鄭玉琴

【摘? ?要】教材是重要的教學(xué)資源。以三個版本教材中“商不變性質(zhì)”的相關(guān)內(nèi)容為基礎(chǔ)，結(jié)合對比分析與實證研究，發(fā)現(xiàn)：豐富多彩、適度開放的情境有利于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題；舉例驗證過程的完整性有利于學(xué)生提高推理能力；對觀察順序等具體問題進行引導(dǎo)有利于學(xué)生進行數(shù)學(xué)表達。

【關(guān)鍵詞】商不變性質(zhì)；教材比較；實證研究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）提出的“三會”核心素養(yǎng)，為數(shù)學(xué)課程實施指明了方向。但實際教學(xué)中，教材是教學(xué)活動中最重要的基礎(chǔ)資源，在“新教材”出版前，如何用好現(xiàn)有教材體現(xiàn)新課標理念，是教師在當下要重點關(guān)注和研究的內(nèi)容。

一、比較教材異同，提出研究問題

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多規(guī)律性知識的學(xué)習(xí)內(nèi)容。如運算定律和性質(zhì)、整除的特征和規(guī)律等?！吧滩蛔冃再|(zhì)”是規(guī)律性知識的典型內(nèi)容，在國內(nèi)各個版本教材中，通常都安排在“三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法”單元。本文選擇了較有代表性的三個版本教材（以下分別稱為A版、B版、C版）進行比較，發(fā)現(xiàn)不同版本教材在呈現(xiàn)本節(jié)課內(nèi)容時整體的編排思路基本一致，都是引入新課后，讓學(xué)生通過對典型例子的觀察得到猜想，并舉例驗證，然后概括出商不變的規(guī)律。但不同版本教材在引入新課、探索規(guī)律與總結(jié)規(guī)律時的呈現(xiàn)方式均有所不同。

（一）結(jié)合引入方式提出研究問題

引入新課時，A版、B版采用了數(shù)學(xué)情境引入的方式，直接呈現(xiàn)除法算式；C版則從汽車行駛速度不變、路程隨時間改變而改變的生活情境引入。在本節(jié)課中，采用數(shù)學(xué)情境引入與采用生活情境引入對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣會有影響嗎？生活情境是否比數(shù)學(xué)情境更有利于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題？

（二）結(jié)合數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式及數(shù)據(jù)本身提出研究問題

三個版本教材呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的方式與具體的數(shù)據(jù)各不相同。A版用一組豎著排列的除法算式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，被除數(shù)和除數(shù)依次乘整十、整百、整千（如圖1）；B版用一張表格呈現(xiàn)除法算式，被除數(shù)和除數(shù)依次乘除2和4（如圖2）；C版先通過情境呈現(xiàn)被除數(shù)、除數(shù)擴大至3倍、6倍后的數(shù)據(jù)（如圖3），再讓學(xué)生自己“寫幾個含有乘數(shù)3的乘法算式，并把每個乘法算式改寫成商是3的除法算式”。

從以上內(nèi)容中可以看出，各版本教材問題開放度的差異較大。A版直接呈現(xiàn)了一個大問題“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律”引導(dǎo)學(xué)生思考；B版采用了相對比較具體的“被除數(shù)和除數(shù)怎樣變化，商怎樣變化，你有什么發(fā)現(xiàn)”引導(dǎo)學(xué)生思考；C版先說明被除數(shù)和除數(shù)都變了但商不變，然后用問題“被除數(shù)和除數(shù)的變化有什么規(guī)律”引導(dǎo)學(xué)生展開探索。

以上三個版本教材，教師會更喜歡哪一個版本的編寫方式？為什么喜歡？數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式會對學(xué)生探索商不變性質(zhì)產(chǎn)生影響嗎？學(xué)生經(jīng)歷探索過程以后，會怎樣概括商不變性質(zhì)？他們會自發(fā)地關(guān)注到0嗎？怎樣的內(nèi)容更有利于學(xué)生的歸納、推理、表達？他們?nèi)绾伪磉_發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？這些問題都值得深入研究與思考。

二、展開實證研究，分析研究結(jié)果

基于對教材比較分析后的思考，筆者選取部分問題，有針對性地在師生中進行了實證調(diào)研。

（一）教師調(diào)研的結(jié)果

在一次教研活動中，請43位教師用20分鐘時間獨立分析三個版本教材特點后，選擇出三個版本中自己最喜歡的一套教材，并說一說喜歡的理由。教師選擇的結(jié)果如表1。

有60.4%的教師最喜歡C版。他們的理由是：（1）這版教材更開放，學(xué)生自己寫算式，更容易發(fā)現(xiàn)和理解商不變性質(zhì)；（2）學(xué)生可以從多角度探索商不變的規(guī)律，探究的空間更大，更適合學(xué)生合作學(xué)習(xí)；（3）學(xué)習(xí)素材源于學(xué)生，用于課堂，更具真實性，學(xué)生的研究興趣也會提高。

有32.6%的教師最喜歡A版。他們的理由是：（1）教學(xué)素材簡單明了，引入直接，干擾較少，學(xué)生更容易通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（2）豎著排列的一組算式可以直觀地引導(dǎo)學(xué)生從上往下看和從下往上看，更有利于學(xué)生表達被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律。

選擇B版的3位教師認為，互逆的乘除算式同時呈現(xiàn)更有利于學(xué)生進行知識的遷移，表格式呈現(xiàn)方式讓數(shù)據(jù)更直觀，學(xué)生會更喜歡。

調(diào)查可見，C版更受教師歡迎。但這個版本的教材真的利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解和概括商不變性質(zhì)嗎？教師的喜好與學(xué)生實際學(xué)習(xí)的情況是否一致？為了更精準地了解學(xué)情，有必要對學(xué)生進行測查，以了解學(xué)生的真實情況。

（二）對學(xué)生的測試及分析

2021年9月10日，筆者對不知道商不變性質(zhì)的129名四年級學(xué)生進行了測試。測試方式為將學(xué)生分為三組，每組43人，請三組學(xué)生用20分鐘的時間分別自學(xué)三個版本教材，第一組自學(xué)A版，第二組自學(xué)B版，第三組自學(xué)C版，然后對學(xué)生的自學(xué)情況進行測試。測試后，用回答問題的方式對測試結(jié)果進行分析。

1.怎樣的情境更利于學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象？

能根據(jù)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)抽象的能力。不同的引入情境，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的水平會有差異嗎？生活情境和數(shù)學(xué)情境到底哪種情境更利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和概括商不變性質(zhì)呢？我們可以根據(jù)學(xué)生通過自學(xué)是否能關(guān)注到被除數(shù)、除數(shù)、商的變化，能否發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律尋找答案。

學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律的水平可以劃分為四個層次。測試結(jié)果如表2。

從表2的數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)，自學(xué)C版后能夠抽象出數(shù)學(xué)問題、發(fā)現(xiàn)商不變性質(zhì)的學(xué)生，其占比是三個版本教材中最少的。由此，可以獲得很多啟示。首先，在教師調(diào)研中，選擇C版的教師人數(shù)是最多的，而使用C版自學(xué)后，能自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生人數(shù)卻是最少的。這說明，教師的喜好與學(xué)生的實際學(xué)習(xí)效果未必一致，做實證研究很有必要。其次，C版從生活情境引入教學(xué)，但調(diào)研結(jié)果顯示，情境并沒有起到助力學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。這說明，雖然引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實生活是教師的教學(xué)目標，但教學(xué)所提供的生活情境必須是貼近學(xué)生、為學(xué)生所熟悉的。最后，C版讓學(xué)生自己提供學(xué)習(xí)素材的想法是很好的，但受經(jīng)驗和能力的限制，學(xué)生很難提供適合本內(nèi)容后繼學(xué)習(xí)所需的素材，所以不一定是最好的學(xué)習(xí)方式。這說明，太開放的素材很可能反而不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

結(jié)合A版和B版的測試結(jié)果可知，在學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”時，提供有明顯倍數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)（如A版），或呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)存在豐富的倍數(shù)關(guān)系（如B版），都更利于學(xué)生觀察、比較，從而在情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。

2.哪些因素會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)推理？

“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要聚焦于推理，即能夠根據(jù)已知事實或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系。學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”這一內(nèi)容，學(xué)生要通過運算、觀察比較、提出猜想、舉例驗證等一系列探究活動得到結(jié)論。哪些因素會影響學(xué)生對商不變性質(zhì)的探索？怎樣的引導(dǎo)過程有利于學(xué)生進行推理？我們可以繼續(xù)在測試數(shù)據(jù)中尋找答案。

（1）數(shù)據(jù)特征對學(xué)生是否能發(fā)現(xiàn)規(guī)律有顯著影響

從教材比較得知，A版呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)中，被除數(shù)和除數(shù)是按照整十、整百、整千擴大的。自學(xué)A版的學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和概括規(guī)律時，有60%用“增加1個0”“多幾個0”等語言來表達被除數(shù)和除數(shù)的變化。B版呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)是按2倍、4倍擴大的，且乘、除同時可見。自學(xué)B版的學(xué)生在概括規(guī)律時，有16.7%能將規(guī)律規(guī)范地表達為“被除數(shù)、除數(shù)乘幾或除以幾，商不變”，是三組中能規(guī)范表達規(guī)律的學(xué)生占比最多的一組。C版要求學(xué)生自己提供數(shù)據(jù)，這導(dǎo)致只有18.6%的學(xué)生寫出的除法算式組容易看出倍數(shù)關(guān)系，另外81.4%的學(xué)生都是按順序?qū)懗ㄋ闶?，很難發(fā)現(xiàn)被除數(shù)之間或除數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。因此在表達規(guī)律時，有37.2%的學(xué)生寫的是“被除數(shù)都是三個三個大起來，除數(shù)都是一個一個大起來”或“被除數(shù)一直加3，除數(shù)一直加1”?？梢姅?shù)據(jù)特征對學(xué)生是否能發(fā)現(xiàn)規(guī)律有顯著影響。

（2）觀察順序是否有引導(dǎo)對學(xué)生的探究有顯著影響

A版呈現(xiàn)了觀察順序的引導(dǎo)語“從上往下觀察”和“從下往上觀察”，B版和C版沒有觀察順序的引導(dǎo)。因此在表達規(guī)律時提及有序觀察的學(xué)生人數(shù)差異較大。測查結(jié)果如表3。

觀察是推理的基礎(chǔ)。以上數(shù)據(jù)表明，有無觀察順序的引導(dǎo)，會顯著影響學(xué)生探究規(guī)律的結(jié)果。這一結(jié)果還提醒教師，在呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材時，看起來微不足道的因素或許會對學(xué)生的探索活動產(chǎn)生較大的影響，這必須引起教材編寫者、教材使用者的共同重視。比如，本內(nèi)容中數(shù)據(jù)特征、觀察順序的引導(dǎo)，會影響學(xué)生的觀察和探究活動。有了豐富的數(shù)據(jù)，以及直觀提示和引導(dǎo)，學(xué)生就更容易進行觀察比較和規(guī)律概括。

3.怎樣的呈現(xiàn)方式更利于學(xué)生表達規(guī)律？

新課標中的數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)之一為模型意識或模型觀念。學(xué)生要逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系、規(guī)律及性質(zhì)，并解釋表達的合理性。學(xué)生學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”這一內(nèi)容，要嘗試用語言概括被除數(shù)、除數(shù)與商之間的關(guān)系。那么怎樣的呈現(xiàn)方式更利于學(xué)生的語言表達呢？

（1）學(xué)生表達能力測試結(jié)果分析

要清晰地分析學(xué)生用語言表達商不變性質(zhì)的水平，需先建立水平分析框架。筆者根據(jù)書面語言表達的準確性、完整性和規(guī)范性三個方面，建立了學(xué)生表達商不變性質(zhì)的水平框架（如表4）。

根據(jù)以上得分標準，學(xué)生自學(xué)各版教材后，用語言表達商不變性質(zhì)的水平如表5。

從以上測查可以看出，三個版本教材中，C版得分為0的學(xué)生最多，共有13人（占30.2%），B版最少。并且只有使用B版自學(xué)的學(xué)生中有3人（占7.0%）得到了最高（5分）的分數(shù)。對比表5和表2可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的抽象水平與語言表達水平并不完全一致。如A版有3人的抽象水平到了最高層次，但表達水平均沒有到達最高層次；B版有7人的抽象水平到了最高層次，而表達水平只有3人到了最高層次?？傮w上，學(xué)生表現(xiàn)出的語言表達能力不及抽象概括能力。

（2）學(xué)生表達能力差異的歸因分析

①教材中呈現(xiàn)的“被除數(shù)、除數(shù)和商”，會成為學(xué)生概括規(guī)律時的語言表達支架。在三個版本教材中，A版沒有提到除法算式的名稱，B版清楚地呈現(xiàn)了除法算式的三部分名稱，C版只提到“商”這個名稱。測查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生使用三版教材自學(xué)后，其表達能力與教材呈現(xiàn)的清晰程度之間呈正相關(guān)。由此可知，學(xué)習(xí)素材中出現(xiàn)“被除數(shù)、除數(shù)和商”這樣的名稱，有助于學(xué)生用語言表達商不變性質(zhì)。

②呈現(xiàn)具體的引導(dǎo)語對學(xué)生的語言表達有明顯的提升作用。學(xué)生自學(xué)教材，寫好自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律后，教師增加了“被除數(shù)和除數(shù)怎么變，商不會變？如果你有新的發(fā)現(xiàn)，請在旁邊重新寫一寫”這樣有針對性的引導(dǎo)語，使學(xué)生的表達獲得了較大進步。其中使用A版自學(xué)的學(xué)生進步最大，有將近一半的學(xué)生能寫出較高層次的規(guī)律。

三、回顧研究過程，思考教學(xué)啟示

隨著新課程改革的深入，很多教師在教學(xué)研究時都會采用實證研究，通過問卷、訪談等方式對學(xué)生進行測查。但是，如果在實證之前沒有對教材文本進行深入的比較和分析，沒有確定實證的目標和具體問題，往往會走很多彎路。本研究先對教材內(nèi)容進行遴選，找到適合研究的內(nèi)容，并對商不變性質(zhì)這一內(nèi)容的所有教材進行查閱，找出有代表性的三個版本教材，對它們的文本進行對比分析，找到研究問題后，才開始進行實證研究，并通過實證得到以下教學(xué)啟示。

（一）豐富多彩、適度開放的情境有利于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題

三個版本教材提供的情境的開放度不同、呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)不同，這些都會影響學(xué)生發(fā)現(xiàn)和概括規(guī)律。新課程改革以來，我們一直推崇讓學(xué)生在較開放的空間中獨立進行探究，從教師對教材的喜好程度中也可以看出，約60%的教師喜歡開放的素材。但是測查發(fā)現(xiàn)，過于開放、沒有針對性的數(shù)據(jù)不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、概括和表達商不變性質(zhì)。因此，教師在選擇情境時，需要根據(jù)新知識的特點，在了解學(xué)生真實認知水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，選擇恰當?shù)摹⒇S富的素材進行教學(xué)，以提高教學(xué)的效率。

（二）舉例驗證過程的完整性有利于學(xué)生提高推理能力

從測查中發(fā)現(xiàn)，在129名被測學(xué)生中，沒有一名學(xué)生在表達規(guī)律時提到“0除外”。對于這一難點，教師教學(xué)時可不要求學(xué)生自主概括，但應(yīng)該在教學(xué)過程中自然引出“乘0”或“除以0”，以便學(xué)生關(guān)注到這一特例。比如，在舉例驗證時，可以提問“乘的數(shù)或除以的數(shù)最小可以是什么數(shù)”，引出0以后，再引導(dǎo)學(xué)生討論、理解為什么同時乘或除以的數(shù)要把“0除外”，把商不變性質(zhì)補充完整。

（三）對觀察順序等具體問題進行引導(dǎo)有利于學(xué)生進行數(shù)學(xué)表達

從測查中發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生通過觀察一組除法算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律時，只有極少數(shù)的學(xué)生（A版只占8.5%，B版占16.7%，C版沒有）能從整體關(guān)注除法算式的變化，說明學(xué)生整體觀察一組算式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗較少，能用準確、規(guī)范、完整的語言表達商不變性質(zhì)的學(xué)生更少。因此，教師在教學(xué)規(guī)律性知識的內(nèi)容時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解，找規(guī)律就是找變中的不變，并對觀察方法進行指導(dǎo)，如“橫著看，豎著看”“從上往下看、從下往上看”“從左往右看、從右往左看”等，讓學(xué)生積累觀察的經(jīng)驗以及用語言描述規(guī)律的經(jīng)驗。

無論是對文本進行比較與分析，還是對學(xué)生展開全面的測查，最終的目的都是有效促進學(xué)生的發(fā)展。在完成文本比較和實證之后，教師要對教學(xué)目標、重難點作出一些調(diào)整，選擇更利于學(xué)生學(xué)習(xí)的素材進行教學(xué)，從而提高課堂學(xué)習(xí)效率。本文受篇幅限制，對教學(xué)設(shè)計不再展開敘述。但實證的數(shù)據(jù)必定是教學(xué)設(shè)計的重要基礎(chǔ)。

參考文獻：

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（浙江省杭州市臨安區(qū)晨曦小學(xué)）