張昕濤， 趙珧冰， 2， 蔡紹輝， 郭智銳

(1. 華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 廈門 361021；2. 福建省智慧基礎(chǔ)設(shè)施與監(jiān)測重點實驗室， 福建 廈門 361021)

非線性動力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，常采用偏微分方程來描述其運動，理論上這類方程可以利用多尺度等攝動法直接求解[1]。然而動力系統(tǒng)均有無窮多階模態(tài)，其線性模態(tài)具有同頻性、不變形、正交性和疊加性[2]。因此無論是試驗測試還是理論分析，都只能獲得一定數(shù)量或者某頻率帶內(nèi)的模態(tài)，無法獲得系統(tǒng)全部模態(tài)。因此為研究簡便，僅考慮有限模態(tài)，研究人員采用模型降階對各類動力系統(tǒng)進行離散降維[3-4]。那么采用有限模態(tài)來描述一個無窮維連續(xù)系統(tǒng)的動力學(xué)行為，高階模態(tài)振型和頻率被忽略，如何評價其結(jié)果的收斂性和準確性，是否能真實反應(yīng)系統(tǒng)非線性振動特性，研究中需要重點關(guān)注。

為了使離散導(dǎo)致的誤差盡量降低，模態(tài)截斷的數(shù)量應(yīng)盡可能大。然而隨著模態(tài)階數(shù)不斷增加，計算結(jié)果雖趨于穩(wěn)定，但效率迅速下降，準確度提升卻非常有限[5]。同時部分非線性系統(tǒng)，低階離散模型即可展示其真實動力學(xué)特性。因此研究人員截取一定數(shù)量的模態(tài)，不但可以保證計算結(jié)果準確，而且使得消耗的資源可控，便于工程實踐以及理論分析。然而對于各類非線性系統(tǒng)[6-13]：碰撞系統(tǒng)、矩形薄板、風力機葉片、輸液管、懸臂管、黏彈性梁以及懸索等，模態(tài)截斷數(shù)量差異較大，必須針對性地開展計算和分析。單純的模態(tài)分析，很難直接判定模態(tài)截斷有多大的影響，只能通過結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)或模態(tài)貢獻量，間接判斷模態(tài)截斷的影響，得到合理的模態(tài)截斷數(shù)。倘若進一步涉及到模態(tài)間的耦合共振，此時能量會在不同模態(tài)間傳遞，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生大幅振動，危害結(jié)構(gòu)安全，此時如何評價不同模態(tài)對耦合共振的貢獻，也是研究人員重點關(guān)注的。

在上述眾多非線性動力學(xué)系統(tǒng)中，懸索作為一類大跨度柔性結(jié)構(gòu)，其動力學(xué)行為豐富且復(fù)雜。以懸索面內(nèi)和面外主共振為例，忽略模態(tài)間耦合共振時，Arafat等分析了有效非線性系數(shù)與模態(tài)截斷階數(shù)的關(guān)系，通過對比直接法和離散法的近似結(jié)果，發(fā)現(xiàn)單模態(tài)離散可能會導(dǎo)致明顯的定量和定性的誤差。Guo等[14-15]針對可移動邊界問題，進一步對比和分析離散法帶來的誤差并闡述其根源。對于多模態(tài)內(nèi)共振響應(yīng)，為計算簡便，離散時常常只考慮直接激勵和內(nèi)共振兩個模態(tài)[16]。然而非直接激勵以及非內(nèi)共振模態(tài)對系統(tǒng)共振響應(yīng)或多或少存在影響[17]，單純僅考慮兩模態(tài)離散可能無法準確反饋系統(tǒng)模態(tài)間的耦合振動特性。

懸索動力學(xué)方程極具代表性，其同時包含立方非線性(由張拉力引起)和平方非線性(由垂度導(dǎo)致)，很多動力系統(tǒng)(斜拉梁、梁-索-梁、淺拱、板、葉片等)離散后均可以表示成類似方程。因此本文基于懸索面內(nèi)非線性動力學(xué)模型，采用Galerkin法進行離散，以系統(tǒng)發(fā)生3∶1內(nèi)共振響應(yīng)為例進行分析。該形式的內(nèi)共振與立方非線性項直接相關(guān)，該非線性源于懸索的初張力。通過對比兩種模態(tài)截斷(九階和兩階)時，系統(tǒng)的激勵響應(yīng)幅值曲線、幅頻響應(yīng)曲線、時程曲線、相位圖、頻率譜、龐加萊截面以及李雅普諾夫指數(shù)的異同，從而闡述模態(tài)截斷對該類動力系統(tǒng)耦合共振響應(yīng)特性的影響。

1 動力學(xué)模型

圖1所示水平懸索，跨度為L，垂度為b，懸掛于O和B。以O(shè)為原點，OB為x軸，垂直于OB向下為y軸建立坐標系O-xy。在均布簡諧荷載作用下，u(x,t)和v(x,t)分別為懸索軸向和豎向的位移。

圖1 懸索構(gòu)形及特性

忽略懸索彎曲、扭轉(zhuǎn)以及剪切剛度，基于哈密頓變分原理，引入擬靜態(tài)拉伸假設(shè)，并結(jié)合索軸向張力平衡方程，得到懸索軸向應(yīng)變的擬靜態(tài)解。然后積分并引入邊界條件，可得系統(tǒng)軸向的運動方程u(x,t)，從而得到懸索面內(nèi)非線性運動微分方程

(1)

式中：“·”為對t求導(dǎo)；“′”為對x求導(dǎo)；m和cv分別為懸索單位長度質(zhì)量和阻尼系數(shù)；A為橫截面面積；E為彈性模量；H為初始水平張力；y(x)為靜態(tài)構(gòu)形，拋物線表示為y(x)=4b(L-x)x/L2；Fv和Ω分別為外激勵幅值和頻率。

引入無量綱參數(shù)[18]，并代入式(1)，利用Galerkin法進行離散，將空間x和時間t分離，可得離散后的無窮維常微分方程[18]

(2)

式中：qn(t)為廣義坐標；模態(tài)函數(shù)以及系數(shù)如Zhao等的研究所示。

2 攝動求解

對于二階常微分方程式(2)，采用多尺度法求解近似解，首先將該二階微分方程改寫為兩個一階方程

(3)

(4)

將上述位移和速度的廣義坐標代入式(3)、式(4)中

(5)

ε2:D0qk2-zk2=-D1qk1,

(6)

ε3:D0qk3-zk3=-D1qk2-D2qk1

D2zk1+fkcos(Ωt)

(7)

假設(shè)懸索m和n階模態(tài)之間發(fā)生內(nèi)共振，那么一階方程式(5)的解表示為

(8)

式中，δkm和δkn(k=m,n)為Delta函數(shù)。將式(8)代入二階方程式(6)，可得二階近似解

zk2=D0qk2

(9)

此處以k=m為例(同理可計算k=n)。將式(8)、式(9)代入三階方程式(7)中第二個方程，可得

-D1zm2-iωmD2AmeiωmT0+

fmcos(Ωt)+NST

(10)

此時平方非線性導(dǎo)致的共振項可表示為

(11)

式(8)、式(9)中均包含頻率ωk(k=m,n)，而對于由于平方非線性引發(fā)的共振項式(11)，其包含一階和二階方程解的乘積項，因此導(dǎo)致內(nèi)共振響應(yīng)勢必受到其他非共振模態(tài)影響，無法直接忽略。倘若進行兩階模態(tài)截斷，其余非共振項和非直接激勵項均被忽略。同時，對立方非線性導(dǎo)致的共振項進行分析，如下所示，由于攝動階數(shù)，其不包含二階解

(12)

結(jié)合式(10)、式(11)，得式(10)最終表達式

(13)

其中非線性相互作用系數(shù)Kij表達式如下

3Γmmmm,

3Γnnnn

(14)

2(Γmnnm+Γmnmn+Γmmnn),

(Γmnmm+Γmmnm+Γmmmn)

(15)

本文假設(shè)系統(tǒng)兩正對稱模態(tài)之間發(fā)生3∶1內(nèi)共振，為了描述外激勵頻率與模態(tài)頻率之間以及兩模態(tài)頻率之間差值，引入外調(diào)諧參數(shù)σ1和內(nèi)調(diào)諧參數(shù)σ2：Ω=ωi+εσ1和ωn=3ωm+εσ2，其中：i=m,n。根據(jù)式(13)，得到可解性條件，再根據(jù)重組法得到調(diào)諧方程。此時Aj可表示成極坐標形式和直角坐標形式，為描述簡便，本文采用直角坐標形式：Aj=[pj(t)-irj(t)]·eiβj(t)/2,j=m,n，系統(tǒng)調(diào)諧方程如下所示

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：當激勵直接作用在低階模態(tài)時(Ω=ωm)，υm=σ1，υn=(3σ1-σ2)；當激勵直接作用在高階模態(tài)時(Ω=ωn),υm=(σ1+σ2)/3,υn=σ1，式中其他非線性相互作用系數(shù)為(S=Sm=3Sn)

(Γmnmm+Γmmnm+Γmmmn)

(20)

(21)

3 數(shù)值算例與分析

數(shù)值算例中，懸索的物理參數(shù)為：L=200.0 m，A=7.069×10-2m2，E=200 GPa，ρ=7 800.0 kg/m3，g=9.81 m/s2，低階和高階模態(tài)的無量綱阻尼系數(shù)分別為0.005和0.006。

如圖2所示，基于特征值分析，可得懸索前十階模態(tài)頻率與Irvine參數(shù)λ2的關(guān)系。圖2中的(a)～(g)處，頻率之間多處呈現(xiàn)三倍關(guān)系，但由于模態(tài)正交性，在圖中(b)、(d)和(g)3處兩個正對稱模態(tài)之間可能發(fā)生3∶1內(nèi)共振。其余情況雖然頻率之間呈現(xiàn)出公倍關(guān)系，但是系統(tǒng)不會發(fā)生模態(tài)間的耦合共振[19]。本文以第一階正對稱模態(tài)和第三階正對稱模態(tài)之間發(fā)生3∶1內(nèi)共振為例，探究模態(tài)截斷對系統(tǒng)耦合共振的影響。已有研究表明：無論懸索或是斜拉索，即取前九階模態(tài)可反應(yīng)其真實動力學(xué)行為。

圖2 前10階模態(tài)頻率與Irvine參數(shù)關(guān)系

對于模態(tài)耦合共振，確定線性和非線性系數(shù)后，基于直角形式的平均方程式(16)～式(19)，給定合適的初始條件，利用Newton-Raphson法求得不動點，動態(tài)解(極限環(huán))則利用打靶法求得。不動點的穩(wěn)定性通過判斷其Jacobian矩陣的特征值來確定。有且僅有所有特征值的實數(shù)部分為負時，解為穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。在霍普夫分岔附近，不動點的穩(wěn)定性會發(fā)生變化，此時基于Floquet理論來判斷極限環(huán)的穩(wěn)定性。通過給定的初始條件，求得系統(tǒng)遠離共振區(qū)域的解，之后采用擬弧長延拓法得到其余區(qū)域的共振響應(yīng)曲線。

因此基于兩階和九階模態(tài)截斷后的動力學(xué)方程，對比其激勵響應(yīng)幅值曲線、幅頻響應(yīng)曲線、時程曲線、相位圖、頻率譜、龐加萊截面和李雅普諾夫指數(shù)等，分析模態(tài)截斷對耦合共振的影響。

首先，假設(shè)外激勵直接作用在低階模態(tài)，兩調(diào)諧參數(shù)σ1和σ2分別選取為-0.2和0。圖3對比了截取系統(tǒng)前九階模態(tài)和僅考慮直接激勵和內(nèi)共振兩個模態(tài)時的激勵響應(yīng)幅值曲線。圖3中實線表示穩(wěn)定解，虛線表示不穩(wěn)定解，激勵直接作用在低階，因此a1為直接響應(yīng)幅值，a5為由于能量傳遞引起的內(nèi)共振響應(yīng)幅值，SN和HB分別為鞍結(jié)點和霍普夫分岔，下標為分岔數(shù)，N為截取的模態(tài)數(shù)量。

對比圖3(a)和圖3(b)，直接激勵幅值f1從0逐漸增大，a1不斷增大，a5基本保持不變，直到第一個鞍結(jié)點分岔SN1。此處系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，幅值a1和a5將迅速增大。之后隨著f1繼續(xù)增加，a1依然不斷增大，a5則有可能增大或者減小，與跳躍點條件相關(guān)。兩者明顯的不同點在于：當采用兩模態(tài)截斷時，見圖3(b)，隨著激勵幅值f1增加，系統(tǒng)會額外出現(xiàn)兩個霍普夫分岔(HB1和HB2)，此局部區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)將展現(xiàn)出更為復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為。而截取前九階模態(tài)，動力系統(tǒng)并未展現(xiàn)霍普夫分岔。

當激勵幅值f1從0.006不斷減小到0時，除有無霍普夫分岔點這一明顯區(qū)別外，系統(tǒng)的第三個鞍結(jié)點分岔SN3也有差異。當采用九階模態(tài)截斷時，SN3將出現(xiàn)在更大的激勵幅值處，從而導(dǎo)致系統(tǒng)跳躍現(xiàn)象提前出現(xiàn)。由此可見，除局部共振區(qū)域外，模態(tài)截取階數(shù)對系統(tǒng)的共振響應(yīng)幅值大小也有定量影響。而分岔與模態(tài)截斷的階數(shù)關(guān)系更為密切，僅考慮兩階模態(tài)，會使得該動力系統(tǒng)額外出現(xiàn)兩個霍普夫分岔，使得局部動態(tài)周期解變得更為復(fù)雜。

此外為驗證理論分析結(jié)果的正確性和可靠性，采用四階龍格庫塔法直接對截取兩個模態(tài)下的微分方程進行直接數(shù)值積分。得到的結(jié)果見圖3(b)，除響應(yīng)幅值存在定量的差異外，兩者吻合較好。

(a) 九階模態(tài)

接著，選取外激勵幅值f1為0.002 5，內(nèi)調(diào)諧參數(shù)σ2=0，圖4給出了該非線性系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。截取前九階模態(tài)時，系統(tǒng)共振響應(yīng)會出現(xiàn)3個鞍結(jié)點分岔(SN1, SN2和SN3)，直接導(dǎo)致3次跳躍現(xiàn)象發(fā)生。而兩模態(tài)截斷時，系統(tǒng)鞍結(jié)點分岔減少為兩個(SN1和SN2)，同時在小范圍內(nèi)會額外出現(xiàn)兩個霍普夫分岔(HB1和HB2)。

(a) 九階模態(tài)

對于直接激勵幅值a1而言，截取系統(tǒng)前九階模態(tài)時，由于新出現(xiàn)的鞍結(jié)點分岔SN3，當外調(diào)諧參數(shù)σ1由1.0不斷減小時，系統(tǒng)跳躍現(xiàn)象將提前發(fā)生，直接激勵響應(yīng)振幅a1將突然減小。對于內(nèi)共振響應(yīng)幅值a5，隨著調(diào)諧參數(shù)從1.0不斷減小，兩模態(tài)離散時，a5隨之不斷增加，而九階模態(tài)截斷時，在SN3點附近會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，導(dǎo)致a5突然增大。由此可見，在局部共振區(qū)域，不同階模態(tài)截斷會直接導(dǎo)致振幅出現(xiàn)較大區(qū)別。兩模態(tài)離散可能會遺漏分岔點(如：鞍結(jié)點分岔)以及出現(xiàn)額外的分岔(如：霍普夫分岔)。

同時，為了進一步展現(xiàn)兩類模態(tài)截斷方法導(dǎo)致計算結(jié)果區(qū)別，圖5給出了兩模態(tài)離散時系統(tǒng)的時程曲線、相位圖、頻率譜和龐加萊截面。此時外/內(nèi)調(diào)諧參數(shù)和外激勵幅值分別選取為σ1=-0.15，σ2=0.3和f1=0.002 5。如圖5所示，兩模態(tài)截斷下的動力系統(tǒng)展現(xiàn)出明顯的混沌特性。

(a)

對于四維系統(tǒng)，當4個李雅普諾夫指數(shù)為(負；負；負；負)時，吸引子類型為不動點；指數(shù)為(零；負；負；負)為周期吸引子；指數(shù)為(零；零；負；負)為擬周期吸引子；指數(shù)為(正；零；負；負)為混沌吸引子。此處兩模態(tài)截斷時4個李雅普諾夫指數(shù)分別為：(0.012 933；-2.767 7×10-5； -0.010 464；-0.024 441)，即(正；零；負；負)，混沌吸引子。李雅普諾夫指數(shù)代表相軌道在某個維度的混亂程度，第二個指數(shù)與其他相比，相差3個量級。因此有限時間內(nèi)，相比另外幾個維度，第二個指數(shù)所體現(xiàn)出的混亂程度在相位圖中可以忽略不計，其大小視為等于0。

選取相同參數(shù)，當系統(tǒng)截取前九階模態(tài)時，時程曲線如圖6所示，4個指數(shù)分別為：(-0.004 777 4；-0.005 205 9； -0.005 473 8；-0.006 542 8)，即(負；負；負；負)，該吸引子的類型為不動點。由此可見，不同階的模態(tài)截斷可能得到截然不同的吸引子類型。

圖6 九階模態(tài)截斷時懸索的時程曲線

最后，上述分析均針對外激勵直接作用在低階模態(tài)，對于其作用在高階模態(tài)時，圖7給出了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線(f5=0.002 5和σ2=0)。與前一種工況不同的是，此時動力系統(tǒng)將明顯展現(xiàn)出兩類解：單模態(tài)解(a1=0和a5≠0)和內(nèi)共振解(a1≠0和a5≠0)。

(a) 九階模態(tài)

對于單模態(tài)解，模態(tài)截斷對共振響應(yīng)幅值的影響不明顯。而對于小范圍發(fā)生的內(nèi)共振響應(yīng)，除響應(yīng)幅值和范圍稍微發(fā)生改變外，霍普夫分岔和鞍結(jié)點分岔數(shù)量和性質(zhì)并未發(fā)生改變。因此當外激勵直接作用于高階模態(tài)時，模態(tài)截斷數(shù)對系統(tǒng)共振響應(yīng)幅值和分岔影響要顯著降低。同時亦采用四階龍格庫塔法直接數(shù)值積分求解兩模態(tài)離散下的常微分方程組，積分結(jié)果如圖7(b)所示，可知吻合很好。

4 結(jié) 論

采用離散法結(jié)合攝動法求解非線性系統(tǒng)的微分方程，分析模態(tài)的耦合共振，計算結(jié)果的誤差來自兩方面：模態(tài)離散和攝動分析。結(jié)果表明：非直接激勵和非內(nèi)共振模態(tài)會影響動力系統(tǒng)的內(nèi)共振響應(yīng)，根源在于平方非線性導(dǎo)致的共振項；對于外激勵直接作用在低階和高階模態(tài)的情況，不同階的模態(tài)截斷導(dǎo)致系統(tǒng)動力學(xué)特性的差異程度，前者要明顯高于后者；在局部耦合共振區(qū)域，模態(tài)截斷對系統(tǒng)共振響應(yīng)幅值大小影響明顯；分岔與模態(tài)截斷的階數(shù)密切相關(guān)，僅考慮兩階模態(tài)時，分岔分析可能會遺漏鞍結(jié)點分岔或會新增霍普夫分岔；不同階的模態(tài)截斷有可能導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)截然不同的吸引子類型，比如：混沌或不動點；倘若僅分析內(nèi)共振的穩(wěn)定解，除局部共振區(qū)域，兩階模態(tài)離散可以滿足分析需要；倘若要分析該系統(tǒng)分岔和周期運動，宜采用多階模態(tài)截斷。