過改變滑塊的運行速度測量導(dǎo)軌滑塊的溫度變化?；瑝K的運行速度分別為2、4、6、8和10 m/min，探究運行速度對導(dǎo)軌溫度的影響，實驗數(shù)據(jù)如圖13所示。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以計算出，速度每增大2 m/min，滑塊平均溫升為0.19 ℃，導(dǎo)軌平均溫升為0.2 ℃。將理論計算和仿真分析結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進行對比，如表4所示。

表4 導(dǎo)軌在不同速度下的最大溫升及誤差值

導(dǎo)軌在不同速度下的最大溫升的最大理論誤差為6.98%，說明滾動直線導(dǎo)軌熱特性模型正確；最大仿真誤差為4.19%，說明熱特性仿真分析合理。

4 結(jié)論

熱特性研究不僅有利于滾動直線導(dǎo)軌性能的優(yōu)化，而且對熱誤差補償具有重要意義。本文提出一種利用理論數(shù)學模型求解導(dǎo)軌截面瞬態(tài)溫度場的方法，并通過仿真分析與實驗得到驗證。為利用數(shù)學理論模型分析滾動直線導(dǎo)軌熱特性提供了參考，最終得出結(jié)論如下：

(1)對比建立的溫度場理論模型與實驗數(shù)據(jù)，穩(wěn)態(tài)溫度場理論模型和實驗結(jié)果誤差為3.99%～7.25%，且瞬態(tài)溫度場的變化趨勢與實驗結(jié)果一致。

(2)滾動直線導(dǎo)軌溫升速度隨外載荷和運行速度的增加而增大，穩(wěn)態(tài)時的溫度也隨著外載荷和運行速度的增加而升高。滾動直線導(dǎo)軌溫度實驗數(shù)據(jù)和仿真分析結(jié)果的誤差為2.90%～6.22%，證明了有限元仿真分析模型的可靠性。

(3)滾動直線導(dǎo)軌在外載荷為400 N，運行速度為6 m/min的狀況下運行時，導(dǎo)軌上滾道溫度高于下滾道溫度，穩(wěn)態(tài)時最高溫度的理論結(jié)果為27.3 ℃，有限元分析結(jié)果為27.03 ℃，溫度隨時間的變化符合熱傳導(dǎo)的規(guī)律。