劉海平， 張 俊， 申大山

(1. 北京科技大學 機械工程學院， 北京 100083； 2. 北京科技大學 順德研究生院， 廣東 佛山 528300)

由于線性吸振器工作頻帶窄，吸振效率低等缺點，極大限制了其在工程領域的適用范圍；而非線性能量阱作為一類典型的非線性動力吸振器因其質量輕、工作頻帶寬、吸振效率高、附加質量小[1-4]等優(yōu)點而受到持續(xù)關注。

近年，國內外眾多學者將非線性能量阱的研究視野從基礎研究逐漸拓展到航空航天[5-6]、民用建筑[7-8]等應用工程領域，并提出多種可行的實現(xiàn)方案[9-13]。

針對上述非線性吸振器的研究，主要包括減振性能評價[14-16](如：時域和頻域各部分的動態(tài)響應和對應的能量傳遞特征)和非線性特征(如：分岔特征)分析[17]。顯然，針對非線性系統(tǒng)分岔特征的研究，更利于從減振機制和工作機理方面，從源頭實現(xiàn)設計參數(shù)最優(yōu)化。

截至目前，在理論研究方面，Starosvetsk等[18-19]率先使用復變量-平均法結合多尺度法對非線性系統(tǒng)的鞍結(saddle-node，SN)分岔和霍普夫(Hopf)分岔進行研究。譚平等[20]采用多尺度法對基底受簡諧激勵作用非線性吸振器的分岔特性展開討論。李爽等[21]主要考慮簡諧激勵力幅值變化對非線性吸振器全局分岔特性的影響。在應用研究方面，甄冬等[22]將非線性吸振器應用到汽車車身垂向振動抑制中，并分別針對附加立方剛度和負剛度非線性吸振器的SN分岔特性進行研究。

上述研究中，不考慮重力場的影響，非線性吸振器多采用橫向布置方案；然而，在實際工程中非線性吸振器往往需要垂向布置[23]；顯然，垂向布置方案必須考慮重力場的影響。

以航天器在軌飛行階段所受微振動為例，星載飛輪作為一類典型的微振動源，對保證高精度衛(wèi)星的技戰(zhàn)術指標至關重要。Sun等嘗試采用非線性能量阱對星載飛輪在軌工作階段的輸出微振動進行抑制。實際中，星載飛輪將經(jīng)歷主動發(fā)射段(包含地面重力場、大氣阻力等)和在軌工作段(包含空間微重力等)不同類型激勵(基礎激勵和力激勵)和環(huán)境條件，進而對非線性能量阱的減振效果產(chǎn)生顯著影響。考慮重力的影響，Chen等[24]重點研究了基礎激勵條件下非線性能量阱的動態(tài)響應和減振效果的變化規(guī)律；但是，針對該系統(tǒng)分岔特性的變化規(guī)律并未研究。此外，上述研究均未提出非線性能量阱的可實現(xiàn)形式。顯然，針對重力場對非線性能量阱影響的理論研究和應用研究均不充分。屈曲梁作為一類典型的工程結構，因具備獨特的非線性特征而得到廣泛研究[25]。從工程實際出發(fā)，劉海平等[26]采用歐拉屈曲梁構建非線性吸振器，針對不同安裝方式對其減振效果的影響進行對比并給出最佳設計方案。在此基礎上，本文重點針對力激勵條件下，重力場對歐拉屈曲梁非線性吸振器分岔特性的影響展開研究。首先，采用復變量-平均法獲得非線性系統(tǒng)的慢變方程；進而推導出相應的分岔邊界；最后，選擇歐拉屈曲梁非線性動力吸振器的部分關鍵設計參數(shù)討論重力場對其分岔特征的影響。相關研究成果，可為非線性吸振器的理論研究和工程應用奠定基礎。

1 模型建立

分別建立有無重力場時安裝歐拉屈曲梁非線性吸振器的耦合動力學模型。

1.1 無重力場情況

不考慮重力場的影響，建立非線性耦合系統(tǒng)動力學模型，如圖1所示。圖1中：M，K，c1分別為主振系的慣性質量、剛度和阻尼；k和c2分別為非線性吸振器的剛度和阻尼；另外，x和y分別對應主振系慣性質量和非線性吸振器的位移；f為作用在主振系慣性質量上的外力。

圖1 非線性耦合系統(tǒng)動力學模型(無重力場)

根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)運動微分方程

(1)

1.2 有重力場情況

若考慮重力場的影響，主振系與非線性吸振器構成的耦合系統(tǒng)動力學模型，如圖2所示。

圖2 非線性耦合系統(tǒng)動力學模型(有重力場)

由圖2可知，對應系統(tǒng)的運動微分方程

(2)

對比圖1和圖2可見，受重力場影響的非線性吸振器和主振系的慣性質量均會下降一段距離，到達新的平衡位置。進而，根據(jù)靜力平衡關系可知平衡點的位置方程為

(3)

推導得到靜平衡位置為

(4)

其中

為了便于計算，引入新變量將坐標系轉換到靜平衡位置

(5)

將上述定義的新變量代入式(2)后，可得

(6)

1.3 慢變流方程

為了方便分析，進行坐標變換并定義無量綱化參數(shù)

通常，非線性系統(tǒng)的分岔特性主要考慮激勵頻率接近主振系固有頻率1∶1∶1的內共振情形，即：Ω=(1+μσ)。其中，σ為激勵頻率失調參數(shù)。

通過以上處理，式(1)和式(6)對應不同模型的運動微分方程變換為

模型一：無重力場情況

(7)

模型二：有重力場情況

(8)

進一步，利用復變量-平均法研究系統(tǒng)慢變動力流，引入新的復變量

(9)

式中：i為單位虛數(shù)；φi為系統(tǒng)慢變幅值。若不考慮主振系的阻尼，將式(9)代入式(7)和式(8)，通過平均化處理，可消除快變響應部分；同時，令φj=φje-iμστ(j=1，2)，可得系統(tǒng)慢變流。

模型一：無重力場情況

(10)

模型二：有重力場情況

(11)

2 分岔邊界

模型一：無重力場情況

iμσφ2+iφ2-iμσφ1-iφ1+2ξ2(1+1/μ)φ2-

(12)

模型二：有重力場情況

(13)

α3Z3+α2Z2+α1Z+α4=0

(14)

其中，模型一對應參數(shù)為

模型二對應參數(shù)為

求解式(14)所得的根即為不動點，對應方程周期解。

2.1 SN分岔

SN分岔是非線性系統(tǒng)平衡點變化的一種形式，式(14)分別存在單個解和3個解的情況，其解的邊界與SN分岔相對應。對式(14)求導，得到

3α3Z2+2α2Z+α1=0

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，將Z消除，得到

f=3α3(α1α2-9α3α4)2+

(16)

式(16)即為SN分岔邊界，因式(16)中所有參數(shù)均與A，ξ2，δ有關，所以上述方程可寫成

f(A,ξ2,δ)=0

(17)

通過求解式(17)容易求得參數(shù)A，ξ2，δ對應的SN分岔邊界。

2.2 Hopf分岔

SN分岔只能表征系統(tǒng)平衡點數(shù)目隨參數(shù)的變化特征，而解的穩(wěn)定性還需進一步判斷。在平衡點附近引入微小擾動

φ1=φ10+θ1，φ2=φ20+θ2

(18)

將式(18)代入式(10)和式(11)，忽略關于擾動量的高階小量，可得到系統(tǒng)平衡點附近的擾動方程

模型一：無重力場情況

(19)

模型二：有重力場情況

(20)

求解出式(19)和式(20)對應特征多項式方程

μ4+γ1μ3+γ2μ2+γ3μ+γ4=0

(21)

式中：μ為特征值；γ1，γ2，γ3，γ4太過復雜，詳見附錄A。

周期解穩(wěn)定性可根據(jù)特征值μ判斷，當系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔時，特征值滿足純虛數(shù)條件μ=±iω0，ω0為非零實數(shù)。代入式(21)，通過分離實部與虛部，化簡可得

(22)

將γ1，γ2，γ3，γ4代入式(22)，可得關于平衡點的方程，整理后可得關于Z的形式

v1Z2+v2Z+v3=0

(23)

其中，v1，v2，v3相對復雜，可由MATLAB軟件或Maple軟件求解。

由式(23)可得

(24)

同時，Z也應滿足式(14)，將式(24)代入式(14)，得

(25)

式(25)為系統(tǒng)Hopf分岔邊界應滿足的參數(shù)條件。

3 結果討論與分析

通過第2章推導已給出安裝歐拉屈曲梁非線性吸振器耦合動力學系統(tǒng)不同類型分岔的邊界條件表達式?？紤]研究工作的一致性，本章將結合已有研究給出的非線性耦合動力學系統(tǒng)的設計參數(shù)(如表1所示)展開討論，具體分析重力場對系統(tǒng)的頻響特性以及不同類型分岔特征的影響。

表1 設計參數(shù)值

3.1 重力場對頻響特性的影響

結合表1的設計參數(shù)，通過復變量-平均法得到力激勵條件下，考慮重力場影響的系統(tǒng)幅頻響應曲線，如圖3和圖4所示。

為了驗證解析計算結果的正確性，本部分首先采用四階龍格庫塔法通過數(shù)值方法計算得到力激勵條件下系統(tǒng)響應幅值的穩(wěn)態(tài)解，見圖3。由圖3可知，數(shù)值解與解析解吻合良好，證明本文給出的解析解正確。然后，考慮有無重力場條件下，計算得到系統(tǒng)的幅頻響應曲線，見圖4。由圖4可知，在力激勵條件下，重力場對系統(tǒng)幅頻響應曲線的影響主要集中于諧振頻率附近，相應幅值和峰值頻率略有差異，但影響不明顯。

圖3 幅頻響應曲線(考慮重力場)

圖4 幅頻響應曲線(有/無重力場)

3.2 重力場對分岔特性的影響

選取參數(shù)μ=0.02和δ=0.5，在二維平面(A，ξ2)繪制系統(tǒng)的SN分岔和Hopf分岔，如圖5所示。可見，受重力場影響，實現(xiàn)相同類型分岔所需激勵幅值更大，且相應分岔特征邊界所包圍的面積也更大。

圖5 重力場對分岔特性的影響

3.3 線性剛度對分岔特性的影響

本文所提出的歐拉曲梁非線性吸振器相比于嚴格意義上的純立方剛度非線性能量阱，還包含一個線性剛度項，本部分即重點討論線性剛度對系統(tǒng)分岔特性的影響。含線性剛度項前后不同失諧參數(shù)δ對應系統(tǒng)SN分岔特性的變化規(guī)律，分別如圖6(a)、圖6(b)所示。

相較于無重力場模型，考慮重力場影響耦合系統(tǒng)所含線性剛度項增加。由圖6可知，含線性剛度項對應系統(tǒng)的SN分岔，隨著失諧參數(shù)減小而增大，與不含線性剛度項對應系統(tǒng)SN分岔變化規(guī)律正好相反。此外，不考慮線性剛度模型SN分岔的變化規(guī)律與譚平所得結論一致，證明本文所建模型及分析結果的正確性。

(a) 含線性剛度

3.4 激勵幅值對分岔特性的影響

考慮外激勵對非線性系統(tǒng)響應特征的影響，保證設計參數(shù)不變，針對不同激勵幅值對非線性系統(tǒng)分岔特性的影響展開討論。結合第3.2節(jié)的分析結論，重力場僅改變分岔特征邊界的大小，其變化趨勢與無重力場相似，故，本節(jié)僅考慮有重力場工況，所得SN分岔與Hopf分岔，如圖7所示?？梢姡弘S著ξ2變化，當ξ2<0.011 3時，SN分岔與Hopf分岔同時存在；當0.011 3<ξ2<0.014 8，僅存在SN分岔；當ξ2>0.014 8時系統(tǒng)的分岔特征完全消失。圖7僅給出一組設計參數(shù)對應的情況，若改變設計參數(shù)，相應SN分岔和Hopf分岔曲線會呈現(xiàn)不同的重合方式。因此，分別選擇ξ2=0.005和ξ2=0.013兩種工況，觀察系統(tǒng)響應幅值隨激勵幅值變化的規(guī)律，如圖8所示。

圖7 SN分岔與Hopf分岔

(a) ξ2=0.005

選擇ξ2=0.005時，當激勵幅值逐漸變大時，系統(tǒng)由一個解變化為3個解，且會出現(xiàn)SN分岔和Hopf分岔共存的情況見圖8(a)。其中，SN分岔點為A=0.017和A=0.036；Hopf分岔點為A=0.026和A=0.035。

當選擇ξ2=0.013時，當激勵幅值逐漸變大時，系統(tǒng)由一個解變化為3個解；此時，僅存在SN分岔，Hopf分岔不存在。其中，SN分岔點為A=0.043和A=0.045。

考慮重力場影響，當激勵幅值增大時，響應幅值也會不斷增大，且多解情況和不穩(wěn)定區(qū)域會持續(xù)存在，當幅值達到一定程度，上層大幅值響應和下層小幅值響應會重合，但多解區(qū)間并未消失，反而會增大，如圖9所示。

圖9 不同激勵幅值下頻響曲線

3.5 設計參數(shù)對分岔特征的影響

由于影響歐拉屈曲梁非線性吸振器的設計參數(shù)眾多，其中，相比其他非線性吸振器方案，初始撓度q0、長度L以及斜置傾角θ為新增設計變量，故本部分重點針對上述3個變量對SN分岔與Hopf分岔特性的影響展開討論。

3.5.1 初始撓度q0的影響

考慮有重力場條件下，歐拉屈曲梁初始撓度對系統(tǒng)分岔特性的影響，選取參數(shù)μ=0.02，δ=0.5，計算結果如圖10所示。由圖10可知，初始撓度q0變化對系統(tǒng)分岔特性的影響不顯著。

3.5.2 梁長度L的影響

考慮歐拉屈曲梁長度L對系統(tǒng)分岔特性的影響，計算結果如圖11所示。由圖11可知，相較于初始撓度q0，歐拉屈曲梁長度L對于系統(tǒng)分岔特性的影響較大。隨著梁長度增加，系統(tǒng)SN分岔與Hopf分岔包圍范圍均不同程度減小。

3.5.3 斜置傾角θ的影響

歐拉曲梁斜置傾角θ對系統(tǒng)分岔特性的影響，如圖12所示?？梢?，隨著斜置傾角θ增大，系統(tǒng)SN分岔所需的激勵幅值和3個周期解的邊界減小，且Hopf分岔不穩(wěn)定解所包圍的范圍減小。

圖12 不同斜置傾角對應SN分岔和Hopf分岔

4 結 論

本文主要研究了考慮重力場影響，對歐拉屈曲梁非線性吸振器在1∶1∶1內共振情形下隨參數(shù)變化的分岔特性。主要得到以下結論：

(1) 力激勵條件下，重力場對系統(tǒng)幅頻響應曲線的影響主要集中于諧振頻率附近，相應幅值和峰值頻率略有差異，但影響不明顯。

(2) 受重力場影響，安裝非線性吸振器系統(tǒng)的SN分岔和Hopf分岔邊界均有所擴大。

(3) 考慮重力場影響，當失諧參數(shù)變小時，安裝非線性吸振器系統(tǒng)的SN分岔和Hopf分岔所包圍范圍變大，原因在于非線性吸振器含有線性剛度；若不考慮線性剛度，與上述結論恰好相反。

(4) 隨著設計參數(shù)變化，系統(tǒng)存在SN分岔以及Hopf分岔共存的情況；而且，受阻尼比ξ2的影響，兩種分岔共存的情況會發(fā)生變化。

(5) 隨激勵幅值增大，重力場導致系統(tǒng)響應幅值Z變大；系統(tǒng)的解由一個變?yōu)槎鄠€并且整個解枝分為上下層；當激勵幅值繼續(xù)增大，上下兩層重合并且多解區(qū)間不會消失。

(6) 眾多設計參數(shù)中，歐拉屈曲梁長度及斜置傾角對考慮重力場情況下的系統(tǒng)分岔特性影響較大，隨著梁長和斜置傾角增加，系統(tǒng)SN分岔所需的激勵幅值減??；SN分岔與Hopf分岔邊界均減小。

附錄A

無重力

有重力

γ3=4ξ2(δ2μ2+δ2μ+2μδ+1),

16L6δ2μ2ε2+32L5Peδ3μ2ε1+96L5Peδ2μ2zε3-32L5Peδ2μ2εε1-96L5Peδ2μzεε3+

32L6δμε2+32L5Peδ2με1-32L5Peδ2εε1+48L5Peδμzε3-64L5Peδμεε1-

96L3PeS2δ2με3+96L3PeS2δ2εε3+192L3PeS2δμεε3-96L2Pe2S2δ2ε1ε3-