陶善澤, 胡宇達

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院， 河北 秦皇島 066004;2. 燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

隨著材料科學的發(fā)展進步以及現(xiàn)代科技領域的需要，電磁材料在工業(yè)領域和日常生活中得到了長足的發(fā)展和廣泛的應用。薄板作為工程中常見的一類薄壁結構，其在航空航天、磁懸浮運輸、醫(yī)療器械等一些特定領域中應用時，有時會處于磁場環(huán)境下，并產生復雜的磁固耦合動力學行為。因此對結構在磁場作用下力學特性的研究具有重要理論與實際意義。

目前，國內外學者對板結構的非線性振動問題已進行了許多研究。Twinkle等[1-2]研究了各向同性矩形板和正交各向異性矩形薄板的自由振動問題，分析了頻率及振型變化規(guī)律。Chen等[3]研究了面內雙向功能梯度矩形板在橫向簡諧激勵下的非線性振動問題。Javani等[4]研究了石墨烯薄片增強納米復合材料圓板的非線性自由振動問題。Sasadhar[5]研究了在周期性激勵力作用下含孔非均勻圓薄板的強迫振動問題。胡宇達等[6]針對熱環(huán)境下的旋轉功能梯度圓板，建立了相關力學模型并分析了不同參數對其強非線性固有振動特性的影響。陳萬吉等[7]對Mindlin層合板的自由振動問題進行了研究。對于電磁材料結構在磁場中的磁彈性振動及屈曲問題，學者們也取得了許多研究成果。Elham等[8]研究了載流鐵磁梁板在磁場作用下的非線性振動行為。Golubeva等[9]研究了鐵磁矩形板在縱向磁場中的振動問題。李哲等[10]研究了夾支和簡支邊界條件下變速運動圓板在磁場中的參強聯(lián)合共振問題。Yang等[11]基于能量法對在橫向、斜向和縱向磁場中的鐵磁薄板的磁彈性屈曲問題進行了分析。Kou等[12]對傾斜磁場中鐵磁板的諧振特性進行了理論和試驗研究。王省哲等[13]針對傾斜磁場環(huán)境中鐵磁板的非線性彎曲問題進行理論分析。Gao[14]對懸臂矩形軟鐵磁板在磁彈塑性耦合作用下的屈曲、斷裂和彎曲行為進行了分析。胡宇達等[15-16]針對導電圓板在磁場中的共振問題和超諧-組合共振問題進行了研究。Hu等[17]研究了旋轉運動圓板的磁彈性軸對稱多模態(tài)共振和Hopf分岔問題，分析了轉速及磁場的影響。Irazu等[18]針對渦流效應對導電梁的振動衰減問題進行了研究，分析了磁場作用下梁結構的振動響應特性。

現(xiàn)有研究表明，對于結構非線性振動以及磁彈性屈曲、導電結構振動等問題的研究相對較多。同時，因軟鐵磁材料具有較強的磁化效應作用因素，將表現(xiàn)出更加復雜的力學行為，而其中的非線性振動問題也逐漸引起關注，其研究工作還較少。本文針對鐵磁材料薄板結構，研究常磁靜載作用下系統(tǒng)的非線性振動問題，應用攝動展開法和多尺度法，推得非線性自由振動解析解和固有頻率表達式，分析初值、邊長比、磁場強度等參量對系統(tǒng)固有振動特性的影響。

1 基本理論

1.1 動能與勢能

考慮各向同性鐵磁性矩形薄板處于上、下不同區(qū)域的外加橫向恒定磁場環(huán)境中(H1為上部橫向磁場強度，H2為下部橫向磁場強度)。對于矩形薄板建立直角坐標系(x，y，z)，如圖1所示。矩形板厚度為h，長為l，寬為b，質量密度為ρ。以下將通過推導，得出磁場環(huán)境下鐵磁矩形薄板的磁彈性耦合振動方程。

圖1 磁場中鐵磁矩形板模型

處于外加磁場環(huán)境下的鐵磁矩形薄板，設板內任取一點的變形位移分量在直角坐標系下可表示為

(1)

則矩形板的速度分量可以表示為

(2)

由此可得系統(tǒng)的動能表達式為

(3)

基于彈性理論，板的彎曲形變勢能和中面應變勢能的表達式分別為

(4)

(5)

1.2 電磁力

根據磁彈性相互作用的理論模型[19]，可得出各向同性軟鐵磁介質受到的磁化磁體力

(6)

式中：Hni(i=1,2)為矩形板上、下表面處的法向磁場強度，易由電磁邊界條件確定；μ0為真空磁導率；μr為相對磁導率；χm為材料的磁化率，χm=μr-1。

磁場中鐵磁矩形板所受洛倫茲力表達式為

f(fx,fy,fz)=J×B

(7)

式中：J=σ0(V×B)為電流密度矢量；B=μ0μrH為磁感應強度矢量；σ0為電導率。

設在矩形板內部，磁場沿軸z線性分布，則

(8)

根據式(2)和式(7)，并忽略面內位移，可得直角坐標系下鐵磁矩形板所受各方向洛倫茲體力為

(9)

將式(9)沿板厚方向z進行積分，可進一步求得薄板所受的單位面積電磁力矩式

(10)

(11)

故橫向磁場中鐵磁矩形板所受總電磁力的虛功式為

(12)

1.3 振動方程

根據哈密頓變分原理，有

(13)

式中，t1和t2為積分時間域。最后將式(3)～式(5)代入到式(13)，整理得鐵磁矩形薄板的橫向磁彈性振動方程為

(14)

其中，幾何非線性下的中面內力表示為

(15)

2 靜磁力作用下矩形板振動方程

對于橫向常磁場環(huán)境下的鐵磁矩形板，將式(6)、式(10)、式(11)和式(15)代入式(14)中，可得到如下含常磁靜載項的位移型非線性振動方程

(16)

設矩形板在靜磁力Q作用下產生的靜撓度w0，振動時的擾動撓度為w1，則總撓度可攝動展開為

w=w0+w1

(17)

初始撓度w0滿足方程：

(18)

對于四邊簡支邊界條件，設

(19)

將式(19)代入式(18)，可求得如下確定f0的代數方程

(20)

其中

同樣，再將擾動位移函數設為

(21)

最終，將式(17)代入式(16)，并結合式(21)和式(19)及求得的f0，通過伽遼金離散可推得擾動振動方程為

A1q″(t)+A2q′(t)+A3q(t)+A4q2(t)+

A5q3(t)=0

(22)

其中

3 非線性振動解析解和固有頻率

下面對呈現(xiàn)弱非線性特征振動系統(tǒng)的非線性固有振動問題進行解析求解，并將式(21)寫為

ε2B3q3(t)=0

(23)

用多尺度法求解微分方程，在時間尺度上討論二次近似解，取T0=t，T1=εt，T2=ε2t。則振動微分方程的近似解可表示為：

q(t,ε)=q0(T0,T1,T2)+εq1(T0,T1,T2)+

ε2q2(T0,T1,T2)

(24)

將式(24)代入式(23)，令ε的同次冪項相等得到

(25)

(26)

(27)

式(25)的通解為

(28)

將式(28)代入式(26)得

(29)

式中，cc為左邊各項的共軛復數。為消除避免久期項，可得

(30)

從而解得

(31)

將式(28)和式(31)代入式(27)右邊，為消除久期項，可得

(32)

從而解得

(33)

為確定復數函數A，將A對t的導數寫作

(34)

再將復函數A寫作指數形式

(35)

將式(35)代入式(34)并應用式(29)和式(32)，進行實部與虛部分離得

(36)

其解為

(37)

式中，a0和β0均為取決于初始條件的積分常數。

最終，將以上求得的各冪次解代回式(24)，得出非線性振動系統(tǒng)的二次近似解為

(38)

其中

(39)

從而得到系統(tǒng)的首階非線性固有振動頻率為

(40)

4 算例分析

對于橫向磁場中受靜磁力作用的鐵磁矩形薄板，在四邊簡支邊界條件下進行算例分析，矩形薄板長l=0.6 m，寬b=0.2 m，所選材料物理參數如表1所示。

表1 薄板物理參數

4.1 結果對比

3種不同材料矩形板，其數值解與解析解的響應圖與相圖結果對比圖，分別如圖2、圖3所示。其中，數值解采用龍格庫塔法對微分方程式(22)進行求解，解析解為采用多尺度法求得的結果式(38)而計算得到的，并將獲得的數值解與解析解的響應圖和相圖進行對比分析。由圖2及圖3可見，數值解與解析解的曲線基本吻合，驗證了本文采用多尺度法求解的正確性。

(a) 低碳鋼

(a) 低碳鋼

4.2 固有頻率隨時間變化規(guī)律

3種不同材料的矩形薄板，在取板厚、初值和磁場強度不同時，固有頻率隨時間變化的特性規(guī)律曲線圖,分別如圖4～圖6所示。由3幅圖均可看到，隨著時間的增加，3種材料鐵磁矩形板的固有頻率會趨于定值。其原因在于，本文采用多尺度法求得的非線性固有振動頻率式(40)中，存在一個含時間t的負指數衰減項，故當時間增大時，固有頻率值將逐漸變小，最終會趨于一定常值，只在初始階段固有頻率隨時間有明顯變化，體現(xiàn)了系統(tǒng)的非線性振動特性。

圖4中曲線表明，當磁場存在時，板厚越大，頻率越大，且隨著時間的增加而逐漸減小。由圖5可知，當初值不同時，頻率的初始值也不同，并且當初值越大時，頻率初始值也越大；但是隨著時間的增加，初值的影響越來越小，頻率值快速下降，最終趨于一定值。圖6中曲線表明，當上、下表面磁場強度均為零時，固有頻率不隨時間的增加而發(fā)生變化，此時相當于無外加磁場情況；當上表面磁場強度為零，而下表面磁場強度不為零時，其固有頻率隨時間的增加而逐漸減小。對比圖6(a)～圖6(c)中各材料的頻率變化曲線可知，當上下表面磁場強度均為零，即無磁場情況時，馬氏體鋼和低碳鋼材料矩形板的固有頻率大小相當，而灰鑄鐵材料的固有頻率明顯偏小；根據表1可知，這是由材料物理參數的不同導致的。

(a) 低碳鋼

(a) 低碳鋼

(a) 低碳鋼

通過龍格庫塔法求解得到的不同初值時，3種不同材料矩形薄板的功率譜圖，如圖7所示。將各圖中不同材料矩形板的固有頻率與圖5進行比較，結果基本一致，說明了本文解析解的可靠性。

(a) 低碳鋼

4.3 頻率隨不同特征參數變化規(guī)律

3種不同材料的矩形薄板，當板厚不同時，其固有頻率隨初值變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖8所示。由圖8可知，3種材料的固有頻率隨初值的變化規(guī)律有相同之處：板厚越大，固有頻率越大；隨初值的增大，其振動頻率也隨之增大。通過對比圖8(a)～圖8(c)，即3種材料的頻率變化關系曲線可知，其不同之處為：低碳鋼材料矩形板的固有頻率隨初值增大而增大最多，其次是灰鑄鐵，最后是馬氏體鋼；且對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，板厚增大會使固有頻率的增大幅度變小。出現(xiàn)上述的原因可根據固有頻率表達式得到，當選定一種材料且時間及其他參數確定時，固有頻率的大小主要由初值所在的衰減項決定，且衰減項為正，故初值越大固有頻率越大；當其他參數和時間均相同時，可知固有頻率的增大幅度主要受衰減項中指數項影響，對比3種材料的物理參數并考慮式(40)，故可得出各材料頻率受初值影響大小的順序依次為：低碳鋼、灰鑄鐵、馬氏體鋼。

(a) 低碳鋼

3種不同材料的矩形薄板，當取不同初值時，其固有頻率隨邊長比g(矩形板短邊長度與長邊長度的比值)變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖9所示。由圖9可知，對于3種材料均有：在給定相同參數時，隨矩形板邊長比的增大，其固有頻率隨之減小。對于馬氏體鋼材料的矩形薄板，觀察圖9(c)中頻率隨邊長比的變化關系曲線，分析頻率表達式(40)中各參數之間的關系可知，當邊長比增大到一定值時，與初值項相關的衰減項中會出現(xiàn)為零的情況，故不同初值的頻率曲線會相交于一點，在交點的左側，初值越大，固有頻率越大；在交點的右側，初值越大，固有頻率反而越??；由低碳鋼和灰鑄鐵材料的頻率變化關系曲線可知，在邊長比一定時，初值越大，其固有頻率越大。

(a) 低碳鋼

3種不同材料的矩形薄板，當取不同板厚時，其固有頻率隨邊長比g變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖10所示。由圖10可知，對于3種材料均有：固有頻率隨邊長比的增大而減小。對于馬氏體鋼材料，基于得出的固有頻率表達式(40)可知，當邊長比取特定值時，存在相同的固有頻率值，此時3條曲線交于一點，并使得左、右側的頻率呈現(xiàn)不同變化規(guī)律。對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，由圖10(a)和圖10(b)可知，在邊長比一定時，板厚越大，其固有頻率越大。

(a) 低碳鋼

3種不同材料的矩形薄板，當其處于上、下表面磁場強度之和一定的磁場環(huán)境中，取不同初值和不同板厚時，其固有頻率隨下表面磁場強度變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖11、圖12所示。從兩圖中均可看出，低碳鋼和灰鑄鐵材料在上述磁場條件下，其頻率隨下表面磁場強度的增大，并無明顯變化。而材料為馬氏體鋼的矩形板固有頻率隨下表面磁場強度的增大有明顯變化趨。

由圖11知，當初值取值很小時，系統(tǒng)頻率隨磁場強度的增大先減小到最低點再增大，當初值取值超過一定數值時，系統(tǒng)頻率會隨磁場強度的增大而呈現(xiàn)相反趨勢，先增大到最高點，然后再減小。出現(xiàn)這種情況的原因由固有頻率表達式(40)可知，當其他參數確定并取上述磁場條件時，對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，隨下表面磁場強度的增大其頻率表達式中衰減項所受影響很小，故頻率無明顯變化；而對于馬氏體鋼材料，其衰減項所受影響較大，故曲線有明顯變化；當上下表面磁場強度相等時，出現(xiàn)極值點，此時衰減項最大，頻率達到峰值。

(a) 低碳鋼

由圖12可知，對3種材料均有：板厚越大，固有頻率越大。對于馬氏體鋼材料矩形板，其固有頻率隨下表面磁場強度的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因為，當其他條件確定，且取上述磁場條件時，對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，下表面磁場強度的增大對頻率衰減項的影響很小，故曲線無明顯變化；而對于馬氏體鋼材料，可知其頻率表達式中衰減項受磁場強度的影響并不是很小，故可看出其變化。

(a) 低碳鋼

5 結 論

本文研究了常磁場環(huán)境下鐵磁材料矩形板的非線性振動問題，確定了靜磁產生的靜撓度，應用近似解析法推得非線性系統(tǒng)的振動響應解和依賴于初值、時間變量的固有頻率式，并給出算例分析。結果表明：

(1) 在相同條件下，3種材料矩形板固有頻率特性隨不同參數的變化有相同之處。即——隨時間推移，固有頻率最終接近于一定值；隨初值的增大，其頻率逐漸增大；隨上下表面磁場強度的變化，會呈現(xiàn)出對稱的趨勢，邊長比的增大，則使頻率值逐漸減小。

(2) 在相同條件下，各材料的頻率變化規(guī)律不同之處為：隨初值的增大，固有頻率的增大幅度不同；隨上下表面磁場強度的變化，低碳鋼和灰鑄鐵材料的頻率無明顯變化。